廣東深圳寶安區2025-2026學年七年級下學期期中學情調查數學試題（試卷+解析）

2025-2026學年第二學期期中學情調查

七年級數學

考試時間：90分鐘

一、選擇題（每題3分，共8小題，共24分，每小題只有一個正確答案）

1.2026年馬年春晚舞臺上，一個奔馬矩陣裝飾的單個微型入￡0燈珠厚度約為0.00078厘米，請用科學記

數法表示0.00078為（）

A.7.8x10-5B.0.78x10-5C.7.8xlO-4D.78x10^

2,2025年11月21日，第十五屆全國運動會閉幕式在廣東深圳舉行，下列給出的運動圖案中是軸對稱圖

形的是（）

AS），中

3.下列計算正確的是（）

A.B.-j-tz'=a4

C.（b-a）（a+b）=a2-b2D.-6x（x-3y）=-61+18盯

4.下列事件中，屬于必然事件的是（）

A.2026年2月16日是我國除夕，這一天會下雨

B.擲一枚骰子，向上一面的點數是6

C.任意畫一個三角形，其內角和是360。

D.在班上任選13名同學，至少有2人的生日在同一個月份

5.中國在科學領域取得了很多舉世矚目的成就，世界上第一個小孔成像的實驗就是由我國古代的墨子和他

的學生完成的（得出了光沿直線傳播的結論）.如圖，Zl+Z2=30°,則N3的度數為（）.

6.如圖，已知=ZC=ZE,下列條件中，無法判定△AB。義的是（）

A

12

c

A.NB=NDB.BC=DEC.Z1=Z2D.AB=AD

7.如圖，將長方形紙片沿石口折住，點、A,〃分別落在B'處,若*恰好落在邊C。上，如

果測得/EFB'=a,則NCB'F的度數為（）

/---------\/f

A.90°-2aB.2a-90。C.180°-2?D.90。-a

8.如圖，直線叱上有兩點4、C,分別引兩條射線48、CD.ZBAF=\20°,CO與48在直線

Q異側.若NOC產=30。，射線力8繞點力以1度/秒的速度順時針轉動、射線CO繞點。以4度/秒的速

度同時逆時針轉動，設轉動時間為，秒，在射線CO轉動一周的時間內，當/的值為（）秒時，CO與

48第一次平行.

A.10B.20C.30D.40

二、填空題（每題3分，共5小題，共15分）

9.已知三角形的三邊長分別為2,6,x,則x的值可以是.（請寫出一個符合題意的整數）

10.數學課上，李老師與學生們做“用頻率估計概率”的試驗：不透明袋子中共裝有10個球，其中有1個

黑球、2個白球、3個紅球和4個黃球，這些球除顏色外無其他差別.從袋子中隨機取出一個球，某種顏色

的球出現的頻率如圖所示，則該球的顏色最有可能是（從“黑球”、“白球”、“紅球”、“黃球”中

選擇一個填空）

本頻率

030

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

藕（百次）

01234567

11.一副三角板按如圖所示的方式擺放，且N1比42大50。，貝1"2的度數為

12.如圖，在V/8c中，以點力為圓心，4C的長為半徑作弧交于點。，再分別以點8和點。為圓

心，大于g田的長為半徑作弧，兩弧分別交于點"和點M連接MN交AB于點、E,若48=18,

AC=W,則V4OE的周長為

13.如圖，在V44c中，AC=BC,48=4,V44C的面積為10,作力。_L/C,且ZQ=4C,連

接8。，點E為射線48上的動點，當。E的長度最短時，V8DE的面積為.

C

三、解答題（共7小題，共61分）

14.計算：

-3

（1）（/T-2026）°-（-3）2+-；

⑵（-〃下.a-一2片）二

15.先化簡再求值：卜3?-2;</）+（工2一。一2），）*+2_>0,其中x=-l,y=2.

16.如圖，有一枚質地均勻的正二十面體形狀的骰子，其中的1個面標有“1”，2個面標有“2”，3個面標

有“3”，4個面標有“4”，5個面標有“5”,其余的面標有“6”，投擲這枚骰子一次，則:

（1）向上一面的數字是6的概率是,向上一面的數字是（）的概率是；

（2）現利用這個骰子設計一個游戲：投擲這枚骰子一次，若向上一面的數字是奇數，則小明決勝，否則

小紅獲勝，請利用概率判斷這個游戲是否公平.

17.如圖，在V4中，CD平分NACB交AB于點、D,點、E,尸分別在14、4c邊上,

（1）請用直尺和圓規，過點。作。〃〃彳。交4。于點〃.（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若Nl+N〃QC=180。，Zl=148°,請：①證明E/〃CQ；②求NB//O的度

數.請完成如下的幾何推導：

解：???N1+N〃QC=180。，

/HDC=180°-=180。-148。=32。，（等式的性質）

,rDH//AC,

Z2=ZHDC=32°,（）

:.Zl+Z2=148o+32°=180°,

：,EF//CD,（）

???/ACB==2*32。=64。，（角平分線的定義）

??,DH//AC,

/BHD==64。.（兩直線平行，同位角相等）

18.據史書記載，最早的風箏是由古代匠人墨子用木頭制成的木鳥，稱為“木鶯”，后來隨著造紙術的發

明，人們開始用紙張和竹條制作風箏，使其更加輕便、易于放飛.在如圖所示的“風箏”圖案中，風箏的

一角（NE）缺失，為修補該風箏，現測得：/BAF=NDAC,NB=/D,AB=AD,AC=50cm.

（1）求修補完風箏后力石的長度.

（2）若用紙面積為75cm2,求△￡”產的用紙面積.

19.綜合與實踐

【材料1】

我國著名數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微.”數形結合是解決數學問題的重要思

想方法，探究一些乘法公式的時候，就可以借助數形結合的方法對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形

的面積可以得到一個數學等式.

（1）如圖，在邊長為。的大正方形中有兩個小正方形，陰影部分的面積可以用2種不同的方式表示，請

寫出下圖所表示的數學乘法公式：.

【材料2】

（2）換元法是把一個比較復雜的代數式的一部分看成一個整體，用另一個字母代替這個整體（即換元）

的方法，好處是能使式子得到簡億，便于解決問題，充分體現數學的整體思想.

如：已如關于x的一元一次方程2x-a-51r+2026①的解為工-1,求關于V的一元一次方程

2（1—丁）一。二5（1-歹）+2026的解?.

要解決這個問題，可以令，二1一），貝I可得至iJ2z-a=5/+2026,該方程與方程①同解，則，=1,則

\-y=\,解得：y=0.

請利用（1）得到的公式和換元法，解決如下問題：

若（6+幻（4+工）=8,求（6+X『+（4+X）2的值.

【類比探究】

（3）若對于任意的有理數x,都有a=99x+100,/?=99x+101,c=99x+IO2,請從數形結合的角度

2

或代數運算的角度，求代數式/+〃+c-ab-bc-ac的值.

20.面對一般性的問題時，可以先考慮特殊情形，借助特殊情形下獲得的結論或方法解決一般性的問題，

這就是特殊化策略.

【定義】如果一個三角形的一條角平分線和一條中線互相垂直，則稱它們的交點為中垂點，該三角形為中

垂三角形，這條角平分線平分的內角為中垂角.

為了更好的研究中垂三角形的-一般性質，請利用特殊化策略進行探究.

BC

圖1圖2備用圖

【特殊圖形】

（1）從下列特殊的三角形切入研窕，根據定義，是中垂三角形的有

①等邊三角形；②頂角為90。的等腰三角形；③三邊長分別為4,4,2的等腰三角形.

（2）勤思組在上述特殊的三角形中探究發現，中垂三角形的邊滿足特定的數量關系.如圖1,在YABC

中，BE平分/nBC交4c于點E,為V力3c的中線，BE與4D交于點、F,若ADA.BE,則

V/f8c為中垂三角形，此時V/8C的邊力B和8C滿足怎樣的數最關系？請你寫出來并說明理由.

【拓展應用】

（3）如圖2,線段AC的長度為〃，在射線8〃上取一點力，使V48C是以為中垂角的中垂三角

形，作平分N/8C交4C于點上，中垂點為點/，若△C6的面積為3,請你畫出符合題意的圖形

（不限作圖工具），在圖上標注48的長度（用含。的式子表示），并直接寫出的面積.

2025-2026學年第二學期期中學情調查

七年級數學

考試時間：90分鐘

一、選擇題（每題3分，共8小題，共24分，每小題只有一個正確答案）

1.2026年馬年春晚舞臺上，一個奔馬矩陣裝飾的單個微型入￡0燈珠厚度約為0.00078厘米，請用科學記

數法表示0.00078為（）

A.7.8x10-5B.0.78x10-5C.7.8x1。"D.78xl0-3

【答案】C

【解析】

【分析】結合科學記數法的表示形式為4X10”，其中〃為整數，進行分析，即可作答.

【詳解】解：0.00078=7.8x107.

2.2025年11月21日，第十五屆全國運動會閉幕式在廣東深圳舉行，下列給出的運動圖案中是軸對稱圖

形的是（）

A忒3D.

【答案】C

【解析】

【分析】熟知如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖

形是解題關鍵.根據軸對稱圖形定義，進行分析判斷即可.

【詳解】解：A、自行車圖案，沿任何直線折疊后，兩邊無法完全重合，不是軸對稱圖形，不符合題意：

B、人物圖案，沿任何直線折疊后，兩邊無法完全重合，不是軸對稱圖形，不符合題意：

C、人物圖案，沿中間豎直線折疊后，兩邊能完全重合，是軸對稱圖形，符合題意，

D、人物圖案，沿任何直線折疊后，兩邊無法完全重合，不是軸對稱圖形，不符合題意.

3.下列計算正確的是（）

A.a2-a3=a6B.

C.(b-a)(a+b)=a2-b2D.-6x(x-3y)=-6x2+18xy

[1D

【解析】

【分析】運用同底數轅乘除法，平方差公式，單項式乘多項式的運算法則，分別計算各選項即可得到正確

結果.

【詳解】解：A、故該選項不符合題意；

B、/+/=/H故該選項不符合題意；

C、(h-a)(a^h)=h2-a2^a2-b2,故該選項不符合題意；

D、-6x(X-3,y)=-6x2+18xy,故該選項符合題意;

4.下列事件中，屬于必然事件的是()

A.2026年2月16日是我國除夕，這一天會下雨

B.擲一枚骰子，向上一面的點數是6

C.任意畫一個三角形，其內角和是360。

D.在班上任選13名同學，至少有2人的生日在同一個月份

【答案】D

【解析】

【分析】必然事件指一定會發生的事件，隨機事件是指可能發生也可能不發生的事件，不可能事件是指不

可能發生的事件，根據定義逐一判斷選項即可得到結果.

【詳解】解：A、2026年除夕下雨可能發生也可能不發生，屬于隨機事件，不符合題意；

B、擲一枚股子，向上一面的點數為6可能發生也可能不發生，屬于隨機事件，不符合題意；

C、任意二角形的內角和為180°,不是3600,該事件一定不發生，屬于不可能事件，不符合題意；

D、一年共有12個月份，任選13名同學，若前12名同學的生日分別在不同月份，第13名同學的生日一

定與其中1人在同一個月份，故事件一定發生，屬于必然事件，符合題意.

5.中國在科學領域取得了很多舉世矚目的成就，世界上第一個小孔成像的實驗就是由我國古代的墨子和他

的學生完成的(得出了光沿直線傳播的結論).如圖，Nl+N2=30。，則N3的度數為().

A.150°B.160°C.165°D.170°

【答案】C

【解析】

【分析】根據題意，N1和N2是對頂角，Z1=Z2=15。，又因為N1和23是鄰補角，鄰補角的定義

是兩個角相鄰且它們的和為180。.因此，我們可以得出N3的度數.

【詳解】解：???/1和N2是對頂角，

Nl=N2,

QZ1+Z2=3O°,

Z1=Z2=15°,

N1和N3是鄰補角，

Zl+Z3=180°,

Z3=180°-Zl=180°-15°=l65°.

6.如圖，已知力E=4C,ZC=ZE,下列條件中，無法判定△力3cg的是（）

A.NB=NDB.BC=DEC.Z1=Z2D.AB=AD

【答案】D

【解析】

【分析】由全等三角形的判定依次判斷可求解.

【詳解】A、添加N8=N〃，由"44S''可證△力8CWZX4。石，故選項A不符合題怠；

B、添加8C=QE,由“S4S”可證故選項B不符合題意；

C、添加/1=/2,由“1S4”可證故選項C不符合題意；

D、添加/4=/。，不能證明△力8c會故選項D符合題意；

故選：D.

本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是本題的關鍵.

7.如圖，將長方形紙片4?。。沿EF折疊，點4,〃分別落在H,8'處，若"恰好落在邊CO上，如

果測得/EFB'=a,則NCB'F的度數為（）

A.90°-2aB.2a—90。C.180。一2aD.90°-tz

【答案】B

【解析】

【分析】先結合折疊的性質得/上/9二/七用二。，運用平角的定義得/8如。=180。一2。，最后由三角

形的內角和性質列式計算，即可倫答.

【詳解】解：?.?折疊,

:"EFB'=4EFB=a,

:?/B，FC=180°-AEFB'-ZEFB=180。一2a,

???紙片是長方形，

.--ZC=90°,

在0CF中，NCB'F=180°-ZC-NB,FC=180°-90°-（180°-2a）=2a-90。.

8.如圖，直線E7L上有兩點4、C,分別引兩條射線44、CD.ZBAF=\200,CO與44在直線

EF異側.若乙DCF=30c,射線AB繞點A以1度/秒的速度順時針轉動、射線CD繞點。以4度/秒的速

度同時逆時針轉動，設轉動時間為，秒，在射線CQ轉動一周的時間內，當z的值為（）秒時，。。與

48第一次平行.

A.10B.20C.30D.40

【答案】C

【解析】

【分析】先理解題意，結合旋轉方向以及旋轉速度表示當力4在石廠的右邊時，Z^F=120°-Z,再結

合兩直線平行，內錯角相等得出乙R4〃=NOCE,代入數值計算，得出/=-6<0舍去；然后當。。在

EF的右邊，結合兩直線平行，同位角相等得出=代入數值計算，得出/=30,即可作

答.

【詳解】解：???/。3=30。，射線CO繞點C以4度/秒的速度逆時針轉動，

???當。。與。尸重合時，時間為30。+4=7.5（秒）

?：/BAF=120°,射線AB繞點N以1度/秒的速度順時針轉動：

???當36在石尸的右邊時，ZBAF-\200-t,

當DC在EF的左邊，即0W，工7.5

則/。3=30。-4Z,

???乙DCE=180°-（30°-4r）=150°+4r

???CQ與平行.

???/FAB=NDCE

BP1500+4/=120°-/

解得"―6<0（舍去）；

當DC在火的右邊，如圖所示：

貝叱。C尸=4—30。，

???8與力B平行.

???4FAB=ZDCF

即4/-30°=120°-/

???1=30〉7.5,符合題意；

即當工的值為30秒時，。。與48第一次平行.

二、填空題（每題3分，共5小題，共15分）

9.已知三角形的三邊長分別為2,6,x,則x的值可以是.（請寫出一個符合題意的整數）

【答案】5（或6或7）

【解析】

【分析】根據三角形三邊關系確定的取值范圍，再在取值范圍內找出符合要求的整數即可.

【詳解】解：根據三角形三邊關系：三角形任意兩邊之差小于第三邊，任意兩邊之和大于第三邊，

可得6—2<x<6+2,計算得4<x<8,

因為x為整數，

所以可取5,6,7中任意一個.

10.數學課上，李老師與學生們做“用頻率估計概率”的試驗：不透明袋子中共裝有10個球，其中有1個

黑球、2個白球、3個紅球和4個黃球，這些球除顏色外無其他差別.從袋子中隨機取出一個球，某種顏色

的球出現的頻率如圖所示，則該球的顏色最有可能是（從“黑球”、“白球”、“紅球”、“黃球”中

選擇一個填空）

4頻率

030

0.25

0.20?

0.15

0.10

0.05???????

???????

0,2*34567次數（百次）

【答案】白球

【解析】

【分析】本題主要考查了簡單的概率計算，用頻率估計概率，根據大量反復試驗下頻率的穩定值即為概率

值得到抽到該球的概率為0.2,再分別計算出抽到四種顏色的球的概率即可得到答案.

【詳解】解?：由題意得，該球的頻率穩定在0.2左右，即抽到該球的概率為0.2,

123

???抽到黑球的概率為歷=0.1,抽到白球的概率為m=0.2,抽到紅球的概率為m=0.3,拍到黃球的概

4

率為m=0.4,

???該球的顏色最有可能是白球,

故答案為：白球.

11.一副三角板按如圖所示的方式擺放，且"比42大50。，則/2的度數為.

【解析】

【分析】根據余知、補角的定義進行計算即可.

【詳解】解：由圖可知/1+/2=180。-90。=90。，

根據題意可知Nl=N2+50。

???Z2=(90°-50°)4-2=20°

故答案為：20。.

本題考查了余角的概念，互為余角的兩角和為90°,解題的關鍵在于準確從圖中找出兩角之間的數量關

系，做出判斷.

12.如圖，在V48c中，以點力為圓心，4c的長為半徑作弧交8C于點。，再分別以點〃和點力為圓

心，大于的長為半徑作弧，兩弧分別交于點〃和點M連接MN交力B于點E,若48=18,

2

4。=10,則V/4OE的周長為.

【解析】

【分析】本題考查「垂直平分線的性質，解決本題的關鍵是得到例N為的垂宜平分線.

根據作法可得力。=力C,再由垂直平分線的畫法可得A/N為“〃的垂直平分線，由此可?得￡8=

再根據三角形的周長求解即可.

【詳解】解：???以點力為圓心，/C的長為半徑作弧交8C于點。，

:.AD=AC=10,

???以點4和點。為圓心，大于:紀的長為半徑作弧，兩弧分別交于點M和點N,

2

???A/N為8。的垂直平分線，

:.EB=ED,

AB-AE+EB=18,

AE+ED=18>

二V/O￡1的周長為4E+瓦）+力。=18+10=28.

故答案為：28.

13.如圖，在VA3C中，AC=BC,AB=4,V45c的面積為10,RADIAC,且力￡)=4C,連

接BQ,點E為射線彳B上的動點，當。石的長度最短時，VBDE的面積為

C

【答案】1

【解析】

【分析】先結合垂線段最短，得。￡工48的延長線，再證明AC"4g△C〃3(HL),得4〃=2,

SKHA=S.3B=5,又因為AD=AC,證明△。//0△力QE(AAS)，故

DE=AH=2,5JD￡=5CJ//=5,最后把數值代入工皿「=-b”.計算，即可作答.

【詳解】解：依題意，當OE的長度最短時，即。E144的延長線，如圖所示：

C

??.NCHA=/CHB=90。,

???CH=CH,AC=BC,

；.ACHA%CHB(HL),

AH=BH=—AB=—x4=2,S,=S=—S.=—x10=5,

22ACHALCnHt>B2△HC2

AD_LAC,

???/C4H+ND4E=9。。,

???OE443的延長線，

???ZAED=ZCHA=90°,

.?.NADE+NDAE=90。，

???^CAH=/ADE,

-AD=AC

故A。，絲△/OE（AAS）,

***DE-AH-2,S.ADE~SKXH~5?

則乂⑺。=；x4BxDE=；x4x2=4,

,?SdBDE=S&ADE—S4ADB=5-4=1.

三、解答題（共7小題，共61分）

14.計算：

<1Y3

（1）（萬-2026）°-（-3>+-；

（2）（_Q）2.Q4_Q、Q2+（_2Q2）3.

【答案】（1）0

（2）-8a6

【解析】

【分析】（1）利用零指數塞的性質：。°=1（。/0）,負整數指數暴的性質。-"二口（〃，（）），以及乘方運

算，分別化筒各項后再進行加減運算；

（2）利用累的乘方、枳的乘方、同底數哥的乘法與除法法則，分別化簡每一項，再合并同類項.

【小問1詳解】

解：原式=1—9+8

=0.

【小問2詳解】

解：原式二八八8。6

=-8/.

15.先化簡再求值：（X》一2x2y2）+gx2一（x-2y）（x+2y）,其中X=-1,y=2.

【答案】2xy-x\-5

【解析】

【分析】運用多項式除以單項式，平方差公式計算，再去括號，然后合并同類項得2孫-最后把

x=-l,y=2代入2中計算，即可作答.

【詳解】解：(無3y一2%2y2)?#一2y)Q+2y)

222

=2xy-4y-(x-4y)

=2xy-4y2-x2+4y2

=2xy-x2

當了=y=2時，原式=2x(_l)x2_(_l)2=_4_]=_5.

16.如圖，有一枚質地均勻的正二十面體形狀的骰子，其中的1個面標有“1”，2個面標有“2”，3個面標

有“3”，4個面標有“4”,5個面標有“5”，其余的面標有“6”,投擲這枚骰子一次,則：

(1)向上一面的數字是6的概率是，向上一面的數字是0的概率是；

(2)現利用這個骰子設計一個游戲：投擲這枚骰子一次，若向上一面的數字是奇數，則小明荻勝，否則

小紅獲勝，請利用概率判斷這個游戲是否公平.

【答案】(1)：，0

4

(2)這個游戲不公平

【解析】

【分析】(1)先求出標“6”的面有5個，然后分別利用概率公式求解即可；

(2)先求數字是奇數共有9個面，然后利用概率公式求解即可.

【小問I詳解】

解：投擲質地均勻的正二十面體形狀的骰子，一共有20個面，每個面出現的可能性相同.

向上一面的數字是“6”的共有20-1-2-3-4-5=5個面，

???向上一面的數字是“6”的概率是上二1,

204

向上一面的數字是“0”的個數是0,

???向上一面的數字是“0”的概率是3=0；

20

【小問2詳解】

解：???骰子質地均勻，

???20個面每個面向上的可能性相同，

若投到1、3、5,則為奇數，共9個面，

9

:?P（小明獲勝）=—,

20

911

:?P（小紅獲勝）=1——=一，

2020

911

由丁<k可知：這個游戲不公平?

2020

17.如圖，在V43c中，CD平分N4cB交4B于點、D,點E,尸分別在/〃、4c邊上,

B--------------------------<-

（1）請用直尺和圓規，過點、D作DH〃AC交BC于點、H.（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若N1+/〃OC=180。，Zl=148°,請：①證明￡/〃CO；②求N6/7D的度

數.請完成如下的幾何推導：

解：VZI+Z/ZDC=180°,

???Z.HDC=180°-=180°-148°=32°,（等式的性質）

???DH//AC,

AZ2=ZHDC=32°,（）

???Zl+Z2=148o+32°=180°,

:,EF〃CD、（）

平分/4C8,

；?/ACB==2x320=64。，（角平分線的定義）

???DH//AC,

:.乙BHD==64。.（兩直線平行，同位角相等）

【答案】（1）見解析（2）N1；兩直線平行，內錯角相等同旁內角互補，兩直線平行；2/2；/ACB

【解析】

【分析】（1）以點。為頂點，DB為邊,在。8邊右側作/歷!”二//即可得OH〃4C；

（2）根據兩直線平行，內錯角相等得N2=NCOH,可得/l+N2=180。，推出E/〃CZ）,根據角平

分線定義和平行線的性質可得出的度數.

【小問1詳解】

解：如圖所示，。，為所求.

解：VZ1+Z/7PC=18O°,

:.乙HDC=18O0-Z1=180°-148°=32°,（等式的性質）

???DH//AC,

AZ2=Z//Z）C=32°,（兩直線平行，內錯角相等）

:.Zl+Z2=148n-t-32n=18O0,

:?EF〃CD,（同旁內角互補，兩直線平行）

???。。平分/2。8,

A^ACB=2Z2=2x32°=64°,（角平分線的定義）

???DH//AC,

：?/BHD=NACB=64°.（兩直線平行，同位角相等）

18.據史書記載，最早的風箏是Lt古代匠人墨子用木頭制成的木鳥，稱為“木身”，后來隨著迨紙術的發

明，人們開始用紙張和竹條制作風箏，使其更加輕便、易于放飛.在如圖所示的“風箏”圖案中，風箏的

一角（NE）缺失，為修補該風箏，現測得：/BAF=NDAC,/B=ND,AB=AD.AC=50cm.

（1）求修補完風箏后AE的長度.

（2）若用紙面積為75cm2,求△￡〃產的用紙面積.

【答案】（1）4E的K度為50cm

(2)△￡1〃廠的用紙面積為75cm2

【解析】

【分析】(1)證明△84。四△ZX4&ASA),即可得到答案;

(2)證明△￡4G三△&4尸(ASA),根據圖形間的面積關系即可求出答案.

【小問1詳解】

解：??,NBAF=/DAC,

???乙BAF+Z1=ZDAC+Z1,

即NB4C=ND4E,

在△8/C和中，

/BAC=/D4E

,AB=AD

ZB=ZD

??.△BAC"ADAE(ASA),

AE=AC=50cm,

???修補完風箏后AE的長度為50c〃?.

【小問2詳解】

)?:ABACHDAE,

AzC=z.F,AC=AE,

???在△E4G和VC4/7中,

fzC=Z-E

AE=AC

lzl=zl

:.△EAG=△C/1F(ASA),

?c-c

?'?S△區4G-S四邊形HFHG=SaCM-S四邊形”"G，

即S^EFH~S&CHG~75cm2,

的用紙面積為75cm2

19.綜合與實踐

【材料1】

我國著名數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微.”數形結合是解決數學問題的重要思

想方法，探究一些乘法公式的時候，就可以借助數形結合的方法對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形

的面積可以得到一個數學等式.

(1)如圖，在邊長為〃的大正方形中有兩個小正方形，陰影部分的面積可以用2種不同的方式表示，請

寫出下圖所表示的數學乘法公式：.

【材料2】

(2)換元法是把一個比較復雜的代數式的一部分看成一個整體，用另一個字母代替這個整體(即換元)

的方法，好處是能使式子得到簡化，便于解決問題，充分體現數學的整體思想.

如：已知關于》的一元一次方程2x—a=5x+2026①的解為x=l,求關于V的一元一次方程

2(]-y)-a=5(1-y)+2026的解.

要解決這個問題，可以令Z=1-》，則可得到2/-。=5/+2026,該方程與方程①同解，則，=1,則

1-y=1,解得：y=o.

請利用(1)得到的公式和換元法，解決如下問題：

若(6+x)(4+x)=8,求(6+X)2+(4+X)2的值.

【類比探究】

(3)若對于任意的有理數x,都有a=99x+100,/?=99x+101,c=99x+IO2,請從數形結合的角度

或代數運算的角度，求代數式/+〃+c^-ab-bc-ac的值.

【答案】(1)(a-b)2=a2-2ab+b2

(2)20

(3)3

【解析】

【分析】(1)用兩種方法表示陰影部分的面積即可得出結果；

(2)令。=6+x,b=4+x,利用完全平方公式變形計算即可；

(3)用三種方法進行求解即可.

【小問1詳解】

解：由圖可知，陰影部分的面積=(Q—8)2=—2Q6+報，

故可得數學公式為：(Q-b)2=〃-2"+〃；

【小問2詳解】

解：令Q=6+X,b=4+x,則：

ab=8,a—b=6+x—(4+x)=2,

???原式=。2+/=伍一〃)2+246=22+2x8=20.

【小問3詳解】

解：法1：依題可知：a-b=-\,b-c=-\>a-c=-2,

原式=+卜2+/+-2ab—2bc—2ac)

=；x[(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(a2+c2—2ac)]

=-^x[(a—b)2+(d-c)2+(a—c)2]

-1x[(-l)2+(-i)2+(-2)2]

=3.

法2：依題可知：a=b-\?c=b+\t

???原式=3—1)2+/+(b+l)2_b(b_l)_b(b+l)_(b_l)3+l)

=3b2-2b+2b-v\^\-b2+b-b2-b-b2-v\

=1+1+1

=3.

法3：依題可知：b=a+\?c=?+2,

則/+〃+廿可以表示如上圖的幾何圖形的面積,

其中③代表該區域面積計算3次，②代表該區域面積計算2次，①代表該區域面積計算1次.

依次減去長為〃+1、寬為。的長方形面積、長為。+2、寬為。+1的長方形面枳和長為。+2、寬為。的

長方形面枳，只剩下3塊面積為1的小正方形的面枳，

因此原式=3.

20.面對一般性的問題時，可以先考慮特殊情形，借助特殊情形下獲得的結論或方法解決一般性的問題，

這就是特殊化策略.

【定義】如果一個三角形的一條角平分線和一條中線互相垂直，則稱它們的交點為中垂點，該三角形為中

垂三角形，這條角平分線平分的內角為中垂角.

為了更好的研究中垂三角形的?般性質，請利用特殊化策略進行探究.

BDCBCBC

圖1圖2備用圖

【特殊圖形】

(1)從下列特殊的三角形切入研究，根據定義，是中垂三角形的有.

①等邊三角形；②頂角為90。的等腰三角形；③三邊長分別為4,4,2的等腰三角形.

(2)勤思組在上述特殊的三角形中探究發現，中垂三角形的邊滿足特定的數量關系.如圖1,在YABC

中，BE平分NABC交AC于點、E,力。為V48C的中線，EE與4D交于點F,若ADtBE,則

V/8c為中垂三角形，此時V/fBC的邊力8和8c滿足怎樣的數量關系？請你寫出來并