人教版七年級數學：期中易錯題壓軸題專項復習（考試范圍：第7~9章）【21大題型】原卷版

專題13?5期中易錯題壓軸題專項復習【21大題型】

（考試范圍：第7~9章）

【人教版2024]

■FT斗通”■

【易錯篇】.......................................................................................1

【考點1對頂角、鄰補角、三線八角】............................................................1

【考點2兩條直線垂直】........................................................................3

【考點3平行線的判定與性質】.................................................................4

【考點4命題與定理】..........................................................................5

【考點5平移】................................................................................7

【考點6平方根、立方根】......................................................................8

【考點7無理數】..............................................................................9

【考點8實數與數軸】.........................................................................10

【考點9實數的運算】.........................................................................11

【考點10平面直角坐標系中點的坐標特征】.....................................................11

【考點II用坐標表示平移】....................................................................12

【壓軸篇】......................................................................................13

【考點12相交線中的角度計算】................................................................13

【考點13平行線中的折疊問題】................................................................14

【考點14平行線中的拐點問題】................................................................17

【考點15探究角度之間的關系】................................................................18

【考點16平行線中的旋轉問題】................................................................19

【考點17無理數的整數與小數部分的計算】.....................................................21

【考點18平面直角坐標系中的面積計算1......................................................................................................22

【考點19平面直角坐標系中的規律探究】.......................................................24

【考點20平行線中的多結論問題】.............................................................25

【考點21新定義問題1.....................................................................................................................................27

【考點22閱讀理解類問題】...................................................................28

院舉一反三

【易錯篇】

【考點1對頂角、鄰補角、三線八角】

【例I】（24-25七年級?河北秦皇島?期末）光線從空氣射入玻璃時，光的傳播方向發生了改變，一部分光線

通過玻璃表面反射形成反射光線，一部分光線穿過玻璃發生了折射，如圖所示，由科學實驗知道，Zi=ZZ,

z4<z3,下列結論正確的是（）

B.乙4與乙3是對頂角

D.44=45

【變式1-1]（24-25七年級?廣東河源?階段練習）如圖，下列判斷：①乙4與，1是同位角；②乙4與是同旁

內角；③乙4與乙1是內錯角；④21與43是同位角.其中正確的是（）

A.①②B.①②④

C.②③④D.①②③④

【變式1-2]（24-25七年級?河南南陽?期末）如圖，直線力8,CD相交于點。，0E1AB,垂足為。，OF平分

乙BOD,若/AOC+4。。尸=39。，則/EOF的度數為.

【變式1-3]（24-25七年級?黑龍江大慶?階段練習）如圖，已知直線AB與CD相交于點0,0E、。尸分別是

（B0D、4力。。的平分線.

D

E

AZOB

c/

⑴zDOE的補角是」

(2)若乙BOD=62°,求Z40E和NDOF的度數.

【考點2兩條直線垂直】

【例2】（24-25七年級?甘肅蘭州?期中）如圖，點尸是直線。外的一點,點A、B、C在直線。上,且PB1a,垂

足是8,PALPC,則下列不正確的語句是（）

A.線段PC的長是點C到直線P4的距離

B.線段4C的長是點4到直線PC的距離

C.24、PB、PC三條線段中，PB最短

D.線段PB的長是點。到直線。的距離

【變式2-1］（24-25七年級.河南南陽?期末）數學源于生活，寓于生活，用于生活.下列各選項中能用“垂線

段最短”來解釋的現象是（）

A.彎曲河道改直B.木板上彈墨線

起

跳

線

C,測量跳遠成績D,兩釘子固定木條

【變式2-2］（24-25七年級?湖北宜昌?期末）如圖，點A,B,C是直線/上的三點，點P在直線/外,PA1垂

足為A,PA=4cm,PB=6cm,PC=5cm,則點P到直線/的距離是_cm.

p

【變式2-3]（24-25七年級?河南鄭州?期中）如圖,直線4B,CD相交于點0,過點。作0E1AB,若乙D0B=43°,

A.43°B.137°C.57°D.47°

【考點3平行線的判定與性質】

【例3】（24-25七年級?江蘇泰州?期末）一塊木塊靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直

向下（0G_L40）,支持力N的方向與斜面垂直（0N工AB），摩擦力/的方向與斜面平行（0C||AB）.若

摩擦力f與重力G方向的夾角Z.1=120。，則斜面的坡角乙2的度數是（）

【變式3-2]（24-25七年級?山西晉中?期末）已知：如圖，Z1=ZC,EF1BC,z2+z3=180°

A

(2)試求出N4DC的度數.

請根據解答過程，在橫線上填出數學式，在括號內填寫相應理由.

(I)證明：vzl=ZC,(已知)

二DP||AC,(①)

Z2=Z4；(②)

(2)解：vEF1BC,(已知)

乙EFC=90°,(③)

???z2=z4,z2+z3=180°,(已證)

z3+z4=180°,(④)

⑤，(⑥)

Z.ADF=z■⑦

：.N40C的度數為⑧.

【變式3-3](24-25七年級?遼寧沈陽?期末)如圖，在中，CO平分44C8,CD交邊48于點E,在邊4E上

取點凡連結DF,使21=乙。.

(1)求證：DF||BC；

(2)當乙4=40。,WE=36。時,求42的度數.

【考點4命題與定理】

【例4】(24-25七年級?江蘇揚州?期末)下列選項是命題的是()

A.作直線力BIICDB.今天的天氣好嗎？

C.連接小B兩點、D.同角的余角相等

【變式4-1］（24-25七年級?山東淄博?期中）命題“同角的余角相等“改寫成“如果....那么……”的形式是

（）

A.如果是同角的余角，那么相等B.如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等

C.如果兩個角是同角，那么這兩個角是余角D.如果兩個角互余，那么這兩個角相等

【變式4-2］（24-25七年級?河北石家莊?期末）老師布置了一項作業，對一個真命題進行證明，下面是小云

給出的證明過程：

證明：如圖，vbla,

???Z1=90°.

vc1a,

:.Z2=90°,

:.Z1=z2,

；?b||c.

已知該證明過程是正確的，則證明的真命題是（）

A.在同一平面內，若b1a,且c1a,則bIIcB.在同一平面內，若6IIc,且匕1a,則c1a

C.兩直線平行，同位角不相等D.兩直線平行，同位角相等

【變式4-3］（24-25七年級?北京東城?期中）某學校舉辦科技節活動，有甲、乙、丙、丁四個團隊參加“智能

機器人”項目比賽，該項目只設置一個一等獎，在評獎揭曉前，小張、小王、小李、小趙四位同學對這四個

參賽團隊獲獎結果預測如下：

小張說：“甲或乙團隊獲得一等獎”；

小王說：“丁團隊獲得一等獎”；

小李說：“乙、丙兩個團隊均未獲得一等獎”：

小趙說：“甲團隊獲得一等獎

若這四位同學只有兩位預測結果是對的，則獲得一等獎的團隊是—.

【考點5平移】

【例5】（24-25七年級?廣東深圳?期末）如圖，在銳角△ABC中，444c=60。，將△48。沿著射線員?方向平

移得到（平移后點A,B,。的對應點分別是點（A,B',C'）,連接C4,若在整個平移過程中，

乙4cA和NCAB'的度數之間存在2倍關系，則乙4c4不可能的值為（）

A.20°B.40°C.80°D.120°

【變式5-1］（24-25七年級?重慶?期末）如圖，將△48C向右平移得到△OEF,且點8,E,C,F在同一條直

線上，若EC=2,BF=8,則力。的長為（）

A.2B.3C.5D.6

【變式5-2］（24-25七年級?河北承德?期中）如圖所示第1個圖案是由黑白兩種顏色的正六邊形地面磚組成，

第2個，第3個圖案可以看作是第1個圖案經過平移而得，那么第4個圖案中有白色六邊形地面磚

塊，第n個圖案中有白色地面磚塊，則下列選項中正確的是（）

第1個第2個第3個

A.16,4nB.17,4+九C.18,4〃+2D.18,4n

【變式5-31（24-25七年級?浙江臺州?期末）如圖，從起點4到終點B有多條路徑，其中第一條路徑為線段/IB,

其長度為〃，第二條路徑為折線4C8,其長度為〃，第三條路徑為折線/0EFGH//KL8,其長度為c,第四條

路徑為半圓弧AC8,其長度為d,則這四條路徑的長度關系為（）

A.a<b<c<dB.a<c<d<bC.a<b=c<dD.a<b<c=d

【考點6平方根、立方根】

【例6】（24-25七年級?江蘇揚州?期末）（1）計算：用+（同廣一遮7；

（2）解方程：2（x-l）2-8=0.

【變式6-1］（24-25七年級?河南鶴壁?期末）下列說法正確的是（）

A.1的平方根是1B.-6不是36的平方根

C.應不是有理數D.-2是8的立方根

【變式6-2］（24-25七年級?浙江紹興?期末）已知小正方形的邊長為1,在4x4的正方形網中.

（I）求5陰=.

（2）在5x5的正方形網中作一個邊長為E的正方形.

【變式6-3］（24-25七年級?山西太原?期末）王紅與王亮設計了一個數值轉換器，輸入的無＞0,流程如下:

是有理數

卜而是他們得到的相關結論，具中是真命題的是（）

A.若輸入％的值是8,則輸出少的值是企

B.若輸出y的值是百，則輸入x的值是9

C.若輸入％的值是64,則輸出y的值是好

D.若輸入”的值是1,則輸不出y的值

【考點7無理數】

【例7】（24-25七年級?安徽安慶?期中）滿足一75VxV的整數％是.

【變式7-1]（24-25七年級?山東泰安?期末）在實數一3,0,V7,,斗:不，0.1313313331...（每兩個1之

間的3依次多1）中，其中無理數的個數是（）

A.2B.3C.4D.5

【變式7-2]（24-25七年級?甘肅天水?期末）因為22<5<32,可以肯定2〈遍V3,也就是花在2與3之間.依

據這一方法，對2.2?V5<2.32,可以肯定2.2〈遍V2.3,也就是愿在2.2與2.3之間，可以得到遍的近似

值.那么4U的估算結果中正確的是（）

A.3.15<<10<3,16B.3.16<V10<3.17

C.3.17<V10<3.18D.3.18<V10<3.19

【變式7-3]（24-25七年級?遼寧本溪?期末）解答題，在學習第二章第4節《估算》后，某數學愛好小組探

究CTU的近似值的過程如下：

???V100<7110<7121

???10<VT1O<11

???面積為110的正方形的邊長是

設，HU=10+%,其中0VXV1,

畫出示意圖，如圖所示.根據示意圖，可得圖中正方形的面積為

S正方形ED=1O2+2X10x+x2,

又'S正方形ABCD=110，

102+2xl0x+x2=110,

當CVxVl時，可忽略公,得100+20%4110,解得“、0.5,

（1）求舊月的整數部分；

（2）仿照該數學愛好小組的探究過程，求45萬的近似值（結果保留1位小數）.（要求：畫出示意圖，標注

數據，并寫出求解過程）

【考點8實數與數軸】

【例8】（24-25七年級?浙江杭州?期中）實數。在數軸上對應點A的位置如圖所示，若力=|。-同|+

|2-Q|.則：

11111t1.A1,

-4-3-2-10123

（1）6的值是.

（2）g（b+2）的平方根是.

【變式8-1]（24-25七年級?山西長治?期中）數學課上，為了讓同學們更加直觀地理解無理數可以在數軸上

表示，張老師作了如圖所示的演示，把直徑為1個單位長度的圓沿數軸從原點無滑動地順時針滾動一周，到

【變式8-2]（24-25七年級?浙江杭州?期中）數軸上點A表示的數是-2,點、B,C分別位于點4的兩側,且

到點A的距離相等.若點8表示的數是百，則點。表示的數是.

【變式8-3]（24-25七年級?廣東江門?期中）實數。、》在數軸上的位置如圖所示.

?1gl[[。?.

-10IX

化簡或？-+《(a-匕＞=

【考點9實數的運算】

【例9】(24-25七年級?河北邯鄲?期中)任意給出一個非零實數冽，按如圖所示的程序進行計算.

(1)當〃時，輸出的結果為.

⑵當實數機的一個平方根是時，求輸出的結果.

【變式9-1](24-25七年級?重慶云陽?期末)計算：(一1)2。25+|乃一1|=.

【變式9-2](24-25七年級?湖北十堰?期末)計算：

(l)^/25-22+V27

(2)(V2)+|7r-3|+(-l)100

【變式9-3](24-25七年級?山東煙臺?期末)(1)若M=(-7)2,砂=(_3)3,請求出血+九的值；

(2)Q是-27的立方根和代的算術平方根的和，b是比大且最相鄰的整數，請求出5a+b的立方根

【考點10平面直角坐標系中點的坐標特征】

【例10](24-25七年級?山東荷澤期中)若點力的坐標(%,y)滿足條件(％-1)2+僅+2|=0,則點力在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【變式10-1](24-25七年級?浙江紹興?期末)在平面直角坐標系中，第一象限內一點(m,2m—1)到x釉和y

軸的距離相等，則加=.

【變式10-2](24-25七年級?山東日照?期末)將正整數按如圖所示的規律排列下去(第k排恰好排A個數)，

若用有序實數對(％m)表示第n排，從左到右第m個數，如(4,3)表示的實數為9,17可用有序實數對(6,2)表

示，則2024可用有序實數對表示為.

第f

一l

第f

2二

-二l

第f

456三l

第

四f

7839-Ol

【變式10-3](24-25七年級.山東濟南.期中)已知點P(2m-6,7兀+1),試分別根據下列條件直接寫出點戶

的坐標.

⑴點P在y軸上；

⑵點P的縱坐標比橫坐標大5；

⑶在(2)的條件下，直線PQIIy軸，且PQ=4,直接寫出點。的坐標.

【考點11用坐標表示平移】

【例11】(24-25七年級?吉林松原?期末)如圖，在平面直角坐標系％Oy中，A、B、C三點的坐標分別為(-5,4)、

(2)AABC面積為.

(3)如圖，△A夕C'是由△48。經過平移得到的.請寫出平移的方法.

【變式11-1124-25七年級?安徽安慶?期中)在平面直角坐標系中，若4,8兩點的坐標分別是(-5,4),(3,1),

將點B向右平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度得到點C,則點A與點C()

A.關于入軸對稱B.關于y軸對稱

C.關于原點對稱D.以上都不對

【變式11-2](24-25七年級?安徽蚌埠?期末)將點P(m-2,3)向右平移3個單位長度到P,且P'在)，軸上,

那么，〃的值是()

A.1B.-1C.-3D.-5

【變式11-3](24-25七年級?遼寧丹東?期末)如圖在平面直角坐標系中將團/WCO向右平移得到國

其中點A坐標為(2,3),點。坐標(2,1),點。坐標(1,1),點G坐標(5,1)，則和1BCD在平移過程掃過的面積

即四邊形4DGa的面積為.

【壓軸篇】

【考點12相交線中的角度計算】

【例12】(24-25七年級?黑龍江哈爾濱?期中)已知：如圖,直線4B與直線CD交點O,0E1DC,IE平分乙4。尸.

⑴如圖1,求證：0C平分乙80尸；

(2)皿圖2,0G,OP,0K,在直線48的下方，若0K平分乙COG,0P平分4BOG,^KOP=25°,求乙力OF的

度數.

【變式12-1](24-25七年級?江蘇南京?期末)已知與4BOC互為補角，0D平分4BOC.

(1)如圖①，若NAOB=80。，貝iJiBOC=°,LA0D='

(2)如圖②,若NA0B=140。，求乙40。的度數;

（3）若乙八。8=心，直接寫出乙4。。的度數（用含〃的代數式表示），及相應的〃的取值范圍.

【變式12-2]（24-25七年級?廣東廣州?期末）如圖，點。為直線A3上一點，ZBOC=40°,平分NAOC

（1）求乙40。的度數；

（2）作射線0E,使NBOE=[NCO￡,求NCOE的度數；

（3）在（2）的條件下，作NFOH=90。，使射線。”在N30E的內部，且NDOF=3N3OH,直接寫出NA。”

的度數.

【變式12-3]（24-25七年級?云南由靖?期末）直線CO相交于點O,。21C。于點O,作射線0E,且0C在

的內部.

（1）①當困。尸在如圖1所示位置時,若乙BOD=20O/B0E=130。,求“0尸的度數;

②當0從。尸在如圖2所示位置時，若OF平分MOE,證明：0c平分410E；

⑵若〃0"=2Z.C0E,請直接寫出Z80E與N40C之間的數量關系.

【考點13平行線中的折疊問題】

【例13】（24-25七年級?浙江臺州?期末）如圖，有一張長方形紙條4BCD,AD\\BC,在線段0E,C/上分別

取點G,H,將四邊形CDGH沿直線G"折舂，點C,。的對應點為L,。，將四邊形/B/E沿直線E尸折疊，

點A,8的對應點為A,B',設4EFB=a（0<a<90。）.

（備用圖）

⑴若C'、。在直線4。的上方，當）=50咀滿足CHIEF時,求乙C，G的度數.

（2）在（I）的條件下，猜想直線￡7和GH的位置關系，并證明

（3）在點G,〃運動的過程中，若請直接用含有a的式子表示匕G7G的度數

【變式13?1］（24-25七年級?北京期中）學習了平行線后，小龍同學想出了“過已知直線機外一點尸畫這條

直線的平行線的新方法”，他是通過折一張半透明的正方形紙得到的（如圖（1）?（4））.

請你觀察圖（1）-（4）,完成下面的填空題和選擇題.

第一次折疊后（如圖（2）所示），得到的折痕AB與直線機之間的位置關系是：將正方形紙

展開，再進行第二次折疊（如圖（3）所示），得到的折痕與第一次折痕之間的位置關系是:再將

正方形紙展開（如圖（4）所示），可得第二次折痕CD所在的直?線即為過點尸的已知直線〃?的平行線.從

圖中可知，小明畫平行線的依據有（）

①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內錯角相等：

③同位角相等，兩直線平行：④內錯角相等，兩直線平行.

A.①②B.②③C.③④D.①?

【變式13-2］（24-25七年級?山西晉中?期中）綜合與實踐

折紙是一門占老而有趣的藝術，小明在課余時間進行了關于折紙中角的問題的探索.

圖1圖2

初步探索

(1)如圖1,四邊形紙片48CD中，||DC,BCIIAD,^C=100°,點E是線段DC上一點，將紙片力BCD沿BE

折疊，點C的對應點為點。'，測得"BU=20。，求乙1和N2的度數；

深入探究

(2)如圖2,小明將紙片換成一張長方形紙片48CD(乙力=ZB=zC=ZD=90。)，點￡,小分別是線段AD,

BC上的一點，他先將紙片沿￡T折疊，點A,8的對應點分別為點4,夕，4夕與線段4。交于點G,點”是線

段DC上一點，再將紙片沿GH折疊，點。的對應點為點D',使得點9恰好在GD'上，測得NEFB'=62。，則

乙DGH=

【變式13-3](24-25七年級?廣西南寧?期中)綜合與實踐——折紙中的數學：我們在七年級上班第四章《兒

何圖形初步》中探究了簡單圖形折疊問題，并進行了簡單的計算與推理.七年級下冊第五章學習了平行線

的性質與判定后，我們進行了長方形紙條的折疊與平行線的探究，今天我們繼續探究——折紙與平行線.

如圖I,長方形紙條48MN中，ABWMN,AN\\BM.第一步，將長方形紙條折疊，使折痕經過點A,得到折

痕再將紙片展平：第二步，如圖2,將折痕4c折到AE處，點8落在夕處;第三步，如圖3,將4NED對

折，使點“落在M'處，點N落在N'處，EN'與D夕共線，得到折痕

>—:—:/

/M

圖1圖2圖3

(1)如圖2：①若/。口4=36。，則￡8'EN=_______；

②若/GM=a,則乙B'￡7V=_______(用含a的式子表示).

(2)如圖2,47和DE有怎樣的位置關系，并說明理由.

(3)如圖3,折痕AD和EF有怎樣的位置關系，請說明理由.

【考點14平行線中的拐點問題】

【例14】（24-25七年級?黑龍江哈爾濱?期中）如圖||CD,LEAF=2乙FAB,乙ECF=2乙FCD、LAFC=16°,

則/力EC的度數為.

【變式14-1](24-25七年級?四川南充?期中)如圖,已知48IICD,LPAQ=2乙BAQ,乙PCD=3乙QCD,Z.AQC=

98%則NP=.

【變式14-2］（24-25七年級?湖北恩施?期中）如圖，若乙BAP=90。一a,Z.APD=90°4-a,^BAE=zCPF,

CD

【變式14-3］（24-25七年級?甘肅蘭州?期中）［問題情境］

在綜合實踐課上，老師組織班上的同學開展了探究兩角之間數量關系的數學活動，如圖1,已知直線AB||

CD,點E、G分別為直線48、CD上的點，點F是平面內任意一點，連接EF、GF.

［探索發現】

(1)當，尸=600時，求證；/.AEF+Z.FGC=60°；

［拓展探究］

（2）如圖2點P,Q分別是直線CD上的點，且LPFQ=Z.EFG=90°,直線MN||FG,交尸Q于點K,“智勝

小組''探究與4PFE之間的數量關系.請寫出它們的關系，并說明理由.

【考點15探究角度之間的關系】

【例15］（24-25七年級?湖南永州?期中）已知，48IICD,點E為射線尸G上一點.

⑵如圖2,當點“在PG延長線上時，此時C。與AZ?交于點〃，則乙4￡7）、^EAF.々EDG之間滿足怎樣的關系,

并說明理由.

（3）如圖3,當點E在FG延長線上時：OP平分4EDC,且NE4P:NB/1P=1:2,Z,AED=32°,ZP=30°,求NEKQ

的度數并說明理由.

【變式15-1］（24-25七年級?福建福州?期中）已知直線EJMN,點力、8分別為EF,MN上的動點，且80平

圖1

(1)如圖1,若"*DB=110°,Z-EAC=60°,

①直接寫出NOBN的度數;

②求NM8C與41cB的度數.

（2）如圖2,延長AC交直線MN于G,GH平分乙AGB交DB『點、H,寫出與々GH8的關系，并說明理由.

【變式15-2］（24-25七年級?福建福州?期中）如圖，已知48||。。，CH平分乙BCD交AB于E點,點F是CH上

一動點（點?在的上方）.

（1）如圖1,當力尸IICB時，若4=求NB的度數;

（2）如圖2,當4F_LCE時，判斷乙4與N8數量上有何關系？并說明理由；

（3）若乙4=a。，（ABC=伊，分別作乙4%和乙48。的平分線FG和BG且交于點G,如圖3,求出NMG5的度數

（用含a。和口。的式子表示）.

【變式15-3］（24-25七年級?江蘇?期末）如圖①，已知直線MG，且b和。分別相交于兒B兩點,〃和心

%分別交于C，D兩點,NACP=/1,乙BDP=乙2,4CPD=23,點P在線段48上.

⑵試找出乙1,d43之間的等量關系，并說明理由；

（3）應用（2）中的結論解答以下問題：如圖②，力S在3處北偏東40。的方向上，在C處的北偏西45。的方向上,

求MAC的度數；

（4）如果點P在直線右上且在4B西點外側運動時，其他條件不變，試探究N1,乙2,43之間的關系（點P和4

8兩點不重合），直接寫出結論即可.

【考點16平行線中的旋轉問題】

【例16］（24-25七年級?江蘇徐州?期末）如圖，把一副三角板如圖1擺放，乙B=60°,ZD=45。，點C在邊

。力上，將圖中的△AOB繞點。按每秒3。的速度沿順時針方向勻速旋轉一周，在旋轉的過程中，旋轉的時間

為刑.

圖2圖3

⑴如圖2,求當f為多少秒時,ABWCD；（注：要寫出求解過程）

(2)如圖3,當￡=.,秒時，ABWCD；（注：直接寫出結果）

【變式16-1]（24-25七年級?河北石家莊?期中）為美化我市夜景，在兩棟樓體上安置了兩座可旋轉探照燈.如

圖所示，燈A射線從/1M開始順時針旋轉至AN便立即回轉，燈5射線從8P開始順時針旋轉至BQ便立即回轉,

兩燈不停交叉照射，若燈4轉動的速度是每秒2。，燈4轉動的速度是每秒1。.假定兩棟樓的墻面是平行的,

備用圖

(1)填空：^BAN=_°；

（2）若燈8射線先轉動30秒，燈A射線才開始轉動，在燈8射線第一次到達BQ之前，求人燈轉動幾秒，兩

燈的光束互相平行.

（3）若兩燈同時開始轉動，兩燈射出的光束交于點C,在燈8射線第一次到達5Q之前，直接寫出轉動的時間

為多少秒時，Z-ACB=90°.

【變式16-2]（24-25七年級?貴州遵義?期中）今年春節期間，為了營造節日氛圍，各地紛紛上演各種“燈光

秀”.“燈光秀”為了強化燈光效果，某地在河的兩岸安置了可旋轉探照燈.如圖1,燈4射線AE自AM開始

順時針旋轉至4N便立即回轉，燈B射線B尸自8P開始順時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不停交叉照射.若

燈A轉動的速度是3。/秒，燈A轉動的速度是1。/秒，兩燈同時轉動，轉動時間為/秒，假定這一帶兩岸河堤

是平行的，即PQIIMN,R/-BAN=45°.

［\}LEAN=。（用含/的式子表示）；

（2）當￡=55時,求乙8￡4的度數；

（3）如圖2,在燈A射線已轉過但未到達4N時.若兩燈射出的光束交于點C,過C作交戶Q于點Q,

在轉動過程中，4BCCNB47的比值是否為定值，若是，求出這個定值，若不是，請說明理由.

【變式16-3］（24-25七年級?浙江,期末）將一塊三角板ABC（zXC5=90°,乙力=30。）按如圖①所示放置

在銳角“OQ=a內，使直角邊8c落在。Q邊上.現將三角板/BC繞點B逆時針以每秒m。的速度旋轉￡秒（直

角邊BC旋轉到如圖②所示的位置），過點力作MN||OQ交射線OP于點M,40平：分NM/1B,且在旋轉過程中，

當t=3秒時，AB1OQ.

（1）求血的值；

（2）當￡=4秒時，求NM4c的度數；

⑶在某一時刻，當BCIIOP時，試求出N40。與。之間的數量關系.

【考點17無理數的整數與小數部分的計算】

【例17］（24-25七年級.浙江寧波?期中）19一庫的整數部分為a,小數部分為4則2a-b=.

【變式17-1］（24-25七年級?江蘇蘇州?階段練習）如圖1,把兩個面積為1由小的小正方形沿對角線剪開，拼

成一個面積為2dm2的大正方形，所得到的面積為2dm2的大正方形的邊長就是原先面積為1dm2的小正方形

的對角線長，因此，可得小正方形的對角線長為

圖2

（1）某同學把長為2,寬為1的兩個長方形沿對角線剪開裁剪，拼成如圖2所示的?個大正方形.仿照上面的探

究方法求空白部分正方形的面積及其邊長”的值；

（2）若c為（1）中”的整數部分，求c的平方根.

【變式17?2】(24-25七年級?甘肅蘭州?期中)大家知道魚是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此魚的

小數部分我們不能全部地寫出來，于是小平用a-1來表示我的小數部分，你同意小平的表示方法嗎？事

實上小平的表示方法是有道理的，因為a的整數部分是1,用這個數減去其整數部分，差就是小數部分.請

解答：若舊的整數部分為。，小數部分為反

(1)求小。的值；

(2)求小+b一代的值.

【變式17-3](24-25七年級?浙江杭州?期中)以下是小明與老師之間的對話：

小明：張老師，我們知道乃是無理數，無理數就是無限不循環G數，那該如何表示出它的小數部分呢？

老師：小明，因為述的整數部分是2,所以將這個數減去其整數部分，差就是小數部分，即逐-2.

根據上述對話內容，解答下面的問題：

已知7+“！=%+%其中％是整數，且OVyVl.

⑴"；y=；

(2)求3x+VTT-y的值.

【考點18平面直角坐標系中的面積計算】

【例18】(24-25七年級?安徽安慶期末)如圖，在平面直角坐標系無Oy中，點A的坐標為(0,4),點8的坐標

為(4,0),過點。(3,0)作直線CDlx軸，垂足為C,交線段A8于點。，過點A作AE1CD,垂足為&連接BE.

(2)點P為直線CO上一動點，當又相"=SMOB時，求點P的坐標.

【變式18-1](24-25七年級?甘肅酒泉?期中)如圖，已知式(-2,0),1(4,0),6(2,4),

(1)求△ABC的面積；

(2)設P為不軸上一點，若S&APC=：S“BC，求P點坐標.

【變式18-2](24-25七年級?安徽安慶?期末)如圖，在平面直角坐標系中，點兒8的坐標分別為(3,5),(3,0),

將線段A8向卜.平移2個單位長度，再向左平移4個單位長度，得到線段CD,連接力C,80.

⑴直接寫出點C,0的坐標；

(2)M,N分別是線段718,。。上的動點，點M從點/出發向點B運動，速度為每秒1個單位長度，點N從點。出發

向點C運動，速度為每秒0.5個單位長度，若兩點同時出發，求幾秒后MN||x軸；

(3)若P是％軸上的?個動點，當三的形CDP的面積是三角形BDP面積的2倍時，求點P的坐標.

【變式18-3](24-25七年級?安徽安慶?期末)如圖①，在平面直角坐標系中，。是坐標原點，點A的坐標為

(5,0),將A。向上平移4個單位長度，再向左平移3個單位長度得到對應線段8C.連接48MC,0C.

⑵在％軸上是否存在一點0,使得三角形A80的面積等于三角形AOC面積的一半？若存在，請求出點。的坐

標，若不存在，請說明理由：

(3)如圖②，若P是直線力8上的一個動點，連接OP,PC,當點P在直線AB上運動時，請直接寫出/CPO/BCP,

乙40P之間的數策關系.

【考點19平面直角坐標系中的規律探究】

【例19】（24-25七年級.河南鄭州?期中）2024年沙特阿拉伯國慶節期間，中國無人機表演團隊震撼全球，

6000架無人機編隊劃破夜空，展示了中國“智造”實力.無人機表演并非簡單的編程或燈光秀，而是涉及到

多項技術的深度融合.這其中就包括了精準的定位技術.如圖，在平面直角坐標系中，每個最小方格的邊

長均為1個單位長度,無人機按圖中方向飛行,匕（。川）,〃2（U,1），〃3（1，1），匕（1，-1）…根據這個規律，

A.（-505,506）B.（-506,-506）C.（506,-506）D.（506,506）

【變式19-1]（24-25七年級?廣西梧州?期末）如圖,將點力式1,1）向上平移1個單位，再向右平移2個單位，

得到點%；將點4向上平移2個單位，再向右平移4個單位，得到點生；將點&向上平移4個單位，再向

右平移8個單位，得到點4……按這個規律平移得到點力〃，則點42025的橫坐標為（）

產

-----------4

武、

0|（1,1）

A.22023B.22024C.22025+1D.22025一1

【變式19-2]（24-25七年級?山東東營?期末）在平面直角坐標系中，直線I：y=x+l與y軸交于點力1，依次

作正方形4B1C1。,正方形4232c2。1，正方形4383c3。2,……使得點4，4,43,……在直線。上，G，G,

C3,……在X軸正半軸上，則點5025的縱坐標為.

【變式19-3］（24-25七年級?江蘇連云港?期中）如圖.在平面直角坐標系中，四邊形力HOC是正方形，點A

的坐標為（1,1）,弧441是以點8為圓心，84為半徑的圓弧；弧力"2是以點。為圓心，。必為半徑的圓弧；

弧人24是以點C為圓心，C①為半徑的圓弧；弧44是以點A為圓心，4小為半徑的圓弧.繼續以點aO,

C,A為圓心按上述作法得到的曲線44/12力3445…稱為正方形的“漸開線”，則點力2024的坐標是（）

A.(1,2025)B.(1,2024)C.(2025,0)D.(2024,0)

【考點20平行線中的多結論問題】

【例20］（24-25七年級.四川眉山.期末）已知直線力BIICZ）,點P在直線之間，連接AP,CP.下面結

論正確的個數為（）

①如圖1,若NAPC=a,乙PAB=0,則4PCD=360。-a—0；

②如圖2,點Q在之間，當乙QAP=4QA8,乙QCP=LQCD,則4APC+2NAQC=360°；

③如圖2,點Q在之間，當/Q4P=2/Q4B,乙QCP=2乙QCD,則N4PC+3/4QC=360°；

④如圖3,4的角平分線交C。于M,且AM||。（7,點可在直線48,（；0之間，連接CN,MN,Z.PCN=n乙NCD,

"MN="NMO,">1,貝叱P和“的關系為e=岳（用含"的式子表示,題中的角均指大于0。且小于18。。

的角）.

【變式20-1］（24-25七年級?廣東廣州?期末）如圖，點E在8A延長線上，EC與AD交于點入且4E=

乙B=￡D,乙￡7弘是N/T8的余角的5倍，點M是線段C8上的一動點，點N是線段MB上一點且滿足乙MNF=

（MFN,尸K平分4EFM.下列結論：①8臼|CD；@AD\\CBi③FN平分N4/M；④ND+4E=105c；?Z.KFN=

30°.其中結論正確的個數是（）

【變式20-2］（24-25七年級?山東威海?期中）如下圖，△4BC的角平分線8、BE相交于凡4力=90°,EGWBC,

且CG1EG于G,下歹I」結論：①NCEG=2zDCF；?AADC=NGCD；③G4平分NBCG；?ADFB=\z.CGE.其

中正確的結論是（）

A.?@B.①?③C.①②④D.②③④

【變式20-3124-25七年級?重慶云陽?期中）如圖,E在線段84的延長線上,"4。=（D,乙B=乙D,EF||HC,

連FH交40于G,"G4的余角比20GH大16。，K為線段BC上一點，連CG,使乙CKG=〃：GK,在乙AGK內

部有射線GM,GM平分乙"GC.則下列結論：?ADIIBC；②GK平分乙AGC；?￡FGA=42°：④4MGK=21°.其

中正確結論的個數有（）

C.3個D.4個

【考點21新定義問題】

【例21】（24-25七年級?北京房山?期末）在平面內，對于NP和4Q,給出如下定義：若存在一個常數

使得NP+UQ=180。，則稱NQ是NP的“r系數補角”.例如,LP=80°,4=20。,有"+54=180。,

則，Q是，P的“5系數補角”.

（1）若乙P=90。，在△1=60。，42=45°,43=30。中，4P的“3系數補角''是；

（2）在平面內，ABWCD,點E為直淺上一點，點尸為直線CO上一點.

①如圖1,點G為平面內一點，連接GE,GF,^DFG=50°,若/BEG是4EG5的“6系數補角”，求MEG的

大小.

②如圖2,連接EF.若”為平面內一動點（點〃不在直線88,CD,EF上），±EFH與4FEH兩個角的平分

線交于點M.若乙BEH=a,乙DFH=0,iN是NEMF的“2系數補角”，直接寫出4N的大小的所有情況（用

含a和0的代