人教版七年級數學下冊期末復習專練：二元一次方程組的壓軸題（11大壓軸題型）

專題09二元一次方程組的壓軸題（11大壓軸題型）

真題實戰?百練通關

題型1含參二元一次方程（組）題型7行程問題

題型2整數解問題題型8銷售利潤問題

題型3錯解問題題型9分配問題

題型4同解問題題型10幾何面積問題

題型5新定義問題題型11特殊解問題

題型6方案選擇

考題猜想?高分必團

題型一含參二元一次方程（組）

1.已知J二一2是方程-2mx+5'=3的一組解，則〃?的值為（）

A.2B.2C.5D.11

【答案】C

【分析】本題考查二元一次方程解的定義、解一元一次方程等知識，代入％=1,y=-2得到關于m的

一元一次方程，求解即可得到答案.

【詳解】解：將％=1,y=—2代入方程-2mx+y=3,得：-2m-1+（-2）=3.

解得：m=-1,

故選：C.

2.己知】:I是關于羽V的二元一次方程以一"二3的解，則2a+48的值是（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】B

【分析】把x,y的值代入方程，根據等式的性質變形即可求解.

【詳解】解：根據題意得，a+2b=3,

2x（Q+2b）=3x2=6?

/.2a+4b=6,

故選：B.

【點睛】本題主要考查根據二元一次方程的解求參數，熟練掌握二元一次方程的解的定義是解題的關鍵.

3.小明解得方程組+:二*解為匕:彳，由于不小心上了兩滴墨水剛好遮住了兩個數?和★，則這兩

-y_1v（y_Lu

個數分別為（）

A.10和4B.2和一4C.一2和4D.一2和一4

【答案】B

【分析】把代入3x-y=10，得y=-4,把y=-4,x=2代入3x+y=得13=2.

【詳解】解：把｛：：：，代入3x—y=10,得

6-*=10,

=—4,t'1-y=—4,

把y=-4,%=2代入3%十、=團，得

6+（-4）=0,

0=2,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的解、解二元一次方程組，掌握將解代入原方程組求出有關的

數值是解題關鍵.

4.已知關于小），的方程組匚］的解滿足x+y=5,則出的值為（）

A.|B.2C.3D.5

【答案】B

【分析】首先解方程組，利用k表示出％、y的值，然后代入％+y=5,即可得到?個關于〃的方程，求

得k的值.

x+2y=k-1①

【詳解】解:

2x+y=5k+4②

由②X2-①得3x=9k+9,

解得x=3k+3,

把％=3k+3代入①得3k+3+2y=k—1,

解得y=-k-2.

vx+y=5,

???3/c-3—Zc-2=5,

解得k=2.

故選B.

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組解的定義，以及解二元一次方程組的基本方法.正確解關于工、

y的方程組是關鍵.

題型二整數解問題

5.方程5x+2y=17的正整數解有（）個

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題主要考查方程的特殊解，用一個未知數表示成另一個未知數是解題的關鍵.

把方程化為用一個未知數表示成另一個未知數的形式，再根據小y均為正整數求解即可.

【詳解】解：方程5x+2y=17可化為y=寧，

：x、），均為正整數，

17-5x>0且為2的倍數，

當戈=1時，y=6,

當％=3時，y=l,

二方程5%+2y=17的正整數解為［:，后二；，

故答案為：B.

6.寫出二元一次方程％+2y=11的一個整數解.

【答案】（答案不唯一）

【分析】本題考查了二元一次方程整數解，解題關鍵是理解方程解的意義，選一整數代入求另一個未知

數的整數值.

根據二元一次方程的整數解的定義寫出即可.

【詳解】解：當y=5時，￥+2x5=11,

解得x=l,

???二元一次方程的一個整數解為：［;；（答案不唯一）.

故答案為：及二;（答案不唯一）.

7.當正整數m=時，關于％y的方程組］霽:］：有正整數解.

【答案】1或2/2或1

【分析】本題考杳的是二元一次方程組的正整數解問題，掌握“二元一次方程組的解法”是解本題的關鍵.

利用代入消元法先消去未知數x，求解），，再根據〃，為正整數,x是正整數可得，〃的值，再進行檢驗即可.

【詳解」解：f+myng

［x+l=y@

把②代入①得：x+m（x+1）=5

解得…=^=T+島

???》為正整數，/〃為正整數,

m=1或m=2,

此時y=x+1也為整數,

3

故答案為：1或2.

8.已知關于不、y的方程組有正整數解，則k的值為

【答案】一4或一^或1

【分析】本題主要考查了已知二元一次方程組的解的情況求參數，解一元一次方程等知識點，由％=14-

4y及％、y為正整數得出y=l或2或3是解題的關鍵.

由①可得％=14-4y,由“、？為正整數可得y=1或2或3,進而得出方程組的正整數解，然后代入方程

②即可求出々的值.

x+4y=14①

【詳解】解:

A-y=1-2kz

由①可得：%=14-4y,

??法、y為正整數,

Ay=1或2或3,

.(X=10.(%=6.(%=2

.】/=］火］=2或1=3'

把代入②,得；

9=1-2k,

解得：k=-4：

把好二;代入②，得:

4二1-2匕

解得：k=-l；

把代入②，得：

-1=1-2匕

解得：k=1；

綜上，k的值為-4或一弓或1,

故答案為：一4或一號或1.

題型三錯解問題

9.兩位同學在解方程組甲同學正確地解出j；］：,乙同學因把e抄錯了解得

。，b,c正確的值應為（）

A.a=-3,b=—l,c=—5B.a=l,b=—l,c=-10

C.a=2,b=—4,c=-10D.a=3,b=l,c=-10

4

【答案】C

【分析】本題主要考查了二元?次方程組的錯解問題，解題的關鍵理解題意得出正確的方程組.把甲的

結果代入方程組兩方程中，乙的結果代入第一個方程中，分別求出mb,C的值，即可求出所求.

【詳解】解：把（J;二;代入方程組得｛'二；二;

把C~代入以+by=2得：-3a-2b=2,

聯立得:[解得：]:=2

1-3Q-2b=23=—4

由一c-7=3,得到c=-10,

故選：C.

10.在解關于X,），的方程組二二時甲看錯①中的小解得｛jl，，乙看錯②中的乩解得｛;二工

則。和的正確值應是（）

A.Q=5,b=3B.Q=3,b=3C.Q=3,b=-5D.Q=5,b=-5

【答案】A

【分析】本題主要考杳了二元一次方程組的錯解問題.甲看錯了小則甲的結果滿足②，乙看錯了〃，

則乙的結果滿足①，由此建立關于心〃的方程求解即可.

【詳解】解：根據題意得：:6?=一）解得：

12a-12=-23=3

故選A.

11.小瑩和小亮同時解關于力y的方程組2匕=],小瑩解得正確結果為憑;】，小亮因為抄錯了m,

（.mx—3y=6（y=3

解得錯誤結果為二:，則4a+36+771二.

【答案】3

【分析】本題主要考查二元一次方程組的解,把匕力代入方程組得儼+3：二堂，再把憶一:代

U-J157n—9=6｛2）U-$

入方程組中第一個方程得-3a-3b=3③，聯立①②?,求出a,b,m的值代入計算即可.

【詳解】解:把建代入方程組償t沈科第;二翁

???｛；:二;是方程+hy=2的一組解.

：.-3a-3b=3（3）,

a=3

聯立①②③，并解得b=-4,

m=3

，4a+3b+m=12-12+3=3,

故答案為：3.

12.李明、王超兩位同學同時解方程組｛晨：/二：9，李明解對了，得：｛仁]，王超抄錯了抽，得：

5

卮;二：，則原方程組中Q的逍為.

【答案】-1

【分析】本題主要考查了考查了解二元一次方程組，根據題意可得｛獲?和｛；=二;都定方程g+

by=2的解，據此可得｛H砥二，解方程組即可得到答案.

【詳解】解：???李明、王超兩位同學同時解方程組2李明解對了，得：產力,卜超

抄錯了m,得：&二_：，

.（-2a+3b=2

**l-2a-2b=2'

解得｛m

故答案為：—1.

題型四同解問題

13.關于“，y的方程組｛幻;與；有相同的解，則。+4b_3的值為.

【答案】4

【分析［本題考查了同解方程組，解二元一次方程組，代數式求值，關于％,y的方程組2與

￡；?：7有相同的解，則｛鑾矍1；，解得:膛然后代入黑篙:;噫:丈;,

求出｛W1‘最后代入求解即可，掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】解」.關于X,y的方程組｛第X：；與朦;沈;有相同的解，

位4X”僚常二有相同的解，

由｛翼/黑解得:e：3-

.葉代入爆常:;噫髯:;

解得，器］.

：?ci+4b—3=-1+4x2—3=4,

故答案為：4.

14.若關于X、丁的方程組。二日二和的解相同，則（。+力嚴5的值為.

I。人CvV?~I""人IL/V~~乙

【答案】0

【分析】本題考查了二元一次方程組的解，解答此題的關鍵是根據兩方程組有相同的解得到關于X、y

的方程組，求出x、），的值，再將小），的值代入含。、〃的方程組即可求出。、。的值，即可求出代數式

6

的值.

因為兩個方程組有相同的解?，故只要將兩個方程組中不含有4,8的兩個方程聯立，組成新的方程組,

求出八?和)，的值，再代入含有”,〃的兩個方程中，解關于4力的方程組即可得出〃方的值，代入(。+份2。25

計算即可.

【詳解】解：聯立優；￡二〉

解瞰：i，

得『甘丫6.

(2Q+匕=—2

解%二2，

.,.(a+8)2025=(-2+2)205=0.

故答案為：0.

15.若關于x,y的方程組優:?的解是｛；：:，則關于x,y的方程組｛器二？:齡二2Z:的

(“2%十C2y-C2—1Va2\x刀十D2\y)-C2

解是_____

【答案】｛/二3

【分析】把-)，看作整體，則，二/二4,從而得到方程組的解.

【詳解】根據題意得：「二

(x=s

A(y=-1J

故答案為：

【點睛】本題考查了解二元一次方程組，運用整體思想解二元一次方程組是解題的關鍵.

16.已知，關于羽y的二元一次方程組與方程組東十下：一個有相同的解

\ux十uy——o(cix—oy——4,

(1)求這兩個方程組的相同解：

(2)求(2Q+8)2025的值.

【答案】⑴y二二

(2)1

【分析】本題考查同解方程組.

(1)將兩個方程組中不含參數的兩個一次方程組成新的方程組，求出方程組的解即可；

(2)把兩個含參方程組成方程組，將方程組的解代入，再解方程組求出參數的值，進而求出代數式的

值即可.

7

【詳解】⑴解：由題意得：+5廠二修，

13%-5y=36(2)

①+②得：5x=10,解得：x=2,

把％=2代入①得：4+5y=-26,

解得：y=-6,

原方程組的解為：｛；;二，

???這兩個方程組的解為：｛;;工；

(2)把戶=2代入產iy=_4[2Q+6b=-4

‘九N二一6八八&%+皿=-8?」何?[2b-6a=-8

化簡得：[：+?=一級,

(b-3a=-4@

①x3得：3a+96=-6③，

②+③得：108=-10，解得：b=-1,

把b=-1代入②得：-1-3a=-4,

解得：。=1,

2025

A(2a+b)=(.2x1-1)2025=12025=1

17?已知關于X,y的方程組和常個7有相同的解"

(1)求出它們的相同解；

(2)求(Q+。2。24的值.

【答案】⑴位二3

(2)1

【分析】本題考查解二元一次方程組，代數式求值.

(1)將2%-y=7和x+2y=1聯立方程組求得x,y的值即可：

(2)將(1)中求得%,y的值代入2ax—by=4和a%+2by=7中計算出的值,代入(a+匕尸。?，中即

可.

【詳解】(1)解：???關于x，)，的方程組一七=7和廣：賓有相同的解，

(zax—oy=4｛ax+幺”=7

(2x-y=7(1)

(%4-2y=1@

②x2-①得：2%+4y-(2%-y)=2-7,解得：y=-1.

將y=-1代入②中得：x=3,

?..該方程組的解為｛;二

???相同解為;

(2)解：由(1)得：

8

'將｛j匚11代入2ax—by=4和ax+2by-7中得：

6a+b=4①

3a-Zb=7②’

①x2+②得：12a+2b+3a-26=8+7,即：a=1,

將a=1代入①中得：6+b=4,即：b=-2,

/.(a+8)2。24=(1-2)2024=1.

題型五新定義運問題

18.定義:二元一次方程y=ax+力與二元一次方程y=bx+a互為"反對稱二元一次方程如二元一次方

程y=2x+1與二元一次方程y=x+2互為“反對稱二元一次方程”.

(1)直接寫出二元一次方程y=4x-1的“反對稱二元一次方程”：

(2)二元一次方程y=3%+5的解弋，又是它的“反對稱二元一次方程”的解，求出〃?，〃的值.

【答案】【小題l】y=-x+4【小題2】m=l,n=8.

【分析】(1)本題考查對題干中“反對稱二元一次方程”的理解，理解概念即可解題.

(2)本題考查對題干中“反對稱二元一次方程”的理解和解二元?次方程，根據概率得出》=3%+5的

“反對稱二元一次方程“，再將加，〃代入這兩個二元一次方程求解，即可解題.

【詳解】(1)解：由題知，二元一次方程y=4無一1的“反對稱二元一次方程”是y=T+4,

故答案為：y=-x+4.

(2)解：二元一次方程y=3%+5的“反對稱二元一次方程”是y=5x+3,

又二元一次方程y=3x+5的解，又是它的“反對稱二元一次方程”的解，

.??配『，解得產=,

15m+3=nIn=8

/.m=1?n=8.

19.定義：若代數式P(x)滿足P(a)=kP(b),其中女為非零常數，則稱x=Q是關于x=6的k級平衡數系.例

如：對于代數式PQ)=2%+1,當％=2時P⑵=5,當％=0時P(0)=1,滿足P⑵=5P(0),則稱％=2

是關于％=0的5級平衡數系.

(1)若P(x)=77i/-8%+工0),且％=3是關于x=1的9級平衡數系，求〃的值.

(2)若P(x)=2x2+mx-n,且％=4是關于％=1的3級平衡數系，其中m-n=10,求in,n的值.

【答案】(l)n=6

(2)m=—2,n=-12

【分析】本題考查新定義，解二元一次方程組，熟練掌握新定義，是解題的關鍵：

(1)根據新定義，列出方程進行求解即可：

(2)根據新定義，列出方程組進行求解即可.

9

【詳解】(1)解：由題意，得：32m—8x3+n=9m—8x9+9n,

解得:n=6；

(2)由題意，得：2x42+4m-〃=3x2xl2+3m-l-3〃，

整理，得：m+2n=26,

乂m—n=10,

聯立｛m+2n=*解得:fm=-2

lm—九=10m=-12

.*.m=-2,n=-12.

題型六方案選擇

20.毓秀學校在“讀書FT期間購進了一?批圖書，需要用大小兩種規格的紙箱來裝運.3個大紙箱和2個小紙箱

一次可以裝130本書，2個大紙箱和3個小紙箱一次可以裝120本書.

（1）一個大紙箱和一個小紙箱一次分別可以裝多少本書？

（2）如果一共購進100本書，每個紙箱恰好裝滿，且兩種規格的紙箱都有，分別需要用多少個大、小紙

箱？

【答案】（1）一個大紙箱可以裝30本書，一個小紙箱可以裝20本書

（2）需要2個大紙箱、2個小紙箱

【分析】本題考查了二元?次方程組的應用以及二元?次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量

關系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關系，正確列出二元一次方程.

（1）設一個大紙箱可以裝x本書，一個小紙箱可以裝了本書，根據“3個大紙箱和2個小紙箱一次可以

裝130木書，2個大紙箱和3個小紙箱一次可以裝120木書”，即可得出關于x?，的二元一次方程組，解

之即可得出結論；

（2）設需要用〃?個大紙箱，〃個小紙箱，根據這些紙箱共裝100本書，即可得出關于，〃，〃的二元一

次方程，結合加，〃均為正整數，即可得出結論.

【詳解】（1）解：設?個大紙箱可以裝％本書，?個小紙箱可以裝y本書，

依題意得:既沈膘，

解得:g：20-

答：一個大紙箱可以裝30本書，一個小紙箱可以裝20本書.

（2）解：設需要用m個大紙箱，幾個小紙箱，

依題意得：30m+20n=100,

L3

/.n=5——2m.

又???兩種規格的紙箱都有,

10

??.7n,n均為正整數，

二產=2

In=2

答：需要2個大紙箱、2個小紙箱.

21.某運輸公司現有190噸物資器要運往外地，擬安排A、3兩種貨車將全部貨物?次運完（兩種貨車均滿

載），已知A、4兩種貨車近期的三次運輸記錄，如下表：

A貨車（輛）B貨車（輛）物資（噸）

第一次128360

第二次1812■

（1）表格中被污漬蓋住的數是.

⑵第三次運輸安排了5輛A貨車，4輛8貨車，運輸物資共160噸.清問4、8兩種貨車每輛每次分別

可以運送物資多少噸？

（3）請你通過計算說明所有可行的運輸方案.

【答案】（1）540

（2）A貨車每輛每次可以運送物資20噸，8貨車每輛每次可以運送物資15噸

⑶共有3種可行的運輸方案：方案1：使用2輛A貨車，10輛B貨車；方案2：使用5輛A貨車，6

輛B貨車；方案3：使用8輛A貨車，2輛B貨車

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元

一次方程組（或二元一次方程）是解題的關鍵.

（1）根據第一、二次A,6兩種貨車使用數量比例相同，即可求出第二次運算防疫物資的質量；

（2）設A貨車每輛每次可以運送物資x噸，8貨車每輛每次可以運送物資3，噸，根據第一、三次運輸

記錄的數據，列出二元一次方程組，解之即可得出結論；

（3）設使用，〃輛A貨車，〃輛8貨車，根據要一次運輸190噸防疫物資且每輛貨車均滿載，列出二元

一次方程，求出自然數解，即可得出各運輸方案.

【詳解】（1）解：:12:8=18:12,

???表格中被污漬蓋住的數是360x居=540（噸），

故答案為：540.

（2）解：設A貨車每輛每次可以運送物資x噸，8貨車每輛每次可以運送物資），噸,

依題意得:管君二湍

解得:{;工

智；A貨車每輛每次可以運送物資20噸，8貨車每輛每次可以運送物資15噸.

（3）解：設使用用輛A貨車，〃輛8貨車，

II

依題意得：20m+15n=190,

整理得：九=受絲，

3

又?，小〃均為自然數，

???共有3種可行的運輸方案：

方案1：使用2輛A貨車，10輛8貨車；

方案2：使用5輛A貨車，6輛4貨車；

方案3：使用8輛A貨車，2輛8貨車.

22.某班同學計劃暑假參加“非遺，’專承，研學之旅”活動，已知該活動有畫糖人和剪紙兩個體驗節目，據了解

體驗2次畫糖人的費用比1次剪紙的費用多10元，體驗4次畫糖人的費用和3次剪紙的費用相同.考

慮場地和安全原因，兩個體驗節忖都要有同學參加，旦體驗畫糖人的總次數要超過剪紙總次數的3倍.

（1）請分別求出畫糖人和剪紙的體驗單價；

（2）請你設計?種總費用為600元的活動方案.

【答案】（1）畫糖人的體驗單價是15元，剪紙的體驗單價是20元

（2）畫糖人28次，剪紙9次；畫糖人32次，剪紙6次；畫糖人36次，剪紙3次

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用、不等式的應用和二元一次方程的整數解問題，正確理解

題意是關鍵；

（1）設畫糖人的體驗單價是x元，剪紙的體驗單價是丁元，根據題意列出方程組求解即可；

（2）設畫糖人體驗。次，剪紙體驗〃次，根據題意可得：15a+206=600,即3a+4b=120,然后

結合體驗畫糖人的總次數要超過剪紙總次數的3倍，可得關于b的不等式，求出力的范用后再結合

力為正整數，Q=若竺=40-：從。是3的倍數即可解答.

【詳解】（1）解：設畫糖人的體驗單價是x元，剪紙的體驗單價是），元，

根據題意可得：fl；］；；。，

解得:g：20-

答：畫糖人的體驗單價是15元，剪紙的體驗單價是20元；

（2）解：設畫糖人體驗〃次，剪紙體驗人次，根據題意可得：15a+206=600,

即3Q+4b=120,

???體驗畫糖人的總次數要超過剪紙總次數的3倍，即Q>3b,

.??9b+4bV120,即bv詈，

??&A為正整數，。=若竺=40_gb,〃是3的倍數，

12

：.b=3,6,9,相應的a=36,32,28,

綜上：總費用為600元的活動方案可以是：畫糖人28次，剪紙9次；畫糖人32次，剪紙6次；畫糖

人36次，剪紙3次.

23.已知用2輛4型車和1輛8型車裝滿貨物一次可運貨10噸；用1輛4型車和2輛8型車裝滿貨物一次可運貨11

噸，某物流公司現有31噸貨物，計劃同時租用4型車m輛，B型車九輛，一次運完，且恰好每輛車都裝滿

貨物.根據以上信息，解答下列問題：

(1)一輛A型車和一輛B型車裝滿貨物一次可分別運貨多少噸？

(2)請你幫物流公司設計出所有可行的租車方案.

【答案】(1)1輛4型車裝滿貨物一次可運3噸，1輛8型車裝滿貨物一次可運4噸

(2)方案一：4型車9輛，8型車1輛：方案二：4型車5輛，B型車4輛：方案三：4型車1輛，8型車7輛

【分析】本題主要考查了二元一次方程組和二元一次方程的實際應用，熟練掌握二元一次方程組的實

際應用是解題的關鍵.

⑴根據“用2輛4型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運貨10噸”“用1輛A型車和2輛8型車裝滿貨物一次可

運貨11噸“，分別得出等式方程，組成方程組求出即可；

(2)由題意理解出：3m+4n=31,解此二元?次方程，求出其整數解，得到三種租車方案.

【詳解】(1)解：設每輛A型車、8型車都裝滿貨物一次可以分別運貨％噸、y噸，

依題意列方程組得：

(2x+y=10

(x+2y=11'

解得：g：4.

答：1輛4型車裝滿貨物一次可運3噸，1輛B型車裝滿貨物一次可運4噸.

(2)解：結合題意和(I)得：3m+4〃=31,

?31-4n

..m=------,

3

???m、"都是正整數，

?鄧:;或:或耳:;

答：有3種租車方案：方案-：4型軍9輛，8型車1輛；方案二：4型車5輛，8型軍4輛；方案三：A型

車1輛，8型車7輛.

題型七行程問題

24.男、女運動員各一名在環形跑道上練習長跑，男運動員比女運動員速度快，他們從同一起點沿相反方

向同時出發，每隔25s相遇一次.現在他們從同一起跑點沿相同方向同時出發，經過15min男運動員

追上女運動員，并且比女運動員多跑4圈.求：

(I)男運動員的速度是女運動員的多少倍？

13

(2)男運動員追上女運動員時，女運動員跑了多少圈？

【答案】⑴1.25

(2)16

【分析】本題考查分式方程、一元一次方程的應用.解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的

條件，找出合適的等量關系，列出方程組，再求解.本題要注意追及問題和相遇問題不同的求解方法

及時間相同，路程比等于速度比.

(1)設男運動員的速度是V米/秒，女運動員的速度是V米/秒.環形跑道的周長為s米，由等量關系列山

方程組，即可得解；

(2)由(1)知男運動員的速度是女運動員速度的1.25倍，可設女運動員跑了工圈，那么男運動員跑了

(%+4)圈，利用男運動員追二女運動員時多跑4圈，由等量關系列出方程組，即可得解.

【詳解】(I)解：(I)設男運動員的速度是丹米/秒，女運動員的速度是切米/秒，環形跑道的周長為

25(%+v2)-

由題意，得25(%+v2)=寫絲x(女一v2),

解得Vi=1.25%,

???男運動員的速度是女運動員的1.25倍.

(2)設女運動員跑了工圈，那么男運動員跑了Q+4)圈，

根據題意，得%+X+4=竺轡，

解得％=16.

???男運動員追.上女運動員時，女運動員跑了16圈.

25.某同學從甲地騎自行車出發去乙地，他先以8千米/時的速度走平路，而后又以41米/時的速度上坡到

達乙地，共用了1.5小時，返回時，先以12千米/時的速度下坡，而后以9千米/時的速度走平路，回到

甲地，共用去55分鐘，求從甲地到乙地路程是多少千米？

【答案】9千米

【分析】本題考查了二元一次方程組的實際應用，先設平路為x千米，坡路為y千米，依題意，列式

仔+』-5

1：55,再解方程，即可作答.

5+后=益

【詳解】解：設平路為-米，坡路為yT-米，根據題意得：

Xy

-4-7=1.5

84

%y55

.9+12=60

x=6

解得

y=3

故％+y=6+3=9（F米）.

14

答：從甲到乙的路程是9千米.

題型八銷售利潤問題

26.某科研團隊對兩款仿生機器人4,B進行步行性能測試，計劃讓一臺A型機器人和一臺8型機器人共同

完成步行接力任務，A型機器人走一段路程后立即由8型機器人接著走.在接力測試中發現：A型機器

人走10步，接著8型機器人走8步，共需要14秒；A型機器人走15步，接著5型機器人走20步，共

需要27秒.

（1）求A型機器人和8型機器人走一步各需要多少秒？

（2）已知A型機器人的單步步長為75厘米，B型機器人的單步步長為65厘米，在一次接力測試中，一

臺A型機器人和一臺B型機器人需共同完成一段30米的接力任務，每臺機器人的總步數均為整數，求

完成這次接力任務的時間可能是多少秒？

【答案】（1）A型機器人走一步需要0.8秒，8型機器人走一步需要0.75秒；

（2）完成接力任務的時間可能為32.85秒,33.7秒,34.55秒.

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，二元一次方程的應用.

（1）設4型機器人走一步需要。秒，B型機器人走一步需要8秒，根據題意列方程組求解即可；

（2）設A型機器人走了機步，B型機器人走了〃步根據題意列出二元一次方程，求出所有符合條件的

情況即可.

【詳解】（1）解：設A型機器人走一步需要〃秒，8型機器人走一步需要〃秒

由題意可得"

115a4-20b=27

解得晨二挽

答:4型機器人走一步需要08秒，8型機器人走一步需要0.75秒；

（2）設4型機器人走了機步，8型機器人走了〃步

由題意可得757n+65n=3000

13

m=40--n

15

因為〃?、〃為正整數，〃為15的整數倍，

（m=27（m=14fm=1

tn=15tn=30tn=45

當｛:二時'完成接力任務的時間為27x0.8+15x0.75=32.85（秒）

當｛彳二;;時，完成接力任務的時間為14X0.8+30X0.75=33.7（秒）

當=A時，完成接力任務的時間為1x0.8+45x0.75=34.55（秒）

答：完成接力任務的時間可能為32.85秒，33.7秒，34.55秒.

27.2025年10月31FI,神舟二十一號載人飛船發射取得圓滿成功.某航天模型銷售店看準商機，準備推

15

出“天宮”和“嫦娥”兩種模型.已知1個“天宮”模型和4個，嫦娥”模型的進價共1750元；4個“天宮”模型

和3個“嫦娥”模型的進價共3100元.求每個“天宮”和“嫦娥”模型的進價各為多少元？

【答案】每個“天宮”模型的進價為550元，每個“嫦娥”模型的進價為300元

【分析】本題主要考查了二元一次方程組，設每個“人宮”模型的進價為n元，每個“嫦娥”模型的進價為y

元，根據題意列出關于-y的二元一次方程組求解即可得出答案.

【詳解】解：設每個“天宮”模型的進價為K元，每個“嫦娥”模型的進價為y元，

由題意獻事累累。

解得北二黑

答：每個“天宮”模型的進價為550元，每個“嫦娥”模型的進價為300元.

28.期中考試后，八年一班張老師對在期中考試中取得優異成績的同學進行表彰.她到商場購買了甲、乙

兩種筆記本作為獎品，已知若購買甲種筆記本10個，乙種筆記本20個需花費200元；若購買甲種筆

記本20個，乙種筆記本10個則需花費250元.

(1)求購買一個甲種、一個乙種筆記本各需多少元？

(2)兩種筆記本均受到了獲獎同學的喜愛，張老師決定在期末考試后再次購買兩種筆記本共35個，正好

趕上商場對商品價格進行調整，甲種筆記本售價比上一次購買時降價2元，乙種筆記本按上一次購買

時售價的8折出售.如果張老師此次購買甲、乙兩種筆記本的總費用不超過225元，則至多需要購買

多少個甲種筆記本？

【答案】(1)購買一本甲種筆記本10元，一本乙種筆記本5元：

(2)至多需要購買21個甲種筆記本.

【分析】本題考杳了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，根據題意，列出二元一次方程

組和一元一次不等式是解題的關鍵.

(1)設購買一本甲種筆記本發元，一本乙種筆記本y元，根據題意，列出方程組，解方程組即可求解；

(2)設需要購買根本甲種筆記本，根據題意，列出不等式，解不等式即可求解；

【詳解】(1)解：設購買一本甲種筆記本4元，一本乙種筆記本)，元，

根據題意，得以：鑿：瑞

解得憂？

答：購買一本甲種筆記本10元，一本乙種筆記本5元；

(2)解:設需要購買m本甲種筆記本,

根據題意,得(10-2)?n+5x0.8(35-m)W225,

解得mW2。，

4

???”為整數,

16

???，〃的最大整數解為21,

答：至多需要購買21個甲種筆記本.

29.學校要購買力、8兩種品牌的足球，若買2個力品牌足球和3個B品牌足球，需要花費600元；若買1個小晶

牌足球和4個B品牌足球，則需要花費550元.

（1）求小8兩種品牌的足球的銷售單價；

（2）學校擬購買4、B兩種品牌的足球共20個，某體育用品商店給出以下兩種優惠方案：

方案1：所購買的商品一律打九折；

方案2：若購物總價超過1500元，超過1500元部分的支付金額打七折.

①若學校購買小品牌足球6個，B品牌足球14個時，則按“方案「需要花費元，按“方案2”需要花

費元.

②若學校購買的這20個足球中A品牌的足球有a個，且按照“方案1”支付比按照“方案2”支付的花費更少

時，求最多可以買幾個/品牌的足球.

【答案】（1）4品牌足球的銷售單價是150元，B品牌足球的銷售單價是100元；

⑵①2070,2060；②最多可以買4個4品牌的足球.

【分析】（1）設4品牌足球的銷售單價是％元，B品牌足球的銷售單價是y元，根據“買2個4品牌足球和

3個B品牌足球，需要花費600元；買1個小品牌足球和4個B品牌足球，需要花費550元”，可列出關于，

y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

（2）①利用"總價=單價X數量”，結合商店給出的兩種優惠方案，即可求出選擇各方案所需費用；②根

據按照“方案1”支付比按照“方案2”支付的花費更少，可列出關于a的一元一次不等式，解之可得出a的

取值范圍，再取其中的最大整數值，即可得出結論.

【詳解】（1）解：設力品牌足球的銷售單價是n元，B品牌足球的銷售單價是y元，

根據題意得：｛2口）：,

解得:憂濡

答：A品牌足球的銷售單價是150元，8品牌足球的銷售單價是100元；

（2）①根據題意得：按“方案廠需要花費150x0.9x6+100x0.9x14=2070（元）：

按“方案2”需要花費1500+（150x6+100x14-1500）X0.7=2060（元）.

故答案為：2070,2060：

②根據題意得：150x0.9a+100x0.9（20-a）<1500+[150a+100（20-a）-1500]x0.7,

解得：a<5,

又為非負整數，

???Q的最大值為4.

答：最多可以買4個4品牌的足球.

17

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用以及有理數的混合運算，解題的

關鍵是：（I）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）①根據各數最之間的關系，求出選擇

各方案所需費用；②根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式.

30.近年來，中國低空經濟發展迅速，成為經濟增長的新動能.2024年某外賣公司在八達嶺長城開通了北

京首條無人機配送航線，為降落點附近的游客提供應急救援等商品貨物配送服務.某商店在無促銷活

動時，若買5件A商品，8件8商品，共需要2400元；若買8件4商品，5件8商品，共需2280元.

（1）求該商店在無促銷活動時A,8商品的銷售單價分別是多少元？

（2）為鼓勵游客使用無人機配送服務，該商店現開展促俏活動，有兩種方案.

方案一：若消費者用250元購買無人機配送服務卡，凡購買店內任何商品，一律按標價的七五折出售；

方案二：若消費者不使用無人機配送服務，凡購買店內任何商品，一律按照標價的八折出售.

某科技公司計劃在促銷期間購買48兩款商品共30件，其中A商品購買。件（0VQ<30）.求當。

在什么范圍內時，選用無人機配送服務更合算？

【答案】⑴該商店在無促銷活動時A商品的銷售單價是160元，B商品的銷售單價是200元；

（2）當0<aV25時，選用無人機配送服務更合算

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等

量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式.

（1）設該商店在無促銷活動時A商品的銷售單價是工元，4商品的銷售單價是），元，根據“某商店在無

促銷活動時，買5件A商品，3件8商品，共需要2400元；買8件人商品，5件B商品，共需2280元”，

可列出關于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

（2）根據選用無人機配送服務更合算，可列出關于〃的一元一次不等式，解之可得出。的取值范圍，

再結合0<aV30,即可確定結論.

【詳解】（1）解：設該商店在無促銷活動時A商品的銷售單價是x元，8商品的銷售單價是3，元，

根據題意得:膘詈二霽.

解得:=2oJ-

答：該商店在無促銷活動時A商品的銷售單價是160元，8商品的銷售單價是200元：

（2）解：根據題意得：250+160x0.75a+200x0.75（30-a）<160x0.8。+200x0.8（30-a）,

解得：a<25,

又<a<30,

0<a<25.

答：當0<av25時，選用無人機配送服務更合算.

31.為更好地滿足學生在暑假期間的閱讀需求，某書店在暑假前投入90000元資金購進甲、乙兩種圖書共

1000套，這兩種圖書的進價和標價如下表所示：