2026年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 高效培優(yōu)16 幾何探究綜合題（高頻考點(diǎn)專練）原卷版

專題16幾何探究綜合題

目錄

就高頻考情深度解讀（中考命題規(guī)律透視+培優(yōu)備考要求）

核心考點(diǎn)系統(tǒng)梳理（重難知識(shí)圖譜+解題結(jié)論與高效技巧）

，聚焦題型檐流解密（4大題型精講+變式拔高訓(xùn)練）

題型一三角形的兒何探究

題型二四邊形的幾何探究

題型三相似三角形的幾何探究

題型四圓的幾何探究

Sh實(shí)戰(zhàn)演練靄級(jí)提分（中考仿真校擬+限時(shí)訓(xùn)練提升）

幾何探究綜合題是中考數(shù)學(xué)的核心壓軸模塊，分值約12?18分，以解答題形式為主，

多為中考卷的壓軸題或次壓軸題，整體以中高檔題為主，是拉開分?jǐn)?shù)差距、突破高分的關(guān)鍵板

塊。該模塊側(cè)重考查幾何直觀、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模與探究創(chuàng)新能力，常結(jié)合圖形變換、動(dòng)態(tài)

問題進(jìn)行綜合命題。

基礎(chǔ)知識(shí)必備：掌握三角形、四邊形的核心性質(zhì)與判定，熟練運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)、

圓的基本定理進(jìn)行推理論證；理解平移、旋轉(zhuǎn)、折疊等圖形變換的本質(zhì)，能結(jié)合勾股定理、三

角函數(shù)進(jìn)行兒何計(jì)算；具備從特殊到一般、分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，能通過觀察、猜

想、驗(yàn)證、推理的步驟解決探究性問題，能實(shí)現(xiàn)幾何條件的合理轉(zhuǎn)化與代數(shù)化表達(dá)。

2026中考預(yù)測(cè)：

題型穩(wěn)定：三角形、四邊形、相似三角形、圓相關(guān)幾何探究為必考類型，多以多問形式呈現(xiàn),

層層遞進(jìn)；

難度梯度明顯：第一間基礎(chǔ)鋪墊，第二間進(jìn)階探究，第三問拓展延伸，重點(diǎn)考查邏輯推理與探

究能力；

命題趨勢(shì)：貼近教材核心知識(shí)，注重幾何圖形間的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)化，部分題目融入新定義、新情境，

偶爾結(jié)合平面直角坐標(biāo)系實(shí)現(xiàn)幾何問題代數(shù)化，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法與創(chuàng)新思維的考查。

出考點(diǎn)，梳理.

一:SSS/SAS/ASA/AAS/HI■噫對(duì)

待珠三房形：嶂明一邊演角三角形性就與列定）

41注理：中位統(tǒng)勾股定理及建的、內(nèi)JW外用性1S）

綜時(shí)化）

?，蛙與性晅淮）

形并網(wǎng)四a形:

/SSS.T三崢WA/X：尹謝鱉J

i：maffitm周）

'勾殷定多金合計(jì)）

I:與三?

基本性質(zhì)：垂&定理.圜硝麗角定理及推論）

w?：臉(《.償.aa(ma包tiMutsg))

園與圖般網(wǎng)數(shù)外切三角形.因內(nèi)接四邊形性gQ

市g(shù)：如長(zhǎng)/原形面堂.弦陽(yáng)圜心距/半徑關(guān)或）

班到~般：移釧F枷所隔8TKgieTg%eg）

通用岸被路

敷F緇自：幾哂鋤化力1aL煤，利M程求川）

:遇中點(diǎn)連中線/中蠅角平分線作曲廢長(zhǎng)距）

,蹈悅喇仍三舷小F生播5麗魅D

幾何探究三角形：「iBA/XZ一航三角蠅，作平行黃Ba以）

常用技巧方法

綜合題Eft關(guān)系：“St一面角一勾股回，平?同位角怕等）

I其利6?：分餅為三角形/西a形/essagB廊T）

；-g麗導(dǎo)：從結(jié)論出發(fā)，班算需硼東件）

堿向《：熱酶理meagg.科utt南秘麗）

計(jì)“技巧

西￡:酬卜法.等限淖、相似面聯(lián)比出，七）

麗:就igffiSSA福)

崎殊平行四邊形般條件，如疑與覬的悔臥）

明脛,所.后忽略對(duì)舜性質(zhì)；

忽v四邊形存在惶8制，如邊長(zhǎng)為正.內(nèi)角和約束）

島總制grtii^ia/GPtgah。.jBawmitHCm）

誤版5砒：直接用同毗代惴附此的平方）

一畿三號(hào)角儂顯崢切％0＞的葩。

雌￡15￡0少卻步妻，宋有WR+*g.雙■簞件）

甌用定理俁用：忽15伺弼響T*9）

BB9和做MBKE.弦談翻殂：

聚焦題型?解密■

題型一三角形的幾何探究

【典例01］（2025?貴州遵義?模擬預(yù)測(cè)）綜合與探究：

問題情境：如圖，△48C和△EDC都是等腰直角三角形，Z.BAC=ZEDC=90°,連接8凡F是8E的中點(diǎn),

連接力F.

AAA

E

E

BDCB

D

D

圖1圖2圖3

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】

AF

如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在邊4c上時(shí),連接DF,AD,WUAFD=~AD

⑵【進(jìn)階探究】

如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在邊8C上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)證明該結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說明理由;

(3)【拓展延伸】

如圖3,將圖1中△EDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度(0°<a<360°),若A8=4,CD=2.直接寫出4F的最小值.

【變式01】（2022?山東青島?中考真題）【圖形定義】

有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱為等高三角形.

例如：如圖①.在△/BC和B'C'中,4。/。分別是8C和B'C'邊上的高線,且4。=4'。，則△ABC

和△A4。'是等高三角形.

BZADCB4'D'C

圖①圖③

【性質(zhì)探究】

如圖①,用S&48C,SMBU分別表示△4BC和△4'8'C'的面積.

貝/△ABC=^BC-AD.S^A'B,C'=J"'。',4'。'，

?:AD=A'D'

?,?SAABC：SAA'B'C=BC'.B'C.

【性質(zhì)應(yīng)用】

(1)如圖②，。是△ABC的邊8c上的一點(diǎn).若BD=3,DC=4,M5^HD：SA/IDC=:

(2)如圖③，在△4BC中，D,￡分別是8c和4B邊上的點(diǎn).若BE:AB=1:2,CD,BC=1:3,S^ABC=1,則

S&BEC=，S&CDE=；

(3)如圖③，在△ABC中，。，《分別是8c和4B邊上的點(diǎn),若CD,BC=l:n,SLABC=a,則

■^△CDE=.

【變式02】【課本再現(xiàn)】（1）如圖1,△48C和△CDE都是等邊三角形，且點(diǎn)8、C、E在一條直線上,

連接80和/IE相交于點(diǎn)P,線段8。與4E的數(shù)量關(guān)系是「請(qǐng)你用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明上述關(guān)系成立的理由.

【深入探究】（2）如圖2,將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，其他條件與（1）中相同.

①線段8。與4E的數(shù)量關(guān)系是；

②iCPE的度數(shù)為.

【拓展應(yīng)用】（3）如圖3,△ABC是等邊三角形,LADC=30c,40=6,BD=10,求邊CD的長(zhǎng)度.

【變式03］（1）如圖①，在△/4BC中，AB=AC,^BAC=90%DE是過點(diǎn)力的直線，6。IDE丁點(diǎn)

CE_LOE于點(diǎn)區(qū)RBD=AE.求證：OE=80+CE.

圖①圖②

(2)如圖②，在△ABC中，AB=CA,D,A,E三點(diǎn)都在直線/上，并且有4B￡M=N4EC=4B4C=a,

且a090。，請(qǐng)問DE=BO+CE是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明，如不成立，請(qǐng)說明理由.

(3)拓展與應(yīng)用：如圖③，E是。，A,E三點(diǎn)所在直線/上的兩動(dòng)點(diǎn)(。，A,E三點(diǎn)互不重合)，

點(diǎn)F為乙8/1C平分線上的一點(diǎn)，且△/B/和△/1CF均為等邊三角形，連接8D,CE.若"D4=4lEC=

乙BAG試判斷△/)￡1小的形狀.

【變式04】(1)【探究發(fā)現(xiàn)】

在△48C中，CA=CB,Z/1CF=90°,直線/經(jīng)過點(diǎn)C,AD11,BE11,D、E為垂足，則有結(jié)論

△ACD三ACBE.請(qǐng)?jiān)趫D1、圖2中任選一圖給予證明.

(2)【知識(shí)遷移】

如圖3,已知：71(-2,0),8(0,3),BCLAB,BDLBE,AB=BD=BC=BE,連接CD、CE、DE,則點(diǎn)C

的坐標(biāo)為，點(diǎn)￡的坐標(biāo)為，△(；"￡的面積為.

(3)【拓展應(yīng)用】

如圖4,已知：點(diǎn)/的坐標(biāo)為(一4,0),分別以。8、AB為直角邊在第一、第二象限作等腰RtZiOB"與等腰

ABE,^.Z.OBF=/.ABE=90°,連接EF交p軸于點(diǎn)P,求BP的長(zhǎng).

圖1圖2

【變式05］如圖，點(diǎn)M在等腰直角三角形力BC的斜邊BC所在直線上，/-MAN=45°,BNA.BC交AN于點(diǎn)N.

A

(1)當(dāng)點(diǎn)M在8c上，點(diǎn)N在8。上方時(shí)，如圖①，求證：BN+MN=CM；

(2)當(dāng)點(diǎn)M在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在BC上方時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)N在8C下方時(shí)，如圖③，猜想線

段BN,MN,CM之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需要證明.

【變式06](2025?四川成都?一模)如圖，在△4BC中，AB=AC=5,BC=8,點(diǎn)。在8c邊上，連接力。,

將線段力D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度(a=^BAC)得到線段4E,連接。￡

⑴如圖,當(dāng)點(diǎn)力不與點(diǎn)/?、r1重合.線段0/?與/W交干點(diǎn)心求證：?CD：

(2)若CC=1,求EF的長(zhǎng)；

(3)點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)△B/D是等腰三角形，求4F的長(zhǎng).

【變式07】(2025?重慶?模擬預(yù)測(cè))在△48。中，4180=90。，AB=2BC,。是4C的中點(diǎn)，E在AB邊上運(yùn)

動(dòng)，連接DE,將△/IDE沿著DE折卷得到△/￡,點(diǎn)4的對(duì)?應(yīng)點(diǎn)為F,其中DF交48于點(diǎn)G,連接力凡BF.

(1)如圖1,當(dāng)乙10尸二90。時(shí)，求證：DG=FG；

(2)如圖2,當(dāng)乙4EF=90。時(shí)，用等式表示線段DG與8尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)AE=1,4。=花時(shí)，過點(diǎn)G作GQ1B廣于點(diǎn)Q,連接EQ,請(qǐng)直接寫出N/EQ的度數(shù).

題型二四邊形的幾何探究

【典例01］（2022?浙江衢州?中考真題）如圖，在菱形48c（中,AB=5,8。為對(duì)角線.點(diǎn)E是邊力〃延長(zhǎng)

（2）若BD=6,DG=2GE.

①求菱形/18C0的面積.

②求tan"DE的值.

（3）若=當(dāng)2fM8的大小發(fā)生變化時(shí)（0。＜180。）,在AE上找一點(diǎn)八使GT為足值，說明理

由并求出ET的值.

【變式01］如圖1，四邊形A6CD是正方形，點(diǎn)E是邊6c上的點(diǎn)，乙4EF=90。且“交正方形的外角4DCG的

角平分線于點(diǎn)?

圖1

(1)求?正：^BAE=/.FEG.

(2)試猜想線段4E與線段EF存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(3)如圖2,線段8。與力產(chǎn)交于點(diǎn)M若48=6,CG=2,連接GM求GN+NF的最小值.

【變式02］如圖，正方形ABCD,點(diǎn)E、4分別在力8、8C上.

圖3

①求證：DE=GH；

②平移圖1中線段GH,使G點(diǎn)與0重合，”點(diǎn)在8C延長(zhǎng)線上，連接EH,取E”中點(diǎn)P,連接PC,如圖2,求

證：BE=V2PC；

(2)如圖3,若點(diǎn)G在人。上，G”和DE相交于點(diǎn)。.當(dāng)NGOO=45。，邊長(zhǎng)718=3,HG=V10,求OE的長(zhǎng).

【變式03】(2026?陜西寶雞?一模)【問題探究】

（1）如圖1,四邊形/18C。為矩形，點(diǎn)E為邊BC上的一點(diǎn)，連接4E,過E作EF_LAE交邊CD于點(diǎn)F,若

BE

力8=4,EC=3,則而的值為；

（2）如圖2,在正方形力BCD中，E、尸分別是邊BC、4B上的點(diǎn)，連接4E,過點(diǎn)F作產(chǎn)G1AE交CD邊于點(diǎn)G,

求證：AE=FGx

【問題解決】

（3）如圖3,矩形/BCD是某植物園規(guī)劃的一個(gè)花圃，點(diǎn)M處有一個(gè)涼亭，現(xiàn)要在力D、BC邊上分別設(shè)立游

客服務(wù)中心P、E,沿BM、PE修建兩條互相垂直的普通小路，再沿BP和EM鋪設(shè)兩條石板小路，為節(jié)約鋪設(shè)

AD2

石板小路的費(fèi)用，要求PB與ME的長(zhǎng)度之和盡可能的小，已知而=5，8M=600米，請(qǐng)你幫助植物園規(guī)劃

人員求出兩條石板小路長(zhǎng)度之和（P8+ME）的最小值.（涼亭、游客服務(wù)中心的大小、所有小路的寬度

均忽略不計(jì)）

BEBECEC

圖1圖2

【變式04］如圖在四邊形月BCD中，點(diǎn)E是直線6c上點(diǎn)，將射線AE繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a交直線CO丁點(diǎn)色

F

ADAD

⑴如圖①.若四邊形4BCD為菱形，48=60。〃=60。，則;4E與"之間的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖②，若四邊形48CD為正方形，a=45。，連接EF,當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，試猜想線段BE、DF

與EF之間的數(shù)最關(guān)系，并加以證明；

(3)若四邊形48CD為正方形，a=45。，連接EF,當(dāng)力8=4,BE=。時(shí)，請(qǐng)直接寫出EF的長(zhǎng).

【變式05】(2026?江西?模擬預(yù)測(cè))【猜想探究】

如圖1.在中，。、E分別為48、47的中點(diǎn)，連接DE：

操作1.將△ADE繞點(diǎn)

￡按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

180。到△CF8的位

A

置.「丁

操作2.延KOE到點(diǎn)

F,使￡T=DE,連接

B乙-----------

CF.

圖1

試探究DE與BC有怎樣

的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)

系？

（1）請(qǐng)結(jié)合操作1或操作2的方法所得出的結(jié)論，我們可以得到三角形中位線定理,

【結(jié)論應(yīng)用】

（2）如圖2,四邊形48co中，對(duì)角線4C、80相交于點(diǎn)O,四條邊上的中點(diǎn)分別為七、F、G、H、依次連

接EF、FG、GH、HE,得到四邊形￡7訪H.若4c=16,BD=20,LA0B=60°,求四邊形￡7訪H的面積.

圖2

【問題解決】

（3）如圖3所示，在一個(gè)四邊形力BC。的草坪上修一條小路，其中點(diǎn)尸和點(diǎn)。分別為邊和邊。。的中點(diǎn),

且+4力BC=90。，BC=6,AD=8,求小路PQ的長(zhǎng)度.

B%

圖3

【變式06】（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）【操作判定】

（1）如圖1,在中，/.ACB=90°,4c=8C,點(diǎn)￡在BC上（且不與點(diǎn)尻。重合），在△A8C的外

部作△8EZ）,使乙BED=90。，BE=DE,連接CZ）,過點(diǎn)A作力網(wǎng)|CD,過點(diǎn)。作DFIL4C,DF交AF于點(diǎn)F,連

接CF.根據(jù)以上操作，判斷：四邊形AC。尸的形狀是,=:

【變換探究】

（2）如圖2,將圖1中的△BED繞點(diǎn)B逆時(shí)針施轉(zhuǎn)，便點(diǎn)E落在4B邊上，過點(diǎn)力作4FIICD,過點(diǎn)。作

DF\\ACfDF交AF千點(diǎn)F,連接CE、CF.若CE=4,求C/的長(zhǎng).

【拓展應(yīng)用】

（3）將圖1中的△BED繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)。在BC的右側(cè),過點(diǎn)/作AFIICD,過點(diǎn)。作DF||AC,DF

交AF于點(diǎn)F,連接CF,若BE=2,BC=6,當(dāng)四邊形4C。/為菱形時(shí).

①求CF的長(zhǎng)；

②當(dāng)點(diǎn)。在BC左側(cè)時(shí)，請(qǐng)直接寫出C"的長(zhǎng).

F

(S3)

【變式07】（2025?吉林松原?模擬預(yù)測(cè)）【初步嘗試】如圖①.點(diǎn)七、G分別是的邊BC的中

點(diǎn)，點(diǎn)b為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，以點(diǎn)尸為直角頂點(diǎn)作乙EFG=90。，過點(diǎn)七作EH||尸G交8。于點(diǎn)〃，連接GH,

求證：四邊形EFGH為矩形；

【深入探究】如圖②，將圖①中的口改為菱形.其他條件不變.若248c=60。，且AE=2,宜接寫

出四邊形EFGH的面積；

【拓展延伸】如圖③.將圖①中的UL4BC。改為矩形,其他條件不變.若4。=3,48=2,直接寫出四邊

形EFG，的面積.

AED

BG

題型三相似三角形的幾何探究

【典例01】同學(xué)們學(xué)習(xí)了華師版數(shù)學(xué)八年級(jí).卜.冊(cè)教材中信息技術(shù)應(yīng)用“探索三角形的邊、角關(guān)系”后，發(fā)現(xiàn)

可以通過軸對(duì)稱的性質(zhì)及“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法解決一些幾何圖形問題.

(1)(1)在△48C中，210平分匕B4C,Z.ABC=2zC,求證：AC=AB+BD：任選下面一種方法，并寫出完

整的證明過程:

方法一：如圖①，在AC上截取力￡使得力/?=48,連接OE,可以得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；

方法二：如圖②，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)立使得=連接。F,可以得到等腰三角形，進(jìn)而解決問題.

(2)如圖③，在△ABC中，Z.ABC=2zC,AH上BC交BC于點(diǎn)、H,直接寫出力8、BH、BC之間的等量關(guān)系

(3)如圖④，在△48C中，4。平分NB4C,/.ABC=2zC,ADBG分別為4B4C、N/8C的角平分線,

AB=5tBD=3,AG=^,直接寫出GC=.

【變式01】小明同學(xué)在學(xué)習(xí)相似三角形時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：如圖，在AABC中，點(diǎn)。是8C的中點(diǎn)，點(diǎn)、E

是中點(diǎn).連結(jié)AD,BE交于點(diǎn)G,求蕓的值.

(1)小明發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)。作OHIIBE交力。干”，根據(jù)平行線分線段成比例即可得到問題的答案.下面是小明

的部分解題過程：

解：如圖1,過點(diǎn)。作。HII8E交4c于〃，

圖1

???D是BC的中點(diǎn)，

:.BD=CD,

,CD_CH

**fiD==1'

請(qǐng)你補(bǔ)全余下的解題過程.

【嘗試應(yīng)用】

(2)如圖2,在CL4BCD中，E、/分別是力8、CD的中點(diǎn)，連接AC分別交DE、于M、N,貝=

圖2

【拓展提高】

(3)如圖3,點(diǎn)￡是左。邊的中點(diǎn)，DC=2BD,AD、BE交于F/D=10,BE=6,AD上BE,直接寫出四邊

形CDFE的面積.

圖3

【變式02](2024?四川廣元?中考真題)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣,還能經(jīng)歷知識(shí)“再創(chuàng)造川勺過程,

更是培養(yǎng)動(dòng)手能力，創(chuàng)新能力的一種手段.小強(qiáng)在學(xué)習(xí)《相似》一章中對(duì)“直角三角形斜邊上作高”這一基本

圖形(如圖1)產(chǎn)生了如下問題，請(qǐng)同學(xué)們幫他解決.

圖2

圖3圖4

在也力⑶。中，點(diǎn)。為邊A8上一點(diǎn)，連接CD.

(1)初步探究

如圖2,若乙ACD=求證：AC2=AD-AB,

(2)嘗試應(yīng)用

如圖3,在(1)的條件下，若點(diǎn)。為力B中點(diǎn)，F(xiàn)C=4,求CD的長(zhǎng);

(3)創(chuàng)新提升

如圖4,點(diǎn)E為。。中點(diǎn)，連接BE,若4COB==30。，Z.ACD=/.EBD,AC=247,求BE的長(zhǎng).

【變式03】【感知】小明同學(xué)在學(xué)習(xí)相似三角形時(shí)遇到這樣一個(gè)問題:

小明發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)。作DHIIAC交BE于H,可證明AAGE三△OGH,得到相關(guān)結(jié)論后，再利用相似三角形的性

質(zhì)即可得到問題的答案.下面是小明的部分證明過程：

圖①圖②圖③

解：如圖①，過點(diǎn)。作0,114c交BE于則匕=乙AEG=^DHG,

??。是8c的中點(diǎn)，

???BD=CD,

"EH~CD-L，

:.BH=EH,

：.DH=迦

???E是4C的一個(gè)三等分點(diǎn)，且4E=%C,

..AE=

:.AE=DH,

:.△AGE=△DGH

請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過程.

【嘗試應(yīng)用】

如圖②，在△48C中，D為力C上一點(diǎn)，AB=AD,連結(jié)BD,若AE1B。，交BD、BC于點(diǎn)E、F.若40=6,

CD=2,AF=S,則/E的長(zhǎng)為.

【拓展提高】

如圖③，在平行四邊形48CD中，點(diǎn)￡為5。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為C。上一點(diǎn)，BF^AE.4c分別交于點(diǎn)G、M,若

備=3則黑的值為-----.

【變式04】（2024?四川資陽(yáng)?中考真題）（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖1,在△ABC中，點(diǎn)。在邊5c上.若

乙BAD=^iAB2=BD-BC,請(qǐng)證明；

(2)【靈活運(yùn)用】如圖2,在△48C中，匕&4c=60。，點(diǎn)。為邊8C的中點(diǎn)，C4=C。=2,點(diǎn)E在48上,

連接AD,DE.若4AEZ)=4C4D,求BE的長(zhǎng)：

(3)【拓展延伸】如圖3,在菱形ABCD中，AB=5,點(diǎn)、E,廠分別在邊AD,CD上,/-ABC=2^EBF,延

【變式05】(2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題)如圖，在匚MBCD中，為銳角，點(diǎn)E在邊力。上，連接

BE,CE,=S4DCE,

M

⑴如圖1,若F是邊BC的中點(diǎn),連接EF,對(duì)角線＜C分別與BE,Er相交點(diǎn)點(diǎn)逢”.

①求證：〃是4c的中點(diǎn)；

②求71G:GH:HC：

(2)如圖2,8E的延長(zhǎng)線與CO的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M,連接AM,CE的延長(zhǎng)線與AM相交于點(diǎn)N.試探究線段4M

與線段月N之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【變式06】(2023?浙江湖州?中考真題)【特例感知】

（1）如圖1,在正方形ABCO中，點(diǎn)Q在邊力8的延長(zhǎng)線上，連接PD,過點(diǎn)。作OM_LP。，交BC的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)M.求證：△DAP^△DCM.

【變式求異】

（2）如圖2,在中，乙18c=90。，點(diǎn)。在邊上，過點(diǎn)。作DQ1A8,交力C于點(diǎn)。，點(diǎn)。在邊

AB的延長(zhǎng)線上，連接PQ,過點(diǎn)0作QM1PQ,交射線8c于點(diǎn)M.已知BC=8,AC=10,AD=2DB,求券

的值.

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖3,在RtZk/lBC中，^BAC=90°,點(diǎn)尸在邊力B的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)。在邊4c上（不與點(diǎn)力，。重

合），連接PQ，以。為頂點(diǎn)作/PQM=4PBC,4PQM的邊QM交射線BC于點(diǎn)M.若4C=7ZL4B,CQ=nAC

（小，〃是常數(shù)），求券的值（用含〃?，〃的代數(shù)式表示）.

圖1圖2圖3

【變式07］（2025?上海金山?一模）已知△4DE的頂點(diǎn)E在△ABC的內(nèi)部，點(diǎn)。、點(diǎn)E在直線HC同側(cè).

B

B

Dt

aB

(1)如圖1,聯(lián)結(jié)BD、BE、CE,若△4BC和△力DE是等邊三角形時(shí)，點(diǎn)C、點(diǎn)E、點(diǎn)。三點(diǎn)共

線.CE.DE=1:2,求的比值；

(2)如圖2,聯(lián)結(jié)BD、BE、CE,^3AC=/-DAE=n°(0<n<90),若力8=AC,4D=求上BEC-NDBE的

值(用含〃的代數(shù)式表示)；

(3)在等腰三角形4BC中，AB=BC=S,AC=S,BH1AC,點(diǎn)￡在高BH上，點(diǎn)。在的延長(zhǎng)線上，聯(lián)結(jié)

AE并延長(zhǎng)交邊8C于點(diǎn)R聯(lián)結(jié)OF,04若乙DAE=4ABH,△與△80F相似時(shí)，求EH的長(zhǎng).

題型四圓的幾何探究

【典例01］（2026?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）四邊形48co內(nèi)接于。。，對(duì)角線4C=8C,戶為04延長(zhǎng)線上一點(diǎn),

連接BF,Z.DAC=Z.ABF.

⑴如圖1,求證：BFWCD：

（2）如圖2,連接80并延長(zhǎng)至點(diǎn)E,連接CE,若CO平分乙1CE,求證：BC=CE；

（3）如圖3,在（2）的條件下，tanNF=2,S^BCD=4,AD=2,延長(zhǎng)力。交CE于點(diǎn)丁，求CT的長(zhǎng).

【變式01】（2025?云南?中考真題）如圖，。。是五邊形月BCDE的外接圓，6。是O。的直徑.連接AC,

BE,CE,Z.AEC=Z.ACF.

(1)若CE=CB,且4CBE=60。，求NBCE的度數(shù)；

(2)求證：直線CF是O。的切線；

(3)探究，發(fā)現(xiàn)與證明：已知4c平分NB/E,是否存在常數(shù)Q,b,&.^AC2=aBC-CE+bAB-AE^^L?

存在，請(qǐng)直接寫出一個(gè)Q的值和一個(gè)b的值，并證明你寫出的a的值和b的值，使等式4〃

=a8C-CE+bA8AE成立：若不存在，請(qǐng)說明理由.

【變式02］如圖，已知A6是O。的直徑，弦C。1/W丁點(diǎn)E,點(diǎn)、M是線段0c延K線上的點(diǎn)，連結(jié)MA交O。

于點(diǎn)尸，連結(jié)DF交力8于點(diǎn)G,連結(jié)力0,BD,CF.

(1)求證：△“/。?△。力已

(2)若AC=2運(yùn)BE,求tan44尸。的值.

4G

⑶在(2)的條件下，設(shè)tan4M=x,就=y.

①求)，關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

②若￡■為BG的中點(diǎn)，求沁的值.

【變式03](2026?陜西西安?模)問題提出

DD

AP

(1)如圖①，在△ABC中，NA=30。，8c=4,求△4BC面積的最大值.

問胭探究

(2)如圖②，點(diǎn)4是OB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在OB外，已知48=2,BC=4,△4C0是等邊三角形，求△BCD

的面積最大值；

問題解決

(3)如圖③，線段48為。。的直徑，點(diǎn)C在45的延長(zhǎng)線上，4B=40,BC=20,點(diǎn)P是。。上一動(dòng)點(diǎn)，連接

CP，以CP為斜邊在PC上方作已△PCD,使乙DCP=60。，連接4),求△ACZ)的面枳最大值.

【變式04】(2024?湖南?中考真題)【問題背景】

已知點(diǎn)A是半徑為r的。。上的定點(diǎn)，連接。4將線段04繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。（0。<?<90。）得到

OE,連接力E,過點(diǎn)力作。。的切線/,在直線/上取點(diǎn)C,使得為銳角.

【初步感知】

（1）如圖1,當(dāng)。=60。時(shí)，^LCAE=_°；

圖1

【問題探究】

（2）以線段4C為對(duì)角線作矩形力3CD,使得邊40過點(diǎn)E,連接CE,對(duì)角線4C,8。相交于點(diǎn)?

①如圖2,當(dāng)AC=2r時(shí)，求證：無論a在給定的范圍內(nèi)如何變化，13c=CD+ED總成立：

圖2

②如圖3,當(dāng)AC=%器=:時(shí)，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并求tana及箓的值.

圖3

【變式05】（2024?山東淄博?中考真題）在綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，小明以“圓”為主題開展研究性學(xué)習(xí).

【操作發(fā)現(xiàn)】

小明作出了O。的內(nèi)接等腰三角形力鳳?，AB=AC.并在8c邊上任取一點(diǎn)。（不與點(diǎn)B,。重合），連接4。,

然后將△4?。繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△力CE.如圖①

小明發(fā)現(xiàn)：CE與。。的位置關(guān)系是,請(qǐng)說明理由：

【實(shí)踐探究】

連接/）/?.與4。相交干點(diǎn)憶如圖②.小明又發(fā)現(xiàn)：當(dāng)△4/7。確定時(shí).線段八?的長(zhǎng)存在最大值.

請(qǐng)求出當(dāng)AB=3?5.BC=6時(shí)，CT長(zhǎng)的最大值：

【問題解決】

在圖②中，小明進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)。分線段8。所成的比與點(diǎn)F分線段0E所成的比OF:FE始終相等.請(qǐng)予

以證明.

【變式06］（2024?黑龍江哈爾濱?中考真題）在。0中，弦48,相交于點(diǎn)E,AE=CE,連接AC,BD.