高考數(shù)學(xué) 函數(shù)模型的應(yīng)用（附解析）

函數(shù)模型的應(yīng)用

新課標(biāo)要求真題分布

1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)未單獨(dú)考

2025年

學(xué)語言和工具.在實(shí)際情境中，會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫查

現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律.

2024年北京卷T7

2.結(jié)合實(shí)際情境中的具體問題，比較對(duì)數(shù)函數(shù)、一兀一次函

新高考【

數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，理解“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上

2023年

卷Tio

升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實(shí)意義.

必備知識(shí)助學(xué)教材清單式排查彰顯?個(gè)“準(zhǔn)”

知識(shí)清單

1.常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)

J(x)=ax-^b(a,h為常數(shù)，aWO)

模型

反比例函數(shù)

J(x)=A--ib(k,人為常數(shù)且LHO)

模型

二次函數(shù)

J(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a#0)

模型

指數(shù)函數(shù)

./a)=br+c(q,b,c為常數(shù)，b#0,a>0,且。#1)

模型

對(duì)數(shù)函數(shù)

/(x)=ZJIO^Y+c(a,b,c為常數(shù)，bWO,G>0,且aWl)

模型

塞函數(shù)

flx)=axn-\~b(a,b為常數(shù),aWO)

模型

“對(duì)勾”函數(shù)

Av)=x+;(f/>0)

模型

2.指數(shù)、對(duì)數(shù)、器函數(shù)性質(zhì)比較

裔考數(shù)名

函數(shù)

性質(zhì)

y=c^(a>\)y=log,M4>l)y=W<〃>0)

在(0,+8)

單調(diào)________單調(diào)________單調(diào)遞增

上的增減性

增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)

圖象的隨工的增大逐漸表現(xiàn)隨X的增大逐漸表現(xiàn)隨n值變化而各有不

變化為與________平行為與________平行同

自主診斷

1.思考辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)尋函數(shù)增長(zhǎng)比直線增長(zhǎng)更快.()

(2)不存在.％,使a'。<xjjvlog渦).()

(3)在(0,+8)上，隨著x的增大，y=a'(a>[)的增長(zhǎng)速度會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于》=律“>1)

的增長(zhǎng)速度.()

(4)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y=/〃+c(aW0,b>0,1)增長(zhǎng)速度越來越快的形象

比喻.()

2.(人教A版必修一P139T,改編)下列選項(xiàng)分別是四種生意預(yù)期的獲益y關(guān)于時(shí)I'瓦x的

函數(shù)模型，從足夠長(zhǎng)遠(yuǎn)的角度看，使公司獲益最大的函數(shù)模型是.

?)^=10X1.05x；勵(lì)，=20+/；③y=30+1g(x+l)；@y=50.

3.(人教A版必修一P139T3改編)如圖，對(duì)數(shù)函數(shù)y=lgx的圖象與一次函數(shù)y=/(x)的圖

象有力，8兩個(gè)公共點(diǎn)，則一次函數(shù)y=/U)的解析式為.

4.(人教A版必修一P|50T2改編)在一段時(shí)間內(nèi)，某地的野兔快速繁殖，野兔總只數(shù)的

倍增期為21個(gè)月，那么1萬只野兔增長(zhǎng)到1億只野兔大約需要年.(參考數(shù)據(jù)：Ig

220.3)

考教銜接活用教材探究式精練收獲一個(gè)“贏”

命題點(diǎn)一用函數(shù)圖象刻畫變化過程

例1(多選)血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度，當(dāng)血藥濃度介于最低有效濃度

裔考數(shù)名

和最低中毒濃度之間時(shí)藥物發(fā)揮作用.某種藥物服用1單位后，體內(nèi)制藥濃度變化情況與相

關(guān)閾值如圖所示（服用藥物時(shí)間對(duì)應(yīng)0時(shí)），則下列說法中正確的有（）

最低中毒濃度（MTC）

城低有效濃度（MEC）

012345；6789101112服用藥物后

H持續(xù)期T殘留期的時(shí)間〃h

A.服藥1單位后約10分鐘到5.5小時(shí)之間藥物發(fā)揮療效

B.若每次服藥1單位，首次服藥后，2.5小時(shí)之內(nèi)不能再次服藥

C.若每次服藥1單位，首次服藥后，3小時(shí)之后可以再次服藥

D.每間隔5.5小時(shí)服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用

［聽課筆記］___________________________________________________________________

當(dāng)霸富億：

（1）構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選

圖象.

（2）驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是

否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案.

跟蹤訓(xùn)練（銜接?人教A版必修一P140T6）ff.2h內(nèi)將某種藥物注射進(jìn)患者的血液中,

在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加，停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰

減.下面能反映血液中藥物含量。隨時(shí)間t變化的圖象是（）

裔考數(shù)名

A

命題點(diǎn)二已知函數(shù)模型的實(shí)際問題

例2（多選）（捱接?2023年新高考I卷）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級(jí)來度量

聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)4=20Xlg*其中常數(shù)poSo>（））是聽覺卜限閾值，〃是實(shí)際聲

壓.下表為不同聲源的聲壓級(jí)：

聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB

燃油汽車1060?90

混合動(dòng)力汽車1050?60

電動(dòng)汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為“，〃，

P3,則（）

A.Pi2P2B.P2>1（）P3

C.〃3=1OOpoD.p［W1OOp2

［聽課筆記］___________________________________________________________________

考密皂憶：

（I）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

（3）利用函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn).

跟蹤訓(xùn)練在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為￡=L°D嬴。為常數(shù)），其中

L表示每輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，及表示初始學(xué)習(xí)率，。表示哀減系數(shù)，〃表示訓(xùn)練迭代

裔考數(shù)名

輪數(shù)，當(dāng)〃=10時(shí)，學(xué)習(xí)率為0.25：當(dāng)〃=30時(shí)，學(xué)習(xí)更為0.0625,則學(xué)習(xí)率衰減到。.005

以下所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為(已知1g2%().3)()

A.64B.65

C.66D.67

命題點(diǎn)三構(gòu)建函數(shù)模型的實(shí)際問題

例3為提高人們的身體素質(zhì)，某工廠更新技術(shù)開發(fā)研制了一款新型智能按摩椅，通過

調(diào)研知，往年每年每生產(chǎn)x千臺(tái)智能按摩椅，獲利C(x)千元，且C(x)=

’20x2—21x+332o<x<2

,

492-21X-幽’2<X<5更新技術(shù)后需要另外投入費(fèi)用(》+2)千元，且每千臺(tái)按摩椅

比之前多盈利2千元，生產(chǎn)的按摩椅供不應(yīng)求，均能售完.

(1)求更新技術(shù)后的利潤(rùn)￡(幻(千元)關(guān)于年產(chǎn)量M千臺(tái))的函數(shù)解析式；

(2)更新技術(shù)后，當(dāng)年產(chǎn)量為多少T?臺(tái)時(shí)，工廠所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).

［聽課筆記J__________________________________________________________________

考/名化：解題步驟

(1)建模：抽象出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型；

(2)推理與運(yùn)算：對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解；

(3)評(píng)價(jià)與解釋：對(duì)求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評(píng)價(jià)與解釋，并返回到原來的

實(shí)際問題中去，得到實(shí)際問題的解.

跟蹤訓(xùn)練2024年8月12日，為期16天的巴黎奧運(yùn)會(huì)落下帷幕，回顧這一屆奧運(yùn)

會(huì)，中國元素在這里隨處可見，令游客駐足欣賞；據(jù)調(diào)查，國內(nèi)某公司生產(chǎn)的一款巴黎奧運(yùn)

會(huì)吉祥物的供貨價(jià)格=固定價(jià)格+浮動(dòng)價(jià)格，其中固定價(jià)格為6()元，浮動(dòng)價(jià)格=品(浮

動(dòng)價(jià)格單位：兀，銷售量單位：力件)，假設(shè)每件吉祥物的售價(jià)為整數(shù)，當(dāng)每件吉祥物售價(jià)

不超過100元時(shí)，銷售量為10萬件；當(dāng)每件吉祥物售價(jià)超過100元時(shí)，售價(jià)每增加1元，

銷售量就減小0.2萬件，總利潤(rùn)=(售價(jià)一供貨價(jià)格)X偌售量.

(1)當(dāng)每件吉祥物的售價(jià)為85元時(shí)，獲得的總利潤(rùn)是多少萬元？

(2)每件吉祥物的售價(jià)為多少元時(shí)，單件吉祥物的利潤(rùn)最大，最大為多少元？

裔考數(shù)名

函數(shù)模型的應(yīng)用

必備知識(shí)?助學(xué)教材

知識(shí)清單

2.遞增遞增y軸x軸

自主診斷

1.答案：(1)X(2)X(3)J(4)X

2.解析：結(jié)合三類函數(shù)的增長(zhǎng)差異可知指數(shù)型函數(shù)增長(zhǎng)最快，所以①的預(yù)期收益最

大.

答案：①

3.解析:A(l,0),B(2,Zg2).設(shè)f(x)=ax+b,則止,二然,所以f(x)

UgL—Za十DID----1gL,

=(fe2)x-lg2=(lg2)(x-1).

答案:f(x)=(/g2)(x-l)

4.解柝設(shè)經(jīng)過x年后的野兔有y只，由題意可知、y=104-2H\即yno」？棄，令y

=10\則呼2"=此所以2"=嘰兩邊取常用對(duì)數(shù)可得條=已解得*=表223.3,

故1萬只野兔增長(zhǎng)到1億只野兔大約需要24年.

答案：24

考教銜接?活用教材

例I解析：對(duì)于力，從題圖的持續(xù)期可以得出，服用藥物后10分鐘到5.5小時(shí)之間，

血藥濃度介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間，藥物發(fā)揮作用，故力正確；對(duì)于8,服藥

1單位后，若2.5小時(shí)后再次服藥，則在首次服藥3.5小時(shí)后，即第2次服藥1小時(shí)后，體

內(nèi)血藥濃度將會(huì)超過最低中毒濃度，會(huì)引起中毒，因此若每次服藥1單位，首次服藥后，2.5

小時(shí)之內(nèi)不能再次服藥，故4正確；對(duì)于C,服藥1單位后，若3小時(shí)后再次服藥，則在首

次服藥4小時(shí)后，即第2次服藥1小時(shí)后，血藥濃度將會(huì)超過最低中毒濃度，引起中毒，

故C錯(cuò)誤；對(duì)于。，第一次服藥10分鐘到5.5小時(shí)之內(nèi)，藥物會(huì)持續(xù)發(fā)揮治療作用，第1

裔考數(shù)名

次服藥5.5小時(shí)后第2次服藥，由于第2次服藥對(duì)應(yīng)的血藥濃度增長(zhǎng)速度大于第I次服藥對(duì)

應(yīng)的血藥濃度降低速度，從而體內(nèi)的血藥濃度會(huì)超過最低有效濃度，同時(shí)觀察兩次累計(jì)的最

大值，不會(huì)超過最低中毒濃度，故。正確.故選48。

答案：ABD

跟蹤訓(xùn)練解析：在2/?內(nèi)，血液中的藥物含量呈線性增加，則第一段圖象為線段，且

為增函數(shù)，排除/；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減，排除C;藥物含量Q不能

為負(fù)值，排除。；能反映血液中藥物含量Q隨時(shí)間t變化的圖象是8.故選8.

答案：B

例2解析：由題意可知，Lp|G/'60,907，LP2€￡50,60/,1^=40.對(duì)于A,Lpt

-Lp2=20X/g^-20X/gJ；=20X/g因?yàn)樗訪p「Lp2=20X/g合20,

即/g^>0,所以^>1且Pi>0,P2>0,可得PBP2,故力正確；對(duì)于B,Lp2-Lp3=20X/g

^-20X/g^=20X/g^因?yàn)長(zhǎng)p「Lp3=Lpz.40210,所以2()X/g需21(),即/g羥，

所以最'而且P2>0,P3>0,可得P22、J而P3,當(dāng)且僅當(dāng)Lpz=50時(shí)等號(hào)成立，故4錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)長(zhǎng)p3=20X/g需=40,即lg￡=2,所以需=100,即p3=l()()Po.故C正確；對(duì)于

。，由力可知，Lp|-Lpz=20X/gK，且Lp|-Lp2W90-50=40,M20xlg^40,即/g

Pl

2,可得豆W100,且p/0,p2>0,所以piWlOOp?,故。正確?故選力CD

答案：ACD

10(I=1n

0.25=L0D2o,3Io-j，L=|x(l)^,即L=1x

(0.0625=L0D元(D=“2W2

nnn

9)%().005=。%().01=收Q)^</g0.01=-2=>^/gG)<-2=n嗡666.7,所以學(xué)習(xí)率衰

減到0.005以下所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為67次.故選D

答案：。

例3解析：(1)由已知，L(x)=C(x)-(x+2)+2x,

20x2-21x4-332,0<x<2,

又C(x)=492-21X-R,2<x<5,

x—1

f20x2-20x+330,0<x<2,

所以L(x)=490---20x,2<x<5,