七年級數學：有理數的乘方（7大題型提分練）解析版

七年級上冊數學《第2章有理數及其運算》

2.4有理數的乘方

A知識歸納

知識點一有理數的乘方的意義

★有理數乘方的定義求〃個相同因數積的運算，叫做乘方.一般地，〃個相同的數。相乘，…xq

“個a

簡記為a"，即gxaxax…xa=a”.乘方的結果叫做事,在。〃中，。叫做底數，〃叫做指數./讀作a

~"n^a~

的〃次方，也可以讀作。的〃次豪?（將/看作是。的〃次方向結果時）

幕——?方一指數（因數的個數）

底數（因數）

【注意】

（1）一個數可以看作這個數本身的一次方，例如，5就是51，指數1通常省略不寫.

（2）指數是2時讀作平方（或二次方），指數是3時讀作立方（或三次方）.

（3）指數〃是正整數，底數。可以是任意有理數.

知識點二有理數的乖方的運萱

★1、乘方運算的符號法則：

（1）負數的奇次第是負數，負數的偶次鬲是正數;

（2）正數的任何正整數次暴都是正數，

0的任何正整數次轅都是0.

★2、有理數的乘方運算

計算一個有理數的乘方時.，應將乘方運算轉化為乘法運算，先確定事的符號，再計算幕的絕對值.

有相反意義的量就可以用負數表示.

★3、底數為互為相反數的兩個數（W0）的幕的關系：

（1）互為相反數的兩個非零數的同偶次累相等，

即若〃+方=0,則層三戶1（〃為正整數，。工0,AWO）.

（2）互為相反數的兩個非零數的同奇次呆仍然互為相反數，

即若。+人=0,貝IJ/皿+〃『1=0（〃為正整數，8工0）

（注：若〃為正整數，則通常用2〃表示整數，2〃-I表示奇數）

知識點三科學記數法

★1、科學記數法一表示較大的數

（1）科學記數法：把一個大于10的數記成4X10〃的形式，其中a是整數數位只有一位的數，是正整數，

這種記數法叫做科學記數法.【科學記數法形式:QX10〃，其中iWaVlO,〃為正整數.】

（2）規(guī)律方法總結：

①科學記數法中。的要求和10的指數〃的表示規(guī)律為關鍵，由于10的指數比原來的整數位數少1；按此

規(guī)律，先數一下原數的整數位數，即可求出10的指數〃.

②記數法要求是大于1（）的數可用科學記數法表示，實質上絕走值大于10的負數同樣可用此法表示，只是

前面多一個負號.

（3）小于T0的數也可以用科學記數法表示，只是多了一個負號：記作PX10"，其中T0<PW-L

★2、科學記數法一原數

（1）科學記數法〃X1（）〃表示的數，“還原”成通常表示的數，就是把”的小數點向右移動〃位所得到的數.

（2）把一個數表示成科學記數法的形式及把科學記數法還原是兩個互逆的過程，這也可以作為檢查用科

學記數法表示一個數是否正確的方法.

B題型歸納」

有理數的（題型四乘方與相反數、倒數、絕對值等的綜合，

乘方

題型一有理數乘方的概念

解題技巧提煉

有理數乘方的定義：求〃個相同因數積的運算，叫做乘方.乘方的結果叫做瓶,

在〃”中，〃叫做底數，〃叫做指數.〃〃讀作〃的〃次方.（將〃〃看作是〃的〃次

方的結果時，也可以讀作。的〃次霜.）

1.（2024?河南）計算（a-aa）?的結果是（）

****

a個

A.a5B.a6D.a3a

【分析】先根據乘方的意義把括號內的乘法寫成乘方的形式，然后根據幕的乘方法則進行計算即可.

【解答】解:原式=（4）3=/，，

故選：D.

【點評】本題主要考查了有理數的乘方，解題關鍵是熟練學握乘方的意義和事的乘方法則.

（?叢臺區(qū)校級四模）計算乂乂乂乂的結果是（）

2.20243+3+3+-+3+444*—34

mn

A.3m+4nB.w3+4nC.3'"+4〃D.3/n+/?4

【分析】根據乘法的定義：〃，個3相加表示為3〃?，根據乘方的定義：〃個4相乘表示為4〃，由此求解即

可.

【解答】解：加個3相加表示為3〃b根據乘方的定義：〃個4相乘表示為4〃，

故3+3+3+???+3+4x4x4x???x4的結果是3〃?+4”.

mn

故選:A.

【點評】本題考查了有理數的乘方，掌握有理數的乘方法則是關鍵.

3.（2024春?肇源縣校級月考）-43的意義是（）

A.3個-4相乘B.3個-4相加

C.-4乘3D.4?的相反數

【分析】根據有理數的乘方的意義解答即可.

【解答】解：?43的意義是43的相反數，

故選：D.

【點評】此題考查有理數的乘方和相反數,關鍵是根據有理數的乘方的意義解答.

4.（2023秋?膠州市校級月考）比較-33與（-3）3,下列說法正確的是（）

A.它們的底數相同，指數也相同

B.它們所表示的意義相同，但運算結果不相同

C.它們底數相同，但指數不相同

D.雖然他們底數不同，但是運算結果相同

【分析】（-3）3表示三個-3的乘積，-3?表示3個3乘積的相反數，計算得到結果，即可做出判斷.

【解答】解：???（?3）3=-27,-33=-27,

???（?3）3和?33底數不同，運算結果相同.

故選：D.

【點評】本題考查了有理數的乘方，熟練掌握有理數的乘方是解題的關鍵.

5.（2023秋?長清區(qū)期中）下列說法正確的是（）

A.23表示2X3

B.-2與(-2)2互為相反數

C.(-2)2中-2是底數，2是基

D.a3=(-a)3

【分析】根據有理數的乘法和乘方、相反數、塞的意義，即可得結論.

【解答】解：423表示2X2X2,不符合題意；

B.—2=-4,(-2)2=4,-4與4互為相反數，符合題意；

U(-2)2中?2是底數，2是指數，(-2)2是暴，不符合題意：

D.(-?)3=-〃3工。3,不符合題意.

故選:B.

【點評】本題考查了有理數的乘法和乘方、相反數、’曷的意義，熟練運用以上知識是關鍵.

6.(2024春?南崗區(qū)校級月考)有理數(-1)2、-24、_&)3、O、-|-3h-(-5)中正數有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據正數和負數的定義判斷即可，注意：0既不是負數也不是正數.

【解答】解：(-1)2=1>0,是正數；

-24=-16<0,是負數：

-(i)3=-j<0,是負數；

。既不是正數，也不是負數；

■|-3|=-3<0,是負數：

-(-5)=5>0,是正數；

???正數有(-1)2,-(-5),共2個.

故選：B.

【點評】本題考查了對正數和負數定義的理解，難度不大，注意。既不是正數也不是負數.

7.設〃是一個正整數，則10〃是()

A.10個〃相乘所得的積B.一個(〃-1)位整數

C.一個〃位整數D.一個1后面有〃個0的數

【分析】根據乘方的含義，求〃個相同因數的積的運算，叫做乘方.在/中，a叫做底數，〃叫做指數.

【解答】解：〃是一個正整數，則10〃表示的是〃個10相乘所得的結果，它是一個(〃+1)位的整數.

故選：

【點評】本題考查了有理數乘方的定義，解決本題的關鍵是一定要完全理解/中表示的含義，才能做到靈

活應用.如本題所示的IV的意義.

m個2

2X2X-X2

8.（2023?許昌一模）計算廣工——T=（）

3+3+34—+3

n個3

2m2m2mm2

A.——,B.—C.-7D.—

3n3nn33n

【分析】根據哥的意義和乘法是相同加數的和的簡便運算即可得出答案.

【解答】解：原式=總，

故選：B.

【點評】本題考查了有理數的乘方，掌握求〃個相同因數積的運算，叫做乘方足解題的關鍵.

9.（2022秋?懷仁市校級期末）設。是任意有理數，下列說法正確的是（）

A.（a+1）2的值總是正的B.a2+\的值總是正的

C.-（4+1）2的值總是負的D./+［的值中，最大值是1

【分析】根據偶次方的非負性，即J20進行判斷即可.

【解答】解：（4+1）220,4錯誤；

/+1>0,B正確;

-（4+1）2,WO,C錯誤；

J+1的值中，最小值是1,。錯誤，

故選：B.

【點評】本題考杳的是偶次方的非負性，掌握。220是解題的關鍵.

題型二有理數的乘方運算

解題技巧提煉

1、有理數的乘方運算與有理數的加減乘除運算一樣，首先要確定幕的符號，然后

再計算森的絕對值；

2、乘方的符號法則：正數的任何次露都是正數；負數的奇次森是負數，負數的偶

次賽是正數；。的任何正整數次命都是0.

1.（2024?天長市三模）-i024等于（）

A.-1B.1C.-2024D.2024

【分析］根據乘方的意義進行計算即可.

【解答】解：原式=-lxlxlx...xl

2324

=-1,

故選:A.

【點評】本題主要考查了實數的有關運算，解題關鍵是熟練掌握乘方的意義.

2.（2024?九龍坡區(qū)自主招生）計算：一（一§2=（）

9999

A.-B.-5C.-D.-7

2244

【分析】根據的理數的乘方計算法則即可得出答案.

【解答】解:原式=-5.

故選：

【點評】本題主要考查有理數的乘方計算，熟練掌握有理數的乘方計算的運算法則即可得出答案.

3.（2024春?浦東新區(qū)校級期中）下列各數中，數值相等的是（）

A.23和32B.（-3）4和-3，

C.（-4）3和-43D.|-2『和（-2）7

【分析】根據有理數的乘方法則和有理數的乘法法則逐項計算排查即可解答.

【解答】解:力、23=8,32=9,二者數值不相等，不符合題意；

B、（-3）4=81,-34=-81,二者數值不相等，不符合題意；

C、（-4）3=-64,-43=-64,二者數值相等，符合題意；

D.|-2「=128和（-2）7=722,二者數值不相等，不符合題意.

故選：C.

【點評】本題主要考查了有理數的乘法和有理數的乘方，正確掌握有理數的乘方法則和有理數的乘法法

則是解題的關鍵.

4.（2024?邯鄲三模）若34X34X34=3。43+43+43+43=4M,則〃l〃的值為（）

A.-5B.0C.3D.8

【分析】根據題意得出〃?=12,〃=4,代入代數式，即可求解.

【解答】V34X34X34=3I2=3W,43+43+43+43=4X43=44=4M,

.*.///=12,〃=4,

.*.///-n=12-4=8,

故選：

【點評】本題考查有理數的乘方，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

5.（2024春?香坊區(qū)校級月考）下列計算正確的是（）

2c41

A.（―=B.3=3X3=9

C.-22=-2X（-2）=4D.-13=-1

【分析】根據有理數的乘方計算法則逐項計算即可解答.

【解答】解：小（-a2=孑原式計算錯誤，不符合題意；

B、33=3X3X3=27,原式計算錯誤，不符合題意：

。、-22=-2X2=-4,原式計算錯誤，不符合題意；

D、-13=-1,原式計算正確，符合題意；

故選：

【點評】本題主要考查了有理數的乘方及有理數的乘法計算，熟知有理數的乘方計算法則是解題的關鍵.

6.若a=-2X（-）2,b=（-2x2,C=-（2x1）2,則下列大小關系中正確的是（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b

【分析】根據有理數的乘方的定義化簡后，再根據負數V0V正數，兩個負數比較，絕對值大的反而小判

斷即可.

1

22124124

7\力

2X1-l=---=---=--

【解答】解：a=x3z339

9*9,

224424

-----而-<-

9999

919*

424

-<-<-

999

??b>a>c,

故選：C.

【點評】本題考查了有理數大小比較以及有理數的乘方，熟練掌握兩個負數比較，絕對值大的反而小是解

題的關鍵.

7.(2024春?姜堰區(qū)期中)若(一4尸二一卷，則。=.

【分析】根據有理數的乘方的運行法則進行計算.

【解答】解：???(?4)-3=_強，

04-

：.a=-3.

故答案為：-3.

【點評】本題考查了有理數的乘方，掌握有理數的乘方的運行法則足關鍵.。=-3.

8.(2024?岳陽樓區(qū)開學)(-2)4的相反數是.

【分析】先根據有理數的乘方求出(-2)4=16,再求出答案即可.

【解答】解：(-2)4=16,

所以(?2)2的相反數是?16.

故答案為：-16.

【點評】本題考查了有理數的乘方和相反數，能正確根據有理數的乘方法則進行計算是解此題的關鍵.

9.(2023秋?碑林區(qū)校級期末)計算：

(1)(-5)4；

(3)-(-0.3)3.

【分析】(1)根據(-5)4表示4個-5相乘，即可得出答案；

(2)先計算2的立方，即可得出答案；

(3)根據在一個數的前面加上負號就是這個數的相反數，乘方是幾個相同因數的簡便運算，可得答案.

【解答】解：(1)(-5)4=(-5)X(-5)X(-5)X(-5)=625；

/八232x2x28

⑵-了=-——=-5;

(3)-(-0.3)3=-[(-03)X(-0.3)X(-0.3)1=-(-0.027)=0.027.

【點評】本題考查了乘方的定義，掌握呆的定義以及有理數乘方的計算方法是正確解答的美鍵.

題型三非負數的性質：偶次方

解題技巧提煉

偶次方具有非負性.任意一個數的偶次方都是非負數，當幾個數或式的偶次方相

加和為0時，則其中的每一項都必須等于0?

1.（2024?德宏州模擬）若|加+3|+（〃-2）2=（）,則加+〃的值為（）

A.1B.-1C.5D.-5

【分析】根據非負數的性質列出方程求出〃7、〃的值，代入所求代數式計算即可.

【解答】解：???恤+3|+（r-2）2=0,

zn+3=0,n-2=0,

1H=-3>〃=2,

m+n=-1,

故選：B.

【點評】本題考查了非負數的性質：幾個非負數的和為0時.，這幾個非負數都為0.

2.（2023秋?隆陽區(qū)期末）如果實數處方滿足（fl-2）2+|/）-3|=0,那么〃等于（）

11

A.-B.-HC.-9D.9

99

【分析】根據偶次方、絕對值的非負性求出。、〃的值，再代入計算即可.

【解答】解：???（小2）2+田-3|=0,而（°-2）220,|33|20,

?"2=0?/>"3=0,

即。=2,b=3,

：.￡=$=9.

故選：D.

【點評】本題考查偶次方、絕對值的非負性，掌握偶次方、絕對值的非負性是正確解答的關鍵.

3.（2024?雨花臺區(qū)模擬）已知a,b都是實數，若（a+2）2+|^-2|=0,則（a+b）?。24的值是（）

A.-2024B.0C.1D.2024

【分析】根據非負數的性質列出方程，求出。、〃的值，再代入所求所占計算即可.

【解答】解：由題意得，〃+2=0,32=0,

解得a=-2,b=2,

所以（a+b）2O24=O2O24=O

故選:B.

【點評】本題考查了非負數的性質：幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0.

4.（2024春?道里區(qū)校級月考）[y-2|+（x+3）2=0,則個，的值為（）

A.6B.-6C.5D.-5

【分析】根據非負數的性質列出方程求出未知數的值，再代入所求代數式計算即可.

【解答】解：???片2|+（H3）2=0,

'?y-2=0,x+3=0,

??x=-3?y=2,

^.xy=-6,

故選；B.

【點評】本題考查了非負數的性質.初中階段有三種類型的非負數：（1）絕對值；（2）偶次方；（3）二

次根式（算術平方根）.當它們相加和為0時，必須滿足其中的每一項都等于0.

5.（2024春?東坡區(qū)期末）若|/川=3,“2=4,J@L|w-n\=n-nif則〃?+〃的值為（）

A.-1B.-1或5C.1或-5D.-1或-5

【分析】先根據絕對值運算、平方根的定義分別求出〃?，〃的值，再代入計算即可得.

【解答】解：???|訓=3,

.*./?=±3,〃=±2,

V\m-n\=n-m,

?20,即〃

/.n=2,m=-3或〃=-2,m=-3,

；?，〃+〃=-1或m+n=-5,

故選：D.

【點評】本題考查了絕對值、平方根，運用分類討論的思想結合絕對值的意義解題是關鍵.

6.（2024春?從江縣校級月考）若/=]6,血=5有意義，則所有的可能值是（）

A.-1B.-1或-9C.1或9D.±1或±9

【分析】根據J=]6,|臼=5得到a=±4,。=±5,即可得到答案.

【解答】解：???a2=i6,\b\=5,

，。=±4,〃=±5,

當。=4,6=5時，

a+b=5+4=9,

當a=-4,b=5時，

a+b=5+(-4)=1,

當〃=4,b=-5時，

u+b=-5+4=-1,

當a=-4,b=-5時，

a+b=-5+(-4)=-9,

故選：D.

【點評】本題考查有理數的乘方、絕對值、有理數的加法，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

7.（2023秋?瑤海區(qū)期中）若同=7,〃=4,且|“-〃=同十四，則“乜的值為.

【分析】根據絕對值的性質求出。與匕的值，然后代入原式即可求出答案.

【解答】解：???同=7,-=4,

a=±7,b=±2,

當°=7,。=2時，

：.\a-h\=5,同+|切=9,不符合題意，舍去.

當。=7,力=-2時，

：.\a-b\=9,同+|b|=9,符合題意，

,\a+b=5.

當-7,8=2時，

??.|0-臼=9,同+|臼=9,符合題意.

：,a+b=-5

當a=-7,b=-2時，

，心-例=5,\a\+\b\=9,不符合題意，舍去.

故答案為：±5

【點評】本題考杳有理數的運算，解題的關鍵是求出。與/）的值后，分類討論各種情況，本題屬于基礎

題型.

8.（2022秋?梁平區(qū)期中）若有理數x,y滿足』=64,[y|=2.

（1）求x、y的值；

（2）若求x+y的值.

【分析】（1）利用有理數的乘方的定義、絕對值的定義計算即可；

（2）根據題意確定x、y的值，代入求代數式的值即可.

【解答】解：（1）?.”2=64,

?*?x=±8,

?”1=2,

，尸±2；

（2）*：x>yf

?”=8時，y=±2,

Ax+y=8+2=10,

或x+y=8-2=6,

?\x+y=10或6.

【點評】本題考查了實數的運算，做題的關鍵是掌握有理數的乘方的定義、絕對值的定義.

9.（2023秋?贛州期末）請根據圖示的對話解答下列問題.

（2）已知制-a|+（b+n）2=0,求/〃〃的值.

【分析】（1）根據相反數、倒數的定義進行計算即可；

（2）根據絕對值的非負性以及〃、方的值進行計算即可.

【解答】解：（1）??Z與2互為相反數，而2的相反數是-2,

a=-2,

V-|x（-3）=1,

???—￡的倒數是-3,

即b=-3,

故答案為：-2,-3：

(2)*'\m-fl|+|Z>4-?|=0,而|〃L4|20,|b+〃|20,

??\m-a|=0,|d+w|=O,

'.ni~a=0,b+〃=0,

又,：a=-2,b=-3,

'.m=-2,〃=3,

'.mn=-2X3=-6>

S：mn的值為-6.

【點評】本題考查絕對值的非負性，相反數以及互為倒數，掌握相反數、倒數的定義，以及絕對值的非

負性是正確解答的前提.

10.如果有理數a、h滿足M-2|+(1-/02=0,試求一+-----------+------------+…+

ab(a+l)(b+l)(a+2)(b+2)

-----------------的值

(a+2017)(d+2017)

【分析】根據非負數的性質列方程求出a、b的值，然后代入代數式裂項求解即可.

【解答】解：由題意得，2=0,1-6=0,

解得a=2,b=1,

1

所以,—1+------1-----+------1------+…+-------------------

ab(a+l)(b+l)(a+2)(b+2)(a+2017)(d+2017)

=J1x_2+J2x_3+J3x_4十+...十+_2018xI_2019,

1,11,11,,11

-1-2+2-3+3-4+"，+2018-2019,

=11

2019，

_2018

=2019,

【點評】本題考查了非負數的性質：幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0,本題難點在于裂項.

題型四乘方與相反數、倒數、絕對值等的綜合

解題技巧提煉

1、互為相反數的兩個數的偶次幕相等、奇次幕仍互為相反數；

2、相反數是它本身的數是0;

3、倒數等于它本身的數是1和-1;

4、絕對值和偶次方都具有非負性.

1.下列各數中，互為相反數的是()

]

A.|-1|和1B.-3和-(-2)C.(-2)2和-22D.7和§

【分析】根據相反數，絕對值，有理數的乘方化簡各選項中的數，根據相反數的定義判斷即可得出答案.

【解答】解：力選項，1和1不是相反數，故該選項不符合題意；

8選項，-3和2不是相反數，故該選項不符合題意；

C選項，4和-4是相反數，故該選項符合題意；

。選項，-3和;不是相反數，故該選項不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了相反數，絕對值，有理數的乘方，掌握只有符號不同的兩個數互為相反數是解題的關

鍵.

2.已知心人互為相反數，。的絕對值為3,小與〃互為倒數，則噂+-97zm的值為()

A.1B.3C.0D.無法確定

【分析】根據互為相反數的定義可得。+6=0,根據絕對值求出e的值，根據互為倒數的定義可得〃?〃=1,

然后代入代數式進行計算即可得解.

【解答】解：Mb互為相反數，

口i7+/?=0,

□加與〃互為倒數，

匚〃?〃=1,

□e的絕對值為3,

Ue=±3,

口■=9,

a+b-j

C------+e-9mn=0+9-9=0.

3

故選：C.

【點評】本題考查了有理數的混合運算，代數式求值，主要利用了相反數的定義，倒數的定義以及絕對值

的性質，熟記概念與性質是解題的關鍵.

3.(2023春?梁山縣期中)已知卜|=2,丁=9,且求x+y的值.

【分析】根據絕對值和自理數的乘方求出x,y的值，根據x>y分兩種情況分別計算即可.

【解答】解：??小|=2,丁=9,

?3=±2,y=±3,

???當x=2,y=?3時,x+y=-1；

當工=-2,y=-3時，-5；

【點評】本題考查了有理數的乘方，絕對值，有理數的加法，考查分類討論的思想，根據x>y分兩種情況

分別計算是解題的關鍵.

4.己知：同=3,\b\=2f且4V力,求(a+b))的值.

【分析】先根據絕對值的性質去絕對值符號，再根據確定出。、8的值，代入代數式進行計算即可.

【解答】解：口同=3,

□。=±3,

□例=2,

□5=±2,

又□aVb,

□?7=-3,b=±2.

當〃=-3,8=2時.

:(a+b)3=(-3+2)3=-1.

當a=-3,b=-2時.

J(a+b)3=(-3-2)3=-5$=-125.

???(a+b)3的值是-1或-125.

【點評】本題考查的是有理數的乘方，熟知有理數乘方的法則是解答此題的關鍵.

5.(2023秋?東西湖區(qū)期中)已知|a-2|=3,(〃-2)2=1,且必<0,求a+A的值.

【分折】先根據2|=3>(b2)2=I可得；.,?0=5或口=1,6=3或6=1,

再根據"VO時，。和6同號?，求出4、力的值，最后代入求解.

【解答】解：???|。-21=3,(“2)2=1,

.??。=5或。=?1,8=3或6=1,

?：ab<0,

.,?當。=-1時，6=3,a+b=2,

當a=-l時，6=1,4+6=0.

【點評】本題考查了有理數的加法，絕對值及有理數的乘方，分類討論思想是解題的關鍵.

6.已知。是絕對值最小的有理數，力是倒數等于本身的數，c的平方等于4,求a+6+c的值.

【分析】根據有理數與倒數的定義及乘方的運算法則得出。，力，c的值，再分情況求解可得.

【解答】解?：根據題意知。=0,6=1或6=7,。=2或。=?2,

當a=0,b=\,c=2時，原式=0+1+2=3；

當a=0,b=1,c=-2時，原式=0+1-2=-1；

當。=0,/?=-1,。=2時，原式=0-1+2=1；

當〃=0,b=-\,c=-2時，原式=0-I-2=-3；

綜上，a+什c的值為±1或±3.

【點評】本題主要考查有理數的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握有理數與倒數的定義及乘方的運算法則，

有理數的混合運算順序和運算法則.

7.已知(x+3)2與卜-2|互為相反數，z是絕對值最小的有理數，求(x+y)y+孫z的值.

【分析】根據題意z是絕對值最小的有理數可知，z=0,且互為相反數的兩數和為0,注意平方和絕對值

都具有非負性.

【解答】解：???(/3)2與b-刁互為相反數，

:.(x+3)2+\y-2\=0,

(x+3)22o,[y-2|20,

???(x+3)2=0,\y-2\=o,即x+3=0,y-2=0,

-3,y=2,

???z是絕對值最小的有理數，.??z=0.

(x+y)>'+xyz=(-3+2)2+(-3)X2X0=l.

故答案為：1

【點評】本題主要考查了非負數的性質.

初中階段有三種類型的非負數：（1）絕對值；（2）偶次方；（3）二次根式（算術平方根）.當它們相加和

為0時，必須滿足其中的每?項都等于0.根據這個結論可以求解這類題目.

8.（2023秋?井研縣期末）已知同=5,川=9,解答下列問題：

（1）由同=5,廿=9,可得a=,b=.

（2）若abVO,求|a+6|的值.

【分析】（1）利用有理數的乘方，絕對值的定義求解。、。的值；

（2）利用有理數的乘法確定〃、b的可能取值，再計算|。+目的值.

【解答】解：（1）???同=5,廬=9,

.?.4=±5,b=±3；

故答案為：±5,±3；

（2）由（1）得。=±5,b=±3,

又?：abV。,

?二。、b異號，

：.\a+b\=2.

【點評】本題考查了有理數的乘方，絕對值的定義，有理數的乘法和加法，解題的關鍵是掌握有理數的

乘方，絕對值的定義，有理數的乘法和加法.

9.（2023秋?雙遼市期中）已知同=5,廬=4,?=-8.若“VbVO,求a+b+c的值.

【分析［根據條件分別求出4,b,C的值，再進行計算即可.

【解答】解：???|a|=5,b2=4,?=-8,

?:a=±5，b=±2,c=-2,

*：a<b<0,

.*.a=-5,b=-2,c=-2,

：.a+b+c=-5+（-2）+（-2）=-9,

,*.a+b+c的值為-9.

【點評】本題考查了絕對值、有理數的乘方知識點，根據題意求出符合條件的值是解本題的關鍵，綜合性

較強，難度不大.

題型五利用有理數的乘方解決實際問題

解題技巧提煉

用有理數的乘方運算解決實際問題時，關鍵是審清題意，把實際問題轉化成數學

問題，常見的問題有拉面的條數、折紙的張數、繩子的長度、細胞分裂的個數等

都利用2”或(■!■)〃.

2

1.(2023?館陶縣校級模擬)《孫子算經》卷上說：“十圭為抄，十抄為撮，十撮為勺，十勺為合.”說明“抄、

撮、勺、合”均為十進制.則十合等于()

A.1()2圭B.1()3圭C.1()4圭D.1()5圭

【分析】結合實際問題運用乘方的概念進行求解.

【解答】解：由題意得，1合=10勺=1()2撮=1()3抄=]()4主，

J十合=10X104圭=]()5圭，

故選：D.

【點評】此題考查了運用乘方的概念解決實際問題的能力，關鍵是能準確理解并運用該知識.

2.手工拉面是我國的傳統(tǒng)面食.制作時，拉面師傅，將一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏

合，再拉伸，反復幾次，就把這根很粗的面條截成了許多細細的面條，如下圖所示.請問這樣第

次捏合后可拉出128根面條.

【分析】根據拉面的變化，求出變化的規(guī)律，即可求出答案.

【解答】解：第一次-----------2根面條；

第二次-----------22根面條；

第三次-----------23根面條；

第x次-------------2》根面條.

于是2、=128=27,

x=7.

故答案為7.

【點評】此題考查了乘方的應用，找出規(guī)律是解題的關鍵.

3.（2023春?東臺市月考）某種細胞開始分裂時有兩個，1小時后分裂成4個并死去一個，2小時后分裂成

6個并死去一個，3小時后分裂成10個并死去一個，按此規(guī)律，8小時后細胞存活的個數是（）

A.253B.255C.257D.259

【分析［根據題意，〃個小時后細胞存活的個數是2”+1,求出〃=8時的值即可.

【解答】解：根據題意，1小時后分裂成4個并死去1個，剩3個，3=2+1；

2小時后分裂成6個并死去1個，剩5個，5=22+1；

3小時后分裂成10個并死去一個，剩9個，9=23+1；

〃個小時后細胞存活的個數是2〃+1,

當〃=8時，存活個數是28十1=257.

故選：C.

【點評】本題是一道找規(guī)律的題目，要求學生通過觀察，分析，歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用規(guī)律解決問題.

4.《莊子》中記載：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭.”這句話的意思是一尺長的木棍，

每天截取它的一半，永遠也截不完.若按此方式截一根長為I的木棍，第5天截取后木棍剩余的長度

是（）

1111

A.1FB.1—7C.-7D.~

25242524

【分析1根據分數乘法的意義求得剩下的長度.

【解答】解：由題意，第一次截取后剩余長度為IX（1-1）

第二次截取后剩余長度為；X（1-1）=i=^,

Z

2242

第三次截取后剩余長度為3x（1-；）=之，

22223

???

第〃次截取后剩余長度為以，

???第五次截取后剩余長度為白

故選：C.

【點評】本題考查分數乘法的應用及乘方的意義，理解求一個數的幾分之幾是多少用乘法計算，掌握有理

數乘方的意義是解題關鍵.

5.拉面是把?根較粗的面條先對折成2根再拉開，然后將兩端捏緊，再對折成4根再拉開，…，一直重

復這個流程，面條的數量會不斷增多，也會不斷變細.

（1）將這個流程重復7次后，面條的數量會變成多少根？

（2）若剛開始時的面條的橫截面積為則將這個流程重復8次后，平均每一根面條橫截面積是多少？

（每一次拉開的長度都與第一根面條的長度相同且粗細均勻）

【分析】（1）面條對折1次再拉開，面條的數量是2,

面條對折2次再拉開，面條的數量是22,

面條對折3次再拉開，面條的數量是23,…，

面條對折7次再拉開，面條的數量是2-

（2）由發(fā)現(xiàn)的規(guī)律知，將這個沆程重復8次后，面條的數量是28,因為每一次拉開的長度都與第一根面

條的長度相同且粗細均勻，所以8次后，平均每一根面條橫截面積=剛開始時的面條的橫截面積：面條總

條數，求出結果.

【解答】解：（1）27=128（根）

???這個流程重復7次后，面條的數量會變成128根.

（2）將這個流程重復8次后，面條的數量是28.

???每一次拉開的長度都與第一根面條的長度相同且粗細均勻，

，8次后,平均每一根面條橫截面積=8?=23+28=*（。后

【點評】本題考查有理數的乘方，能夠從題中歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關鍵.

6.（2023秋?埔橋區(qū)期中）水胡蘆是一種水生漂浮植物，有著驚人的繁殖能力.據研究表明：適量的水葫蘆

生長對水質的凈化是有利的，關犍是科學管理和轉化利用，若在適宜的條件下，1株水葫蘆每5天就能

繁殖1株.（不考慮死亡、被打撈等其他因素）

（1）假設湖面上現(xiàn)有1株水葫蘆，填寫下表:

天數51015???25???5〃

總株數24??????

（2）假定某個水域的水葫蘆維持在1280株以內對水質凈化有益.若現(xiàn)有10株水葫蘆，請你計算，按照

上述生長速度，多少天時有1280株水葫蘆？

【分析】（1）根據有理數乘方口勺定義填寫即可;

（2）根據（1）的結論列出方程求出〃，然后乘以5即可.

【解答】解：（1）分別填入:8,32,2"；

（2）根據題意得，10X2〃=1280,

解得〃=7,

7X5=35（天）.

答：按照上述生長速度，35天時有1280株水葫蘆.

【點評】本題考查了有理數的乘方，理解乘方的意義并讀懂圖表信息是解題的關鍵.

7.如圖，當你把一張紙對折1次時可以得到2層，對折2次時可以得到4層，對折3次時可以得到8層,

繼續(xù)對折下去（最多折7次）.

（1）你能發(fā)現(xiàn)層數與折紙次數之間的關系嗎？

（2）如果每層紙的厚度是0.05毫米，求對折7次時紙的總厚度.

第一次對折第二次對折第三次對折

【分析】（I）通過例舉尋找規(guī)律即可；

（2）先算對?折7次總共有多少張紙的厚度，再算對折7次時紙的總厚度即可.

【解答】解：（1）???對折1次，層數=21

對折2次，層數=22,

對折3次，層數=23,

???對折〃次，層數=2〃；

（2）0.05X27

=0.05X128

=6.4（亳米），

答：對折7次時紙的總厚度的總厚度為6.4毫米.

【點評】本題考杳了有理數的乘方，通過例舉尋找規(guī)律是解題的關鍵.

8.（2023秋?建鄴區(qū)期中）某公司培養(yǎng)綠藻細胞制作綠藻粉，該公司制作1克的綠藻粉需要60億個綠濠細

胞.

（1）在光照充沛的環(huán)境下，1個綠藻細胞每20小時可分裂成4個綠藻細胞，且分裂后的細胞繼續(xù)分裂.現(xiàn)

從1個綠藻細胞開始培養(yǎng)，經過15天后，共分裂成小個綠藻細胞，求A的值.

（2）已知21°=1024,請判斷（1）問中的4〃個綠藻細胞是否足夠制作10克的綠藻粉，并說明理由.

【分析】（1）由1個綠藻細胞每20小時可分裂成4個綠藻細胞，可知經過15天，即360小時，分裂成

18個綠藻細胞，故人之值為18；

（2）根據每1克的「綠藻粉」需要6（）億個綠藻細胞，6（）億介于232與233之間，可得制作1（）克的綠漫

粉需要600億個綠藻細胞，且235<600億V236,又4評=（22）18=236,即得4然個綠藻細胞足夠制作

10公克的綠藻粉.

【解答】解：（1）15天=15X24小時=360小時,

3604-20=18,

根據題意得，/=4叱

?M=18；

（2）（1）問中的小個綠藻細胞是否足夠制作10克的綠藻粉.理由如下：

???每1克的綠藻粉需要60億個綠藻細胞，

???制作10克的綠藻粉需要60X10=600億個綠藻細胞，

???600億介于235與236之間，

而小=（22）18=236,

???600億<4艮

???4容個綠藻細胞足夠制作10克的綠藻粉.

【點評】本題考查有理數的乘方，解題的關鍵是讀懂題意，根據已知找到規(guī)律求出上的值.

題型六科學記數法表示較大的數

解題技巧提煉

科學記數法：把一個大于10的數記成〃X10〃的形式，其中〃是整數數位只有一

位的數,〃是正整數，這種記數法叫做科學記數法.10的指數比原來的整數位數

少1.

1.（2024春?江南區(qū)期末）2024年“廣西三月三?八桂嘉年華”文化旅游品牌活動在南寧青秀山風景區(qū)拉開

帷幕.主會場活動以“新民歌+非遺”為重點，將傳統(tǒng)文化與民族文化魅力完美融合，呈現(xiàn)了一場極具特

色的文旅盛宴.青秀山風景區(qū)假口共接待游客約390000人次.數據“390000”用科學記數法表示為()

A.0.39XIO6B.3.9X105c.39X104D.3.9XI06

【分析】科學記數法的表現(xiàn)形式為aX10〃的形式，其中l(wèi)W|a|V10,〃為整數，確定〃的值時，要看把

原數變成。時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10

時，〃是正整數，當原數絕對值小于1時，〃是負整數；由此進行求解即可得到答案.

【解答】解：390000=3.9X105.

故選：B.

【點評】本題主要考查了科學記數法的表示方法，熟練掌握科學記數法的表示方法是解題的關鍵.

2.(2024?甘孜州)祖國江山美麗如畫，川西風光多姿多彩.據四川省某州相關部門通報，“五一”期間，

全國各地眾多游客前往旅游，共接待游客約1665000人次.將1665000用科學記數法表示應為()

A.0.1665X107B.1.665X106

C.16.65X1()5D.166.5X1()4

【分析】科學記數法的表示形式為aX1()〃的形式，其中〃為整數，確定〃的值時，要看把

原數變成a時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值210時，〃

是正數；當原數的絕對值VI時，〃是負數.

【解答】解：1665000=1.665X1()6,

故選:B.

【點評】此題考查科學記數法的表示方法，科學記數法的表示形式為aX10”的形式，其中：W|a|V10,〃

為整數，表示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

3.：2024春?蓮湖區(qū)期末)2024年5月3日，中國探月工程“嫦娥六號”成功發(fā)射，向距離地球約3844005?

的月球出發(fā)，并于5月8號成功實施近月制動.數據384400用科學記數法表示為()

A.3.844X1()4B.3.844X105

C.0.3844X106D.38.44X104

【分析】將--個數表示成aX10"的形式，其中1W|Q|V10,〃為整數，這種記數方法叫做科學記數法，

據此即可求得答案.本題考查科學記數法表示較大的數，熟練掌握其定義是解題的關鍵.

【解答】解：384400=3.844X1()5,

故選：B.

【點評】本題考查科學記數法表示較大的數，熟練掌握其定義是解題的關鍵.

4.(2024?陸良縣二模)“有一種叫云南的生活”的核心體驗地昆明，帶給游客的會是什么感受？據報道,

今年“五一”假期,昆明共接待國內游客約11760000人次,同比增長6.13%.數據“11760000”用科學

記數法表示為()

A.I.176X107B.1.176X106

C.11.76X106D.0.1176X1