多邊形及其內角和【十大考點】-北師大版數學八年級下冊重難點突破（含答案）

專題&3多邊形及其內角和【十大考點】一【重難突破】北師大版數學八年級下冊考

點強化講與練

（一）多邊形相關概念

（1）定義：在平面內，由一些段線首尾順次相接組成的封閉圖形口L做多邊形.

（2）對角線：從n邊形的一個頂點可以引（n-3）條對角線，并且這些對角線把多邊形分成了（n-2）個三角形；n

邊形對角線條數為嗎2.

（二）多邊形內角和、外角和

（1）內角和：n邊形內角和公式為（n-2）T80。

（2）外角和：任意多邊形的外角和為360。.

（三）正多邊形的相關計算

（1）定義：各邊相等，各魚也相等的多邊形.

⑵正n邊形的每個內角為吟也，每一個外角為嗒

典例1：

1.如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（

A.2個D.5個

【變式1】

第1頁

2.下列圖形中，屬于多邊形的有（)

①②③④⑤

A.2個B.3個C.4個D.5個

【變式2】

3.在二面內，，的多邊形叫正多邊形.

【變式3】

4.（1）十邊形的一個頂點的對角線把十邊形分成個三角形.

（2）正多邊形是指,的多邊形.

考點2多邊形的對角線條數

典例2：

S.八邊形的對角線一共有（）條

A.20B.24C.28D.40

【變式1】

6.學習了多邊形后，我們知道過多邊形的一個頂點可作若干條對角線（三角形除外）.如圖，過一個頂點，

四邊形有1條對角線，五邊形有2條對角線，六邊形有3條對角線……按照此規律，過十二邊形一個頂點的

【變式2】

7.過譏邊形的一個頂點，有8條對角線，幾邊形沒有對角線，五邊形有p條對角線，則（機—p）”的值

為_________.

【變式3】

8.從九邊形的一個頂點出發，可以引條對角線，九邊形共有條對角線，九邊形的內角

和為.

考點31多邊形與三角形個數

典例3：

9.過ri邊形的一個頂點可以圓7條對角線，將它分成機個三角形，則m+n的值是（）

A.16B.17C.18D.19

第2頁

【變式1】

10.從多邊形一條邊上的一點(不足頂點)出發，連接各個頂點得到2003個二角形，則這個多邊形的邊數

為()

A.2001B.2005C.2004D.2006

【變式2】

11.如圖，從一個多邊形的某個頂點出發，分別連接這個頂點與其余各頂點，可以把這個多邊形分割成若干

個三角形.

(1)根據以上多邊形的邊數與分割成三角形的個數之間的規律，猜測“nZ4)邊形可以分割三角形的個

數是:

(2)若已知一個多邊形，按以上方法可分割成120個小三角形，則多邊形的邊數九=.

【變式3】

12.填空：

(1)從四邊形的一個頂點出發，可以引________條對角線，將四邊形分成________個三角形;

(2)從五邊形的一個頂點出發，可以引________條對角線，將五邊形分成________個三角形;

(3)從六邊形的一個頂點出發，可以引________條對角線，將六邊形分成________個三角形;

(4)從九(九之4)邊形的一個頂點出發，可以引條對角形，將n邊形分成個三角形.

考點4

典例4：

13.如圖1所示的是一把木工臺鋸使用的六角尺，它能提供常用的幾種測量角度.在圖2的六角尺示意圖

中，求a的值.

出二AB。

ED

圖1圖2

【變式1】

14.在四邊形48。。中，48,NC的度數之比為2:3:5,乙D二=50。，求41的度數.

【變式2】

第3頁

15.如圖，在五邊形718CDE中，AEIDE,垂足為點E,40=170。,4A=乙8,-ZC=50°,求NA的度

數.

【變式3】

16.閱讀小明和小紅的對話，解決下列問題

小明髓

我把一個多邊形的各內角相加，得到多邊形的內角和不可能是1520。，我看了你的過程，

的和為1520。你多加了一個外角

（1）通過列方程說明“多邊形的內角和不可能是1520。”的理由;

（2）求該多邊形的內角和;

考點5多邊形截角問題

典例5：

17.若一個四邊形截去一個角后，可能為（）邊形

A.4或5B.3或4C.3或4或5D.4或5或6

【變式1】

18.如圖，四邊形48co去掉一個乙。后，剩下的新圖形不可能是（）邊形.

A.三邊形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【變式2】

19.一個多邊形截去一個角后，形成一個六邊形，那么原多邊形邊數為

【變式3】

20.若一個多邊形截去一個角后，得到的新多邊形為十五邊形，則原來的多邊形邊數為

第4頁

考點61正多邊形內角和問題

典例6：

21.如圖，將正五邊形紙片F8CDE折疊，使點8與點E重合，折痕為AM,展開后，再將紙片折疊，使邊A8落

在線段AM上，點B的對應點為點?，折痕為力F，則44小夕的大小為（）

【變式1】

22.如圖，以正方形ABCD的4B邊向外作正六邊形ABEFGH,連接貝亞4DH的度數為（）

A.18°B.15°C.20°D.32°

【變式2】

23.C60單純由碳原子結合形成的穩定分子，它的發現最初始于天文學領域的研究，由英國，美國科學家探

明和勾畫其碳分子結構，于1985年正式制得，它的發現使人類了解到一個全新的碳世界.如圖是C60的分

子結構圖，它具有60個頂點和32個面，其中12個為正五邊形，20個為正六邊形，其中正六邊形的每一個

內角的度數是度.

【變式3】

24.風鈴，又稱鐵馬，古稱“鐸”，常見于中國傳統建筑屋檐下（如圖①）.風鐸的底部可抽象為正六邊形

ABCDEF（如圖②），連接AC.則.

第5頁

AF

【變式1】

26.如圖，是某小區花園內用正71邊形鋪設的小路的局部示意圖，它的中間區域是一個小正三角形，則幾二

()

正〃力開〃邊形

噓?邊就'

A.10B.12C.14D.16

【變式2】

27.如圖，已知力8是正六邊形48CDEF與正五邊形48GH/的公共邊，連接打，則4AF/的度數為.

28.如圖，AB.BC、C。是某正多邊形相鄰的三條邊，延長48、DC交于點P,若4P=108。，則該正多邊形

的邊數為_________

第6頁

考點8i多（少）算一個角的問題

典例8：

29.小云求一個多邊形的內角和時，少加了一個內角，得到2010。.

（1）求少加的內角的度數.

（2）請通過計算，判斷這個多邊形能否是正多邊形.

【變式1】

30.小馬同學平時學習十分馬虎，他在計算凸〃邊形的內角和時：

（I）若少計算一個內角度數，求得多邊形的內角和為2570。，則〃的值是多少？

（2）若某一內角多計算了一次，求得多邊形的內角和為2570。，則〃的值是多少？

【變式2】

31.看圖回答問題:

小華小明

（I）內角和為2018。，小明為什么說不可能?

（2）小華求的是幾邊形的內角和？

（3）錯把外角當內角加一-起的那個外角的度數你能求出來嗎？它是多少度？

【變式3】

32.請根據對話回答問題:

我把一個凸多邊形的什么？不可能!你看，

全部內角加起來，你錯把一個外角當作內

和是2024。角加在一起了！

小紅小剛

（1）多加的外角是°;這個凸多邊形的邊數是

第7頁

（2）求這個多邊形的內角和及其對角線條數.

考點

91多邊形外角和實際應用

典例九

33.如圖所示,分別以"邊形的頂點為圓心，以1cm為半徑畫圓：當幾=2023時，則圖中陰影部分的面積之

C.2022ncm2D.2023ncm2

【變式1】

34.“花影遮墻,峰巒疊窗''蘇州園林空透的窗標中蘊含著許多的數學元素.如圖是窗根是冰裂紋窗及這種窗

根中的部分圖案.若21=42=75。，z3=Z4=65°,則下列判斷中正確的是（）

A.45=80°C.乙5=65°D.乙5=55°

【變式2】

35.如圖，孔明在駕校練車，他由點4出發向前行駛10米到B處，向左轉45。.繼續向前行駛同樣的路程到C

處，再向左轉45。.按這樣的行駛方法，第一次回到點4總共行駛了.

第8頁

【變式3】

36.機器人以0.5m/s的速度在平地上按下圖步驟行走，該機器人從開始到停止所需時間為:

否

典例10：

圖①圖②圖③

（1）如圖①②，試研究其中21、42與乙3、24之間的數量關系；

（2）如果我們把乙1、乙2稱為四邊形的外角，那么請你用文字描述上述的關系式；

（3）用你發現的結論解決下列問題：

如圖③，AE、OE分別是四邊形ABCO的外角4M40、4M/M的平分線，+/C=240。，求”的度數.

【變式1】

38.（1）【教材呈現】根據如圖所示的華師版七年級下冊教材第77頁部分內容，解答下列問題.

如圖9.1.9,一個三角形的每一個外角對應一個相鄰的內角和兩個不相鄰的內角.

相鄰內角

外角

不相鄰內角

圖9.1.9圖9.1.10

中，顯然有匕CBD（外角）+乙4BC（相鄰的內角）=180°

那么外角4CBD與其他兩個不相鄰的內角又有什么關系呢？

如圖1,請寫出4CBO與乙4、4c之間的數量關系，并給出證明.

第9頁

圖1圖2圖3

(2)【拓展延伸】七年級某數學興趣小組學習了關于三角形外角的性質后，提出問題：四邊形的一個外角

與它不相鄰的三個內角之間具有怎樣的數量關系？如圖2,已知匕OCE是四邊形A8C0的一個外角，直接寫出

Z-DCE,與的數量關系為：.

(3)【應用提升】如圖3,NDCE為四邊形48co的一個夕卜角，Cr平分40CE交NA8C的角平分線于?點

F,若/A+NO=220°,HUF=°.

【變式2】

39.閱讀與思考

閱讀下列材料，并完成相應的任務.

多邊形分為凸多邊形和凹多邊形.

如果將一個多邊形的任意一條邊句兩方無限延長成為一條直線時，其他各邊都在此直線的同旁，那么這個

多邊形就叫做凸多邊形.

如果一個多邊形的所有邊中有一條邊向兩方無限延長成為一條直線時，其他各邊不都在此直線的同旁，那

么這個多邊形就叫做凹多邊形.

我們知道，探索多邊形內角和的方法是將其轉化為三角形，利用三角形內角和獲得結論，這一方法也可以

用來解決其他求角度的問題.

如圖，四邊形ABC。是凸四邊形，探究其內角和的方法是：連接對角線4C,則四邊形4BCD內角和就轉化

為△4CB與AACO內角和相加，為360°.

(1)任務一：在上述閱讀材料的探究過程中，體現了數學中的.

A.整體思想B.方程思想

C.轉化思想D.分類討論思想

(2)任務二：如圖1,四邊形4BDC是凹四邊形，請探究V180°)與乙8,乙配乙BAC三個角之

間的等量關系.

第10頁

AED

A

BI

E

圖1圖2

小明得出的結論是:乙BDC=LBAC+NB+ZC.請你將下面小明的證明過程補充完整.

證明：如圖1,連接力。并延長到點瓦

(3)任務三：圖2中乙/1+49+4。+40+4E的度數為

【變式3】

40.閱讀如圖的情景對話，然后解答問題：

老師：我們新定義一種多邊形，內角之

(1)根據“內外等比多邊形''的定義，請你判斷小華提出的命題：“平行四邊形一定是內外等比四邊形''是

真命題還是假命題？并說明理由.

(2)已知內外等比四邊形力BCD的四個內角分別是41,乙2,乙3,乙4,zl：z2：z3：z4=a\b\c\d(a<

b<c<d\請探索a,b,c,d之間的關系式，并說明理由.

(3)請回答小明的問題“三角形中有內外等比三角形嗎？哪些三角形是呢？“請說明理由.

第11頁

答案解析部分

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】各邊都相等；各內角也相等

【解析】【解答】解：如果多邊形的各邊都相等，各內角也相等，那么就稱它為正多邊形.

故答案為：各邊都相等，各內角也相等.

【分析】利用正多邊形的定義直接填空得出即可.

4.【答案】(1)8

(2)各邊相等：各角相等

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】216

8.【答案】6；27；1260°

9.【答案】C

【解析】【解答】解：???過n邊形的一個頂點可以畫出7條對角線，

n-3=7,

.\n=10,

=—2=8>

.,.m+n=8+10=18,

??m+n的值是18.

故選：C.

【分析】根據多邊形的對角線可得m,n值，再代入代數式即可求出答案.

10.【答案】C

11.【答案】(1)n-2

(2)122

12.【答案】(1)1；2

(2)2；3

(3)3；4

(4)(n-3)；(n-2)

13.【答案】解：由圖中數據可知，122。+112。+135。+a。+(。+15)。+(2。-84)0=(6-2)x180。,

此吊得：a=WS,

所以a的值為105.

第12頁

14.【答案】解：設乙4=2x,Z.B=3x,ZC=5x.

???四邊形力3。。的內角和為360。，乙D=50°,

Z.A+乙B+Z.C+Z.D

=2%+3x+5x+50°

=10x+50°

=360°,

10x=310°,即x=31°.

:.Z.A=62°.

答：44的度數為62。.

15.【答案】解：五邊形的內角和是(5-2)x180。=540。，

設乙4=z_B=x,

???乙B-LC=50°,

???Z.C=x—50°,

AE1DE,

.?.乙E=90°,

根據題意得：90°4-x4-x4-(%-50°)4-170°=540°,

解得％=110。，

:."=110°.

16.【答案】(1)解：理由：設多邊形的邊數為〃.

180°(n-2)=1520°,

解得九二108

丁〃為正整數，

???多邊形內角和不可能為1520。；

⑵解：n=等a10.44,

依題意：該多邊形的邊數為10,

(10-2)X180°=8X180°=1440°,

故該多邊形的內角和為1440。.

17.【答案】C

【解析】【解答】解：若一個四邊形截去一個角后，可能為3或4或5邊形.

故選：C.

【分析】根據多邊形截去一個角得到的多邊形邊數少1條，不變或增加1條；據此解答即可.

第13頁

18.【答案】D

19.【答案】5或6或7

20.【答案】14或15或16

【解析】【解答】解：如圖，一個多邊形減去一個角后，比原來多邊形少了一條邊,

???此時原多邊形的邊數為15+1=16；

如圖，一個多邊形減去一個角后，與原來多邊形的邊數相同,

???此時原多邊形的邊數為15；

如圖，一個多邊形減去一個角后，比原來多邊形多了一條邊,

???此時原多邊形的邊數為：15-1=14；

綜上分析可知，原來的多邊形邊數為14或15或16.

故答案為：14或15或16.

【分析】分三種情況進行討論，得出答案即可.

21.【答案】B

22.【答案】B

23.【答案】120

24.【答案】30。/30度

25.【答案】B

26.【答案】B

27.【答案】84°

28.【答案】10

29.【答案】(1)150度

(2)不是正多邊形

30.【答案】(1)解：方法一：設少算的那個內角的度數為X。，則由條件,

第14頁

得(九一2).180=2570+%.

因為n為自然數，0<尤<180,且2570=180x15-130,

故取x=130,

得？i=17.

方法二：由條件，得0V5-2)x180-2570V180,

且n為自然數，

故九=17.

(2)解：方法一：設多算的那個內角的度數為x。，

則由條件，得(n-2)?180+1=2570.

因為n為自然數，0<%<180,且2570=180x14+50,

故取％=50,得九=16.

方法二：由條件，得0<2570-(九一2)x180V180,

旦n為自然數，

故九=16.

31.【答案】(1)解：???2018。不是180。的整數倍,

???小明說不可能.

(2)解：設這個多邊形的邊數為m

由題意，得20180-180°<(n-2)180°<2018°.

解得12瑞V”13獲

?)］為整數，

??n=13.

???小華求的是13邊形的內角和.

(3)解：???當n=13時,(13-2)x180°=1980°,

20180-1980°=38°,

???這個外角為38。.

32.【答案】(1)44；13

(2)解:這個多邊形的內角和為2024。-44。=1980。,

對角線條數為小(；3-3)=65(條)，

答：這個多邊形的內角和是1980。，對角線有65條.

33.【答案】B

34.【答案】A

35.【答案】80米

第15頁

36.【答案】96

37.【答案】(1)解：?.?乙3、乙4、乙5、乙6是四邊形的四個內角，

:.43+24+乙5+乙6=360°,

...z3+Z4=360°-(45+46),

???zl+Z5=180°,42+/6=180°,

zl+Z2=360°-(45+46),

Z14-z2=z3+z4；

(2)答：四邊形的任意兩個外角的和等于與它們不相鄰的兩個內角的和；

(3)解：???+NC=240°,

:.乙MDA+乙NAD=240°,

-AE.OE分別是4MO力的平分線，

11

"DE=*M￡M,WAE=*NAD,

...LADE+LDAE=+乙NAD)=1x240°=120%

乙乙

乙E=180°-{/.ADE+匕DAE)=180°-120°=60°.

38.【答案】(1)解：Z.CBD=Z/1+ZC,

證明：'：^CBD+Z-ABC=180°,44+20+4480=180°,

:,乙CBD=Z.A+Z.C：

(2)LDCE=+乙8+NO—180°

(3)20

39.【答案】(1)C

(2)證明：連接AD并延長AD到點E.

貝為△4BD的外角，4CDE為24C0的外角，

???Z-BDE=乙B+乙BAD,

乙CDE=Z.C+Z.CAD.

vZ-BDC=乙BDE十Z-CDE，

Z.BDC=Z.B+乙BAD+4。+Z.CAD.

Z.BAC=Z.BAD+Z.CAD?

:.Z-BDC=+4。+Z-BAC.

(3)180°

40.【答案】(1)解：真命題.理由如.卜.:

設平行四邊形A8C0的四個內角分期是乙A=x。，Z-B=(180-x)°