2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練：指對同構(gòu)問題（附答案）

§3.5指對同構(gòu)問題

【重點解讀】把一個等式或不等式通過變形，使左右兩邊結(jié)構(gòu)、形式完全相同，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單

調(diào)性進行處理，找到這個函數(shù)模型的方法就是同構(gòu)法.同構(gòu)法主要解決含有指數(shù)、對數(shù)混合的等式或不等式

問題.

題型一雙變量地位同等同構(gòu)

例1若對OOrVzVa都有In仔）12A??-2xi成立，則。的最大值為（）

A.lB.2C.eD.2e

答案B

（Y\"1工2

解析由In住）<2X2~2X\,（）<ri<.r2<n,

得riY2（In孫一Inri）<2r2—2x.\,

X^X2

即Inxo—Inx\<———,

*2

,22

有l(wèi)nM+—<lnjq+-,

x2X1

令/U）=lnx+：（x>（））,貝U/U2）勺*D,

所以汽懺；尹愛，

令/V）>0=x>2,令/（x）<0=>0<r<2,

所以函數(shù)./U）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2,+8）,單調(diào)遞減區(qū)間為（0,2）,

所以當0v為令2<2時，.火念）5?）恒成立，

所以0<〃W2,故a的最大值為2.

思維升華含有地位同等的兩個變量足，悶或x,）?或。，力的等式或不等式，如果進行整理（即同構(gòu)）后，等

式或不等式兩邊具有結(jié)構(gòu)的一致性，往往暗示應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)月函數(shù)單調(diào)性解決.

跟蹤訓(xùn)練1若0<X1<X2<l,則下列不等式正確的是（)

A.xilnxi<3nxiB.xilnxi>X2lnxz

CMnxi<xilnxiD.x21nxi>Ailnxi

答案c

解析令/(x)=.Hnx,則f(x)=1+lnx,

當0<x<l時，義工)的正負不能確定，故Mln加與MEE的大小不能確定，故選項A,B錯誤；

令gQ.尸殍，則g，(X尸等，

當(Xx<l時，/*)=上髻>0,則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

因為O<X1<V2<1,

所以式汨)%8),即嶼<電，即沖11k4瓶不，故選項C正確，選項D錯誤.

X1x2

題型二指對同構(gòu)法的理解

指對同構(gòu)的常用形式

(1)積型：(危Wblnb,一般有三種同構(gòu)方式：

①同左構(gòu)造形式："'Win加2,構(gòu)造函數(shù)人刈一代『；

②同右構(gòu)造形式：ealnea^b\nb,構(gòu)造函數(shù)./U)=Hnx;

③取對構(gòu)造形式：〃+ln々Win4+ln(ln+(a>0,b>\),構(gòu)造函數(shù)/(x)=x+lnx.

(2)商型：,一般有三種同構(gòu)方式：

aIno

①同正構(gòu)造形式：竺wW,構(gòu)造函數(shù)yu)=￡；

ciInox

②同右構(gòu)造形式：鼻,構(gòu)造函數(shù)兒0=占；

IneaInb八'Inx

③取對構(gòu)造形式:a-ina^lnb—ln(lnb)(a>0,/?>1),構(gòu)造函數(shù)")=x—Inx.

(3)和、差型：e"±a>〃±lnZ?,一般有兩種同構(gòu)方式：

①同左構(gòu)造形式：ea±a>e]nh±\nb,構(gòu)造函數(shù)次外=8"；

②同右構(gòu)造形式：eu±lnert>Z?±lnb,構(gòu)造函數(shù)/(x)=x±lnx.

例2(1)(多選)若e"+a9+lnb(a,b為變量)成立，則下列選項正確的是()

A.a>lnbB.?<lnb

C.ea>bD.e“v〃

答案AC

解析方法一由e"+a>/?+hi〃，

可得e"+?>eln"+Inb,

令、/U)=e'+x,則加)次nb),

因為./U)在R上是增函數(shù)，

所以<7>lnb,即ea>b.

方法二由e"+a>b+lnb,

可得e"+lne">〃+lnb,

令gQ)=x+hix,則g(e")>g(Z?),

因為g(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，

所以e'>b,即a>\nb.

(2)(2025?宜春模擬)在數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)、形式相同的兩個式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)

的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式.若關(guān)于。的方程aeb2=e4和關(guān)于〃的方程Hln人

-2)=e3；-l(?>0,Z?>e2)可化為同構(gòu)方程，則(力的值為.

答案e8

解析對優(yōu)“2=e4兩邊取自然對數(shù)，

得In。+。=6,①

對伏加〃-2)=薩)兩邊取自然對數(shù)，

得hib+ln(ln〃-2)=32—1,

即In/?-2+ln(ln〃-2)=37—3,②

因為方程①②為兩個同構(gòu)方程，

所以37—3=6,解得2=3,

設(shè)F(^)=lnx+x且x>0,則尸。)=；+1>0,

所以尸(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故網(wǎng)幻=6的解只有一個，

所以?=In/?—2,

則ab=b(\n/?-2)=eV3-|=e8,

思維升華利用恒等式x=lne'和、=心，，通過幕轉(zhuǎn)指或幕轉(zhuǎn)對進行等價變形，構(gòu)造函數(shù)，然后由構(gòu)造的

函數(shù)的單調(diào)性進行研究.

跟蹤訓(xùn)練2（多選）對不等式or+e">ln（〃x）+法進行指對同構(gòu)時，可以構(gòu)造的函數(shù)是（）

AJ（x）=lnx+xB.y（x）=xlnx

C7W=x+e'D.於）=卷

答案AC

解析由恒等式x=lne”可得ov=lne。'，

所以ax+ea'>ln（/?A）+bx可變形為

Iny+泮>1岫）+版,

構(gòu)造函數(shù)/（工）=lnx+x,

可得J（e巧X版）?

同理，由恒等式X=dnx可得/>=那限），

所以仆+e"、>lnSx）+/u:可變形為ax+ear>ln（/?x）+eln（/z'},

構(gòu)造函數(shù)/U）=x+e',可得如詞或InSx））.

題型三同構(gòu)法的應(yīng)用

例3（1）設(shè)實數(shù)Q0,對于任意的x>\,不等式女恒成立，則〃的最小值為.

答案-

e

解析由ke"21nx得kt*2xlnx.

即h/Beifnx,

令危）=比［則逐"）宓Inx）.

因為/（?=（%+1威.

所以j"）在（-1,+8）上單調(diào)遞增，

因為tr>0,In,v>0,

所以Lv^lnx,即女》竽，

令帖尸%>1），則〃。）=等.

當了E(1,e)時,〃。)>0,3)單調(diào)遞增;

當xe(e,+8)時，。。)<0,〃(幻單調(diào)遞減，

所以力。)max="(e)=工,即22工，

ee

所以k的最小值為士

e

2-m

(2)(2025?衡陽模擬)已知〃?是方程de-2+(e—])mx=2的一個根，貝iJe=T+(e—1)ln機等于()

A.lB.2C.3D.5

答案B

解析^-24-(6—l)lnx=2<=>ec,nHx-2+elnx+x—2=x+lnx=e,nx+lnx,

設(shè)刖=e，+f,則八/)=d+l>0恒成立,故W)單調(diào)遞增,

由/(elnx+x—2)=,/0nx)得elnx+jr—2=lnx,即(e—l)lnx=2—x.

因為俄是方程keL2+(e—l)]nx=2的一個根，

所以(已一l)lnm—2—m,

2-m

所以m=e^T,

2—Tn

所以e=T+(e—l)ln/〃=〃?+(e—l)ln〃?=〃?+2—/〃=2.

思維升華常見的同構(gòu)函數(shù)有：①於)=當；②/&)=xlnx;③/2=疣';@W=卷.

其中①④可以借助野=寨=/，②?可以借助Ae'=(lncr)cT=(ln)=山】/進行指對互化.

跟蹤訓(xùn)練3⑴(2024.呂梁模擬)若關(guān)于x的不等式—工小+辦對Vx￡(O,I)恒成立，則實數(shù)。的取

值范圍為()

A.(-8,0]B.[-l,0]

C.[-l,4-oo)D.[0,+8)

答案C

解析由在(0,1)上恒成立，

可得詈箕在(()，1)上恒成立，

即胃^在(°，1)上恒成立，

當眾0時,捺<0,鬻>0，

不等式缺省在(0，1)上顯然成立；

當〃<0時,令.")=根,

則Hlnx)勺g+x)在(0,1)上恒成立,

八幻=號，當在(一8,1)時，八外>0,所以外)在(一8,1)上單調(diào)遞增，

又當工￡(0,1)時，lnx￡(—8,0),a+xW(-8,I),

所以只需lnx<a+x在(0,I)上恒成立，

即a>lnx-x在(0,1)上恒成立.

令g(x)=lnx-x,0<r<l,

則g'(x)=?>0,

即gQ)在(0,1)上單調(diào)遞增，

其中g(shù)(l)=ln=,故。三熟1)=-1,

所以一lWa<0.

綜上，42一1.

(2)已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，。"均為大于1的實數(shù)，若外/1+〃<句,則()

A/<e/iB./?>ew+,

C.ab<cD.ab>e

答案B

解析由r/e^'+^lnb,可得ael,+i<h\nb-b=b(\nh-\)=b\n-,即ealnea<-ln-,

eee

設(shè)%)=xlnx,可得/(e")勺(J,

因為a>l,可得e“>e,

又因為Z?(ln/?-l)>0,b>l,所以ln/?>l,即/?e,所以e,

易知當x>l時，八x)=lni+l>0,可得函數(shù)yu)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以ert<-,即b>c"”.

e

課時精練

［分值：45分］

一、單項選擇題(每小題5分，共10分)

1.設(shè)A>0,y>0,若e'+ln)>x+)，，則下列選項正確的是()

A.jc>yB.x>lny

CjVyD.x<lny

答案B

解析不等式爐+1”>葉)，等價于

e'—x>y—Iny,

令/U)=e'—x,

貝ilyilny)=e")—Iny=y—Iny,

，不等式e'—x>y—Iny等價于./WMlny),

V/(x)=eA-l,

???當x￡(0,+8)時，八幻>0，段)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增,

?,?若)，￡(1,+8),則ln)，￡(0,+8),

由.")刁Un)，)有x>\ny;

若了￡(0,1］,則hiyWO,

由.r>0,有x>lny.

綜上所述，x>lny.

2.若關(guān)于x的不等式e'+x+ln22mx+ln〃z恒成立，則實數(shù)小的最大值為()

X

A.2B.eC.3D.e2

答案B

解析由題意得，加>0,x>0,

不等式等價于e"+x2"ir+ln(〃ix)恒成立，

即ex+lne'2〃ix+ln(〃M恒成立，

令7U)=x+lnx,

則不等式轉(zhuǎn)化為/(。,)2/(根1),

因為/")=1+》0,

所以函數(shù)./U)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以,則至2〃?.

X

令g(x)=9,x>0,

則gQ尸筆12,

則當0<x<l時,g\x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當x>\時，8。)>0,g)單調(diào)遞增,

所以當x=l時，g(x)有最小值，

即g(?min=g(l)=e,則mWe,

則m的最大值為c.

二、多項選擇題(每小題6分，共12分)

3.(2025?邯鄲模擬)已知a>0,bWR,e是自然對數(shù)的底數(shù)，若〃+e?a+lna,則。一〃的值可以是()

A.-lB.lC.2D.3

答案BCD

解析設(shè)函數(shù)?Y)—x+e"

則人幻在R上是增函數(shù)，

所以b+e”—(a+lna)=〃+e'—(In?+”")=</?)—/(Ina)=0,

所以b=\na,即a=eb,所以a-b=^—b,

令g(jc)=cx-x,則g'(x)=e、-1,

當x<0時，g3<0,g(x)單調(diào)遞減；當A->0時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)2g(0)=l,從而a—1,結(jié)合選項，選項BCD符合題意.

4.(2024?鹽城模擬)若不等式"一e'ln〃<0在x￡[2,+8)上恒成立，則實數(shù)。的值可以為()

A.3eB.2eC.eD.2

答案BCD

解析由題意得00,

由6/x-elna<0得會詈=黑,

設(shè)府)甘，則八勸=，,

當x<\時，八x)>0,.")單調(diào)遞增；當x>l時，/(x)<0,/W單調(diào)遞減，

又和))=0,/1)=-,當Q0時，危)=9>0恒成立,

ec

所以7U)=W的圖象如圖所示,

沐盤，即.”)qina),e2,

對于A,當a=3e時,ln?=ln3+l>2,根據(jù)圖象可得凡0勺(In“)在［2,+8)上不恒成立，A錯誤；

對于B,當a=2e時，ln?=ln2+ie(l,2),根據(jù)圖象可得./(心/(Ina)在［2,+8)上恒成立，B正確；

對于C,當〃=?時，lna=l,根據(jù)圖象可得7U卜川na)在［2,+8)上恒成立，C正確；

對于D,當(7=2時，Ina=\n2,

又加2)=提=撕212)=?,

因為3X-ln2-3x4=ln2x/2-4,

2e2e2

且2>/2>e,e2>6,

即ln2V2>I,^<1,

HP/In2)^2),

根據(jù)圖象可得/U)勺(Ina)在［2,+8)上恒成立，D正確.

三、填空題(每小題5分，共10分〕

5.(2025?長春模擬)不等式華20(〃<0)對,+8)恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍是

答案［—e,0)

解析由m一華20可得

xa

爾'、一華=一〃|nX?Fnx

xa

令其1)=沅，。>0),則人］)=(工+1把'>(),

故/U)在(()，+8)上單調(diào)遞增，

因為a<0,%e(i,+8),貝iJ-Hnx>0,

則“r)電一alnx),可得—a\nx,

即心一日對Vx￡(l,+8)恒成立，

令g(“尸拿e，

則心尸端，

由g'(x)=O可得x=e,故當l<xve時，gQ)<0,當x>e時，g<x)>0,

所以g(x)在(1,e)上單調(diào)遞減，在(e,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)min=g(e)=e,

得心(一高Lx

又a<0,所以一eW〃<0.

6.(2025，渭南模擬)已知實數(shù).11,x2滿足63=，,InX2=~2，則士1廄=

答案4

解析由0句=?,

可得上1鏟I=4,故即>0,

由InX2=^2，可得詔In蟾=4,

可得J11詔.]n以=4,故Inxf>0,

令外)=xe"WJ/(xi)=/(lnxl),

/(x)=(x+