2026年高考數學一輪練習 第十章 第5節 離散型隨機變量及其分布列、數字特征（附答案）

§10.5離散型隨機變量及其分布列、數字特征

分值：90分

ib知識過關

一、單項選擇題（每小題5分，共30分）

1.在籃球比賽中，規定一次中距離投籃投中得2分，投不中得（）分，則選手甲在三次中距離投籃中的總得

分4的所有可能取值的和是（）

A.8B.10C.12D.14

2.設隨機變量X的分布列為&X=i）=；,工1,2,3,則。等于（）

2a

75

A.3B.-C.2D.-

39

3.已知隨機變量X的分布列為

X-101

P1mn

3

若p（xwo）=；,且2x+y=i,則。⑴等于（）

A.—B.—C.-D.—

181899

4.已知隨機變量X的概率分布列為戶（X=〃）=asin*（〃=1,2）,其中。是常數，則E（｝x）等于（）

A.|BgC.2D.g

5.一袋中裝有5個白球和3個紅球，現從袋中往外取球，每次任取一個，取出后記下顏色，若為紅色則停

止，若為白色則繼續抽取，停止時從袋中抽取的白球的個數為隨機變量。則?（JW2）等于（）

A.-B.-C.-D.-

14565628

6.某聽眾打電話參加某廣播電視臺猜商品名稱節目，能否猜對每件商品的名稱相互獨立，該聽眾猜對三件

商品D,E,產的名稱的概率及猜對時獲得的獎金如表所示：

商品DEF

猜對的概率0.80.50.3

獲得的獎金/元10()2003(X)

規則如下：只有猜對當前商品名稱才有資格猜下一件商品，你認為下列哪個答題順序獲得的獎金的均值最

大（）

X.FDEB.FEDC.DEFD.EDF

二、多項選擇題（每小題6分，共12分）

7.已知離散型隨機變量X的分布列為

X0125

Pa加+0.2。+0.22a

則下列說法正確的是（）

A.D.lB.D（X）=1.84

C.E（X）=2D.E（2X+6）=9

8.已知隨機變量X的分布列為

X-101

P0P2P2

下列結論正確的是（）

A.若pi=2〃2，則〃產：

B.若pi=〃2，則尸（因二1）三

C.若E（X）q,則〃2=]

?5

D.P5P2（/”2區0）的最小值為噂

1O

三、填空題（每小題5分，共10分）

9.隨機變量^的分布列如表所示：

234

Paba

根據隨機變量4的分布列，計算出E（。;,若。?弓，則人的數值應是.

10.根據以往的經驗，某工程施工期間的降水量X（單位：mm）對工期的影響如表所示：

降水帚XX<300300WX<700700WX<900X2900

工期延誤天數Y02610

歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9,則工期延

誤天數丫的均值為.

四、解答題（共28分）

11.（13分）（2025?重慶模擬）甲、乙兩名圍棋手對弈，比賽實行五局三勝制，第一局通過猜子確定甲執黑先行,

其后每局交換先行者，直至比賽結束，已知甲先行時他贏下該局的概率為0.6,乙先行時他贏下該局的概

率為0.5.

（1）求比賽只進行了三局就結束的概率；（5分）

（2）已知甲勝了第一局，求比賽進行局數的期望.（8分）

12.（15分）某公司為活躍氣氛、提升士氣，年終擬通過抓閹兌獎的方式對所有員工進行獎勵.規定：每位員工

從一個裝有4個標有面值的閹的袋中一次性隨機摸出2個閹，閹上所標的面值之和為該員工獲得的獎勵金

額.

（1）若袋中所裝的4個閹中有1個所標的面值為800元，其余3個均為200元，求：

①員工所獲得的獎勵金額為1000元的概率；（3分）

②員工所獲得的獎勵金額的分布列及均值；（5分）

（2）公司對獎勵金額的預算是人均1000元，并規定袋中的4個閹只能由標有面值200元和800元的兩種閹

或標有面值400元和600元的兩種閹組成.為了使員工得到的獎勵金額盡可能符合公司的預算且每位員工所

獲得的獎勵金額相對均衡，請對袋中的4個閹的面值給出一個合適的設計，并說明理由.（7分）

I07能力拓展

每小題5分，共10分

13.設隨機變量X的分布列如表所示，則下列說法中錯誤的是（）

X123456

PP1“2〃3P4P5〃6

A.P（X24）=1?P（XW3）

B.隨機變量X的數學期望風X）可以等于3.5

C.當p〃=玄（〃=1,2,3,4,5）時，弓

D.數列｛p“｝的通項公式可以為p,產而扃2,3,4,5,6）

14.設〃￡修，外，隨機變量4的分布列如表所示，則E（Q（）

丁丁石為

p1

2

A.有最大值半最小值|

B.有最大值最小值:

44

C.有最大值3,無最小值

D.無最大值，有最小值:

4

答案精析

1.C2.A

3.C[由P(XW0)4，

得m=—il=l-

236

片l?P(XW0)三,

貝I」￡(.￥)=-1x1+()X^+lx1=i

D(X)=E(X2)-(E(X))2

=1X+OX2_29

IKI~36

由2X+y=l,得Y=\-2X,

所以D(V)=4D(X)=^.]

4.C|由P(X=n)=as\n舟(〃二1,2),

得P(X=l)=a,P(X=2)=1。，

由P(X=1)+P(X=2)=1,得白],

于是E(X)=1XP(X=1)+2XP(X=2)=2a=^,

所以EQX)=|F(Y)=2.]

5.D|依題意知，卡A表示前k個球為白球，第k+1個球恰為紅球，則4的可能取值為0,1,2,3,4,5,

則P(0尸簿，上0,1,2,3,4,5,

所以P(c=0)=4#=7,

pn/(nE1\)A=eAijpIS?，

PE巫二1

Al28'

所以PQW2)=P(勺O)+Pei)+P(勺2)哈條

30ZO

6.C［按照尸OE的順序獲得的獎金的均值為300X0.3X0.2+400X0.3X0.8X0.5+600X0.3X0.8X0.5=138；

按照立的順序獲得的獎金的均值為300X0.3X0.5+500X0.3X0.5X0.2+600X0.3X0.5X0.8=132；

按照的順序獲得的獎金的均值為100X0.8X0.5+300X0.8X0.5X0.7+600X0.8X0.5X0.3=196；

按照的順序獲得的獎金的均值為200X0.5X0.2+300X0.5X0.8X0.7+600X0.5X0.8X0.3=176.

綜上所述，按照。￡產的順序獲得的獎金的均值最大.］

7.AC［由分布列的性質知6。+0.4=1,解得斫0.1,故A正確；

故F(X)=0X0.1+1X0.4+2義0.3+5X0.2=2,D(X)=0.1X22+0.4Xl2+0.3X02+0.2X32=2.6,故B錯誤，C正確；

由離散型隨機變量期望的性質可得，E(2X+6)=2E(X)+6=l(),故D錯誤.］

8.BC［對于A,由題意得/?I+2/>2=1,若〃尸2〃，則pi=1,A錯誤；

對于B,若P\=P2,貝|JPl=P2=g,

p(m=i)=p(x=i)+p(x=-1，正確；

JJDB

對于C,若E(X)=|,則-pi+〃2=4，又Pl+2/72=1,所以P2="C正確；

?3x

對于D,由/?|+2/72=1,得,

2

2

Pi-P2=(l-2p2)-p2=4pf-5p2+l=4(p2-卷，

因為0</72<1,所以譜-P2不存在最小值，D錯誤」

9.3；

解析依題意，a+b+a=2xi+b=\,E(^)=2a+3b+4a=6a+3b

二3(2介〃)=3,

D(a=(2-3)2rt+(3-3)2/7+(4-3)2rt=2?=1,

解得，代入2a+b=\得b=；.

42

10.3

解析由題意可知P(X<300)=0.3,

P(300^X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,

P(700^X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,

P(X2900)=l-P(X<900)=I-0.9=0.1.

所以隨機變量y的分布列為

Y02610

P0.30.40.2().1

所以E(y)=0X().3+2X0.4+6X().2+10X().1=3,所以工期延誤天數丫的均值為3.

11.解(1)比賽只進行三局，則都是甲贏或都是乙贏，

所以概率為0.6X0.5X0.6+0.4X0.5X0.4=0.18+0.08=0.26.

(2)設比賽進行的局數為X,則X所有可能的取值為3,4,5.

當X=3時，則前三局都是甲贏，

P(X=3)=O.5X0.6=03,

當X=4時，則可能的情況是

甲乙甲乙

乙勝甲乙乙乙

甲勝甲甲乙甲

甲勝甲乙甲甲

P(X=4)=0.5X0.4X0.5+0.5X0.4X0.5+0.5X0.6X0.5=0.35,

P(X=5)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-0.3-0.35=0.35,

故E(X)=3X0.3+4X0.35+5X0.35=4.05.

12.解(1)設員工所獲得的獎勵金額為X,

①P(X=1000)=^=1,

???員工所獲得的獎勵金額為100()元的概率為;.

②X所有可能的取值為400,1000,

P(X=400尸巖31

，X的分布列為

X4001000

P11

22

???員工所獲得的獎勵金額的均值為

E(X)=400x1+l000x1=700.

(2)根據公司預算，每個員工的平均獎勵金額為1000元，

???先尋找均值為1(X)0元的可能方案，

對于面值由80()元和200元組成的情況,

如果選擇(200,200,200,800)的方案,

VI000元是面值之和的最大值，

???均值不可能為1000元,

如果選擇(800,800,800,200)的方案，

?.?1000元是面值之和的最小值，

???均值不可能為1000元，

因此可能的方案是(800,800,200,200),記為方案1；

同理，對于面值由600元和400元組成的情況，

排除(600,600,6(X),400)和(400,400,4(X),600)的方案,

，可能的方案是(400,400,600,600),記為方案2.

對于方案1,設員工所獲得的獎勵金額為X,X可取400,1,1600,

P(X=400)喉帶,

P(XI=I000)=鬻=|，

P(Xi=l600)爸3

E(Xi)=400X7+1(XX)X\\6()()X；=|00(),

636

D(Xi)=(400-l00())2x1+(l()00-1()()0)2x|+(l600-1000)2X120(XX)；

對于方案2,設員工所獲得的獎勵金額為X2,X2可取800,1000,1