圖形的旋轉(zhuǎn)【十大考點(diǎn)】-北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)重難點(diǎn)突破（解析版）

專(zhuān)題3.2圖形的旋轉(zhuǎn)【十大考點(diǎn)】一【重難突破】北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)考點(diǎn)強(qiáng)化

講與練

模塊一4考點(diǎn)類(lèi)型

模塊二q知識(shí)點(diǎn)一遍過(guò)

(一)旋轉(zhuǎn)的定義

(1)旋轉(zhuǎn)的概念：在平面內(nèi)，把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)沿某一方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，就叫做圖形的旋

轉(zhuǎn).這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心.轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角

如圖所示，AA'OB'是ZL40B繞定點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到的，其中點(diǎn)4與點(diǎn)/叫作對(duì)應(yīng)點(diǎn)，線(xiàn)段。8與線(xiàn)段。夕

叫作對(duì)應(yīng)線(xiàn)段，4OAB與叫作對(duì)應(yīng)角，點(diǎn)。叫作旋轉(zhuǎn)中心，乙4。4(或48。夕)的度數(shù)叫作旋轉(zhuǎn)的角度.

(2)【注意】旋轉(zhuǎn)中心可以是圖形內(nèi),也可以是圖形外。

(3)【圖形旋轉(zhuǎn)的三要素】旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角.

(二)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

(1)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；

旋轉(zhuǎn)的

(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；

性質(zhì)

(3)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等

(1)圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度；

重點(diǎn)

(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等,對(duì)應(yīng)角相等；

解讀

(3)圖形的大小和形狀都沒(méi)有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置

第1頁(yè)

(三)旋轉(zhuǎn)作圖

旋轉(zhuǎn)作圖(1)任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；

的依據(jù)(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等

作圖要素(1)原圖;(2)旋轉(zhuǎn)中心;(3)旋轉(zhuǎn)方向;(4)旋轉(zhuǎn)角;(5)一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)

(1)連:連接原圖形中一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心.

(2)轉(zhuǎn):根據(jù)旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角度,以⑴中關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線(xiàn)為一邊作一個(gè)旋

轉(zhuǎn)角.

(3)截:在該旋轉(zhuǎn)角的另一邊上，從旋轉(zhuǎn)中心開(kāi)始截取此關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的長(zhǎng)度，得

作圖步驟

到該點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).重復(fù)上述操作,作出所有關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

(4)接:按原圖形順次連接所得到的各點(diǎn).

注意:為了避免作圖時(shí)的混亂，以上連、轉(zhuǎn)、截這三步每個(gè)點(diǎn)獨(dú)立完成后，再進(jìn)行下一

個(gè)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)

典例1:

1.如圖所示的各圖中，上方圖形可看成由下方圖形繞著一個(gè)頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。而形成的是()

【變式1】

2.如臭齒輪A以逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，齒輪E旋轉(zhuǎn)的方向()

A.順時(shí)針B.逆時(shí)針

C.順時(shí)針或逆時(shí)針D.不能確定

【答案】B

【變式2】

第2頁(yè)

3.下列現(xiàn)象中屬于旋轉(zhuǎn)的有(填序號(hào))

①火車(chē)在筆直行駛；②蕩秋千運(yùn)動(dòng)；③地下水位下降；④鐘撰的運(yùn)動(dòng)；⑤圓規(guī)畫(huà)圓.

【答案】②④⑤

【解析】【解答】解：根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)的定義即可得：①火車(chē)在筆直行駛是平移，③地下水位下降是平移，

②蕩秋千運(yùn)動(dòng)，④鐘擺的運(yùn)動(dòng)，⑤圓規(guī)畫(huà)圓，屬于旋轉(zhuǎn).

故答案為：②④⑤.

【分析】根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)的定義對(duì)各個(gè)進(jìn)行判斷即可.

【變式3】

4.我們?cè)谌粘Ｉ钪杏性S多行為動(dòng)作：如①拉抽屜；②擰水龍頭；③劃小船；④調(diào)鐘表；⑤推動(dòng)推拉

n；⑥轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤(pán)；⑦乘電梯.我們用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看，其中屬于旋轉(zhuǎn)的有.(填序號(hào))

【答案】②④⑥

【解析】【解答】解：①拉抽屜，平移運(yùn)動(dòng)；②擰水龍頭，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；③劃小船，不是旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；④調(diào)鐘

表，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；⑤推動(dòng)推拉門(mén)，平移運(yùn)動(dòng)；⑥轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤(pán)，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；⑦乘電梯，平移運(yùn)動(dòng)，

故答案為②④⑥.

【分析】旋轉(zhuǎn)是指把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)沿一定的方向轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，它包括三要素，一是旋轉(zhuǎn)中心，二是

旋轉(zhuǎn)角度，三是旋轉(zhuǎn)方向.

考點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角

典例2：

5.如圖，已知點(diǎn)4(2,0),B(0,4),C(2,4),D(6,6),連接4B,CD,將線(xiàn)段4B繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，使

【答案】D

【變式1】

6.將兩塊全等的含30。角的直角三角板按圖1的方式放置，已知乙84c=4當(dāng)4傳=30。，固定三角板

第3頁(yè)

AXBXC,然后將三角板4BC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖2的位置，4B與41C、4當(dāng)分別交于點(diǎn)。，E,4c與

D.90°

【答案】A

【解析】【解答】解：由題意得到，LBAC=Z-ByAxC=30°,

則48=90°-/,BAC=60°,

F8_&當(dāng)，

"A回=90°,

"BDC=Z.A^E=90°-30°=60°,

：.Z.BCD=180°-乙BDC一乙B=60°,

所以4&C4=90°-乙BCD=30°,

即旋轉(zhuǎn)角是30。.

故答案為：A

【分析】旋轉(zhuǎn)角是指對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的夾角，即4&CA的度數(shù)，當(dāng)48_1a當(dāng)時(shí),由直角三角形兩銳角互余可得

^AFA'=60°,再由三角形外角的性質(zhì)可得〃iC4=30°.

【變式2】

7.如圖，在正方形網(wǎng)格中，△4BC燒某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△&B1G，則旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn).（填

“p”或，Q，，）

【變式3】

第4頁(yè)

8.如圖，一塊含30。角的直角三角板ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB'C,當(dāng)&C,A在一條直線(xiàn)上時(shí).，三角

【答案】150°

【解析】【解答】解：:將一塊含30。角的直角三角板48c繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△4?。,

???BC與B,C是對(duì)應(yīng)邊，

???旋轉(zhuǎn)角4BCB'=180°-30°=150°.

故答案為：150。.

【分析】旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的夾角即旋轉(zhuǎn)角，即求△夕C8的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合鄰補(bǔ)角的概念即可得

Z-BCB1=150°.

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)一求角

典例3：

9.如圖，在△A8C中，乙4=50。，將△48C繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△8DE,點(diǎn)。恰好落在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)

上，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是（）

A.90°B.80°C.70°D.60°

【答案】B

【變式1】

10.如圖，把△A8C繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)24。得9C.若AR_LAC于點(diǎn)。，貝叱力=（）

【答案】A

第5頁(yè)

【變式2】

11.如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度得到△/WE,使點(diǎn)。落在3C上，4C與0E相交于點(diǎn)F.若

Z-C=40°,DE1AC,則4DAC的大小為.

【答案】25°

【解析】【解答】解：:將△ABC繞點(diǎn)4逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度得到△4/)/?,

/.Z.BAC-Z.DAE,Z.E—Z.C—40°,AB-AD,

'：DELAC.

：./-CAE=90°-Z-E=50。，

'：/.BAD=Z.BAC-￡.DAC,Z-CAE=^DAE-"AC,

：.LBAD=Z.CAE=50°,

'：AB=AD,

180°-^BAD

。,

^Z-ADB=tABC=265

???乙408=LC+LDAC,

???65°=400+zJX4C,解得：^DAC=25°.

故答案為：25°.

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合直角三角形兩銳角互余可得NBA。=乙G4E=50。，再由等邊對(duì)等角結(jié)合三角形內(nèi)

角和定理可得乙408=65。，再由三角形外角的性質(zhì)可得4OAC=N4D8-”即可.

【變式3】

12.如圖，在RtZkABC中，乙84c=52。，點(diǎn)。在斜邊48匕如果△48C經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后與△E8D完全重合，則

乙1EO的度數(shù)是.

【答案】19。

【解析】【解答】解：由題意可知，將AABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△EBD,點(diǎn)。落在斜邊4B上,

?.EB=AB,乙BDE=Z-C=90°,乙BED=匕BAC=52。，

第6頁(yè)

乙ABE=90°-乙BED=38°

???/-AEB=2LEAB=|x(180°-/-ABE)=1x(180°-38°)=71',

/.AED=乙AEB-乙BED=71°-52°=19°,

故答案為:19°.

【分析】先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BA=BE、Z.DEB=^BAC=52°,再由直角三角形兩銳角互余可得4ABE=

38°,再由等邊對(duì)等角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得=71。，再利用角的和差關(guān)系即可.

考點(diǎn)4［旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)——求線(xiàn)段

典例4：

13.如圖，在等腰ABC中，/-ABC=90°,AB=BC,以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將8c逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線(xiàn)

段8。，連接CO,AD.若AC=4,則4。的長(zhǎng)為()

A.2B.3C.2V3-2D.4b-3

【答案】C

【變式1】

14.如圖，將RM4BC繞直角頂點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，得到點(diǎn)/落在8C的延長(zhǎng)線(xiàn)上.若

4c=8,BC=6,點(diǎn)、M,M,是48,的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)是()

A.5V2B.4C.3D.5

【答案】A

【變式2】

15.如圖，在中，Z-BAC=150°,A8=2,8c=2夕，將△48C繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△48'。',

連接0C，則的長(zhǎng)度是.

第7頁(yè)

c

B'

【答案】4

【變式3】

16.如圖，在△力8c中，乙4c8=90。，AC=6,BC=8,將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在48邊上

的點(diǎn)石處，點(diǎn)6落在點(diǎn)。處，連接80.

(1)40的長(zhǎng)為;

(2)80的長(zhǎng)為.

【答案】(1)10

⑵4V5

考點(diǎn)5［旋轉(zhuǎn)中的坐標(biāo)與圖形變換

典例5：

17.在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)4(-4,2)繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，則點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)/的坐標(biāo)是()

A.(2,4)B.(4,2)C.(-4,-2)D.(-4,2)

【答案】A

【解析】【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)4作481%軸于點(diǎn)B,4'CJLx軸于點(diǎn)C,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，乙404=90。，0A=0A\

???Z-A0B+Z-AfOC=90°,

AB1X軸，AC1不軸，

/.ABO="CO=90°,

乙4+Z,AOB=90°,

第8頁(yè)

:.Z.A=Z-A'OC,

在△403和404c中，

(乙4=AA0C

IAABO=L0CA>

(0A=0A

:.AAOB三△04C(AAS),

'.AB=OC,OB=AC

??T(_4,2),

:.OB=4,AB=2,

OC=2,/c=4，

:.4(2,4),

故選：A.

【分析】

本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造△408三△OAC(AAS),利用旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo).

【變式1】

18.在平面直角坐標(biāo)系中，△A8C的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是4(一1,3),5(-3,0),6(-2,-2),將△48C繞原點(diǎn)

按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，得到△ABV',其中4與才對(duì)應(yīng)，B與爐對(duì)應(yīng)，則才的坐標(biāo)是()

A.(1,3)B.(3,1)C.(1,-3)D.(-1,-3)

【答案】B

【變式2】

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)8在x軸上，08=48=5，點(diǎn)A到x軸的距離為4,將△。48繞點(diǎn)。

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△0AB',則點(diǎn)/的坐標(biāo)是.

【答案】(一4,8)

【變式3】

20.如圖，正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)/(-1,-2),8(2,m)兩點(diǎn)，現(xiàn)將線(xiàn)段48繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線(xiàn)段

BC,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

第9頁(yè)

考點(diǎn)6'旋轉(zhuǎn)作圖

典例6：

21.在圖中網(wǎng)格上按要求畫(huà)出圖形，并回答問(wèn)題:

(1)如果將三角形4BC繞點(diǎn)。向逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，使得點(diǎn)4、點(diǎn)B、點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F、點(diǎn)

G,請(qǐng)畫(huà)出三角形EFG；

(2)畫(huà)出三角形力8c關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)的三角形&B1C1；

(3)三角形EFG與三角形481cl上(填“是”或“否”)關(guān)于某個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)？如果是，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出

這個(gè)對(duì)稱(chēng)中心；如果不是，請(qǐng)描述通過(guò)怎樣的運(yùn)動(dòng)可以使三角形EFG與三角形4&C］重合.

【答案】(1)解：如圖所示，三角形EFG即為所求；

(2)解：如圖所示，=角形4%已即為所求;

第10頁(yè)

(3)解：否；三角形E/G與三角形4181cl不是關(guān)于某個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，可把三角形EFG繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90。可與三角形重合

【解析】【解答］解：(3)解：三角形EFG與三角形4&C1不是關(guān)于某個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，可把三角形EFG繞點(diǎn)

。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。可與三角形為小前重合，

故答案為：否.

【分析】(1)如圖分別取格點(diǎn)E、F、G,再順次連接E、F、G三點(diǎn)，則由一線(xiàn)三垂直全等模型可得乙4DE二

乙BDF=^CDG=9。。、AD=ED、BD=FD、CD=GD,即AER；即為所求作；

(2)由中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可分別連接AD、BD、CD并延長(zhǎng)，使AD=AID、BD=BQ、CD=CID,再順次連

接Ai、Bi、G即可；

(3)由于成中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連接經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)即對(duì)稱(chēng)中心，顯然△EFG與△&8iQ不可能成中

心對(duì)稱(chēng)；但由中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得AAiBiG是把△ABC繞點(diǎn)口順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度得到的，則由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可

知把△EFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度即可得到△

【變式1】

22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,△4BC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(1,1),8(4,2),

C(3,4)

(1)AC的長(zhǎng)等于.

(2)請(qǐng)回出把△48C向左平移2個(gè)單位得△48傳1，并寫(xiě)出點(diǎn)4的坐標(biāo)；

(3)請(qǐng)畫(huà)出把△ABC繞原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。得到△力282c2，并寫(xiě)巴點(diǎn)。2的坐標(biāo)?

第11頁(yè)

【答案】（1）713

<2）解：如圖所示，△&31G即為所求;

【解析】【解答】解:（1）???4（1,1）,6（3,4）

：-AC=V22+32=履;

【分析】

（1）直接利用勾股定理計(jì)算即可;

（2）把A、B、C三點(diǎn)分別沒(méi)水平方向向左移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到點(diǎn)Ai、Bi、Ci,再順次連接AH

BI、Ci即可;

（3）直接作點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)兒、口2、的，再順次連接即可.

【變式2】

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為（一2,1）,（1,2）,（2,1）,將△ABC繞點(diǎn)夕逆時(shí)

針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△48'。'，點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4,的坐標(biāo)為（-2,-1），點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)8,的坐標(biāo)為（一3,2）.

第12頁(yè)

(1)點(diǎn)夕的坐標(biāo)是一;(填寫(xiě)正確的選項(xiàng))

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,-1)

(2)畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的△48'C',并寫(xiě)出C'的坐標(biāo)是______________________________________________

(3)線(xiàn)段8A的延長(zhǎng)線(xiàn)與線(xiàn)段4H交于點(diǎn)M，直接寫(xiě)出28M4的度數(shù).

【答案】(1)A

(2)解：如圖，△AITU即為所求作，

(3)解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，LAPA'=LBPB'=90°,AP=A'PfBP=B'P

：.LAPB三△APB'(SAS)

：.Z-ABP=Z.A'B'P,又=

=Z.BPA=90°,

貝此18帆4'=180°-Z.B'MA=90°.

【解析】【解答】解：⑴解:如圖,旋轉(zhuǎn)中心P的坐標(biāo)為(-1,0),

故答案為：A.

(2)W：如圖，△481'即為所求作，點(diǎn)°'坐標(biāo)為(一2,3),

故答案為：(一2,3)；

【分析】此題考查了坐標(biāo)與圖形?旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，尋找旋轉(zhuǎn)中心，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是理解題意，畫(huà)出圖形，結(jié)合有關(guān)性質(zhì)正確求解.

(1)線(xiàn)段4)，的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)P即為所求；

(2)根據(jù)要求作出圖形，根據(jù)圖形可得C'坐標(biāo)；

(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可解決問(wèn)題.

【變式3】

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△48。的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是4(3,-1),8(0,-3),。(4,一4).

第13頁(yè)

(1)將△4BC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180。，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的△ABC1；

(2)平移△/8C,若A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)兒的坐標(biāo)為(3,3),畫(huà)出平移后的△42殳。2；

(3)若將△482C2繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到△A18C1，請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo).

【答案】(1)解：如圖，△48C］即為所求；

(2)解：:A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)心的坐標(biāo)為(3,3),

故將△A8C沿著y軸，向上平移4個(gè)單位得到△4282c2；

如圖，△4為金即為所求；

第14頁(yè)

V

6

5

4

3

2

一6一5一4一

Ai

(0,—1).

【解析】【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知旋轉(zhuǎn)角為180度時(shí)，旋轉(zhuǎn)前后兩三角形關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱(chēng)，即分別

倍長(zhǎng)AB、CB到點(diǎn)Ai和Ci,再順次連接Ai、G、B即可;

（2）由點(diǎn)A與A2的坐標(biāo)可知，△%為。?是把△A8C沿豎直方向向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，則點(diǎn)B、C

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)可得，再順次連接A2、B2、C2即可;

（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得旋轉(zhuǎn)中心是線(xiàn)段AiA?、B1B2、C1C2垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，再結(jié)合坐標(biāo)與圖形性質(zhì)即

可.

考點(diǎn)7［旋轉(zhuǎn)的綜合應(yīng)用一最值

典例7：

25.如圖，Rtz^BC中，41cB=90。，AA=30°,BC=5,點(diǎn)E是邊4c上一點(diǎn)，將BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

60。到8F,連接CF,貝IJCF長(zhǎng)的最小值是（）

第15頁(yè)

A

【答案】B

【變式1】

26.如圖，在mZM8C中，N4BO90。，AB=BC,點(diǎn)P在AABC為一點(diǎn)、,連接以，PB,PC,若

NBAP:NCBP,且AP=6,則PC的最小值是（）

A.25/2B.3C.3V5-3D.3或

【答案】D

【變式2】

27.如圖，將線(xiàn)段BC繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到線(xiàn)段84,點(diǎn)。是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且。、8兩點(diǎn)之間的距離

為5,連接DA,DC,則ZM+DC的最小值為.

【答案】5V3

【變式3】

28.如圖，在矩形A8C0中，AB=4,BC=3,CE=2BE,EF=2,連接力心將線(xiàn)段4尸繞著點(diǎn)4順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。得到4P,則線(xiàn)段PE的最小值為.

第16頁(yè)

【答案】V34-2/-2+V34

【解析】【解答】解：如圖，連接過(guò)點(diǎn)4作4G14E,截取4G=4E,連接PG,GE,

:將線(xiàn)段力口繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到力P,

：.AF=APf^PAF=90°,

：.Z-FAE+Z-PAE=Z-PAE+/-PAG=90°,

：.Z-FAE=4PAG.

又????!G=AE,

：.LAEF三△4GP(SAS),

：.PG=EF=2.

YBC=3,CE=2BE,

：.BE=1.

???在々△4BE中，AE=>1AB2+BE2=717.

*：AG=AEf^GAE=90°t

:,GE=y[2AE=V34.

*：PE>GE-PG,且當(dāng)點(diǎn)G,P,E三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，

???PE的最小值為GE-PG=回一2.

故答案為：V34-2.

【分析】連接4E,過(guò)點(diǎn)A作4G_LRE,截取4G=4E,連接PG,GE,通過(guò)S4s證明△4EF三A4GP,得

PG=￡F=2,再求出GE的長(zhǎng).最后在AGPE中，利用三邊關(guān)系即可得出答案.

考點(diǎn)8［旋轉(zhuǎn)的綜合應(yīng)用一周期

典例8：

29.如圖是兩個(gè)完全重合的矩形，將其中一個(gè)始終保持小動(dòng)，另一個(gè)矩形繞其對(duì)稱(chēng)中心按逆時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行施

轉(zhuǎn)，第一次旋轉(zhuǎn)后得到圖①，第二次旋轉(zhuǎn)后得到圖②，…，則第2022次旋轉(zhuǎn)后得到的圖形與圖①?④中

第17頁(yè)

相同的是()

①②③④

A.圖①B.圖②C.圖③D.圖④

【答案】B

【解析】【解答】解：觀(guān)察圖形可知每4次循環(huán)一次，2022+4=505…2,

???第2022次旋轉(zhuǎn)后得到的圖形應(yīng)與圖②相同，

故答案為：B.

【分析】由題意知每旋轉(zhuǎn)4次一個(gè)循環(huán)，且每次的旋轉(zhuǎn)知為45度，則用2022除以4取余即可得結(jié)果對(duì)應(yīng)的

圖形序號(hào).

【變式1】

30.如圖是一個(gè)裝飾連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的四個(gè)圖形，照此規(guī)律閃爍，第2021次閃爍呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是

()

第一次第二次第三次第四次

【答案】A

【變式2】

31.有一個(gè)正六面體骰子，放在桌面上，將骰子按如圖所示的順時(shí)針?lè)较驖L動(dòng)，每滾動(dòng)90。算一次，則滾動(dòng)

第2019次后骰子朝下一面的點(diǎn)數(shù)是.

第一次第二次第三次

第18頁(yè)

【答案】5

【解析】【解答】解：觀(guān)察圖形知道點(diǎn)數(shù)二和點(diǎn)數(shù)四相對(duì)，點(diǎn)數(shù)二和點(diǎn)數(shù)五相對(duì)且滾動(dòng)四次一循環(huán),

72019-4=504...3,

???滾動(dòng)第2019次后與第三次相同，

???朝下的數(shù)字是2的對(duì)面5,

故答案為：5.

【分析】觀(guān)察圖形知道點(diǎn)數(shù)三和點(diǎn)數(shù)四相對(duì)，點(diǎn)數(shù)二和點(diǎn)數(shù)五相對(duì)且四次一循環(huán)，則可用2019除以4取余

即可得正面朝上的數(shù)字，則底面數(shù)字也可得.

【變式3】

32.如圖，一個(gè)機(jī)器人最初面向北站立，按程序：每次移動(dòng)都向前直走5m,然后逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，每次

轉(zhuǎn)動(dòng)的角度增加10°.第一次直走5m后轉(zhuǎn)動(dòng)10。，第二次直走5m后轉(zhuǎn)動(dòng)20。，第三次直走5m后轉(zhuǎn)動(dòng)30。，如此

下去.那么它在移動(dòng)過(guò)程中第二次面向西方時(shí)一共走了米.

【答案】45

【解析】【解答】解：設(shè)第n次直走結(jié)束時(shí)機(jī)器人面向西方，即第二次面向西方時(shí)一共轉(zhuǎn)了360。+90。=

450°,

10°+20°+30°…+/x10°=450°

當(dāng)n=9時(shí)第二次面向西方，

一共走了9x5=45(米)；

故答案為：45.

【分析】由題意知，第n次直走結(jié)束時(shí)一共轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為5以九+1)。，即一共轉(zhuǎn)動(dòng)了360。+90。=450。，再

解關(guān)于n的方程可得n=9,再由題意知每次向前移動(dòng)5米，則第9次移動(dòng)后共走了45米.

考點(diǎn)9

典例9：

33.將AOBA按如圖方式放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，其中4084=90。，乙4=30。，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為

(1,75),將△0B4繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60。，則第2024次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)4對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為

()

第19頁(yè)

B.(-1,73)C.(-2,0)D.(-1,-73)

【答案】C

【變式1】

34.如圖，把正方形鐵片0A8C置于平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)(3,0),點(diǎn)P(l,2)在正方形鐵片匕將

正方形鐵片繞其右下角的頂點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛞来涡D(zhuǎn)90。，第一次旋轉(zhuǎn)至圖①位置，第二次旋轉(zhuǎn)至圖②位

置，…,則正方形鐵片連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次后，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

A.(6058,1)B.(6058,2)C.(6037,1)D.(6037,2)

【答案】A

【變式2】

35.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△AOB頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一2,0),將△4。8繞點(diǎn)。順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。,

同時(shí)邊擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，得到△為。名,再將△&OB］作相同變換得到△&OW，…，依次類(lèi)推，則點(diǎn)

^2025的坐標(biāo)為?

【答案】(22°26,0)

【變式3】

36.如圖，在△A8C中，頂點(diǎn)力在％軸的負(fù)半軸上，5(0,2),C(V5,2),AB=BC,將△力8c繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)9()。，則第6次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)點(diǎn)3的坐標(biāo)是

第20頁(yè)

【答案】(-2,-2)

【解析】【解答】解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m,0),

?'-AB2=加+22=/+4,BC=遙，

*：AB=BC,

；?*+4=5,

：.m=-l(正值舍去)，

0),

???將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，

??.每4次為一個(gè)循環(huán)，點(diǎn)B回到起始位置，

V6-r4=1...2,

???第6次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)點(diǎn)8的坐標(biāo)與第2次旋轉(zhuǎn)點(diǎn)B的位置相同，即相當(dāng)于把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。，

六此時(shí)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)(0,2)關(guān)于4-1,0)對(duì)稱(chēng)，

???此時(shí)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-2),

故答案為：(—2,—2).

【分析】由于一個(gè)周角是360度，則由旋轉(zhuǎn)角知每旋轉(zhuǎn)4次點(diǎn)B回到原來(lái)位置，則第6次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)點(diǎn)B繞

點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了180度，即點(diǎn)B與對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱(chēng)，此時(shí)可利用兩點(diǎn)距離公式結(jié)合已知求出點(diǎn)

A的坐標(biāo)(注意點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為負(fù))，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可.

考點(diǎn)10旋轉(zhuǎn)的綜合應(yīng)用一幾何綜合

典例10：

37.如圖1是實(shí)驗(yàn)室中的一種擺動(dòng)裝置，9。在地面上，支架ABC是底邊為BC的等腰直角三角形，擺動(dòng)臂4。可

繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)，擺動(dòng)臂OM可繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，AD=30,DM=10.

(I)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,

第21頁(yè)

①當(dāng)4D,M三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，求AM的長(zhǎng).

②當(dāng)4D,M二點(diǎn)為同一直角二角形的頂點(diǎn)時(shí)，求/1M的長(zhǎng).

（2）若擺動(dòng)臂AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)。的位置由△ABC外的點(diǎn)Di轉(zhuǎn)到其內(nèi)的點(diǎn)小處，連結(jié)。42，如圖2,

此時(shí)NAD2c=135。,CD2=60,求8出的長(zhǎng).

【答案】（1）解：①當(dāng)4。，M三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，

若點(diǎn)M在40的延長(zhǎng)線(xiàn)上，

則AM=DM+40=10+30=40,

若點(diǎn)M在AO上，

則4M=AD-DM=30-10=20,

綜上所述8M的長(zhǎng)為40或20：

②當(dāng)40,M三點(diǎn)為同一直角三角形的頂點(diǎn)時(shí)，

若力。為直角邊，

則/IM=\）AD2+DM2=V3024-102=A/1000=lOx/lO.

若40為斜邊，

AM=\/AD2-DM2=V302-102=V800=205

綜上所述當(dāng)4,D,M三點(diǎn)為同一直角三角形的頂點(diǎn)時(shí)，4M的長(zhǎng)為10舊或20或:

???Z-DAAD2=90。，40[=AD2=30.

。1。2=V302+302=30及，4AD1O2=44。2。1=45°,

???^AD2C=135°,

：?乙D1D2c—90°,

在Rt/kDi。2c中，后，

v乙BAC=Z.D2Aoi=90。，

Z.BAC-Z-D2AC=Z-D2AD1-Z.D2AC,

:.Z.BAD2=Z-CAD1?

AD2-4D]

在△ASO?和△ACOi中^BAD2=/-CADX,

AB=AC

第22頁(yè)

:AABD?=△ACDr,

:.BD2=CD^=30vs.

【變式1】

38.如圖1,在由△ABC中，ZA=90°,AB=AC,點(diǎn)D,E分別在邊A3,AC上，AD=AEf連接0G點(diǎn)M,

P,N分別為OE,DC,8c的中點(diǎn).

（1）觀(guān)察猜想：圖1中，請(qǐng)判斷線(xiàn)段與PN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）探究證明：把繞點(diǎn)八逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接MMBD,CE,判斷△PMN的形

狀，并說(shuō)明理由：

（3）拓展延伸：把AAOE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=3,AB=7,請(qǐng)直接寫(xiě)出△PMN面積的最大

值.

【答案】（1）解：PM=PN,PM1PN.理由：

???點(diǎn)P,N是BC,CO的中點(diǎn)，

cY呵

???點(diǎn)P,M是CD,OE的中點(diǎn)，

i

PM//CE.PM=^CE,

'：AB=AC,AD=AE,

:?BD=CE,

:?PM;PN,

vPN//BD,

：.ZDPN=ZADC,

???PM//CE,

：.ZDPM=ZDCA,

,/ZBAC=90°,

???NAOC+N4CD=90。，

/MPN二/DPM+/DPN=/DCA+/ADC=9D0,

第23頁(yè)

PM1PN,

故答案為：PM=PN,PM1PN.

（2）解：△PMN是等腰直角三角形.

理由如下：

由旋轉(zhuǎn)知，NBAD=/CAE,

?：AB=AC,AD=AE,

???△ABOg/XACE（SAS）,

AZABD=ZACE,BD=CE,

利用三角形的中位線(xiàn)得，PN=^BD,PM=^CE,

乙乙

:?PM二PN,

???△PM/V是等腰三角形，

同（1）的方法得，PM//CE,

：.NDPM二NDCE,

同（1）的方法得，PN//BD,

:.NPNC=/DBC,

'：ZDPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+ZDBC,

：.NMPN=NDPM+/DPN=NDCE+NDCB+NDBC

=ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC

=/ACB+NA">+/DBC=NACB+/ABC,

VZBAC=90°,

???ZACB+ZABC=90°f

???NMPN=90。,

???△PA/N是等腰直角三角形；

（3）解：把△40E繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時(shí),

第24頁(yè)

由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PNJBD,

最大時(shí)，APM/V面積最大，

???點(diǎn)。在84的延長(zhǎng)線(xiàn)上，

：.BD=AB+AD=\O,

：.PM=5f

???SAPMN^x=iPA^=lx52=^

乙乙/1

【變式2】

39.如圖1,在△4BC中，41=90。，AB=AC=&，點(diǎn)、D、E分別在邊48、4c上，且40=4E=2—

五,連接OE.現(xiàn)將/MOE繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a（0。VaV360。），分別連接CE、BD.

圖1圖2圖3

(1)如圖2,當(dāng)0。＜。＜90。時(shí)，求證：CE=BD；

(2)如圖3,當(dāng)a=90。時(shí)，延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F,求證：CF垂直平分80；

(3)連接CD,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求A8C0的面積的最大值,并寫(xiě)出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

【答案】(1)證明：由題意得，AB=AC,AD=AE,Z.CAB=Z.EAD=90°,

v乙CAE+Z.BAE=/.BAD+乙B