期末壓軸題02 幾何壓軸50練（專項訓練）數(shù)學北師大版七年級下冊（原卷版）

期末壓軸專題02幾何壓軸題50練

目錄

類型一、平行線的性質(zhì)與判定多結(jié)論問題...............................................................1

類型二、平行線的性質(zhì)與判定多解題問題...............................................................2

類型三、三角形全等的性質(zhì)與判定多結(jié)論問題...........................................................4

類型四、三角形全等的性質(zhì)與判定多解題問題...........................................................6

類型五、平行線的性質(zhì)與判定綜合問題..................................................................7

類型六、平行線中的拐點問題...........................................................................9

類型七、平行線中的三角板旋轉(zhuǎn)問題...................................................................11

類型八、三角形全等的性質(zhì)與判定綜合問題............................................................13

類型九、三角形全等模型之一線三等角.................................................................15

類型十、三角形全等模型之倍長中線...................................................................18

類型十一、三角形全等模型之截長補短.................................................................20

，類型一、平行線的性質(zhì)與判定多結(jié)論問題

1.（25-26七年級上?江蘇無錫?期末）如圖，已知EF〃GH,4、。為G”上的兩點，A/、4為止上的兩點,

延長力M至點C,力4平分ND4C,點N在直線。3上，且BN平分NFBC,若//CB=110。.則下列結(jié)論:

①乙MAB=4BAD；②③NNBC=NBDH；④設(shè)NC8M=a,則

/無4。=55。-3。；⑤/。氏4=55“，具中，正確的有（）

A.①②③B.①②③④C.①②③⑤D.②③④⑤

2.（25?26八年級上?遼寧沈陽?期末）如圖，已知力8〃。。，EG,EM.6“分別平分

Z.AEF,NBEF,ZEFD,下列結(jié)論：①/￡A"=90。；②FM//GE：③/EGE與乙場必互補.其中，正確

A.0B.IC.2D.3

3.（24-25七年級下?陜西咸陽?期末）如圖，已知//1力。于點兒Zl+Z3=180°,則下列結(jié)論:

①N2=N3：②NI=N4；③CQ||M；④NB=NBFE；⑤N8尸。=90。.其中正確的是（）

C.①②??D.①?@⑤

4.（25-26七年級上?吉林長春期末）如圖，/8=110。,/。=70。,。￡平分/月。。交8。于點石，點廠為線

段CO延長線上一點，NBAF=NEDF,則下列結(jié)論正確的有.

?Z5/1D+ZJDC=180°；@AF//DE,@BC//AD；?ZDAF=ZF

5.（25-26七年級上?吉林長春?期末）如圖，AE\\CF,乙1W的平分線C8交力E于點A,G是3上一點,

連結(jié)8G,AC//BG,NG8E的平分線8。交于點。，連結(jié)力。.給出下面四個結(jié)論：

①"8C=90。；②△"C與△力8。的面積相等；③與上互余的角有2個；④若NC/8=a,則

上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有

怎類型二、平行線的性質(zhì)與判定多解題問題

6.（25-26七年級上?江蘇泰州?期末）如圖，在直線上取一點。，向上作一條射線OC,使N8OC=50。,

將一直角三角板頂點放在點。處，一邊QW在射線。8上，另一力ON在直線48的下方，其中

乙OMN=300.將圖中的三角板繞點O按每秒10。的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中笫

秒時，邊MN所在直線恰好與射線OC平行.

7.（25-26七年級上?江蘇南京?期末）如圖，AB〃CD,點P,0分別是48,CO上的一點，射線P8繞點產(chǎn)

順時針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒1度，射線2c繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒3度，旋轉(zhuǎn)至與。。重合便立即回

轉(zhuǎn)，當射線總旋轉(zhuǎn)至與山重合時，心與0C都停止轉(zhuǎn)動，若射線內(nèi)先轉(zhuǎn)動40秒，射線。C才開始轉(zhuǎn)動,

則射線0c轉(zhuǎn)動一秒后，。。與外平行.

鄢

8.（25-26七年級上?河南新鄉(xiāng)期末）如圖所示,將兩個直角三角板的一個頂點重合，其中/月C8=NCQE=90。,

48c=30。，ZZ）CE=45°.三角板IBC固定不動，三角板QC￡可繞點C轉(zhuǎn)動，當/出〃EC時，NDCB

9.（24-25七年級下?江蘇宿遷?期末）將一副三角板如圖放置，點8、。重合，點尸在4c上，AB與EF交

于點G/C=/EFB=90。=60。/E=45°,現(xiàn)將圖中的ZUfC繞點G按每秒30。的速度沿逆時針方向旋

轉(zhuǎn)180%在旋轉(zhuǎn)的過程中，A/lbC恰有一邊與。石平行的時間為

4⑺)

10.（25-26八年級上?陜西西安?期末）將兩塊不同的三角尺按如圖1所示的方式擺放，4c邊重合,

/胡C=45。，ZDJC=30°.保持三角尺48c不動（如圖2）,將三角尺力CO繞著點。順時針轉(zhuǎn)動90。后停

止.在轉(zhuǎn)動的過程中，當三角尺/C。有一條邊與三角尺ABC的一條邊恰好平行時，的度數(shù)為

等類型三、三角形全等的性質(zhì)與判定多結(jié)論問題

II.（25-26七年級下?全國?期末）如圖，RtZ\48C中，ZJC5=90°,CQ是48邊的中線，力￡平分

NC4B,CF1AB,力石與W相交于點G.下列結(jié)論一定成立的是（）

①“C。與△8CO的面積相等；②N/C產(chǎn)二/8；@AJC￡^ACFD：④NCEG=NCGE

A.①②B.②③C.①③④D.①②④

12.（25-26八年級下?湖南衡陽?期末）如圖，在△W8C中，是8C邊上的高，

ZBAF=ZCAG=90°,^=AF.AC=AG.連接/G,交。力的延長線于點已連接8G,b.則下列結(jié)論:

①BG=CF；?BGVCFx③EF=EG；④BC=24E,其中正確的有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

13.（24-25八年級上?北京石景山期末）如圖，在△48。中，/4。8=90。,。=。4,。。是力力。8內(nèi)部的射

線且/5CZ）＜45。，過點力作月七_LCO于點過點6作8/LLC。于點尸.給出下面三個結(jié)論：①

ZEAB=NFBA；@AB=CF；@EF=AE-BF.其中正確的有（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

14.（24-25八年級上?新疆烏魯木齊?期末）如圖，在四邊形48CO中，AD//BC.若/D48的角平分線力f

交C。于連接此，且斯平分/48C,得到如下結(jié)論：①N4必=90。；②AB-AD=BC；

③AD=DE；?BE=^CD-⑤若力4=工，則/E的取值范圍為0<4E<x,那么以上結(jié)論正確的個數(shù)是

（）

A.2B.3C.4D.5

15.（24-25八年級上?河北滄州?期末）如圖所示，在△力8C中，N1=N2,點G為4。的中點,5G的延長

線交/C于點E,b為44上的一點，b與力。垂直，交力。于點〃，則下面判斷正確的有（）

①力。是/8/C的平分線：②跳:是△/AC的邊4C上的中線：③C"是"CO的邊力。上的高；④

AF=AC.

與類型四、三角形全等的性質(zhì)與判定多解題問題

16.（25-26八年級上?遼寧盤錦期末）如圖，在△力8C中，^ACB=90°,AC=5cm,BC=2cm,CD為AB邊

上的高，點2從點3出發(fā)，在直線8C上以2cm/s的速度移動，過點E作8C的垂線交直線CO于點E當點

17.（25-26八年級上?湖南懷化?期末）如圖,在中,4=90°，17=14cm,JC=4cm,過點8作

BM±AB.動點E從4點出發(fā)以2cm/s的速度沿射線4月運動，動點。在射線8M上，隨著E點的運動而

運動，始終保持上。二圓.若點E的運動時間為，秒（/＞（））,則當以A,E,A）為頂點的三角形與△4CK全

18.（25-26八年級上?湖北荊州?期末）圖，AB=4cm,AC=BD=3cmtNCAB=/DBA,點戶在線段48

上以2cm/s的速度由點力向點B運動.同時，點。在線段8。上由點8向點。運動，設(shè)運動時間為"s）,則

BP=cm（用含有/的式子表示）；當△力CP與△4尸。全等時，點。的運動速度為cm/s.

19.（25-26八年級上?湖北荊門?期末）如圖,48=4cm,8c=6cm,*B=￡C,如果點,在線段8c上以2cm/

秒的速度由4點向C點運動，同時，點。從C點出發(fā)沿射線。運動，若經(jīng)過，秒后，A/18尸與△C。尸全等，

則/的值是

V

BPC

20.（25?26八年級上?河南新鄉(xiāng)?期末）如圖,在△力2c中,Z5=4C=12cm,BC=8cm,點0為45的中點,

點P在線段8c上以2cm/s的速度由點8向點C運動，同時點。在線段C4上由點。向點/運動，當點。的

運動速度為cm/s時，△4為與△CQP全等.

，類型五、平行線的性質(zhì)與判定綜合問題

21.（25-26七年級上?江蘇蘇州?期末）如圖，OE與相交于點。，且DE〃BC,氏W平分N44C,且

OM±AB.

（1）若/MOE=24。，求/MBA的度數(shù)；

（2）畫N8。。的平分線ON,ON與陽/有怎樣的位置關(guān)系？為什么？

22.（25-26七年級上?江蘇無錫?期末）如圖，Z2=ZB,BE與DF交于點、P.

⑴若/1=52。，求/C的度數(shù);

(2)若/2+40=90。，/8〃CO,試判斷8E與。尸的位置關(guān)系，并說明理由.

23.(25?26七年級上?江蘇泰州?期末)如圖，點b在線段上，點旦G在線段CO上，F(xiàn)G〃AE,Zl=Z2.

(I)請判斷48與8的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若8C平分乙44。,/。=114。，求NC的度數(shù).

24.(25-26八年級上?河南鄭州?期末)在學習完《平行線的證明》后，同學們對平行線產(chǎn)生了濃厚的興趣,

楊老師圍繞平行線的知識在班級開展課題學習活動，探究平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能.

(1)太陽灶、衛(wèi)星信號接收鍋、探照燈以及其他很多燈具都與拋物線有關(guān)，如圖，從點O照射到拋物線上的

光線。民。C等反射以后沿著與Q。。平行的方向射出.圖中如果N8OP=42。，^QOC=680,請求出480

和/QCO的度數(shù)：

(2)?種路燈的示意圖如圖②所示，其底部支架48與吊線FG平行，燈桿C。與底部支架AB所成銳角a=18。,

頂部支架痔與燈桿CD所成銳角P=42。，請直接寫出EF與FG所成銳角的度數(shù).

25.(25-26八年級上貴州?期末)已知/8〃CO,直線EE與45,。分別交于點E,F,FG平分/EFD

⑴如圖1,若NEGF=260,則乙4￡尸的度數(shù)是一.

(2)作EM平分NGEF,交FG于點

如圖2,過點G作GN1EG,交直線EE于點N,求證：GN//EM.

如圖3,點。是A/E延長線上的-■點，連接小，若2NCFP=3/PFG,請寫出/尸尸歷與存在的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由.

等類型六、平行線中的拐點問題

(2)求證：/MEN=NEND-/EMB.

(3)如圖2,平分NQ平分乙END,若/MEN=a,試用含。的代數(shù)式表示NM0N的度數(shù).

27.(25?26八年級上?山東濟南期末)已知48〃。。，點E在14上，點/在。。上，點G為射線"'上一

點.

證明：過點G作直線〃/8,

AB//CD,

.,.①//CD.

MN//AB,

@=Z.AGM.

MN//CD,

，N。=③(?).

，ZAGD=ZAGM+/DGM=乙4+NO.

(2)【類比探究】如圖2,當點G在線段E〃延長線上時，請寫出4G。、/彳、/￡>三者之間的數(shù)量關(guān)系,

并請用平行線的知識說明理由.

(3)【應用拓展】如圖3,點E與點力重合，力〃平分NG48,且N〃/加=22。，ZAFC=72°,那么/〃的

度數(shù)為.

28.(25-26七年級下?河南新鄉(xiāng)?期末)如圖，瓦廠分別是48,CQ上的點，P為AB,CQ之間的

一點，且始終在直線小的左側(cè)，連接EP,PF.

⑴若NAEP=40。,NCFP=70°,則"PF=；

(2)請判斷之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)在48,。。內(nèi)部另作一條折線￡-。-尸，且點。在直線MII勺右側(cè).若ZBEP=2』BEQ,

NDFP=2NDFQ/EQF=1000,請直接寫出NEPF的度數(shù).

29.(25-26七年級上江蘇無錫期末)如圖，MN//PQ,直線AB交MN于?點、A,交尸。于點8,點E是線

段44上一點，C、。分別在射線力N、BQ上,連接CE、。旦NECN的平分線與N8OE的平分線交于點立

(2)ZC￡D與NCFD的數(shù)量關(guān)系是；

(3)過點。作。“1CF,交。尸的延長線于“，將直線繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒2。，旋轉(zhuǎn)后的對

應直線為/出'，同時，將△￡>"/繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒4。，旋轉(zhuǎn)后的對應三角形為△。尸H',當

直線力"首次與直線MV重合時，整個運動停止.在(1)的條件下，若NC4?=80。,/以加=40。，經(jīng)過/

秒后，直線4"恰好與△。尸〃'的邊U〃'或邊。〃'平行，請直接寫山所有滿足條件的，的值.

3().(25-26七年級上?海南海口?期末)綜合與探究

如圖，AB//CD,點尸，。為直線CO,48上兩定點，0°<ZPW<180°.

⑵若PM平分4CPN,QM平分ZJQN,"NQ-110°.

①如圖2,點N在。。左側(cè)時，求/PM。的角度：

②如圖3,點N在。。右側(cè)，求/尸財。的角度；

(3)如圖4,PM平分NCPN,0M平分乙4QN,/尸N0=120。，點N在尸。右側(cè)，若NCPM與乙4。”的角

平分線交于點M，/bM與40M的角平分線交于點風；依次類推，則々%026。=_.(直接寫出結(jié)

果)

國類型七、平行線中的三角板旋轉(zhuǎn)問題

31.(25-26七年級上?重慶?期末)如圖所示，含30。的直角三角形48C,點力和點。在兩平行線MMQR

上，AD.我分別為NA4N、/歷1”的角平分線，尸為8C的延長線與力。的交點.

(1)求證：EA1AD；

(2)試判別ZAED和ZCFZ)的大小關(guān)系，并說明埋由；

(3)當ZADE=36。時，射線AM和射線CB分別以10°每秒和30°每秒的速度同時順時針旋轉(zhuǎn)，當射線C8旋

轉(zhuǎn)一周時，全部停止運動，求射線力M和射線C3在旋轉(zhuǎn)過程中平行時對應的時間的值.

32.（25-26八年級上?山西太原?期末）綜合與實踐

問題情境：如圖1，已知直線MN〃P。，將直角三角板48c（其中48C=90。，NB力C=60,）的頂點力,

初步探究：（1）請用等式表示"和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

深入探究：（2）如圖2,在（1）的基礎(chǔ)上，分別作/MC和N8CP的平分線，兩線交于點，，則乙4HC

的度數(shù)為。.

33.（25-26七年級匕河南南陽期末）（1）【感知】將一副二角板按如圖1所示的方式放置，便二角板川。石

的直角頂點￡落在3C上，ZD/1￡=60°,Z5=ZC=45°,且AD〃BC,則/。E的大小為度；

⑵【探究】如圖2,將圖1中的三角板48。放在一組直線MV與也之間（其中4=48=45。），并使

直角頂點/在直線上，頂點。在直線尸。上，現(xiàn)測得乙刈8=23。，ZPCB=22°,試說明MN〃P。；

（3）【拓展】現(xiàn)將圖1中的三角板月8C按圖3方式擺放（其中/8=/4。8=45。），使頂點C在直線MY上,

直角頂點4在直線尸。上.箱MN〃PQ,請寫出/尸48與NMC4之間的關(guān)系式，并說明理由.

34.（25-26八年級上?山西晉中?期末）【項目化學習】“玩轉(zhuǎn)三角尺”.

【項目背景】：在數(shù)學實踐活動課中，項目學習小組的同學們用一副三角尺進行數(shù)學探究活動，如下圖，利

用三角尺48c和三角尺。"'進行了操作探究活動.（其中乙%。=///宏=90。，48=60。，

48C=30。，=NO在=45。）請你一起探究，完成以下任務.

圖1圖3

任務一：如圖I,項目學習小組的同學們將三角尺/8C沿8C方向移動，得到△44G，王麗發(fā)現(xiàn)此時

AB〃媽,她的判斷依據(jù)是：

任務二：項目學習小組的同學們膈這兩個三角尺進行了如圖2擺放，并過點E作直線。平行于邊8c所在的

直線6且點力與點F重合，求N1的度數(shù).

任務三：在圖2的條件下，項目學習小組的同學們固定三角尺將三角尺力4C繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)

180。，如圖3,請你一起進行操作探究活動，在旅轉(zhuǎn)過程中，當二角尺48c的邊所在直線與七人所在直線平

行時，直接寫出滿足條件/FC4的度數(shù).

35.（25-26七年級上?山西運城?期末）綜合與探究

問題情境:

有一副三角板48C和。￡7LNACB=/EDF=90。，NDEF=NDFE=45。，4/C=60。，乙48。=30°,點力

始終在。后邊上，點。在三角板力8c內(nèi)，DF與4B邊交于點、G.

初步探究:

（1）如圖1,若EF//AB,則Z.CAD的度數(shù)為<

（2）如圖2,若/BGF=75。,試判斷月產(chǎn)與8C的位置關(guān)系，并說明理由.

深入探究:

(3)如圖3,力。平分/A4C,過點￡作￡%比，交O77的延長線于點〃，求N"燈'的度數(shù).

演類型八、二角形全等的性質(zhì)與判定綜合問題

36.（24-25七年級下?陜西西安?期末）如圖，在/UBC中，AB=AC,力DJ.BC于點、D,E為4C邊上一

點，連接8E與4）交于點E,G為AABC外一點,滿足乙1CG=N4?￡,NF/tG=NB/1C,連接EG.

(2)求證：BE=CG+EG.

37.(24-25八年級上?重慶南川?期末)如圖，在△W8C中，D為邊BC上一點,E為邊BA上一點、,且

4E=CD,連接力。，尸為力。的中點.連接E尸并延長，交4C于點G,在/G上截取點，，使尸H=FE,

連接GO,若HG=CG.

(I)求證：4AEF/4DHF；

(2)求證：/B=2/GDC.

38.(24-25七年級下?山東濟南?期末)MBC和△。骸是兩個角都是45。的等腰直角三角形(BA=BC,

BE=BD,ZDBE=ZABC=90°)的三角板，

【問題初探】

(1)當兩個三角板如圖(1)所示的位置擺放時，。、8、C在同一直線上，連接/I。、CE,請證明：AD=CE；

【類比探究】

(2)當三角板/3C保持不動時，將三角板。8E繞點8順時針旋轉(zhuǎn)到如圖(2)所示的位置，判斷月。與CE

的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由.

39.(25?26八年級上?河南新鄉(xiāng)?期末)如圖，已知448。,4。〃8。,4。=48,點芯在直線力8上，連接。￡.

E

圖⑴圖⑵

(I)如圖1,當點E在員4的延長線上時.

①若%E=8C,求證：DE=AC；

②若DE=HC,求證：AE=BC：

(2)如圖2,點石在邊力〃上，OE=/4C,C/_L/14于點尸.若AB=BC,BF=2,直接寫出8E的長.

40.(25-26八年級上?山東聊城?期末)己知Z4C8中，AC=BC,過點力作直線/〃C8,點產(chǎn)為直線/上任

意一點.

圖1圖2圖3

(1)點七為線段4C上的任意一點，點尸位于力點的右邊，連接交8￡于點〃.如圖1,若乙1C5=9O。，

BE=CF,試探究BE與Cr的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

⑵若乙4。5=90。，連接產(chǎn)C,過點。作CO1CT,并使CQ=b,連接力8交射線NC于點G,過點。作

DM1AC于點A/,若/C=m，AG=n,

①如圖2,點尸在4點右邊，求線段//的長度；(用機，〃表示)

②若點F在A點左邊,在圖3中畫出圖形并直接寫出線段力廠的長度.(用〃?，〃表示)

怎類型九、三角形全等模型之一線三等角

41.(24-25七年級下?廣東清遠?期末)【問題提出】

(1)如圖1,直線/經(jīng)過點力，ZBAC=90°,AB=AC,分另!過點8,C向直線/作垂線，垂足分別為

E.求證：AABDm/XCAE；

【變式探究】

(2)如圖2,點力、。、E分別在直線/上，如果NCE/=N8/C=N/QB,AB=AC,求證：DE=BD+CE；

【拓展應用】

(3)如圖3所示，在Rte，，。和《△CZZT中，ZBAD=/CAE=90°,AB=AD,AC-AE,連接〃C,

DE,作8c邊上的高力G,延長G4交DE于點H.若力，=5,4G=12,求△以￡的面積.

圖3

42.(24?25七年級下?山西晉中?期末)綜合與實踐

數(shù)學課上，老師讓同學們準備等腰三角形紙片進行操作活動,探究有關(guān)線段之間的關(guān)系.已知：在A/IBC

中，AB=AC.

即圖2圖3

⑴如圖1,若ZB4c=90°,點、D、A、E在直線加上，NBDA=NAEC=NBAC,則與力E的數(shù)量關(guān)系為

,CE與力。的數(shù)量關(guān)系為

(2)如圖2,若NB/C>90。，點D、力、E在直線m上,NBD4=4EC=NB4C,試判斷線段8Q,CE和OE

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖3,若/8/C<90。，AB=AC=\2cm,5C=8cm,E是中點，點尸在線段8c上以3cm/s的速度

由點6到點C運動，同時點。在線段。上由點。到點/I運動，它們運動的時間為fs,當點。的運動速度

為多少時，能使與以C、P、。三點為頂點所構(gòu)成的三角形全等.(直接寫出結(jié)果)

43.(24-25八年級上?吉林?期末)在直角三角形力8c中，/力。=9()。，直線/經(jīng)過點C.

圖1圖2圖3

(1)當片。一〃。時，

①如圖1，分別過點48作4)_L直線/于點。，8芯_L直線/于點￡.求證：“CDGCBE；

②如圖2,過點力作力QJ.直線/于點。，點8與點尸關(guān)于直線/對稱，連接8/交直線/于點E,連接

CF.請寫出線段。E,AD,E尸三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2)如圖3,當/C=8cm,8。=6cm時，點4與點/關(guān)于直線/對稱，連接即，CF.點"從4點出發(fā)，以每

秒1cm的速度沿路徑A^C運動到終點C；點N以每秒3cm的速度沿路徑FTCTBTCTF運動到終點

F.分別過點M,N作MD工直線I于點、D,NE工直線I于點、E.點M,N同時開始運動，各自達到相應

的終點時停止運動，設(shè)運動時間為，秒.當△MOC與ACEN全等時，直接寫出，的值.

44.(25-26八年級上?湖北隨州?期末)數(shù)學教材中有這樣一道習題：“如圖1,

ZACB=90°,AC=BC,AD±CEyBEICEf垂足分別為2E,若力。=2.5cm,D￡=1.7cm,求質(zhì)的長.”

在計算時，我們通過證明△4QC絲△CEB,得到一些線段之間n勺數(shù)量關(guān)系，然后進行求解.

圖1

【類比探究】

(1)如圖2,在等腰三角形42。中，ZACB=90°,AC=BC,OK為過點。的直線，AD工DE于D,BEJ.DE

于E,求證：DE=AD+BE；

【拓展應用】

（2）如圖3,在Rt"O8中，408=90。，分別以和08為直角邊作等腰RtZX/必。和等腰Rl^OBC,

連DC交04延長線于點E.猜想力。與"E的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

【知識遷移】

（3）小明在科技創(chuàng)新大賽上創(chuàng)作了一幅機器人圖案，大致圖形如圖4所示，以△//。的48,4C邊向外

作等腰RtAMO和等腰RtZXOE,其中N歷10=NC/1E=90。，.4G是邊8C上的高.延長G/交DE于點H,

若4，=5,/G=12,直接寫出的面積.

等類型十、三角形全等模型之倍長中線

45.（25-26八年級上?陜西商洛?期末）（1）問題提出：小明和小華在一次數(shù)學學習中遇到了以下問題：如圖

①，彳。是△相。的中線，若AB=7,JC=5,求8c長和4。長的取值范圍.他們利用所學知識很快計算

出了8c長的取值范圍為；

（2）方法探究：但是他們怎么也算不出力。長的取值范圍，經(jīng)小組討論后發(fā)現(xiàn)：延長力。至點七.使

DE=AD,連接即，如圖①.可證出△力CQ知所。，利用全等三角形的性質(zhì)可將已知的邊長與力。轉(zhuǎn)化

到力8七中，進而求出4。長的取值范圍，請寫出解答過程；

（3）方法應用：如圖②，在△/IBC中，點E在4c上，且OE=QC,過點E作以口|48,交4D于點F,

且E"=4C.求證：力。平分N8幺C.

圖⑴圖②

46.（25?26八年級上?江西贛州?期末）【發(fā)現(xiàn)問題】數(shù)學活動課上,王老師提出了如下問題:如圖①,

/B=5,AC=3,中線月。的取值范圍是多少？

【探究方法】

（1）第一小組經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：

①延長力。到使得。月=力。；②連接8E,通過三角形全等把48、AC.24。轉(zhuǎn)化在zUBE中；③

利用三角形的三邊關(guān)系可得AE的取值范圍為"-BE〈AE<AB+BE,從而得到AD的取值范圍是」

方法總結(jié)：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣，可以考慮倍長中線構(gòu)造全等三角形.

【問題拓展】

(2)如圖②，OA=OB,OC=OD,/力。B與NC。力互補，連接NC,BD,E是/。的中點，求證:

OE=；BD;

(3)如圖③,在(2)的條件下，若=延長EO交8”于點尸，OF=2,OE=5,求△/OC

的面積.

47.(25-26八年級上?黑龍江哈爾濱?期末)【綜合與探究】數(shù)學興趣小組在學習全等三角形的過程中，對其

中一個問題作如下探究:

(1)【問題背景】“BC

如圖1,△48c中，<B=8,AC=6,4。是中線，則力。的取值范圍是

圖1

(2)【變式思考】

如圖2,“必。中，力。是中線，分別以力以4C為腰在外作等腰必△力8E和等腰

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