人教版八年級數學下冊講義 第7課 勾股定理逆定理（學生版）

第07課勾股定理逆定理

0目標導航

課程標準

1.掌握勾股定理的逆定理及其應用.理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關系.

2.能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長判斷一個三角形是否是直角三角形.

3.能夠理解勾股定理及逆定理的區別與聯系，掌握它們的應用范圍.

趣:知識精講

知識點01勾股定理的逆定理

如果三角形的三條邊長4,b,C,滿足,那么這個三角形是直角三角形.

注意：

（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“數”轉為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.

知識點02如何判定一個三角形是否是直角三角形

（1）首先確定

（2）驗證與/+/是否具有相等關系若。2=/+廿，則^ABC是NC=90°的直角三角形；若

則AABC不是直角三角形.

注意：

當時，此三角形為_三角形；

當時，此三角形為_三角形，其中C為三角形的最大邊.

一

知識點（）3互逆命題

如果兩個命題的題設與結論，則稱它們為互逆命題.如果把其中一個叫原命題，則另一個叫做它的

逆命題.

注意：

原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯誤；正確的命題我們稱為真命題，錯

誤的命題我們稱它為假命題.

知識點04勾股數

滿足不定方程f+V=z2的三個,稱為勾股數（又稱為高數或畢達哥拉斯數），顯然，

以X、），、Z為三邊長的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股數，對解題會很有幫助：

①3、4、5：②5、12、13：③8、15、17：④7、24、25：⑤9、40、41...

如果4、b、C是勾股數，當?為正整數時，以“、歷、。為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角

形.

注意：

（1）（〃〉1,九是自然數）是直角三角形的三條邊長；

（2）（〃是自然數）是直角三角形的三條邊長；

（3）一（6>77,〃7、〃是自然數）是直角三角形的三條邊長；

Q能力拓展

考法01原命題與逆命題

【典例1】寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假：

（1）同位角相等，兩直線平行：

（2）如果％=2,那么V=4；

（3）等腰三角形兩底角相等；

（4）全等三角形的對應角相等.

（5）對頂角相等.

（6）線段垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等，

【即學即練】下列定理中，有逆定理的個數是（）

①有兩邊相等的三角形是等腰三角形：②若三角形三邊。，b,。滿足/+〃2=C2,則該三角形是直角三角

形；③全等三角形對應角相等；④若〃=人，則/二〃.

A.1個B.2個C.3個D.4個

考法02勾股定理逆定理的應用

【典例2】如圖所示，四邊形ABCD中，ABLAD,AB=2,AD=26，CD=3,BC=5,求NADC的度數.

A

【即學即練】△ABC三邊a,b,。滿足。2+/+。2+338=10。+24〃+26的則4八13（：是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等腰三角形D.直角三角形

【即學即練】如圖所示，在AABC中，已知NACB=90。,AC=BC,P是aABC內一點，且PA=3,PB=1,

PC=CD=2,CD1CP,求NBPC的度數.

AB

【典例3］如圖，已知在四邊形ABCD中，AB=20cm,BC=15cm,CD=7cm,AD=24cm,ZABC=90°.猜

想/A與NC關系并加以證明.

【即學即練】下列各組數中，全是勾股數的一組是（）

A.2,3,4；6,8,10:5,12,13

B.3,4,5；10,24,26；7,24,25

C.」，工，工；8,15,17；30,40,50

445

D.0.4,1.2,1.3；6,8,10；9,40,41

考法02勾股定理逆定理的實際應用

【典例4】如圖所示，MN以左為我國領海，以右為公海，上午9時50分我國緝私艇A發現在其正東方向有

一走私艇C并以每小時13海里的速度偷偷向我國領海開來，便立即通知距其5海里，并在刪線上巡邏的

緝私艇B密切注意，并告知A和C兩艇的距離是13海里，緝私艇B測得C與其距離為12海里，若走私艇C

的速度不變，最早在什么時間進入我國海域?

X分層提分

題組A基礎過關練

1.4ABe中，ZA,ZB,ZC的對邊分別記為a,b,c,由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）

A.ZA+ZB=ZCB.ZA：ZB：ZC=l：2：3

C.a2=c2-b2D.a：b：c=3：4：6

2.若一個直角三角形的兩直角邊的長為12和5,則第三邊的長為（）

A.13或ViT?B.13或15C.13D.15

3.已知△ABC的三邊分別是6,2,10,則△ABC的面積是（）

A.24B.30C.40D.48

4.已知》，>為正數，且,2-4卜,2一3卜0,如果以X,y的長為直角邊作一個直角三角形，那么以這個

直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為（）

A.5B.25C.7D.15

5.若“8。的三邊長a、b、c滿足a?+/=6a+8〃+10<?-50,那么8c是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.銳角三角形D.鈍角三角形

6.已知。，b,。是AABC的三邊,如果滿足a2c2一氏2=04-支，則三角形的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

7.如圖，將△ABC放在正方形網格圖中（圖中每個小正方形的邊長均為1）,點A,B,C恰好在網格圖中的

格點上，那么△ABC中BC邊上的高是（）

I%

B

A.叵B.?C.?D.75

245

題組B能力提升練

8.若?個三角形的三邊長為3、4、x,則使此三角形是直角三角形的x的值是.

9.在一個長為8分米，寬為5分米，高為7分米的長方體上，截去一個長為6分米，寬為5分米，深為2

分米的長方體后，得到一個如圖所示的幾何體.一只螞蟻要從該幾何體的頂點A處，沿著幾何體的表面到

幾何體上和A相對的頂點B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是分米.

n

10.如圖，4ABC是邊長6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別在AB、BC邊上均速移

動，它們的速度分別為Vp=2cm/s,VQ=lcm/s,當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，設點P的運動時間

為ts,則當t=—s時，4PBQ為直角三角形.

11.如圖，三角形ABC三邊的長分別為AB=m2-M,AC=2mn,BC=m2+n2,其中m、n都是正整數.以

AB,AC、BC」為邊分別向外畫正方形，面積分別為Si、Sz、S3，那么Si、S2>S3之間的數量關系為.

12.如圖，已知NADC=90°,AD=8m,CD=6m,BC=24m,AB=26m,則圖中陰影部分的面積為

D

B

13.如圖，P是等邊三角形ABC中的一個點，PA=2,PB=2x/3,PC=4,則三角形ABC的邊長為.

14.如圖，點尸是等邊△AAC內的一點，PA=6,PB=8,PC=10.若點P是8c外的一點，且

的△P4C,則N4必的度數為,

15.如圖，每個小正方形邊長為1,則△A8C邊AC上的高8。的長為

16.如圖，RtAABC中，NC=90°,AB=5,AC=4,分別以RSABC三邊為直徑作半圓，則陰影部分面積為.

題組C培優拔尖練

17.我市某中學有一塊四邊形的空地ABCD,如圖所示，為了綠化環境，學校計劃在空地上種植草皮，經測

量NA=90°,AB=3m,DA=4m,BC=12m,CD=13m.

(1)求出空地ABCD的面積.

(2)若每種植1平方米草皮需要200元，問總共需投入多少元?