直線與圓錐曲線的位置關系-2026年高考數學二輪復習

微專題34直線與圓錐曲線的位置關系

高考定位直線與圓錐曲線的位置關系是高考的必考內容，涉及直線與圓錐曲線

的相交、相切、弦長、面積以及弦中點等問題，難度中等.

【真題體驗】

1.（2021?新高考n卷）拋物線產=2川（戶0）的焦點到直線y=x+l的距離為2,則p

=（）

A.1B.2

C.22D.4

答案B

解析拋物線的焦點坐標為已‘°）,其到直線工一＞+1=0的距離d=

k。+"_2

12+3（-1）2'

解得p=2（p=-6舍去）.

2.（2023?新高考H卷）已知橢圓C：；+爐=1的左、右焦點分別為B，直線歹

=x+〃?與C交于力，8兩點，若面積是△產乂8面積的2倍，則m=（）

22

AB.

33

22

C-D.-

33

答案C

解析由題意，R（—2,0）,Fi（2,0）,△R48面積是△戶面積的2倍，

所以點Fi到直線AB的距離是點出到直線AB的距離的2倍，

即L2+制=2x12+叫

22

解得機=一；或加=-32（此時直線與橢圓。不相交，舍去），故選C.

3.（2023?全國乙卷）設48為雙曲線N—[=1上兩點，下列四個點中，可為線段

/出中點的是()

A.(l,1)B.(—1,2)

C.(l,3)D.(-l,-4)

答案D

解析法一設/(?,巾)，Bg聞，48的中點為M(xo,/),由點43在雙曲

線上，

X?—^=1,

,送兩式作差，得

得—=1,9

化簡得(…)5+”)=9,

(X)—X2)(X[+、2)

歹1+>2

即….2="=9,

X]—X2X]+X2X。

2

因此自8=9-"°.

由雙曲線方程可得漸近方程為歹=±3工，如圖.

對于A,因為匕8=9X；=9>3,所以直線與雙曲線無交點，不符合題意；

對于B,因為自8=9乂-1二一?V—3,所以直線力8與雙曲線無交點，不符合題

22

對于C,口8=9X；=3,此時直線43與漸近線y=3x平行，與雙曲線不可能有兩

個交點，不符合題意；

對于D,因為好=9XT=?V3,所以直線48與雙曲線有兩個交點，滿足題意.

法二選項中的點均位于雙曲線兩支之間，故4,8分別在雙曲線的兩支上且不

關于原點對稱，設線段月臺的中點坐標為(xo,泗)，

則依同=9巧V3,即網＞3陶,

次

結合選項可知選D.

4.(多選)(2024?新高考H卷)拋物線C：產=4工的準線為/,尸為C上動點.過產作

。49+&-4)2=1的一條切線，0為切點.過尸作/的垂線，垂足為比則()

A./與。/相切

B.當P4,8三點共線時,\PQ\=15

C.當|P5|=2時,PALAB

D.滿足網|=|P8|的點尸有口僅有2個

答案ABD

解析對于A,易知/：了=-1,故/與。4相切，A正確；

對于B,4(0,4),。/的半徑〃=1,

當P,A,B三點共線時，P(4,4),

所以必(|=4,\PQ\=|%|2—產=42T2=15,故B正確；

對于C,當|尸身=2時，P(l,2),5(-1,2),或P(l,-2),B(—1,一2),易知

均與48不垂直，故C錯誤；

對于D,記拋物線。的焦點為凡連接力尸，PF,易知產(1,0),

由拋物線定義可知|%=|尸8],

因為|月|=|尸8|,所以圖|=|叩，

所以點尸在線段力產的中垂線上，線段力廠的中垂線方程為＞=＞+；,

即無=句一1；,

代入V=4x可得產一16y+30=0,

解得y=8士34,

易知滿足條件的點P有且僅有兩個，故D正確.故選ABD.

5.(2024?北京卷)若直線》=%(》一3)與雙曲線:一產=1只有一個公共點，則A的一

個取值為.

圣宙1］或一：答案不唯一］

告榮人2)

2

解析由題意，知該雙曲線的漸近線方程為歹=土)，直線歹=〃(x—3)過定點(3,

0).

因為點(3,0)在雙曲線內，所以要使過該點的直線與雙曲線只有一個公共點，則

該直線與雙曲線的漸近線平行，所以％=±1

【熱點突破】

熱點一中點弦問題

I核心歸納

已知4(X1,6)，3(X2,刃)為圓錐曲線E上兩點，的中點c(xo,/),直線的

斜率為k.

22l/l

(1)若橢圓E的方程為1+匕=1@七>0),則仁一，叫

a~b-a-yo

(2)若雙曲線E的方程為工一匕=1(〃>0,6>0),則左=弓，°；

出b-azyo

(3)若拋物線￡的方程為爐=2〃xS>0),則%=0=2?.

yoy\+拄

例1(1)已知雙曲線/一1=1,過點尸(1,1)的直線/與該雙曲線相交于44兩點,

若P是線段AB的中點，則直線/的方程為()

A.2x—y—1=0B.2x+y—1=0

C.2x—y+1=0D.該直線不存在

(2)(2024?邵陽二模)已知直線/：x—2y—2=0與橢圓C：5+［=1伍泌>0)相交于/,

a~6

8兩點.若弦力8被直線加：x+2y=0平分，則橢圓。的離心率為()

C-23

答案(1)D(2)C

解析(1)設力(XI,“)，8(X2,yi)>且X1WX2,

6一/=1,

2

代入雙曲線方程得，道

冠_；=1,

兩式相減得3_3=^一^得3+x2)(XL、2)=3+-[5_戶)

若尸是線段的中點，則占+也=2,y+/=2,所以川一戶=2,即直線48的

X\~X2

斜率為2,

所以直線48方程為y—1=2(x—1),即2x—y—1=0；

聯立得2/一4升3=。,

2x~y—1=0,

則4=16—4X2X3=-8<0,方程無解，所以直線/不存在.

(2)設4(xi,yi),8(x2,先)，因為弦被直線〃?：工+2y=0平分，設中點坐標(xo,

詞，

所以Rr+2xM/安+2y°=。,①

刈=2巾+2,

因為點力，3在直線/：工一29一2=0上，代入可得

由=2"+2,

兩式相減可得Xi—X2=2(yi—X2),②

又點N,4在橢圓上，代入可得

=1,

兩式相減可得

岸b~

代入①②可得4；°+勺°=0,得〃2=4〃，

a-b-

又橢圓中。2=〃+2，

所以離心率6=。=故選C.

a4b22

規律方法1.處理中點弦問題的常用方法：（1）根與系數的關系；（2）點差法；（3）

常用結論.

2.利用點差法需注意保證直線與曲線相交.

訓練1已知橢圓C：，+；：=1（心力＞0）的左焦點為R過點廠的直線”一歹+2=0

與橢圓。相交于不同的兩點力，8.若P為線段48的中點，。為坐標原點，直線

的斜率為一;，則橢圓C的方程為（）

AX2+/=IBX2+^=I

3,42

c/+V=iDX2+^2=I

5363

答案B

解析因為過橢圓上兩點43的直線x-y+2=0過點尸（-2,0）,

所以。=2且k,4B=l,

可得的=」了。=_護.J=1,

屋yoa"KOP

所以￡=1,即/=262=岳十o2,

所以b=c=2,4=2,

所以橢圓。的方程為?+丫=1.故選B.

42

熱點二弦長問題

I核心歸納

已知4（戶,工）,5（X2,及），直線48的斜率為網上W0）,

則|*冏=（X1—X2）?+（yi—yi）2=1+妁占一刈

=l+R（X1H-X2）2—4X1X2

或|46|=1+5上|一戶|=1+5（/+丁2）2—4yiy2.

k~k-

例2已知橢圓氏：+，=1（公功＞0）的左、右焦點分別為丹（一1,0）,F2（l,0）,

點P1b2）在橢圓石上.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）設直線/：戈=〃少+1（/〃￡R）與橢圓E相交于彳，8兩點，與圓＜+產=02相交

于C,。兩點，當|力卦。|2的值為82時，求直線/的方程.

解（1）因為點P[l'9）在橢圓上，根據橢圓定義可得|。外|+|尸22|=2〃,

又I嗎=4+；1='19,IP尸2|=7

所以24=3/+：=22,

22

即。=2,因為C=l,所以〃=〃2—c,2=l,

故橢圓E的標準方程為《十/=1.

2

⑵設4（xi,yi）,8（x2,及）,

x=my+1,

聯立消去x,

22

!x+2y=2,

整理得(〃?2+2)y2+2〃9-1=0,

2m

所以/=8〃戶+8>0,yi+二=一

〃戶+2’

則|力用=1+1（川+歹2）2—4月次=1+"，4m2+4

K-(〃?2+2)2加+2

22(加+|)

加+2

設圓N+f=2的圓心。到直線/的距離為",

則d=1-11

(一〃7)2+1

2/+1

所以|CD|=22一屋=2

加2+1

22(加+1)2(2m2+1)

則明,|田2==82,

加2+2X4X；W"P+2

解得加=±1,經驗證加=±1符合題意.

故所求直線的方程為

x—y—1=0或x+y—1=0.

易錯提醒1.設直線方程時，需考慮特殊直線，如直線的斜率不存在、斜率為0

等.

2.涉及直線與圓錦曲線相交時，/>0易漏掉.

3M8|=xi+x2+p是拋物線過焦點的弦的弦長公式，其他情況該公式不成立.

訓練2在平面直角坐標系中，頂點在原點、以坐標軸為對稱軸的拋物線。經過點

(1，2).

(1)求拋物線C的方程：

(2)己知拋物線C關于x軸對稱，過焦點廠的直線交。于4B兩點,線段的

垂直平分線交直線43于點P,交。的準線于點0.若|/8|=|P0|,求直線的方

程.

解(1)當焦點在x軸時，設拋物線C：

y2=2px(p>0).

將點(1,2)代入得〃=2,

此時拋物線的方程為爐=4工

當焦點在y軸時，設拋物線C：/=20。>0),

將點(1,2)代入得〃=；,

此時拋物線的方程為/=3.

綜一卜，拋物線。的方巷為產=4丫或.，=}.

(2)當拋物線。的焦點在x軸時，其方程為產=4乂

焦點坐標為(1,0),準坡方程為x=-L

??,當直線1B的斜率不存在時，

|第=4,|尸。|=2,不符合題意,

???直線48的斜率存在，設直線48的方程為y=A(x—1)(〃=0),

與拋物線的交點為力(xi,yi),8(x2,yi).

"二Z左(X-1)

由消去y得Irx2—(2k2+4)x+Zr=0.

y2=4x,

2〃44

???/=163+16>0,XI+X=；,

2k2

4

\AB\=x\+.￥2+2=44-,

kz

4

,?？1+>2=〃(為+12)—2上=,

k

22

???線段48的中點。為[1l+廬1kJ,

???直線尸Q的方程為歹一?=一1'—1―A2).

kk

令_得y-j+東

kk。

??.』f

.??闿尸"Al+b：寸=2"』1+;,

由I尸01=3引得，2(1+產)1+[=4+：,

K~k~

解得左=±3?,

3

???直線48的方程為>=3

t3.3

或產一x+.

,33

熱點三面積問題

例3(2024-泰安模擬)已知圓/+/一￥—25；+〃2=0與工軸交于點尸(1,0),且經過

橢圓G：[+，=1(心力>0)的上頂點，橢圓G的離心率為；.

(1)求橢圓G的方程；

(2)若點A為橢圓G上一點，且在x軸上方，B為A關于原點。的對稱點，點M

為橢圓G的右頂點，直線處與交于點N,的面積為；，求直線為

的斜率.

解（1）:圓/十y2一工—27+〃?=0過（1,0）,A/w=0,

又??,圓爐+/-x—2y=0過（0,b）,:.b=2.

c5

又：。3.?.〃2=9,

/—M=4,

?,?橢圓G的方程為:十：=1.

⑵設力(xo,次)則例一xo,一次)，

由題知xoWl且xoW—3,

則為：y=泗(x-1),MB：y=丹(》一3),

解得

（X—3）,

xo+3

力,

又S4PBN=S&PBM—SgMM=2X\PM\X,，（）=厘0=4，

=1,??xo=±2,

???直線必的斜率自產/=-2，或25.

xo—193

規律方法圓錐曲線中求解三角形面積的方法

(1)常規面積公式：s=：x底X高.

(2)正弦面積公式：S=^abs\nC.

2

(3)鉛錘水平面面積公式；

①過x軸上的定點：5=；如一網(。為x軸上定長);

②過y軸上的定點：5=%付一切伍為歹軸上定長).

訓練3已知雙曲線C￡一5=1(心0,4>0)的實軸長為2,左、右兩頂點分別為

小，Ai,。上的一點尸(刈,次)SoWO)分別與小，42連線的斜率之積為3.

(1)求C的方程；

(2)經過點(0,1)的直線/分別與C的左、右支交于M,N兩點，。為坐標原點，

△OMN的面積為6,求/的方程.

解(1)由題意知。=1,

則4(一1,0),4(1,0),。的方程為工2—^=1.

b~

因為P(xo,次)在C上，則高一1，

即W=6VI)，

則P(xo,/)分別與小，42連線的斜率之積為

2

次.次=京=b(xi-1)=吩=3,

xo+1xo~1xi~1xj—1

所以。的方程為N—1=1.

(2)由題意知，直線/的斜率存在，設為上

則/的方程為^=京+1,

y=kx-\~\,

聯立避_產=1消去)，得

r3，

(3一d.2_2米一4=0,

令M(?,y\),Ng,yi),

因為直線/分別交C的左、右支于M,N兩點，

則4=43+16(3—*)>0,x\xi=4<0,

3—k2

則一3<k<3,x\-\~X2=,,

3T2

由于直線/經過點(0,1),

則△OA/N的面積S=；忻一刈|=6,

則小—X2|2=(X1+X2)2—4X|X2

216

=(3-J+=24.

3T2

解得公=2或;(舍去)，則k=±2,

所以/的方程為y=±2x+1.

【精準強化練】

一、單選題

1.若直線y=x-1與橢圓/+3產=。有且只有一個公共點，那么。的值為（）

A.1B2

23

3

C.D.1

4

答案C

解析因為方程/+3/=。表示的曲線為橢圓，則A0,

將直線y=x—l的方程與橢圓的方程聯立，得二’?'

依+3y=〃，

可得4x2—6x+3—a=0,

則/=36—4X4X（3—q）=16q-12=0,

解得V

4

2.（2024?遵義模擬）已知橢圓C：:+；=1'過點尸2）的直線與橢圓C交于力,

B兩點且AB的中點為P,則坐標原點。到直線AB的距離為（）

A.lB.2

C.2D.22

答案B

解析設4(xi,y\),8(x2,㈤,則

=1,

兩式相減得+5*…)=。，

由條件可知，羽+%2=1,y\+y2=3,

即川一刃+加-也=o,

22

并且由對稱性可知，X1WX2,所以""=一1,

X\~X2

所以直線48的斜率為-1,

所以直線48的方程為，一；=—["2],

即工+?—2=0,

所以原點O到直線力8的距離a—'-2.

2

3.(2024?瀘州三模)已知點M(4，4)在拋物線C：/=2p^>0)±,尸為C的焦點,

直線與C的準線相交于點N,則|的7|=()

A25B20

33

CL"D25

24

答案A

解析將點例(4,4)代入拋物線方程爐=2內，可騫16=2〃義4,解得〃=2,

所以拋物線。的方程為V=4x,

所以尸(1,0),準線方程為工=-1,

4—04

所以直線的斜率％==,

4-13

所以直線A/N的方程為y=；(x-l),

令x=-l,得〉=一；，所以」1'3),

(4+8]225

所以|M7V|=(4+1)2+13J=；.

4.已知a為橢圓的左焦點，過E作傾斜角為:的直線與橢圓交于4B

963

兩點，O為坐標原點，則△月08的面積為()

A36B23

113

43

CD.3

3

答案A

解析如圖，因為直線44的傾斜角為60。，

所以斜率為3,

又直線過點￡(—3,0),

所以直線力5:y=3。+3),

y=3(x+3),

聯立

消去x并整理得11/一12〉—36=0,

J=144+4XHX36>0,

設力(xi,y\),6(x2,yi)^

m“36

則a+/=]]，以及=一[]，

斜/xo._144,4X36—243

所以b1一)引=(/+?a)-4)，必=⑵+]]=U，

所以品/o8=joa|BL/|=；X3x2：」=；：

5.已知拋物線C：y2=4x,圓/：(x—1)2+儼=1,直線/：y=%(x—1)/WO)自上而

下順次與上述兩曲線交于"l，m，A/3,河4四點,，則下列各式結果為定值的是

（）

A.|跖嵌卜|必B.|m|-|FM4|

答案A

解析如圖，分別設時I,必2,M3,四點的橫坐標為XI,X2,X3,X4,

由V=4x得焦點A(1,0),準線/o：x=-1,

由定義得，|M0=.叫+1,

又|MQ=|MiM|+l,

所以四跖|=?,

同理“”|=X4,

y=k（x—1）,

由t‘消去y整理得爐/一（2公+4）x+/=o（攵wo）,

r=4x,

則X\X4=1,即|必死卜|/?3M4尸1.

6.已知過雙曲線C^一^=1的左焦點9的直線/與雙曲線左支交于點4B,過

84

原點與弦AB中點、D的直線交直線x=—4s'于點E,若AAEF為等腰直角三角形,

則直線/的方程可以為（）

A.x+（3—22?+23=0B.x—（3+22?+23=0

C.x+（3—22）y-23=0D.x+（3+22?+23=0

答案A

解析F（~23,0）,則由題意可設/：尸町一23（mW土2）,

因為若△力七尸為等腰直角三角形，且N4E廠為直角，

所以直線E下的方程為y=—〃z(x+23),

人43省23

令x=_3，何、=-3'明

f4323]

即▲3，3m[

設力3,8),有|防=必用可得,

即3戶+：=(xi+23)?+j*=(m~+1))彳，

解得y尸土238.

又N=l，所以為一“J,

843

所以加=±(3—22),

從而直線/的方程為1+(3—22)y+23=0或工一(3—22?+23=0.

7.(2024?浙江名校協作體聯考)拋物線產=4x的焦點為R過點M(6,0)的直線與

拋物線相交于48兩點，與拋物線的準線相交于點C若/用=3,則[*=()

A.3B4

45

C5D6

67

答案A

解析由拋物線f=4x得拋物線的焦點為21,0),準線方程為工=-1,設,4但，

y\)>3(x2,、2),

過43分別作拋物線的準線的垂線,垂足分別為小N,則|3斤|=|52=&+1=3,

所以X2=2,把X2=2代入產=4X,可得玖二=±22,即點3(2,-22)或例2,22).

C\/

N-*

___'\M一

圖1圖2

當點8(2,—22)時，點力在x軸上方，即">0,如圖1,由M=4xi,可得yi=

2xi,

即4(xi,2xi),

22

因為M(6,0)且k/M=kMB,即1=所以》=3,

x\—66-2

所以|4日=3+1=4,所以\BC\=\BN\=3

\AC\\AE\4

當點8（2,22）時，點4在x軸下方,即巾<0,

如圖2,由允=4xi,可得川=一2xi,

即4（xi,—2幻），

因為歷（6,0）且匕

即:解得xi=3,

所以閾=3+1=4,所以

\AC\\AE\4

綜上，可得??=?.故選A.

MC|4

二、多選題

8.已知橢圓氏工十￡一1的右焦點為正2，直線x—y十3—0與橢圓交于力，B兩

點，則（）

A.ZX44后的周長為20

B.ZV/8B的面積為9622

41

C.線段/出中點的橫坐標為一?

41

D.線段48的長度為3^

答案ACD

解析依題意，直線X—>+3=0過橢圓氏的左焦點a（—3,0）,橢

圓長軸長2a=10,

所以的周長|力刊+|48|+|8尸2|=|4B|+|4K|+|8B|+|4B|=4a=20,A正

確：

x-y+3=0,

由f+y一［

島+16-晨

消去y得419+150%-175=0,

設/(?,yi),Bg,R),

則XI+x=_吸,XiX2=—75,

24141

因此線段力B中點的橫坐標為

"i+x2=_150x1=_萬c正確；

241241

線段力4的長度為1+1，(X1+X2)2—4X1X2

f—"OR

=2-I41J+4X17/5'="32U0,口正確：

4141

點B(3,0)到直線x—y+3=0的距離d=-6=32,

所以△川刃?2的面積S=；M4|-d

=1X320X32=4802,B錯誤.

24141

9.(2024?邯邨二模)設拋物線K：工2=20。＞0)的焦點為凡過點尸(0,3)的直線與拋

物線E相交于點4,B,與x軸相交于點C,|力用=2,|8Q=10,則()

A.E的準線方程為》=一2

B夕的值為2

C.|N3|=42

DABFC的面積與△力/C的面積之比為9

答案BD

解析設直線48的方程為y=Ax+3,4(xi,yi),Bg,聞，

,y=h+3,

聯立二可得去一6夕=0,

個=2打，

所以Xl+X2=2/M,xiX2=—6p,

r2

因為好=2外，所以,

2P

故小=竇=苧?=9,

4p-4P2

因為M月=2,|BF|=10,

由拋物線定義可得巾=2—g,玖=io-g,

則R―T［。—§)=9,解得p=2或p=22,

因為川=2—^>0,所以0=2,則E的準線方程為y=-l,故B正確，A錯誤:

又E的方程為N=4y,川=2—；=1,p2=10—g=9,

把yi=l代入r=4歹可得x+=4yi=4,舄=4戶=36,

不妨設力(-2,1),8(6,9),則|4?|=82,故C錯誤；

設歹到直線AB的距離為d,ABFC的面積5八"。=

LAFC的面積5二代=1。必

乙

則△6R?的面積與△加P的面積之比品"。一180—72—9,故口正確.

SMFC14clyi

三、填空題

10.設斜率為2的直線/過拋物線產=以(心0)的焦點R且和〉軸交于點4若

△04尸(O為坐標原點)的面積為4,則a的值為.

答案8

解析拋物線產=0￥的焦點坐標tr°),i°用=j

直線/的點斜式方程為y=2卜-2,在y軸的截距是一；.

???品〃尸!X：X：=4,即。2=64,

242

又/0,?,?。=8.故答案為8.

11.(2024?婁底模擬)已知橢圓C：的右焦點為巴下頂點為4過

4,尸的直線/與橢圓。交于另一點4,若直線/的斜率為1,且[48|=。則橢圓

C的標準方程為.

答案；+[=1

解析設Rc,0),

由題意知，b=c,a=2c,直線/的方程為》=不一°,

與橢圓C的方程聯立化簡得3x2-4cx=0,

所以山=0,X8=：C,

故|48|=2-|x5—Xj|=4^2c=^,

解得c=2,

22

所以方=2,。=2,橢圓C的方程為：v+2v=l.

42

12.(2024?合肥調研)已知橢圓C：:;+；；=1(蜃力>0)的一個焦點的坐標為(1,0),一

條切線的方程為x+y=7,則C的離心率。=.

答案J

3=1,

解析聯立直線與橢圓方程序心

x+y=7,

可得(*+h2)x2—14a2x+49a2-a2b2=0,

則有1=196/-4(*+b2)(49a2-a2b2)=0,

化簡得t/4/?2+a2bA=49a2b2,

又a>b>0,故標+文=49,

又橢圓的一個焦點的坐標為(1,0),

故有a2~b2=1,

則標=25,故4=5,則e=l

5

四、解答題

13.(2024?新高考I卷)已知4(0,3)和2)為橢圓C：：；+：；=1(。＞力＞0)上兩點.

(1)求。的離心率；

⑵若過產的直線/交C于另一點3,且△力臺尸的面積為9,求/的方程.

a=23,

解⑴由題知‘99解得

a2~^~4b2b=3,

；?c=a2—b2=3,

???C的離心率e=°=L

a2

(2)|以尸

設點8到直線以的距離為隊

則△4BP的面積為5=1|/M|/?=9,