高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)教案：空間向量及其線性運(yùn)算

1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算教學(xué)設(shè)計(jì)

課題1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算單元第一單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二

(1)知識(shí)與技能：1、理解和掌握空間向量的基本概念；

2、掌握空間向量的基本運(yùn)算.

學(xué)習(xí)(2)過(guò)程與方法：通過(guò)高一學(xué)習(xí)的平面向量相關(guān)知識(shí)，推廣引申，理解和掌握空間向量的

目標(biāo)線性運(yùn)算.

(3)情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生的類比思維，類比學(xué)習(xí)空間向量，運(yùn)用向量的概念和運(yùn)

算解決問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生的邏輯思維，培養(yǎng)學(xué)生的開拓創(chuàng)新能力.

(1)邏輯推理：運(yùn)用向量運(yùn)算判斷共線與垂直.

核心

(2)直觀想象：向量運(yùn)算的幾何意義.

素養(yǎng)

(3)數(shù)學(xué)運(yùn)算：向量的加減、數(shù)乘與數(shù)量積運(yùn)算及其運(yùn)算律.

重點(diǎn)空間向量的概念及其線性運(yùn)算

難點(diǎn)理解空間向顯的線性運(yùn)算

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

導(dǎo)入新課PPT展示的是一個(gè)做滑翔傘運(yùn)動(dòng)的場(chǎng)景.可以發(fā)揮想象，思介紹知識(shí)背景，

想象，在滑翔過(guò)程中，飛行員會(huì)受到來(lái)自不同方句、考知識(shí)之間的提起學(xué)生的興

大小各異的力，例如繩索的拉力、風(fēng)力、重力等.顯,致性.趣.

然，這些力不在問(wèn)一個(gè)平面內(nèi).聯(lián)想用平面向量解決

物理問(wèn)題的方法，能否把平面向量推廣到空間向

量，從而利用空間向量研究滑翔運(yùn)動(dòng)呢?下面我們

類比平面向量研究空間向量，先從空間向量的概念

和表示開始.

講授新課活動(dòng)一、讓我們將以前學(xué)過(guò)的向量的概念和運(yùn)教師注重比通過(guò)比較，既復(fù)

算回顧一下，看它們是只限于平面上呢？還是太來(lái)

就適用于空間中。較，將關(guān)鍵知習(xí)了平面向量的

請(qǐng)學(xué)生自行閱讀空間向量的相關(guān)概念：空間向識(shí)點(diǎn)展現(xiàn)給學(xué)基本概念，又能

量定義、模長(zhǎng)、零向量、單位向量、相反向量、相

等向量。生.使學(xué)生更好的理

請(qǐng)學(xué)生比較與平面向量的異同。解空間向量，培

向量概念的關(guān)鍵詞是大小和方向，所以它應(yīng)既

適用于平面上的向量，也適合于空間中的向量，二養(yǎng)學(xué)生的類比思

者的區(qū)別僅僅在于：在空間中比平面上有更多的不想，提高學(xué)生舉

同的方向。因此平面幾何中的向量概念和知識(shí)就可

以遷移到空間圖形中。一反三的能力.

(1)空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一人平

面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向曷。

注意：(1)印刷體用黑體，書寫要帶向量箭頭.

(2)空間向量是平面向量的推廣，其表示方法

以及一些相關(guān)概念與平面向量一致.

活動(dòng)二、數(shù)學(xué)中，引進(jìn)一種量后，一個(gè)很自然的問(wèn)

題就是要研究它們的運(yùn)算、由于任意兩個(gè)空間向最

都可以通過(guò)平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，這樣任

意兩個(gè)空間向量的運(yùn)算就可以轉(zhuǎn)化為平面向量的

運(yùn)算.由此，我們把平面向量的線性運(yùn)算推廣到空間，

定義空間向量的加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算.

線性運(yùn)算：交換律，結(jié)合律，分配律

課堂探究知識(shí)探究一、如圖1,在平行六面體中學(xué)生根據(jù)環(huán)環(huán)通過(guò)思考，培養(yǎng)

相扣的探究問(wèn)學(xué)生探索新知的

ABCD-A^Ciy,分別標(biāo)出AB+AD+AA',

題題，探究空精神和能力.

+4萬(wàn)表示的向量.從中你能體會(huì)向量加法

間向量及其線

運(yùn)算的交換律和結(jié)合律嗎?一般地，三個(gè)不共面的向

性運(yùn)算.發(fā)展

量的和與這三個(gè)向量有什么關(guān)系？

學(xué)生的幾何直

觀和數(shù)學(xué)運(yùn)算

的核心素養(yǎng).

AB

圖1

可以發(fā)現(xiàn)：AB+Ab+AAf=AB+AAf+Ab=AC

有限個(gè)向量求和，交換相加向量的順序，其和大變

例1在空間四邊形0A8C中，O4+A豆-C8?等于

()

A.OAB.ABC.OCD.AC

答案：C

知識(shí)探究二、對(duì)任意兩個(gè)空間向量。與/2,如果

a=/lZ?(2wR)，。與8有什么位置關(guān)系？反過(guò)來(lái)，a有助于學(xué)生理解

與〃有什么位置關(guān)系，a=2b?向量之間的美系

對(duì)任意兩個(gè)空間向量，a,〃他工0）,a//b的充要

條件存在實(shí)數(shù)九，使。=勸學(xué)生理解向量

例2在平行六面體ABCD-AffCiy中，若

之間的線性關(guān)

AC=xAB+^BC+^CCMx+y+z=_______.

系

答案：6

解析：在平行六邊形A88-4&C77中，有

fi

AC=AB+BC+CC,B.AC=xAB+^BC+-CCi

23

所以有x=l>—=1?—=1,解得x=l,y=2>z=3,

23

所以x+y+z=6.

知識(shí)探究三、（方向向量與共面向量的概念）日?qǐng)D

2可知，存在實(shí)數(shù)4,使得。戶=我們把與向理解方向向量和

量。平行的非零向量稱為直線/的方向向量共面向量的概念.

思考問(wèn)題，發(fā)

揮想象.

/圖2

由圖3,如果表示向量。的有向線段函所在的直線

OA與直線/重合，那么向量。平行于直線/.如具直

線OA平行于平面?；蛟谄矫鎍內(nèi)，那么稱向量a

平行于平面a.平行于同一個(gè)平面的向量，叫做

共面向量.

OaA

a/

圖3

例3.如圖所示，在平行六面體ABC。-48677中，

設(shè)A4；=a,AB=b,AD=c,M,N,尸分別是

A4,,8C，G。的中點(diǎn)，試用*b,c表示以下各

向后:

(I)A戶；

(2)V?;

(3)MP.

通過(guò)例題讓學(xué)

生掌握本節(jié)課

知識(shí)，井能夠

靈活運(yùn)用.

解：（1）因?yàn)槭荊A的中點(diǎn)

AP=AAi+AiDi-^DlP=a+AD+-DiC1,

I一1

=a+c+—A4=a+c+—b.

22

（2）因?yàn)镹是BC的中點(diǎn)，同理可得：

——1

A^N=-a+b+-c.

J

（3）同理可得：MP=—a+—b+c.

22

知識(shí)探究四、對(duì)平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線向量。，b,

由平面向量基本定理可知，這個(gè)平面內(nèi)的任意一個(gè)

向量〃可以寫成〃=m+）力,其中（X,），）是唯一確定

的有序?qū)崝?shù)對(duì).對(duì)兩個(gè)不共線的空間向量。力，如果

〃=.m+）力，那么向量〃與向量有什么位置關(guān)

系?反過(guò)來(lái)，向最〃與向量。涉有什么位置關(guān)系時(shí),

p=xa+yb?

解析：如果兩個(gè)向量”，力不共線，則向量〃與向

量〃，8共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)

(x,y),使〃=此+)力.

例4如圖4-1,已知平行四邊形A8CD,過(guò)平面

AC外一點(diǎn)0作射線OA,OB,OC,OD,在四條射

線上分別取E,F,G,a,使

OEOFOGOH出t口口廠口皿上

-----------.......=k,求證E>F,G,”四點(diǎn)

~OAOBOCOD

共面

O有助于學(xué)生建立

起空間向量的意

識(shí)，發(fā)展學(xué)生的

幾何直觀的核心

素養(yǎng)

EF

圖4-1

解析：因?yàn)?所以回顧平面向量

基本定理，思

OE=kOA,OF=kOBtOG=kOC,OH=kOD.

因?yàn)樗倪呅蜛3CD是平行四邊形，考空間向量中

所以/=岫+而.是否存在此位

置關(guān)系.

^EG=OG-OE=kOC-kOA=kAC

=k^AB+AD^=k(0B-0A+0b-0A^

=OF-OE±OH-OE=EF±EH

隨堂練習(xí)1.下列說(shuō)法中正確的是（）學(xué)生動(dòng)筆思注重學(xué)生對(duì)知識(shí)

若同則〃，〃的長(zhǎng)度相等，方向相同或

A.=5,考，鞏固新知.的把握，理解知

相反不會(huì)的地方及識(shí)，發(fā)展學(xué)生的

B.若向量〃是向量〃的相反向量，則同=同時(shí)反映.類比思維，培養(yǎng)

學(xué)生幾何直觀和

C.空間向量的減法滿足結(jié)合律

數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心

D.在四邊形ABC/）中，一定有通+而=庶

素養(yǎng).

2.如圖，在四棱柱的上底面A8CD中，AB=DC^

則下列向量相等的是（）

DC

AA78

Di…一…C|

//

A1/

A.AD^CliB.OA^OC

C-/與Z）與D.仍與礪

3.在下列條件中，使M與A、B、C一定共面的是

學(xué)生和教師共

（）

同探究完成4

A.OM=2OA-Oli-OC個(gè)練習(xí)題。通過(guò)這4個(gè)題，

B.OM=-OA+-OB+-OC鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，

532

發(fā)散學(xué)生思維，

c.MA+MB+MC=6

培養(yǎng)學(xué)生思維的

D.OM+OA+OB+OC=6嚴(yán)謹(jǐn)性和對(duì)數(shù)學(xué)

4.（多選題）已知平行六面體ABCD-AMCTY，的探索精神。

則下列四式中其中正確的有（）

A?AB-C