一元二次函數、方程和不等式 全章綜合測試卷（提高篇）-人教A版高中數學必修第一冊（解析版）

第二章一元二次函數、方程和不等式全章綜合測試卷（提高篇）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）（23-24高一上.山東青島.期中）下列命題為假命題的是（）

A.若a>b>0,貝llac?>be2B.若Q<b<0,則a2>ab>b2

C.若Q>8>0且c<0,則春D.若a>b且>，則ab<0

【解題思路】對于A：舉例分析判斷；對于BC：根據不等式的性質分析判斷；對于D：根據不等式的性質

結合作差法分析判斷.

【解答過程】對于選項A：例如c=0,則ac2=bc2=0,故A為假命題；

對于選項B：若aVbV0,Ma2>ab,ab>b2,即標>。匕>62,故B為真命題：

對于詵項C：若a>b>0,則a?>匕2>0,可得會.<白，

azbz

因為CV0,所以城>表，故C為真命題；

對于選項D：因為工>；,則工一：=哼>0,

ababab

又因為Q>b,則b—QVO,可得ab<0,故D為真命題；

故選:A.

2.（5分）（23-24高一上.山東蒲澤.階段練習）己知一1Mx+y<1,1<x-y<3,貝lj3x-2y的取值范

圍是（）

A.2<3x-2y<8B.3<3x—2y<8

C.2<3x-2y<7D.5<3x-2y<10

【解題思路】設3%—2y=7n（x+y）-n（%-y）=（7n-n）x+（m+n）y,利用待定系數法求得m,n,利用

不等式的性質即可求3x-2y的取值范圍.

（解答過程】設3x-2y=m（x+y）-n（x-y）=（m-n）x+（m十n）y,

'_1

所以｛工?二］2'解得二V即可得3%—2y=*x+y）+/—y）,

、2

因為-lW%+yWl,1<x—y<3?

所以2W3x-2y=1（x4-y）+|（x-y）<8,

故選：A.

3.(5分)(23-24高二上.山東濰坊?階段練習)已知正實數a,匕滿足Q+b=l,則竺之十竺三的最小值為

ab

()

A.10B.11C.13D.21

【解題思路】利用"乘1法''與基本不等式的性質即可得出.

【解答過程】解：正實數a,b滿足a+6=1,

17|.|202+12b2+4c,.1.4

則-----F—■—=2a+o2b+-+:，

abab

=2+(/I2+/4\(,a+b)、

=7+-4-y^>74-2I--=7+4=11,

ab7ab

即：生J竺包“1,

ab

當H僅當2=答|=|以+匕=1,即b==；時取等號，

ab33

所以至把+等的最小值為IL

ab

故選：B.

4.(5分)(23-24高一下.湖南?期末)己知函數/(x)=x2+bx+c(b,c6R),若不等式/(幻<3x-2的解

集為(0,4),則不等式一N0的解集為()

A.[-1,0)U(0,2]B.(-oo,-2]u(0,l]

C.[—1,0)U[2,+oo)D.(—oo,—l)u[2,4-oo)

【解題思路】根據一元二次不等式和一元二次方程的關系結合韋達定理即可求出，;二；，再分類得到不等

式組，解出即可.

【解答過程】???不等式/(為<3x-2的解集為(0,4),

x2+(b-3)x+c+2=0的兩實數根分別為％=0和義=4,

???，+4二3綾+2=。，解得｛：：二卜

f(x)=(x+l)(x-2),令/(%)>0,解得%>2或C<-1,

則/(%)<0,解得一1Wx工2,

由做NO,

X

可得｛點"0或Lo'即1>lix<-1^｛-1<1°<2'

則所求解集為[-1,0）“2,+8）.

故選：C.

5.（5分）（23-24高一上?河南鄭州?階段練習）某品牌手機為了打開市場，促進銷售，準備對其特定型號

的產品降價，有四種降價方案：①先降價a%,再降價b%：②先降價（一）％,再降價a%；③先降價（?）％,

再降價（早）％：④一次性降價（a+b）%.其中a>b,則最終降價幅度最小的方案是（）

A.①B.②C.③D.@

【解題思路】設原價為I,求出匹種降價方案的價格，再比較大小可得答案.

【解答過程】設原價為1,

對于①，降價后的價格為：（1一。%）（1-力%）,

對于②，降價后的價格為：—e券）％]（1—Q%）,

對于③，降價后的價格為：[i一（等）％『，

對于④，降價后的價格為：一次性降價l—（a+8）%.

（1-a%）（l-6%）=1-（a+d）%+a%b%>!一（Q+b）%,所以①〉④，

因為Q>b,所以

（1-a%）（l-b%）<（j%；=[1一（早）％『，所以①<@

因為所以（等）%>（等）％,1-（等）％<1-（等）％,

2

[1-（^）%]（1-a%）<[1-%]>所以②〈③，

則最終降價幅度最小的方案是③.

故選:C.

6.（5分）（23-24高一上?安徽馬鞍山?期末）已知對一切xE[2,3],yE[3,6],不等式7n/一孫+y220恒

成立，則實數血的取值范圍是（）

A.m<6B.—6<m<0

C.m>0D.0<m<6

【解題思路】令￡=3分析可得原題意等價于對一切3],mzt-d恒成立，根據恒成立問題結合二

次函數的性質分析運算.

【解答過程】??"6[2,3],ye[3,6],貝嚀

G[1,3],

X*.*mx2—xy+y2>0,且工€[2,3],x2>0,

可得

令￡=7W[1,3],則原題意等價于對一切tW[1,3],血之亡一“恒成立，

??)=￡—￡?的開口向下，對稱軸t=；,

則當t=1時，y=t-產取到最大值j^ax=1-/=(),

故實數m的取值范圍是m>0.

故選：C.

7.(5分)(23?24高一上.重慶沙坪壩.期末)關于x的不等式(ax-1)2</恰有2個整數解，則實數。的

取值范圍是()

【解題思路】由已知及一元二次不等式的性質可得(a+1)9-1)>0,討論a結合原不等式整數解的個數

求a的范圍，

【解答過程】由(a%-I)2</恰有2個整數解，即Ka+1)%-l][(a-l)x-1]<0恰有2個整數解，

所以(a+l)(a-1)>0,解得a>l或av-l,

①當a>1時，不等式解集為(六，三)，因為六￡(°弓)，故2個整數解為1和2,

則2V<3,即2a—2<1<3a—3,解得:<a<

②當QV—1時，不等式解集為(止7，￡彳)，因為三i"￡(—表0)‘故2個整數解為—1,—2,

則-3<<—2,即-2(a+1)<1<-3(G+1),解得一g<G<—p

綜上所述，實數a的取值范圍為一：<Q4一爭身Wa<|.

故選：B.

8.(5分)(23-24高一上?甘肅蘭州?期末)對任意實數％>1,y不等式小丁+w吟恒成立，

/2a2(2y-l)a2(x-l)

則實數Q的最大值()

A.2R.4C.學D.2>/2

【解題思路】

首先不等式變形為M4工+/恒成立，再利用兩次基本不等式求￡=工+宅的最小值，即可求解a的

2y-lx-12y-lx-1

取值.

【解答過程】不等式+/八恒成立，可轉化為

a2(2y-l)a2(x-l)

a2Wx+”恒成立，其中％>l,y>|?

2y-1x-1J2

令￡=犬+更=a-l)2+2(x-l)+l+(2y-l)2+2(2y-l)+l,

2y-lx-12y-lx-1

>2慳-1)2+28-1)+1(2y-l)2+2(2y-l)7

-J2y-lx-1

=2J[(x-1)+￡+2][(2y-1)++2]>2j(2+2)(2+2)=8,

第二次使用基本不等式，等號成立的條件是％-1=且2y-1=士，

x-1J2y-l

得x=2且y=L此時第一次使用基本不等式a—D72,T)+i=3-1)2+2段-1)+1,說明兩次基本不等式能同

/2y-lx-1

時取得,

所以二+空的最小值為8,

2y-lx-1

即M<8,則一2魚<a<2V2,

所以實數a的最大值為2四.

故選：D.

二.多選題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

9.(5分)(23-24高一上?江蘇無錫?期末)十六世紀中葉，英國數學教育家雷科德在《礪智石》一書中首

先把"="作為等號使用，后來英國數學家哈里奧特首次使用“V”和符號，并逐漸被數學界接受，不等號的

引入對不等式的發展影響深遠.下列關于不等式的命題，正確的是()

A.如果a>b,c<d,那么Q-c>b—d

B.如果Q>b>0,那么我>—

C.若一1VQ<5,2<b<3,則一2Vah<15

D.如果Q>b>0,cvd<0,evO,那么—>—

a-cb-d

【解題思路】根據不等式的性質逐個選項推導即可.

【解答過程】對A,如果a>b,cVd,M-c>-d,那么a—c>b—d,故A正確;

對B,如果a>b>0,那么則0〈白〈白，故B錯誤；

aba2b2

對C,若一lVa<5,2<b<3,則一3VabV15,故C錯誤；

對D,如果a>b>0,c<dV0,e<0,則一c>-d>0,故Q-c>b-d>0,

則」—>-￡-,故D正確；

a-cb-da-cb-d

故選：AD.

10.（5分）（23-24高一上?陜西西安,期中）已知關「％的不等式ax?++c>0的解集為｛x|無<一3或%>4],

則以下選項正確的有（）

A.a>0

B.不等式匕x+c>0的解集為｛x|xV-12｝

C.a+b+c>0

D.不等式ex2—hx+a<0的解集為｛x[x<—3或x>

【解題思路】求得。的取值范圍判斷選項A；求得不等式bx+c>0的解集判斷選項B；求得Q+b+c的取

值范圍判斷選項C；求得不等式cd-"+a<0的解集判斷選項D.

【解答過程】關于x的不等式a/^-bx+c>0的解集為<一3或x>4｝,

則=—3和上=4是方程a/+bx+c=0的二根，且Q>0

（-3+4=_-a>0

則，a>0?解之得b=-a,

-3x4=-（C=-12a

Va

rhoo,可得選項A判斷正確；

選項B：不等式以4-c>0可化為f。、八，

解之得力<-12,則不等式bx+c>0解集為卜|文<一12｝.判斷正確；

選項C：a+b+c=a-a-12a=-12a<0,判斷錯誤；

選項D：不等式c/-匕工+Q<0可化為一12Q/+QX+Qv0,

即12爐一“一1>0,解之得｛x|xv或x>?｝.

則不等式c/一.+Qv0的解集為｛小V-；或x>）判斷正確.

故選:ABD.

11.（5分）（23-24高一上?安徽安慶?階段練習）已知a>0,b>0,ab+2（a+b）=14,則下列正確的是（）

A.ab的最大值為11-6&B.二的最小值為0

C.(a+l)b最大值為8D.2a+b的最大值為6

【解題思路】根據基本不等式對選項進行分析，從而確定正確答案.

【解答過程】依題意，a>0,b>O,ab+2(a4-b)=14,

A選項，ab+2(a+b)=14>ab+2x2y/ab,

2

(Vad)+4Vad-14<0,解得0V加工一2+3或，

當且僅當匕+2=",即°=k-2+3/時等號成立,

2

所以0<。/)工(一2+3魚)=22-12V2,所以A選項錯誤.

B選項，ab+2(a+b)=14,ab+4+2(a+b)=(a+2)(8+2)=18,

33a+2+b+21

=3x-----——----=：(a+2+b+2)

Q+2b+2(Q+2)(/?+2)6、

>^x2J(a+2)?(b+2)=x718=V2,

當且僅當Q+2=b+2,Q=匕=-2+3注時等號成立，所以B選項正確.

2

D選項，14=ab+2(a+b)=1/>(2a+2)+b4-2a<+b+2a,

整理得(b+2a尸+12(8+2a)-108>0,(b+2a+18)(8+2tz-6)>0,ft+2a>6,

當且僅當b=2a+2=4時等號成立，所以D選項錯誤.

C選項，14=。匕+2(a+b)=aA+b+2Q+b=b(a+1)+2a+匕，

由D選項的分析可知：b(a+1)=14-(2a+b)<14-6=8,所以C選項正確.

故選：BC.

12.(5分)(23-24高一上.安徽蕪湖.期末)已知關于」的不等式研--1)(X+3)+2>0的解集是(X1，必)，

其中與<%2,則下列結論中正確的是()

A.xr+x2+2=0B.-3</<%2<1

C.|Xj—x2|>4D.Xi%2+3<0

+%2=-2

【解題思路】由一元二次不等式的解集可得｛yy_2&j0判斷人、D,再將題設轉化為

%1%2—展—J<U

l)(x+3)>-2,結合二次函數的性質，應用數形結合的方法判斷B、C.

【解答過程】由題設，a(x-1)(%+3)+2=a/+2ax-3a+2>0的解集為(%1，%2)，

+必=-2

???a<0,貝式2“八，

%1%2=--3<0

4-x2+2=0,xxx24-3=^<0,則A、D正確；

原不等式可化為/'（%）=a（x-l）（r+3）>一2的解集為（乙,32），而f（%）的零點分別為-3,1且開口向下,又

%i<%2?如下圖示，

???由圖知：/V-3VlV0，%—％2l>4,故B錯誤，C正確.

故選：ACD.

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）（23-24高三下.浙江.階段練習）若Q>0,b>0,則min{ab,島應}的最大值是一—.（其中min{a,b}

表示4,中的較小值）

【解題思路】先證明min{ab,葭5應}<5再說明當a=1,b=：時min{g/《正}=:

【解答過程】min[ab,f}=府西焉?Jmin{ab,f}<隨?忌]=皈?

I-----7~~~—=--

■\J（a-2b）2+4ab74ab2

當a=l,b=決寸,min{ab,$}=min《t}=/

所以min{a瓦高赤}的最大值是g.

故答案為:

14.（5分）（23?24高一上?山西運城?期末）已知正實數a"滿足a+26+5=協，且不等式端之缶接恒

成立，則實數加的取值范圍是一次之一18.

【解題思路】分離參數得小”仔+?）（20+6）恒成立，即m*-G+3（2a+b）Lx，然后結合基本不

等式求解即可.

【解答過程】因為正實數小〃滿足a+26+5=^

所以THN（］。一2山）（2。+匕）=_（2"W3+?）=_（a++切,

a+2b+5ab\baJ

因為仔+￡）（2a+b）=y+2+84-y>10+218,

當且僅當千=竺，即Q=b=N”時取等號，

ba2

所以-G+T）（2a+b）<-18,

所以不等式義工—怒恒成立，只需加之-18即可.

故答案為：m>-18.

15.（5分）（23?24高一上?廣東東莞?期末）某公園設計了一座八邊形的綠化花園，它的主體造型平面圖（如

圖2）是由兩個相同的矩形43C。和EFG”構成的面枳為80m2的十字型區域，計劃在正方形MNPQ上建一

座花壇，造價為99元/nA在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為8元/nA在四個矩形（圖中

陰影部分）上不做任何設計.設總造價為S（單位：元），A。長為x（單位：m）,則綠化花園總造價S的

最小值為1440元.

【解題思路】設DQ長為ym,則4xy+x2=80,求出y,再結合各個區域的造價求得S,利用基本不等式

可得最值.

【解答過程】設DQ長為ym,則4xy+x2=80,

即20_X

y=X4’

0<x<4x/5,

所以S=99/+8x4xgy2

=10012+引-160

>100x2卜唱-160=1440.

當且僅當/=充

即x=2x/2時，等號成立，

所以當x=2企時，S取最小值為1440.

故答案為：1440.

16.(5分)(23-24高一上?重慶沙坪壩?期中)設函數/?(%)=/+2%+如若關于％的不等式/?(/(%))<0的

解集為空集，則實數a的取值范圍為［二+8).

【解題思路】根據題意，設/口)=i，可知C之Q-1,從而將不等式/(/(切)<0的解集為空集，轉化為/?)<0

在區間［a-1,+8)上的解集為空臭，從得出而、=?+1)2+。-1工0在區間口一1,+8)上恒成立，根據二

次函數的圖象與性質，得出y=Q++Q-1,開口向上，時稱軸為t=-1,且4=4一4Q,分類討論/<0

和1>0兩種情況，進而根據一元二次不等式恒成立問題，即可求出a的取值范圍.

【解答過程】解:根據題意，可知/(%)=%2+2x+a=(x+I)2+a-1>a-1,

設/1(%)=t,則tZa—1,

因為不等式/(/?(%))<0的解集為空集，

即/⑴<0在區間［a-1,+8)上的解集為空集，

即y=/+2t+Q=?+1)2+Q-1v0在區間［a-1,+8)上無解，

所以y=(t+I)2+a-1>0在區間［Q-1,+8)上恒成立，

對于二次函數y=Q+l)2+a—l,開口向上，對稱軸為七二一1,

4=4-4a,

當』=4-4aW0,即QZI時，則

所以y=Q++a-1工0在區間［a-1,+8)上恒成立，符合題意：

當/=4—4a>0,即a<1時，

令)，=Q+1)2+Q-1之0,解得：t<-1-71^或￡>-1+

要使得y=(t+I)2+a-1>0在區間［a-1,+8)上恒成立，

只需滿足a-l>t=-1且a-1>-14-Vl^a,

即a>0且M+a-1>0,解得：Q<T；"(舍去)或Q>

又因為a41,故解得：二學4Q<1,

綜上得，實數。的取值范圍是［二芋,+8).

故答案為：F竽，+81

四.解答題(共6小題，滿分70分)

17.(1()分)(23-24高一上?湖北黃岡.階段練習)(1)已知12VQV60,15<b<36.求a-b和三的取

b

值范圍.

(2)已知0VQ+/?<2,-l<b-a<l,求2a-b的取值范目.

【解題思路】(1)根據不等式的性質，求出-b和!的范圍，再利用性質求解作答.

D

(2)令2a-b=m(Q+b)+7i(b-Q),求出m,n的值，根據不等式的性質即可得到結果.

【解答過程】(1)因為15C8V36,由不等式的性質可得，-36<-8〈一15；白<：<3

36D15

因此12—36<。一8<60—15,即一24Va-b<45；g|J-<-<4,

36b153b

所以-24<a—b<45,-<7<4.

3b

(2)令2a—b=+b)+n(b—a),m,nER,BP(m—n)a-I-(m4-n)b=2a—b,

?^{m~n=\，解得卜=5

(m+n=-1ln=

而Cva+b<2,-l<b-a<l,于是0<號<1,-；<-；(b-a)<；,

所以，一：<呼一；3-。)vl+3即一：V2Q-bv3

J

222v222

所以-1<2a-ft<|.

18.(12分)(2024?四川資陽.模擬預測)已知a>0,b>0,且a+b=2.

(1)求M+八的最小值;

(2)證明：VaTT+VFTT<2V2.

【解題思路】(1)由基本不等式即可求出小+〃的最小值.

(2)化簡已知得或(am+2不I)&4,即行riw等+等=4,利用基本不等

式即可得證.

【解答過程】(1)(2)因為a+b=2,所以Q?+力2+2Q/)=4,所以a?+/=4—2Q/J.

2

因為a>0,b>0,所以abW(學)=1,當且僅當Q=匕=1時，等號成立，

則。2+爐工4-2=2,即。2+"的最小值是2.

(2)證明：因為魚乂衍1工等，當且僅當a=1時，等號成立,

&xVT巨W等，當且僅當b=l時，等號成立，

所以企x后+等+等=4.當且僅當Q=b=l時，等號成立

貝h0（&n+工4,即用閂+揚釘42企，當且僅當Q=b=l時，等號成立.

19.（12分）（23-24高一上?江蘇蘇州?階段練習）已知如糖水中有ag糖（b>Q>0）,往糖水中加入mg糖

（771>0）,（假設全部溶解）糖水更甜了.

（1）請將這個事實表示為一個不等式，并證明這個不等式.

（2）利用（1）的結論證明命題：”若在△48C中心b、c?分別為角A、B、C所對的邊長，則?<￡+二”

l+c1+a1+b

【解題思路】（1）根據題意直接寫出答案，利用作差法證明該不等式；

（2）利用三角形的三邊關系和放縮法即可證明.

【解答過程】（1）由題可得，7<―

bb+m

m口ra'I.aa+mab+am-ab-bm（a-b）in,一八、八

址明：^l79br--b+m=-匕7（7b-+-m;）-=b（d一+m）、，b>a>Q,TH>0,

所以，Q-b<0,b+rn>0,從而：一三吆<0,即fV三也

bb+mbb+m

（2）由三角形三邊關系，可得a+b>C,而函數y=F=1-義，為單調遞增函數，

Jl+x1+X

._￡_<c+（a+b-c）_a+b_a+b

"l+cl+c+（a+b-c）1+a+b1+a+b1+a+b'

a<ab<b

1+a+b1+a'1+a+b1+b'

UAi、I,

1+a+b1+a+b1+a1+b

所以，名.

l+c1+a1+b

20.（12分）（23-24而一上?重慶?期末）若函數/（￡）=ax2+bx+4,

（1）若不等式f（x）V0的解集為G，4），求a，b的值；

（2）當a=1時，求/（x）>0（bER）的解集.

1+4=-=--

【解題思路】（1）根據條件，利用韋達定理建立方程組92/,且a>0,即可求出結果;

^-4=2=-

2a

（2）利用含參的一元二次不等式的解法，分A<0,A=0,和A>0三種情況討論，即可求出結果.

【解答過程】（I）因為。/+故+4<0的解集為6,4）,

—1|--4=-9=—b

212J,解得a=2/=—9.

r4=2=;

(2)va=lI,/(%)=/+以+4,所以f(x)>0,BPx2+bx+4>0,

又△=b2—16,

當AVO即一4vbv4時，f(x)>0的解集為R；

當A=0,即b=±4時，若b=4,fM>0解集為MxH-2｝,若b=-4,f(x)>0解集為｛?工02｝；

d+216

當A>0,即b<-4或b>4時，/+bx+4=0的兩根為％1=土當三逅，x2=~^~,且有與〈小，

此時，/(%)>0的解集為卜卜<上手或不>上笠斗，

綜上所述，當一4VbV4時，/(%)>0的解集為R：

當七=4,/(x)>0解集為｛x|xH-2｝,當b=-4,/(x)>0解集為｛x|xH2)；

當￡V—4或b>4時，fM>。的解集為，卜<土笄羽或%>也竽適｝.

21.(12分)(23-24高一上.河北保定?期中)已知函數/"(x)=0n+l)/—(m—l)x+m—l.

(1)當機<0時，解關于x的不等式/(x)>3x+m-2；

(2)若存在％E[0,2],使得不等式/(無)3/+2%-1成立，求實數〃?的取值范圍.

【解題思路】(1)根據一元二次不等式解集的形式，結合分類討論思想，求不等式的解集；

(2)采用分離變量的方法，轉化成求函數的最值.

【解答過程】(1)由(m+1)/-(爪-l)x+血-1工3x+m-2=(zn+l)x2-(m+2)x+1>0=

(x-l)[(m+l)x-1]>0.

若機+1=0即m=-1,上式可化為：x—1<0=x<1；

若加+1<0即m<-1,上式可化為：(x-1)\x——三|<0=><%<1；

Lm+ljm+1

若m+1>0即-1<mV0,上式可化為：(％-1),一;2°，

因為一1<m<0=0<m+1<1=>—m+1>1,所以：x<1或不>—771+1.

綜上可知：當加〈-1時，原不等式的解集為：Lm+1J

當m=-l時,原不等式的解集為：(-8,1]；

當—lVmVO時，原不等式的解集為：(-8,1]U