隱圓問題3種模型（解析版）-中考數學復習（全國）

專題13隱圓問題3種模型

壓軸題密押

通用的解題思路：

隱圓一般有如下呈現方式：（1）定點定長：當遇到同一個端點出發的等長線段時，通常以這個端點為圓心,

等線段長為半徑構造輔助圓；（2）定弦定角：當遇到動點對定點對定線段所張的角為定值時，通常把張角

轉化為圓周角構造輔助圓。當遇到直角時，通常以斜邊為直徑構造輔助圓。（3）四點共圓：對角互補的四

邊形的四個頂點共圓。隱圓常與線段最值結合考查。

壓軸題預測

類型1：定點定長

1.（2023?新城區校級三模）圓的定義：在同??平面內，到定點的距離等于定長的所有點所組成的圖形.

（1）已也如圖1,OA=OB=OC,請利用圓規畫出過力、B.。三點的圓.若403=70。，則4c'8=

35。_.

如圖，R3ABC中，ZJ5C=90°；N8C4=30。，AB=2.

（2）已知，如圖2.點尸為4C邊的中點，將力。沿歷1方向平移2個單位長度，點力、P、C的對應點分

別為點。、E、F,求四邊形灰加。的面積和的大小.

（3）如圖3,將力。邊沿8c方向平移a個單位至。尸，是否存在這樣的a,使得直線。尸上有一點0,滿

足/8。4=45。且此時四邊形84。尸的面積最大？若存在，求出四邊形胡。尸面積的最大值及平移距離a,

若不存在，說明理由.

BCF

AD

D

圖3

圖1圖2

【分析】（1）利用圓的定義知力,B,C三點共圓,再利用圓周角定理求解.

（2）根據圖形的平移性質，判定平移后圖形形狀，繼而確定面積的計算方式和方法，角度問題也迎刃而

解.

（3）因角度不變，借助圓周角定點在圓周上運動時角度不變的思想，判斷出。點能夠向右移動的最大距離,

求出四邊形的最大面積.

【解答】（1）以。為圓心，O力為半徑作輔助圓，如圖,

???ZAOB=70°,

乙4cB=35。,

故答案為35。.

(2)連接尸3,PE,如圖,

RtAABC中，ZABC=90°,ZBCA=30°,AB=2.

:.AC=4,ZBAC=60°,BC=2yf3.

P為RtAABC斜邊AC中點，

/.BP=-AC=2,

2

線段4C平移到。產之后，AB=AD=PE=2,BP=AE=2,

.?.四邊形力APE為菱形，

NBAC=60°,

ZBEA=30°,

-CF//BD,EZABC=90°,

.?.四邊形以WC為直角梯形，

/.5=-（5D+CF）X5C=-!-X6X273=6>/3,

22

（3）如圖所示，以44為斜邊在.44的右側作等腰直角三角形。14,以O為圓心，04為半徑作。0,

滿足N8Q1=45。且此時四邊形BADF的面積最大，

?.直線。尸與。。相切于點。，

連接OQ交力。于G,過點。作。〃1力。于〃，

則Z.AHO=4OHG=/DQG=90°,NO4H=45°，/GDQ=30°，

?.?N48C=90°,ZBCA=30°,AB=2,

BC=2y/3,OA=OB=OQ=>/2t

AH=OH=\,HG=—,OG=—,

33

/.GQ=y/2--,DG=2GQ=lj2-—,

33

.?JQ=/〃+〃G+GQ=l+乎+20一殍=1+20—6，

Q=1+2V2->/3,

此時直角梯形X8FQ的最大面積為：

S='x（8尸+40）x48=1x（26+1+2^—6+1+20—6）x2=48+2.

22

【點評】本題主要考查圖形的平移，圓心角，圓周角之間的關系，解題的關鍵是數形結合，找到極值點求

解.

2.（2024?蘭州模擬）綜合與實踐

【問題情境】在數學綜合實踐課上，“希望小組”的同學們以三帶形為背景，探究圖形變化過程中的幾何問

題，如圖，在&中，AB=AC,NB4c=90°,點。為平面內一點（點/,B,。三點不共線），AE

為A/3。的中線.

【初步嘗試】（1）如圖1,小林同學發現：延長4E至點〃，使得=連接。M.始終存在以下兩

個結論，請你在①，②中挑選一個進行證明：

=AC；②N."Z^1+N。力B=18O。：

【類比探究】（2）如圖2,將力。繞點力順時針旋轉90。得到力/，連接b.小斌同學沿著小林同學的思考

進一步探究后發現：AE=-CF,請你幫他證明：

2

【拓展延伸】（3）如圖3,在（2）的條件下，王老師提出新的探究方向：點。在以點力為圓心，為半

徑的圓上運動（力。＞43）,直線與直線C戶相交于點G,連接6G,在點。的運動過程中4G存在最人

值.若44=4,請直接寫出8G的最大值.

圖1圖2圖3

【分析】（1）利用S4S證明A/IBEMAMQE,可得力8=QM,再結合力8=4。，即可證得。加=4。；由全

等三角形性質可得Z.BAE=NDME，再運用平行線的判定和性質即可證得NMDA+/.DAB=180°；

（2）延長月上至點使得“石=力石，連接力M.利用S4S證得&46="＞歷4,可得B=再由

AE=-AM,可證得產；

22

（3）延長。力至“，使4W=40,設力M交CF于N,連接3M交C77于K,取力。中點兒連接GP,

可證得A4C/=A48M（S4S）,利用三角形中位線定理可得力,即4G//8M,利用直角三角形性質

可得GP=LXC=」/18=2,得出點G在以尸為圓心，2為半徑的。。上運動，連接8P并延長交0尸于G，，

22

可得8G的長為8G的最大值，再運用勾股定理即可求得答案.

【解答】（1）證明：①?.YE為MB。的中線，

BE=DE,

在MAE和AMOK中，

BE=DE

，乙4EB=Z.MED,

AE=ME

AABE三^MDE(SAS),

/.AB=DM,

?：AB=AC,

/.DM=AC；

②由①知MBE2^MDE,

ABAE=4DME,

/.AB//DM,

：.NMDA+ND4B=180°；

(2)證明：延長力E至點M,使得“石=力七，連接。M.

F

圖2

由旋轉得：AF=AD,/D4/=90。，

???Z.BAC=90°,NDAF+NBAC+NBAD+Z.CAF=360°,

/B4D+NC4F=180。,

由(1)②得：^MDA+Z.DAB=180°,DM=AB=AC,

：.NCAF=ZMDA,

在A/1CF和中，

AF=AD

、Z.CAF=/MDA,

AC=DM

二.MCF=&DMA(SAS),

:.CF=AM,

vAE=-AM,

2

AE=-CFx

2

(3)如圖3,延長D4至〃，使40=力。，設AM交C產于N,連接區必交C尸于K,取力。中點尸，連

接”，

D

B、、…'C

圖3

由旋轉得：AF=AD,ZDAF=90°,

AF=AM,ZMJF=180°-90°=90°,

???NB4C=90°,

：.ZMAF+NC4M=ZBAC+/.CAM,

即ZCJF=/BAM,

在A/1CF和MBM中，

AC=AB

?Z.CAF=/BAM,

AF=AM

MCF=MBM(SAS),

Z.AFC=NAMB,即NAFN=NKMN,

?/Z4NF=NKNM,

：.ZFAN=NMKN=90°,

/.BM_LCF,

???￡、4分別是08、DW的中點，

「./IE是MDW的中位線，

:.AE"BM,即4G//8M,

AGA.CF,

:.ZAGC=90°,

?.?點尸是力C的中點,

GP=-AC=-AB=2.

22

.?.點G在以P為圓心,2為半徑的OP上運動,

連接8P并延長交。戶于G\

8G，的長為5G的最大值,

在RtAABP中，BP=>lAB2+AP2=742+22=275,

/.BG=BP+PG=2國2,

.?"G的最大值為26+2.

【點評】本題是幾何綜合題，考查了三角形的全等的性質與判定，兩直線垂直的判定，三角形中位線定理,

勾股定理，圓的性質，熟練掌握全等二角形的判定定理是解決本題的關鍵.

3.（2022?番禺區二模）已知拋物線尸江+隊-,①〉。）與x軸交于點力，B兩點,OA<OB,44=4.其

頂點C的橫坐標為T.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設點。在拋物線第一象限的圖象上，OE14C垂足為石，。尸/小軸交直線力。于點/，當面

積等于4時，求點。的坐標；

（3）在（2）的條件下，點M是拋物線上的一點，用點從點8運動到達點C,FM1FN交直線BD于點、

N,延長A"與線段OE的延長線交于點H,點尸為N,F,，三點構成的三角形的外心，求點尸經過的

路線長.

【分析】（1）利用對稱性，求得4和B的坐標，然后用待定系數法求得拋物線的解析式；

（2）證明ACG4和AOE廠都為等腰直角三角形，利用等面積法求得=4,再求得直線4C的解析式為

>'=x-1,設點。的坐標,得到點尸的坐標,然后求解即可：

（3）先求得NBDF=45。,推出點P的運動路徑時小乂的中點繞點F逆時針旋轉90。得至ljN?”的中點之間

的弧長，證明四邊形。乂產E為正方形，即可求解.

【解答】解：（1）?.?點4,點8兩點關于直線x=-l對稱，AB=4,

,/(1,0),8(-3,0),

代入y=。』+bx-5得，

3

a+b—=01

2a=—

.，解得：2，

3

9a-3b——=0b=1

2

拋物線的解析式為J，=gx2+x-g.

（2）如圖1所示：

???。戶//y軸〃GC,

??.ZGCA=NDFE，

???拋物線的解析式為y=lx2+x-|=l(x+l)2-2,

頂點C(-l,—2),

/.AG=2,CG=2,

△6&/!為等腰直角二角形，

ZGCA=4DFE=45°,

???DELAC,

???ADE"為等腰直角三角形，

DE=EF,DF=y/2DE,

?*"；DEEF=4,

DE=2>/2,

。尸=&x2近=4,

設直線力。的解析式為y=h+〃，則

ktb=()4=1

,解得:

-k+b=-2b=-\

，自,線力。的解析式為y=x-\,

11

2

設點D(x,—x+x——),則F(xyx—1)>

?.DF=—x2+x---(x-1)=—x2--=4,

2222

解得：工=3或》=-3(舍),

「.0(3,6),F(3,2).

(3)如圖2所示，

是直角三角形，

ANFH的外心是斜邊NH的中點，

當點M位于點8時;△N{FH1,其外心是斜邊的中點，

當點M位于點。時，得ANFE,其外心是斜邊乂”2的中點，即N2E的中點,

?.?0(3,6),5(-3,0),

/.tanZ.BDF==I，

6

￡BDF=45°,

由（2）得，NFDE=45。,

：.NDBA=/BAC=45°,

BD//AC,

:.FN±BD,

Z）/平分ZBDE,NBDE=90°，

點。，N,F,，四點共圓，

.?.點P在線段。尸的垂直平分線上，即點尸在ME上運動，即點P的運動軌跡是一條線段.

vADN2F=ZN2DH=ADHF=90°,FN?=FE,

.?.四邊形。M所為正方形，

此時點尸在。尸上，且）=2；

當點"與點。重合時，此時點尸在上，即為鳥，且R=E6=2,

由題意，BN1=BD-DN1=4,BF=2A/10,N1F=2五,FNJIDH、,

M3FN?s△BH、D,

^-=—,解得/771=布，

BD

：.FF；=V5,

由勾股定理可得：42=1,

即點尸的運動軌跡長為1.

【點評】本題主要考查二次函數的綜合問題，包括待定系數法確定函數解析式，三角形外接圓的性質，弧

長公式，勾股定理，三角函數解直角三角形等，理解題意，作出相應輔助線是解題的關鍵.

4.（2021?紅谷灘區校級模擬）（1）學習心得：小剛同學在學習完'‘圓”這一章內容后，感覺到有一些幾何

問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在A48C中，AB=AC,乙%。=80。，。是A44C外一點，且4。=力。，求。的度

數.若以點力為圓心，為半徑作輔助圓。力，則點C、。必在。力上，NA4c是。力的圓心角，而/8QC

是圓周角，從而可容易得到4。。=_40。一

(2)問題解決：

如圖，在四邊形力4cZ)中，/BAD=/BCD=90°,^BDC=25°,求NZU。的度數.

(3)問題拓展:

拋物線),「一_!_3一1)2+3與》軸交于點,4,頂點為5,對稱軸8c與x軸交于點C,點尸在拋物線上，直線

4

。。//8。交工軸于點0,連接80.

①若含45。角的直線三角板如圖所示放置，其中，一個頂點與。重合，直角頂點。在8。上，另一頂點上在

PQ上,求。的坐標；

②若含30。角的直角三角板一個頂點與點C重合，直角頂點。在80上，另一個頂點E在尸。上，點。與點

4,點。不重合，求點Q的坐標.

【分析】(1)利用同弦所對的圓周角是所對圓心角的一半求解?.

(2)由力、B、C、。共圓，得出N80C=N歷IC,

(3)①先求出拋物線頂點的坐標，再由點。、C、0、E共圓，得出/。。3=/0￡。=45。，求出C。，再

求點。的坐標.

②分兩種情況，I、當30。的角的頂點與點C重合時，II、當60。的角的頂點與點。重合時，運用點。、

C、。、E共圓，求出C。即點尸的橫坐標，再代入拋物線求出點P的縱坐標，即可求出點「的坐標.

【解答】解：(1)\'AB=AC,AD=AC,

??.以點力為圓心，點4、C、。必在。力上，

???NA4C是。力的圓心角,而N8DC是圓周角,

Z5Z)C=-Z^C=40°,

2

(2)如圖2,

???NBAD=/BCD=9M,

點力、8、C、。共圓,

...NBDC=NBAC,

ZBDC=25°，

NBAC=25°,

?.?點4為拋物線y=一])2+3的頂點，

4

.?.點4的坐標為(1,3),

???45。角的宜角三角板如圖所示放置，其中，一個頂點與C重合，宜角頂點。在〃。上，另一頂點E在尸Q

上，

點。、C、。、￡共圓，

NCQB=4CED=45。,

:.CQ=BC=3,

0Q=4,

點。的坐標為(4,0),

I、當30。的角的頂點與點C重合時，

?.?直角三角板30。角的頂點與點C重合，直角頂點。在80上，另一個頂點E在P。上

.?.點。、。、。、￡共圓，

:./CQB=NCED=600,

；.CQ=與BC=d,

/.OQ=1+VJ,

LIQ

「.把1+g代入y=—(x-1)~+3得y=_,

44

t-o

點尸的坐標是(i+JL-)

4

?.?直角三角板60。角的頂點與點C重合，直角頂點。在40上，另一個頂點石在尸。上

點。、C、。、￡共圓，

ZCQB=/CED=3。。,

：.CQ=6BCS

00=1+36，

把］+3百代入y=_，（x_lf+3得y=_"，

44

.?.點P的坐標是（1+3力，-—）

4

綜上所述，點尸的坐標是（1+石，2）或（1+36，—絲）.

44

【點評】本題主要考查了圓的綜合題，解題的關鍵就是運用同弦對的圓周角相等.

類型2:定弦定角

1.（2022?雁塔區校級三模）問題提出

（1）如圖①，已知為邊長為2的等邊三角形，則A/YC的面積為_JJ_；

問題探究

（2）如圖②，在。8C中，已知N84C=120。，BC二壟,求的最大面積；

問題解決

(3)如圖③，某校學生禮堂的平面示意為矩形48c。，其寬相=20米，長8C=24米，為了能夠監控到

禮堂內部情況，現需要在禮堂最尾端墻面CQ上安裝一臺攝像頭M進行觀測，并且要求能觀測到禮堂前端

墻面48區域，同時為了觀測效果達到最佳，還需要從點M出發的觀測角N4W8=45。，請你通過所學知識

進行分析，在墻面CO區域上是否存在點M滿足要求？若存在，求出MC的長度；若不存在，請說明理

由.

圖①圖③

【分析】(1)作力。于。，由勾股定理求出力。的長，即可求出面積;

(2)作A48c的外接圓OO,可知點”在8c上運動，當HO_L8C0寸，A48C的面積最大，求出4”的長,

從而得出答案:

(3)以48為邊，在矩形力比。的內部作一個等腰直角三角形404,且乙108=90。，過O作〃G_L44于

H,交CO于G,利用等腰直角三角形的性質求出CM,0G的長，則以。為圓心，。力為半徑的圓與。。相

交，從而OO上存在點滿足/4口？=45。，此時滿足條件的有兩個點"，過.M1作取/_L/14于/，作

E01MF于E,連接。尸，利用勾股定理求出OE的長，從而解決問題.

【解答】解：(1)作/O_L8C于。,

???LABC是邊長為2的等邊三角形,

BD=\,

AD=4AB'-BD'二G

.??A48C的面積為1x2x6=6

2

故答案為：6

（2）作A/18C的外接圓。O,

vZ.BAC=\20°,BC=6C，

當401BC時，AJ8c的面積最大，

ZBOA'=60°,BH=CH=3>/3,

:.OH=3,08=6,

AfH=OAr-OH=6-3=3,

：.XABC的最大面積為,x66x3=9>/J：

2

(3)存在，以AB為邊,在矩形.48CO的內部作一個等腰直角三角形ZO4,且408=90。,

過。作〃G_L48于"，交CO于G,

???44=2()米，

.?."7=0"=10米，04=10底米，

???8。=24米，

0G=14米，

?.?【0披>14,

.?.以O為圓心，。力為半徑的圓與CO相交，

.?.0。上存在點滿足N4WA=45。，此時滿足條件的有兩個點M,

過M/乍為8于b，作EO1,%產于E,連接。9，

D

圖③

.?.￡/=0〃=10米，。％=100米，

?"M=14米，

:.0E=-=2米，

:.CM\=3尸=8米,

同理CM?=石=10+2=12（米），

二.MC的長度為8米或12米.

【點評】本題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，矩形的性質，等腰直角三角形的性質，勾

股定理，垂徑定理等知識，熟練掌握定角定邊的基本模型是解題的關鍵.

2.（2023?漏橋區校級模擬）問題提出：（1）如圖①，為等腰三角形,ZC=120°,AC=BC=S,D

是,44上一點，且CQ平分A44。的面積，則線段CQ的長度為」

圖①圖②IS@

問題探究：（2）如圖②，A48C中，ZC=120°,48=10,試分析和判斷&48C的面積是否存在最大值,

若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由.

問題解決：（3）如圖③，2023年第九屆絲綢之路國際電影開幕式在西安曲江競技中心舉行，主辦方要在會

場旁規劃一個四邊形花圃"O滿足8C=600米，C0=300米，ZC=60°,4=60。，主辦方打算過

BC的中點.以點（入口）修建一條徑直的通道ME（寬度忽略不計）其中點E（出口）為四邊形/3CQ邊

上一點，通道"￡把四邊形力BCD分成面積相等并且盡可能大的兩部分，分別規劃成不同品種的花圃以供

影迷休閑觀賞.問是否存在滿足上述條件的通道ME?若存在，請求出點/距出口的距離的長；若不存

在，請說明理由.

【分析】（1）由題意可知，CO是A/13C的中線，利用等腰三角形的性質推出CD_L/B,利用三角函數求解

即可解決問題：

（2）當A48。的48邊上的高最大時，三角形48C的面積最大，即。。過圓心O,連接力。.求出CO

的最大值即可得出答案；

（3）連接。M,BD.首先證明/8。。=90。，求出80,推出A8OC的面積是定值，要使得四邊形48CQ

的面積最大，只要A44。的面積最大即可，因為8。為定值，/Z為定角=60。，推出當A4B。是等邊三角形

時，求出四邊形/8C。的面積最大值，然后再求出NMQE=90。，構建方程解決問題即可.

【解答】解：（1）如圖①，

18?

平分A4AC的面積，

AD—DB,

?.-JC=5C=8,

CDJ.AB,Z.ACD=Z.BCD=-^ACB=60°，

2

CD=>1CcosZACD=8cos60°=4,

.??CQ的長度為4,

故答案為:4；

（2）存在.如圖②,

圖②

?.?/仍=10,N/C8=120。都是定值，

二.點C在施上，并且當點C在右的中點時，A45C的面積最大;

連接OC交4?于點。，則COJ.,48,AD=BD=-AB=5,

2

ZJCD=-ZJC5=60°,

2

tanZJC￡>=—,CD=^—=—

CDtan6003

??.SMBC=；AB.CD=曄，

答：的面積最大值是早;

（3）存在.如圖③，連接。歷，BD,

81@

???”是8C的中點,

.-.GW=-5C=300,

2

:.CM=CD,

又ZC=60°,

ACM。是等邊三角形,

...￡MDC=NCMD=60°,CM=DM=BM,

/.￡CBD=/MDB=30°,

/.Z5DC=90°,

BD=CDtan60°=300G米，

在根4￡）中，50=300。米，4=60。為定值，

由（2）可知當=時，即&44力為等邊三角形時&4B。的面積最大,

此時也為四邊形ABCD的最大值（\BDC的面積不變），

Ss=SNBX+SABI”=gX300X300后+乎（300百產=112500^；

?.?418。是等邊三角形，

...AADB=60°,

ZADM=ZADB+ZBDM=90°：

S

由S曲D+S&cDM=gnM.x，得：

-Z）￡x300+—x3002=-x11250073,

242

解得：DE=22573,

AE=AD-DE=300^-225^=75>/3（米），

答：點4距出II的距離力七的長為756米.

【點評】本題是圓的綜合題，考查了勾股定理，垂徑定理，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質等知

識，解題的關鍵是理解題意構造輔助圓，靈活運用所學知識解決問題，難度較大，屬丁中考壓軸題.

3.（2023?柯城區校級一模）如圖，點4與點8的坐標分別是（L0）,（5,0）,點P是該直角坐標系內的一個

動點.

（1）使N4尸6=30。的點尸有無數個:

（2）若點尸在y軸上，且乙4尸3=30。，求滿足條件的點夕的坐標；

（3）當點尸在y軸上移動時，乙”8是否有最大值？若有，求點。的坐標，并說明此時最大的理由;

若沒有，也請說明理由.

B

【分析】（1）已知點力、點8是定點，要使/力尸8=30。，只需點P在過點彳、點8的圓上，且弧力8所對

的圓心角為60。即可，顯然符合條件的點尸有無數個.

（2）結合（1）中的分析可知：當點。在歹軸的正半軸上時，點尸是（1）中的圓與），軸的交點，借助于垂

徑定理、等邊三角形的性質、勾股定理等知識即可求出符合條件的點P的坐標；當點P在），軸的負半軸上

時，同理可求出符合條件的點。的坐標.

（3）由三角形外角的性質可證得：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角大于同弧所對的圓外角.要ZAPB

最大，只需構造過點力、點〃且與y軸相切的圓，切點就是使得最大的點P，然后結合切線的性質、

三角形外角的性質、矩形的判定與性質、勾股定理等知識即可解決問題.

【解答】解：(1)以48為邊，在第一象限內作等邊三角形48。，

以點C為圓心，彳。為半徑作。C,交y軸于點”、P2.

在優弧上任取一點P,如圖1,

則ZJP^=-ZJC^=-x60°=30°.

22

.?.使/AP8=30。的點F有無數個.

故答案為：無數.

(2)①當點P在)，軸的正半軸上時，

過點C作CG_L44,垂足為G,如圖1.

?.?點4(1,0),點4(5,0),

...。月=1,OB=5.

.“8=4.

?.?點。為圓心，CG1AB,

：.AG=BG=-AB=2.

2

/.OG=OA+AG=3.

?.?A42C是等邊三角形，

.\AC=BC=AB=4.

CG=y]AC2-AG2

="-22

=2y/3.

.?.點。的坐標為(3,2>/3).

過點C作CO_Ly軸，垂足為。，連接。鳥，如圖1,

???點C的坐標為(3,26)，

:.CD=3,2G

??”、？是0C與y軸的交點，

/.ZAPlB=^AP2B=30°.

?/CP2=CA=4,CO=3,

...DP、=V42-32=V7.

?.?點C為圓心，CDLP{P2,

P\D=P?D=不.

.?J（0,2V3-V7）.6（0,2>/J+近）.

②當點尸在y軸的負半軸上時，

同理可得：4（0,-26-近）.4（0,-26+"）.

綜上所述：滿足條件的點夕的坐標有：

（0,2百一五）、（0,2百+小）、（0,-2行—6）、（0,-2V3+V7）.

（3）當過點力、4的OE與歹軸相切于點尸時，N4尸8最大.

理由：可證：/APB=NAEH,當N/P8最大時，NAEH最大.由sin/4E〃=—得：當力E最小即產E最

AE

小時，NAEH最大.所以當圓與『軸相切時，乙4PB最大.

①當點尸在歹軸的正半軸上時，

連接"，作石"lx軸，垂足為，，如圖2.

???OE與y軸相切于點尸，

PE1OP.

???EHVAB,OPL0/1,

AEPO=4POH=/EHO=90°.

四邊形7是矩形.

OP=EH,PE=OH=3.

EA=3.

vZEHA=90°,4H=2,E4=3,

:.EH=ylEA2-AH2

=V32-22

：.OP=45

P（o,回

②當點Q在y軸的負半軸上時，

同理可得：P（0,-V5）.

理由：

①若點尸在y軸的正半軸上，

在y軸的正半軸上任取一點M（不與點。重合），

連接M4,交。E于點N,連接M4,如圖2所示.

ZANB是MMN的外角,

NANB>Z.AMB.

???NAPB=4ANB,

NAPB>/AMB.

②若點夕在y軸的負半軸上，

同理可證得：/APB>NAMB.

綜上所述：當點尸在y軸上移動時，/月08有最大值，

此時點P的坐標為（0,布）和（0,-石）.

【點評】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的性質、矩形的判定與性質，切線的

性質、三角形外角性質等知識，綜合性強.同時也考查了創造性思維，有一定的難度.構造輔助圓是解決

本題關鍵.

類型3：四點共圓

1.（2022?中原區校級模擬）閱讀下列材料?，并完成相應的任務.

西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點

作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）.

某數學興趣小組的同學們嘗試證明該定理.

如圖（1）,已知A48c內接于。。，點。在。。上（不與點力，B,C重合），過點尸分別作

AB,BC,4C的垂線，垂足分別為點。，E,F.求證：點。，E,b在同一條直線

上.

如下是他們的證明過程（不完整）：

如圖（1）,連接網?,PC,DE,EF,取尸。的中點。，連接QF,

貝|JEQ=E。=;PC=P0=C0,（依據1）

?.?點E,F,尸，。四點共圓，

/.￡FCP+4FEP=180°.（依據2）

又?：N4CP+NABP=180°,

ZFEP=NABP.

同二可得點4,D,P,E四點共圓，

任務:

（1）填空:

①依據1指的是中點的定義及立角三角形斜邊上的中線等于?斜邊的一半；

②依據2指的是—.

（2）請將證明過程補充完整.

（3）善于思考的小虎發現當點尸是應的中點時:BD=CF,請你利用圖（2）證明該結論的正確性.

【分析】（1）利用直角直角三角形斜邊上的中線的性質和圓內接四邊形對角互補即可；

（2）利用直角三角形斜邊上中線的性質證明點E,F,P,C和點8,D,P,E四點分別共圓，再說

明/在2+/。"=180。，可證明結論；

（3）連接左，PB,PC,利用〃1證明RQPBD合RtAPCF,從而得出結論.

【解答】（1）解：①依據1指的是中點的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，

②依據2指的是圓內接四邊形對角互補，

故答案為：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半：②圓內接四邊形對角互補：

（2）解：如圖（1）,連接P4,PC,DE,EF,取PC的中點。，連接。E.QF,

則EQ=FQ=gpC=PQ=CQ,

;.點E,F,P,。四點共圓，

/./FCP+NFEP=180。,

又?二/力。尸尸=180。，

:.NFEP=NABP,

同二可得點〃，D,P,石四點共圓，

NDBP=NDEP,

?.?乙4BP+NDBP=180。，

ZFEP+Z￡>EP=180°,

:.點D,E,尸在同一直線上;

（3）證明：如圖，連接PB,PC,

?.?點戶是應的中點，

BP=PC,

:.BP=PC,/PAD=/PAC,

又?：PDLAD,PF1AC,

：.PD=PF,

RtAPBD^RtAPCF（HL）,

J.BD=CF.

【點評】本題主要考查了四點共圓，以及圓內接四邊形的性質，角平分線的性質，全等三角形的判定與性

質等知識，證明RtAPBDwRtAPCF是解題的關鍵.

2.（2021?哈爾濱模擬）（1）【學習心得】

于形同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以

使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在A4AC中，AB=AC,NA4C=90。，。是A45c夕|、一點，且力。=力。，求力C的度

數.若以點力為圓心，力8為半徑作輔助。力，則點C、。必在。/上，NA4c是。力的圓心角，而/3OC

是圓周角，從而可容易得到N4QC=3。.

（2）【問題解決】

如圖2,在四邊形力8CQ中，NBAD=NBCD=90。,/BDC=25。，求N8/C的度數.

(3)【問題拓展】

如圖3,如圖，E,尸是正方形/14C。的邊4。上兩個動點，滿足4E=D".連接”■交8。于點G,連接

BE交.AG于點、H.若正方形的邊長為2,則線段。〃長度的最小值是—.

【分析】(1)利用同弦所對的圓周角是所對圓心角的一半求解.

(2)由/、B、C、。共圓，得出N8Z)C=N歷1C,

(3)根據正方形的性質可得力8=%。=。。，/BAD=NCDA,/ZQG=NCQG,然后利用“邊角邊”證

明和ADC產全等，根據全等三角形對應角相等可得N1=N2,利用“S4s”證明A4OG和ACQG全等,

根據全等三角形對應角相等可得N2=N3,從而得到Nl=/3,然后求出4〃/B=90。，取力8的中點O,連

接OD,根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CW=L/仍=1,利用勾股定理列式求出

2

OD,然后根據三角形的三邊關系可知當O、D、〃三點共線時，。〃的長度最小.

【解答】解：⑴如圖1,?.F4=/C,AD=AC,

.?.以點力為圓心，力8為半徑作圓“，點8、C、。必在04上，

?.?/胡。是。4的圓心角，而/80C是圓周角，

NBDC=L/B4C=45。,

2

故答案為：45；

(2)如圖2,取4。的中點O,連接40、CO.

NBAD=4BCD=9M,

點力、B、C、。共圓，

?.NBDC=/BAC,

???NBDC=25°,

：.Z：BAC=25°,

(3)如圖3,在正方形力EC力中，AB=AD=CD,ZBAD=Z.CDA,ZADG=ZCDG,

在NABE和\DCF中，

AB=CD

/BAD=ZCDA,

AE=DF

/.MBEM\DCF{SAS),

Z1=Z2,

在MDG和kCDG中，

AD=CD

、ZADG=NCDG,

DG=DG

MDG=^CDG(SAS),

/.Z2=Z3,

Z1=Z3,

NBAH+Z3=/BAD=90°,

；.Z1+NBAH=90°,

ZJ//B=180°-90o=90°,

取,48的中點O,連接OH、OD,

則。〃=48=1,

2

在RtAAOD中，OD=ylAO、AD?NlF2=下,

根據三角形的三邊關系，OH+DH>OD,

.?.當O、D、"三點共線時，。，的長度最小，

最小值=。。-0〃=6-1.

(解法二：可以理解為點”是在RtAAHB,48直徑的半圓標上運動當。、H、。三點共線時，DH長

度最小)

故答案為：V5-1.

【點評】本題主要考查了圓的綜合題