2026屆高三數學二輪復習講義：思想方法 第1節 函數與方程思想（含解析）

高考命題中，以知識為載體，以能力立意，以思想方法為靈魂，以核心素養為統領，兼顧試題的基礎

性、綜合性、應用性和創新性，展現數學的科學價值和人文價值.高考試題一是著眼于知識點新穎巧妙的組

合，二是著眼于對數學思想方法、數學能力的考查.如果說數學知識是數學的內容，可用文字和符號來記錄

和描述，那么數學思想方法則是數學的意識，重在領會、運用，屬于思維的范疇，用于對數學問題的認識、

處理和解決.高考中常用到的數學思想方法主要有函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化與

化歸思想等.

第1講函數與方程思想

【思想蹴述】函數的思想是用運動和變化的觀點，分析和研究數學中的數量關系，是對函數概念的本質認

識，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖象和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題得以解決.

方程的思想就是分析數學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方

程組，或者運用方程的性質去分析問題、轉化問題，使問題得以解決.

方法一運用函數相關概念的本質解題

在理解函數的定義域、值域、性質等本質的基礎上，主動、準確地運用它們解答問題.常見問題有求函

數的定義域、解析式、最值，研究函數的性質.

例1(1)已知函數人外="”-1)：+4。’滿足對任意的實數為，足且為大也，都有伏為)/也)]但-

-,x>1,

x2)<0,則實數〃的取值范圍為()

A」11)B.[0,I)

叫9叫1)

思路分析伏為)/也)](笛/(/)為減函數一每一段都單調遞成一X=I左側的函數值不小于右側的函數值.

答案C

解析對任意的實數即，X2且足工及，

都有L"l)VU2)](X2)<0，

即32竺恒成立

X1-X2

3a-1<0,

a>0,

3a—14-4a>a,

解得*1

批注在函數的第一段中，雖然沒有A-1,但當X=\時，本段函數有意義，故可求出其對應的“函數值”，

且這個值是本段的“最小值”，為了保證函數是減函數，這個“最小值”應不小于第二段的最大值，即

火1）,這是解題的一個易忽視點.

（2）對于函數段）（—0）,若存在常數7（7>0）,使得對任意的都有於+7）W?r）成立,我們稱函數

#力為"同比不增函數”.若函數.”尸丘+COSX是“5同比不增函數”，則實數人的取值范圍是（）

A.[/+8）—

+8）D.（-8,-1

思路分析段）為'駟比不增函數”一4%+9<危）恒成立一分離參數求最值.

答案B

解析因為函數/U尸心十g0是'?同比不增函數”，

所以/（x+3勺U）,

即依+g）+cos（x+三）〈匕+COSX,

故"《cosx-cosfx+

=cosx-cosxcos——sinxsin-

又因為sin(x+?)=-1,

因此gw-l,故T，即實數左的取值范圍為（一8,一斗

批注本題關鍵是理解”7同比不增函數”的含義，對于恒成立問題，一般是分離參數，轉叱成求函數的

最值問題.

[規律方法]解決本類題目的關鍵是理解函數相關概念的本質，也可以結合函數圖象加以理解，嚴格按定

義推導即可.

方法二利用函數性質解不等式、方程問題

函數與方程、不等式相互聯系，借助函數的性質可以解決方程的解的個數、參數取值范圍以及解不等

式問題.

例2⑴已知函數人x+2）=log3（3'+3-K）,若人〃-1）。2〃+1）成立，則實數。的取值范圍為（）

A.（-8,-2]

BE，j]

C.(-8,,2]U[0,+8)

D.S，-2］昨，+8)

思路分析解不等式問題一比較兩個函數值的大小一判斷yu)的單調性.

答案B

解析設g(x)習U+2)=log3(3*+3”),

則其定義域為R,

因為g(-x)=log3(3*+3x)=g(x),

所以其用為偶函數，

所以小什2)的圖象關于直線.v=0對禰，

所以」期)的圖象關于直線42對稱.

設｝=3r+3-r,

則y'=y\n3-3,3=(3A-3A)ln3,

令90,則3x-3v>0,得x>0,

所以產3、+3八在(()，+8)上單調遞增,

因為函數y=logu為增函數，

所以g(x)在［0,+8)上單調遞增，

所以義工)在［2,+8)上單調遞增，

因為汽〃-1)電2〃+1),

所以|〃-1-21212a+1-2|,

所以(。?3)2》(2。-1)2,化簡得3+2)(3a-4)W0,

解得

?5

所以實數。的取值范圍為卜2,：］.

批注本題關鍵是利用函數的奇偶性及單調性脫掉了列出不等式，然后解不等式.

(2)設x,y為實數，滿足(x-1"+2025(x-l)=-1,()，-1月+2025()，-1)=1,則%+產________.

思路分析觀察兩方程形式特征一借助函數幾)=5+2025/的單調性、奇偶性求出X+F

答案2

解析令用戶H+ZOZSf,則〃)為奇函數且在R上是增函數.

由/(A-I)=-I=火產1)yi->),

可得=則x+y=2.

批注本題關鍵是根據函數的特點構造函數，然后利用函數的亙調性求解.

［規律方法］函數與方程的相互轉化：對于方程?r)=0,可利用函數)，習")的圖象和性質求解問題.

方法三構造函數解決數學問題

在一些數學問題的研究中，可以通過建立函數關系式，把要研究的問題轉化為函數的性質，達到化繁

為簡、化難為易的效果.

例3已知6>0,x,?Kex+tsiny=e'sinx,則下列關系式恒成立的為()

A.cosxWcosyB.cosxNcosy

C.sinxWsinyD.sinxS^siny

思路分析e飛in產聲加工一嚅=邛一由e12放縮等式一哭與呼的關系-構造/W二華，x-，

9）一利用函數的性質求解.

答案A

解析構造於尸譽，x￡（_》）

則/⑴心浮，

當xE（一時，cosx>sinx,

所以火v尸騾在（一：，：）上單調遞增，

因為e'>0,ev>0,

當翳=*，冷1時,

貝Isinx>siny>0,所以詈■邛蕓>0，

所以（）<><r<7，

4

又產cosX在（0,9上單調遞減，

所以cosx<cosy.

當翳書<。,冷1時，

貝Usinx<sin><0,所以詈<^^<0,

所以?<xvy<0,又產cosx在（―/0）上單調遞增，所以cosx<cosy；

r+￡

當.三尸0時，滿足esin>=e'sinx,

此時cosA-COSy.

綜上所述，cosx^cosy.

批注本題注意到￡>o,主要是先由針+￡>廿放縮，然后根據題目結構再構造函數，利用函數的性質求解.

［規律方法］在構造函數求解數學問題的過程中，要確定合適的變量，揭示函數關系使問題明晰化.

專題強化練

［分值：73分］

一、單項選擇題（每小題5分，共40分）

1.（2025?石家莊模擬）已知函數）=/"）是定義在R上的奇函數，則下列函數中為奇函數的是（）

A.）可因）B.）寸A2）

C.y=xJ（x）D.y=J（x）+x

答案D

解析因為＜x)是定義在R上的奇函數，則＜-x)=/x),

又因為川-x|)YM),所以)是偶函數，A不符合題意；

令Pa)yf),則尸)=F(x),所以Rx)是偶函數，B不符合題意；

令M(x)=x-fix),則“(-式月㈤次㈤書：")二M(x)，所以M(x)是偶困數，C不符合題意；

令M')Jx)+x，則M-x)可(㈤-戶次￥)-4-伏分閉:W。)，所以是奇函數，D符合題意.

2.(2025?北京海淀區模擬)已知兀0=足日,6WR,則“憶1”是“汽幻是奇函數”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析當〃=-1時，依)/罟，

定義域為(-1,1),關于原點對稱，

且/(-x)=lnfM=-ln譽己/(x),因此/W是奇函數，充分性成立.

1+X1-X

如果JU)是奇函數，則yu)的定義域必須關于原點對稱，因此b=-i,必要性成立，

所以*=/"是“/W是奇函數”的充要條件.

3.(2025?上海模擬)定義在R上的函數段)為奇函數，其導數為人幻，且當代(-8,0］時，八幻＜1,則不等式

府)/2026)2片2026的解集是()

A.(2026,+oo)B.［2026,+8)

C.(-8,2026］D.(-8,2026)

答案C

f

解析令g(x)守U)-x,當x￡(-8,()］時，g(.r)=f(x)-l＜0,

所以g。)在(-8,0］上單調遞減，又因為函數./U)為定義在R上的奇函數，產工為定義在R上的奇函數，所

以g。)為定義在R上的奇函數，

則g(K)在(0,+8)上單調遞減,即函數g(x)在R上單調遞減,

所以由J{x}fi2026)2/2026,可得府)x卻2026)2026,

即g*)2g(2026),所以xW2026.

4.(2025?貴陽模擬)已知定義在(一(5上的函數兒i)=x3+ianx+3,則不等式Xx-1)+/(|)＞6的解集是()

A(r5+1)B(ri+2)

C(”)D.(|,+8)

答案A

解析設以幻=/(1)-3二丁+匕11居工￡(一：，；)，則g(-x)=-g(x),所以g(x))x)-3為奇函數.

易知產N,y=tanx在區間（一］,與上單調遞增，

所以g（x）在區間（一］,5上單調遞增.

因為不等式人山）鞏；）>6,

可得笈1）-3以；）-3>0,

所以ga-D+g^）〉。，

所以g（x-1）>-g0=g（-；）.

因為函數火力的定義域為（一^,

所以…V=）,且/（十號，

所以二￡（—］+1,1+1），

又函數g（x）在區間（一］,與上單調遞增，

所以由g（x?1）>g（一，得，x-1>-p

解得綜上，|<X<^4-1.

5.（2025?曲靖模擬）已知xi是函數火式）=xlnx-2025的零點，X2是函數g（x）=lnx+x-\n2025的零點，則工會的值

為（）

A.-C.V2025D.2025

e2025

答案D

Xy1InXy1=2025,

（x4-Inx=ln2025,

22

可得X2+InX2=ln（xiln%i）=lnxi+ln（lnXi）,

因為函數y=x+lnx在（（），+8）上單調遞增，

所以X2=\nx\,則MX2=Xilnx）=2025.

6.（2025?昭通模擬）已知函數以E-f+oi'-x+Mogza+Zb）,若於）或0,則〃，〃滿足的關系式為（）

A.4-26=1B.a+2Z?=1

C.a=2bD.a=-2b

答案B

角星析y（x）=（-x,4-^zx2-A+6r）log2（x+2/?）=［x2（d-x）4-（rt-x）］log2（x+2/7）

=，+1）（-x+a）log2（x+2Z?）,又^+1>0,

所以貝工）<0等價于Gx+a）log2（x+2〃）W0,

又月og2（x+2b）在定義域（-24+8）上單調遞增,且零點為1?26

y=-x+a在定義域上單調遞減，且零點為a,

所以函數產log2（x+2/?）與函數y=-x-ia的零點重合，

則a=l-2b,即a+2b=\.

7.(2025?天津模擬)已知g(x)=f-3x+l,若V笛￡［1,2］,3x2e［0,2］,使人達尸雙刈)成立，則實數

。的取值范圍為()

A.r-L1］B.［l,|］

C.k”］D.卜1,|］

答案D

解析由題意可知，函數人x)在［1,2］上的值域是函數g(x)在［0,2］上的值域的子集，

而函數在［1,2］上單調遞增，所以函數式用的值域為［，1+a］,

又函數g(x)的導函數為&。)=3*-3,

當x￡［0,1)時，g3<0,所以函數g(x)在區間［0,1)上單調遞減，

當xE(l,2］時,g'(x)>0,所以函教g(x)在區間(1,2］上單調遞增,

所以函數g(x)在區間［0,2J上的最小值為g⑴=-1,

而g(0)=l,g(2)=3,

所以函數g(x)在區間［0,2］上的值域為［-1,3］,

Q之一1,o

所以3=>-K(7^-,

-+a<32

v2

即實數〃的取值范圍為［-1,|］.

8.(2025?天津模擬)已知/U)是定義在R上的奇函數，當為，x2e(0,+~),且即WE時，辿色匚心》恒

成立，|3)=-6,則不等式./U)+2x>0的解集為()

A.(-3,0)U(3,+8)B.(-8,-3)u(3,+<?)

C.(-3,0)U(0,3)D.(-oo,-3)U(0,3)

答案A

解析構造函數g(x尸警，xWO,

貝ijg(-x尸等哼

故函數g(x)為偶函數,

當Xi,也￡(0,+8),且時，

生山經2〉o恒成立，

Xl-X2

不妨設Xl《2,則句3)-陽”2)V。，

則“2?1)一工J("2)JS1)/(%2)<0

'X1X2XlX2'

即g5)<g(X2),

故函數g(X)在(0,+8)上單調遞增，在(-8,0)上單調遞減，

因為43)=6,則g(3)=g(-3)=嚕=-2,

當x>0時，由y(x)+2x〉0,得吟?2,即g(x)>g(3),解得x>3；

當x<0時，由./W+2x>0,得A&-2,即g(x)<g(-3),解得-3<r<0；

X

當廣。時，易知yu)+2『o.

綜上所述，不等式火x)+2>0的解集為G3,0)U(3,4-00).

二、多項選擇題(每小題6分，共18分)

9.(2025?長沙模擬)已知函數/U)=e2W+cos2K(X￡R),則下列判斷正確的是()

A.函數人工)的圖象關于)，軸對稱

B.函數,/(x)的最小值為2,無最大值

C.函數兀。在(-冗，江)上單調遞增

D.不等式人片1)勺U)的解集為G,+8)

答案ABD

解析由題意得/U)的定義域關于原點對稱，/(-x)=e2|-v|+cos(-2.￥)=c2W+cos2x,即貝㈤于㈤,所以函數凡丫)是

偶函數,即函數7U)的圖象關于y軸對稱，故A正確；

當X20時，/)=e%cos2x,/(x)=2e2t-2sin2xX),所以/)在［0,+8)上單調遞增,因為/(0)=2,且於)是偶

函數，所以函數yu)的最小值為2,無最大值，故B正確；

由A,B選項可知，y(x)在(-7T,0］上單調遞減，在(()，兀)上單調遞增，故C錯誤；

不等式/U-DM?oMlKH，兩邊平方得-2x+l<()，得x*，故D正確.

10.(2025?淄博檢測)定義在(0,+8)上的函數危)，其導函數為八x),且滿足八x)》U)>0,若00［<仆2，旦

XiX2=1,則下列不等式一定正確的是()

A./x2)>y(2-Xi)

C.lnfix\)-ln/(X2)<xi-xz

D.2A2)>3/Q)

答案ACD

解析A選項，因為O<RV142,且X|X2=1,

則X\■^X2>2yjx1x2=2,即X2>2-X\>1,

因為JU)在(0,+8)上單調遞增，所以A正確；

B選項，設,/(x)=e巴八刈

當用=點必=2時，B錯誤;

C選項，令g(x尸午(QO),

則g'(x)J'('，a)>o,

可知g(x)在(0,+8)上單調遞增，

因為0<X|<￥2?所以g(M)<g(X2),

即“：)<，(，>),

又因為則，

j\^2)e/

可得In22<lneXL*2,

f(x2)

所以InJ(x\)-\nj(x2)<x\-x2,C正確;

D選項，由C可知縹〃答，

則加2)>g/3)，

令/心)=F?x-l,h\x)=e-\,

當x>0時.Mx)>0./心)單調遞增,所以力(戲>力(O)=e°-O-l=O,所以當x>0時,eA>x+l,

所以五工2)>"火即)=€丫2rly(X])>(x2?xi+1求工1)>(2-方次即)，

所以兀V2)>(2?Xi次t[),

當*,必=2時，歐巧。，42)>3/住)，D正確.

11.(2025?濟南模擬)已知函數段)是定義在R上的奇函數,當第>0時，危)=夕(41),則()

A.當x<0時，y(x)=ev(x+1)

氏函數,?)有2個零點

C.函數,")在點(-1,0)處的切線方程為x-ey+\=0

D.Vxi,X2￡R，都有心1)次切|<2

答案ACD

解析對于A,當x<0時，則?.。0,八㈤=式*1),

因為j(x)是定義在R上的奇函數，所以?%)二次-工)=-[e'(-x-1)]=e'(A+1),故A正確;

對于B,當QO時，

令危)=鏟(X-1)=0,解得戶1,

由./U)是定義在R上的奇函數，

所以當m-1時，人幻=0,又｛0)=0,故函數/U)有3個零點，故B錯誤；

對于C,當.r<0時，/(x)=e'(x+1),

/(x)=ev(x+2),所以/(-1)三,

故所求切線方程為.y-0=?x+l),即x-ey+l=0,故C正確；

對于D,當x<0時，/(x)=ev(x+l),/(x)=ev(x+2),

當-2<r<0時，八燈>0,所以函數凡r)在(-2,0)上單調遞增，

當x<-2時，/8)<0,所以函數火x)在(-8,.2)上單調遞減，/)曲寸(-2)二62,

且當上一一8時，A1)一。，

當?時，/)f1,所以危)的值域為[七'1),

由7U)是定義在R上的奇函數，故當Q0時，./(X)的值域為(-1,e2],因此VM,?ER，都有孤為)次*)|<2,

故D正確.

三、填空題(每小題5分，共15分)

12.已知人幻是定義在R上的函數，若yw-f是奇函數，貝幻-2,是偶函數，則/U)的值為.

答案