2026年高考數學一輪練習：導數與函數的極值、最值（附答案）

§3.3導數與函數的極值、最值

分值：100分

閾知識過關

一、單項選擇題（每小題5分，共30分）

I.函數./U尸93+f-3『l的極小值點是（）

A.lB.（l,

C.-3D.（-3,8）

2.（2024?楚雄模擬）已知定義域為［-3,5］的函數a。的導函數為八x）,且八x）的圖象如圖所示，貝心）

A./U）在（-2,2）上先增后減

B.7U）有極小值12）

C/U）有2個極值點

D：/U）在.r=-3處取得最大值

3.（2025?蘇州模擬）設04〈兀，則函數抬尸等+品的最小值為（）

35

A.lB.-C.2D.-

22

4.（2024.赤峰模擬）已知函數有極值-e,則。等于（）

A.lB.2C.eD.3

5.若函數"r尸e』n（x+〃?）的最小值為2+ln2,則m等于（）

A.-2B.--ln2

2

c.-|D.扣n2

6.已知函數加■）=yin.j/x有兩個不同的極值點力，X2（.ri〈n）.狽下列說法不正確的是（）

A。的取值范圍是（-8,1）

B.汨是極小值點

C當力￡。2,+8)時,/(x)<0

D即必+2一⑸

lnx2+2

二、多項選擇題（每小題6分，共12分）

7.已知函數./UMPTX2,貝IJ（）

AHK）在（0,1）上單調遞減

B./U）的極大值點為2

C?K）的極大值為-2

D?r）有2個零點

8.（2023?新高考全國II）若函數既有極大值也有極小值，則（）

A.Z?c>（）B.abX）

C.b2+^eic>0D.nc<0

三、填空題（每小題5分，共1（）分）

9.若函數八x）=#-4x+〃?在［0,3］上的最小值為4,則〃尸.

10.若函數次幻=#-奴+1|1］在（0,2）上有極值，則實數。的取值范圍是.

四、解答題（共28分）

11.（13分）已知函數人0二色x（a￡R）.

（I）若八0）=0,求實數。的值；（5分）

（2）討論函數/U）的極值.（8分）

12.（15分）（2024.新課標全國II）已知函數加"）=e%r-〃3.

⑴當時，求曲線何⑴在點（1,川））處的切線方程；（5分）

（2）若危）有極小值，且極小值小于0,求。的取值范圍.（10分）

10能力拓展

每小題5分，共20分

13.設MNO,若。為函數,/（x）=4（x-〃［（x-方）的極大值點，則（）

X.a<hB.a>hC.ab<h2r）.ab>b2

14.若不等式a+2x+\\nx|-l20恒成立，則a的取值范圍是.

15.（2024?曲靖模擬）已知函數y（x）=2入ef+18,其中。>0且存1.若J（x）存在兩個極值點為，物則實數。的取

值范圍為.

16.（2025?湘潭模擬）已知函數“r）=x-alnx（a>0）,記函數產式工），產/（/&））的值域分別為M,N,若N壇M,則

a的取值范圍是.

答案精析

LA2.B

3.D［因為O〈v<7t,令usinx,則，■（（）,1］,由以/尸棄三。0^1）可得,當《（0,1］時，葭1）（0,

則的單調遞減，所以當t=\時，g⑺有最小值以1）=925，即段）有最小值引

4.B［由題目條件可得，函數段）的定義域為（0,+8）J（x）=lnHl-a令八x）X）,得Qe“"；

令八K）<0,得0<A<e“/.

所以函數人x）在區間（0,e”"）上單調遞減，在區間（e"J，+8）上單調遞增.

則函數火幻的極小值點是a",無極大值點，

故人e""尸e""lne"Ne0“=-e,

解得（7=2.）

5.B［易知人》）的定義域為（如，+8）,f（x）=e.-L-,

易知f（X）在區間（-〃7,+8）上單調遞增，

又當廠-加時，F（X）f-8；當X—+8時+8,

所以存在唯一沏￡（?加,+°°）,使得八/0尸0,即xo=-ln（xo+〃D,

所以當x￡（-〃i,的）時，/（x）<0；當x￡（xo,+8）時，八幻>0,

所以汽幻在區間（-〃？，加上單調遞減，在區間（松，+8）上單調遞增，

所以加）的最小值為/Uo）=e'o」n（x（）+M=e'o+xo=2+ln2=eln2+ln2,

所以xo=ln2,所以eln2=T~^—,解得/n=^-ln2.］

In2+m2

/.14m、InxVxlnx+2八

6A［令八］尸南+工/==-斫°:

由題意，方程與詈=4在（0,+8）上有兩根Xi,X2（XI<T2）,

設孤）=嘿,

yfxlnx+2

K⑴2.r4rg

當O<X<1時，g'a)X),g(x)單調遞增,當X>1時，gQ)<0,g(x)單調遞減,

所以g(X)max=g(l)=1>0,

當X-0時，g。)二嘿f-8,當xf+8時，網工)二嘿一0,

所以a的取值范圍是(0,1),故A不正確；

由A洗項分析可知0<n<1<立，

當0<底國時，八1)</(內)=0，./U)單調遞減，

當X1K2時，/(X)M(Xl)=0》(K2),./U)單調遞增，

當Q.Q時,/(.V)<f(X2)=0，貫X)單調遞減，

所以內是極小值點，故B,C正確；

對于D,因為曾蘭二電分=〃，所以產匚二江，故D正確」

27x72y[xl\nx2+2、后

7.AD[由函數凡0=.上3?,可得。x)=3f-643x(『2),

令了5)>0,解得KO或x>2；令人])<0,解得0<1<2,

所以函數人幻在(0,2)上單調遞減，在(-8,0),(2,+8)上單調遞增，

當％=o時，函數y(x)取得極大值，極大值為人0)=0；

當戶2時，函數ZU)取得極小值，極小值為｛2)=-4,

又由上一+8時，40-+8且貝2)=-4<0，火0)=0,所以函數/U)只有兩個零點，

所以A,D正確，B,C不正確.]

8.BCD[函數段)=Hn.欄十的定義域為(0,+-),則小)彳備詈吟產

因為函數/U)既有極大值也有極小值，

則函數人”)在(0,+8)上有兩個變號零點，而々wo,

因此方程加/x-2c=0有兩個不相等的正實數根為，X2,

A=b2+Sac>0,

于是，％]+亞=3>0，

%1%2=—^>0,

即有b2+Sac>0,ab>0,?c<0,

顯然u2bc<0,即bc<0,故A錯誤,B,C,D正確」

9竺

解析八%尸/-4,

當代［0,2)時,/W<0,當xe(2,3］時J@>0,

所以￡r)在［0,2)上單調遞減，在(2,引上單調遞增，

所以J2)為/)在［0,3］上的極小值,也是最小值,

故Lx8-4X2+〃尸4,

3

解得m號.

10.(2,+oo)

解析/U);#-ar+lnx的定義域為(()，+~),f(x)=x-a+^,

要使函數信)=#-辦+1114在(0,2)上有極值，則八x)=x-%在(0,2)上有變號零點，

令gO)=x￡,xe(0,2),

貝ijg(g+AJ7^=2,

當且僅當41時等號成立，所以a，2.

當a=2時，八幻=x-a+'x+L230,函數/(x)單調遞增，

XX

則函數凡￥)=；/“戊+111工在(0,2)上沒有極值，故〃>2,

即實數。的取值范圍是(2,+8).

11.解(1)由函數人丫尸己+x,

可得/(不)=譚=9，

所以」'(())=平=1-4=0,

解得許1.

(2)函數抬尸專+x的定義域為R,

且小)=1-土黑，

VrV

當時，八x)>0恒成立，

所以負X)在R上單調遞增，/U)無極值；

當。>0時，令/(x)>0,解得x>lna；

令八K)V(),解得xvlna,

所以加)在(-8,Ina)上單調遞減,在(Ina,+8)上單調遞增,

所以汽刈的極小值為1+lna,無極大值.

綜上所述，當aWO時，段)無極值；當a>0時，段)的極小值為l+ln〃，無極大值.

12.解⑴當。=1時，

則於尸e'-x-l,

/U)=e'-1,

可得川尸e?2,/(l)=e-l,

即切點坐標為(1,e-2).

切線斜率上e-1,

所以切線方程為

_y-(e-2)=(e-l)(x-l),

(2)方法一因為,/U)的定義域為R,

且八K)二e%,

若。W0,則八戲>()對任意x￡R恒成立，

可知￡r)在R上單調遞增，

無極值，不符合題意；

若〃>0,令人外>0,解得Qina,

令八］)<0,解得x<lna,

可知JU)在(-8,m/上單調遞減,

在(Ina,+8)上單調遞增，

則於)有極小值/(In?)=?-?lna-cv',無極大值，

由題意可得,fl\nd)=a-a\na-o3<0,

即a2+lna-1>0,

令g(fl)=tr+lna-\,<z>0,

則g'(a)=2〃460,

可知g(a)在(0,+8)上單調遞增，

且g⑴=0,

不等式?2+lna-1>0等價于g(a)>g(l),

解得心1,

所以“的取值范圍為(I,+8).

方法二因為./U)的定義域為R,

且/V尸.

若風丫)有極小值，

則八))=<?/有零點，

令人力二廿-。=0,可得ex=a,

可知y=ex與產a有交點，則a>0,

令/(A)>0,解得x>lna-

令人*0,解得xvlna,

可知加)在(-8,Ina)上單調遞減，

在(Ina,+8)上單調遞增,則人幻有極小值川na)=a-alna-/,

無極大值，符合題意，

由題意可得"Ina)=a-a\n。-/<。，即。，皿a-l>0,

令g(a)=/+Ina-\,a>0,

因為產a?,y=\na-1在(0,+8)上均單調遞增,

所以式a)在(0,+8)上單調遞增，

且g(l)=0,

不等式a2+\n?-1>0等價于g(a)>g(l),

解得“>1,

所以“的取值范圍為（I,+8）.

13.C|由三次函數的性質可知，要使。為函數./W=a（x-a）2（心力的極大值點，則

當〃>0時,函數./U）的大致圖象如圖（1）所示，則0<a<b,此時HA?；

當〃<0時，函數人工）的大致圖象如圖（2）所示，則b<a<0,此時ab<lr.

綜上，ab<b2.]

14.[-In2,+8）

解析不等式a+2vHlnx|-120怛成立，

即。21-2丫加1川恒成立，

設兀r）=l-2x-|lnM,.r^（0,+°°）,

當1時,fix）=1-2x-\nx,

/（x）=-2-i<0,

???加）在[1,+8）上單調遞減，此時段）；

當（Kc<l時,y（x）=1-2x+lnx,

???當上￡（0，：）時，/W>0,

當1）時，八幻<0,

??../U）在（0,3上單調遞增，在G，1）上單調遞減，此時段）皿m（力嗎=-ln2.

綜上可知，。的取值范圍是|-ln2,+8）.

15.Q,1）U（I,e）

解析對函數/x）=2a'-eA2+18求導得

/(A)=2aKln6z-2eA-2(a'lna-ex),

因為其丫)存在兩個極值點，所以八幻有兩個變號零點.

令代0=0,有用na=ex,

令/i(A)=avlna,g(x)=ex,

所以h(x)與g(x)的圖象有兩個交點.

當a>\時,h(x)=aK\na,

h\x)=a\\na)2,

設過原點的直線與h(x)=a'\na