二元一次方程組含參數(shù)問題-2026-2027學(xué)年北師大版八年級(jí)上冊(cè)

二元一次方程組含參數(shù)問題專題

I.在解二元一次方程組時(shí)，將其中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來，再代入另

一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求解.由3x-2y=6,可以得到用.x表示y的式子是（）

33

A.y=3.r—3B.y=3—3xC.y=-x—3D.y=3——x

2.已知關(guān)于％,y的二元一次方程組J：*2—"（〃為實(shí)數(shù)）.

<I）x+y=.（用含〃的式子表示）；

（2）若方程組的解也是方程"+3），=1（“為整數(shù)，且q不等于0或-6）的解，〃也是整數(shù)，則夕的最大值

為—.

3.某市種植某種綠色蔬菜，全部用來出口.為了擴(kuò)大出口規(guī)模，該市決定對(duì)這種蔬菜的種植實(shí)行政府補(bǔ)

貼，規(guī)定每種植-畝這種蔬菜一次性補(bǔ)貼菜農(nóng)若干元.經(jīng)調(diào)查，種植畝數(shù)），（畝）與補(bǔ)貼數(shù)額x（元）之間

大致滿足如圖1所示的一次函數(shù)關(guān)系.隨著補(bǔ)貼數(shù)額x的不斷增大，出口量也不斷增加，但每畝蔬菜的收

益z（元）會(huì)相應(yīng)降低，且z與x之間也大致滿足如圖2所示的一次函數(shù)關(guān)系.

（I）在政府未出臺(tái)補(bǔ)貼措施前，該市種植這種蔬菜的總收益額為多少？

（2）分別求出政府補(bǔ)貼政策實(shí)施后，種植畝數(shù)），和每畝蔬菜的收益z與政府補(bǔ)貼數(shù)額x之間的函數(shù)關(guān)系式;

（3）要使全市這種蔬菜的總收益w（元）最大，政府應(yīng)將每畝補(bǔ)貼數(shù)額x定為多少？并求出總收益卬的最

（I）寫出一個(gè)不含〃?的關(guān)于x,），的二元一次方程；

（2）解這個(gè)方程組（用含，〃式子表示）；

（3）若方程組的解《），）在第四象限，求整數(shù)，〃的值.

5.已知關(guān)于1,），的二元一次方程組其中“、力為實(shí)數(shù).

x+2y=a+2b+\

（I）求方程組的解（用含〃、〃的代數(shù)式表示）;

（2）在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A。,），）的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)是方程組的解.若點(diǎn)4（4+1,歷，平移線段

AB,使點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸（。,8-4）,點(diǎn)8對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q（3c、c+2）,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

6.已知關(guān)于x,），的二元一次方程組|3"+）'=5。-4,其中。為實(shí)數(shù).

x-y=-a

（I）當(dāng)。=2時(shí)，求方程組的解；

（2）求x+y的值（用含〃的代數(shù)式表示）；

（3）若無論〃取何數(shù)時(shí)，代數(shù)式丘-3），伏是常數(shù)）的值始終不變，求人的值.

7.已知關(guān)于工、），的二元一次方程組+7的解是正數(shù).

x-y=l-3m

（I）用含，〃的代數(shù)式表示方程組的解：

（2）求機(jī)的取值范圍；

（3）關(guān)于z的一元一次方程〃zz-2=z的解是整數(shù)，求整數(shù)〃?的值.

8.已知關(guān)于x,y的二元一次方程組「一'二：'；

x+y=-7-a

（I）求工（用含。的代數(shù)式表示）；

（2）判斷代數(shù)式：①x+2），；②2x+y；哪個(gè)代數(shù)式為定值？并說明理由.

9.已知關(guān)于x,），的二元一次方程組卜+2>=3〃：1,且它的解x為負(fù)數(shù)，為正數(shù).

X->'=/72-2,"

（I）試用含/〃的式子表示方程組的解；

（2）求有理數(shù)機(jī)的取值范圍；

（3）化簡(jiǎn)|〃?+2|+|加一1|；

（4）當(dāng)A=3x-6y,求4的取值范圍.

10,在某數(shù)學(xué)課上，小云和小輝在討論李老師出示的一道利用方程組的解求字母取值范圍的問題：已知關(guān)

于x,），的二元一次方程組+''=3+嚕乙若x..2y,求機(jī)的取值范圍.小云認(rèn)為：“可以先解方程組,

2x-y=5m②

用含加的式子分別表示x和），，再代入不等式求〃?的取值范圍

小輝認(rèn)為：“直接②-①，可以更簡(jiǎn)便地求出〃?的取值范圍

（I）請(qǐng)同學(xué)們按照小云的方法求，%=—,），=一（含〃，的式子表示）；

（2）李老師說小輝的方法體現(xiàn)了我們數(shù)學(xué)思想中的“整體代入”思想，值得同學(xué)們學(xué)習(xí)，請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)

小輝的思路求出機(jī)的取值范圍.

11.本學(xué)期，教科書在七年級(jí)下冊(cè)第十一章《二元一次方程組》的“閱讀與思考”欄目中，介紹了《中國

古代著名的一次不定方程組問題》，其中有《張丘建算經(jīng)》記載的“百雞問題”，意思是：如果一只公雞值

5個(gè)錢，一只母雞值3個(gè)錢，3只小雞值1個(gè)錢，現(xiàn)用100個(gè)錢，買了100只雞，問公雞、母雞、小雞各

買了多少只？

小天和小河對(duì)此很感興趣，一起展開了研究，提出以下兩個(gè)問題.

（I）小天提出的問題是：若公雞買了8只，則母雞、小雞各買了多少只？

（2）小河解答了小天的問題后，找到了一個(gè)求解“百雞問題”的方法：設(shè)公雞、母雞、小雞各買了.1?只，

X+y+z=100@

y只，z只，依題意得到方程組'1人，把②x3-①，消去z,得到一個(gè)二元一次方程

5x+3.v+-z=100@

b3

7/+4y=IOO.小河說：“由于是這個(gè)二元一次方程的一組解，因此該方程的解可以含字母，的

y=200

；1:器:為整數(shù)），根據(jù)題意，由x,y的取值范圍可以求出/的值，由此可求出滿

式子表示，即為

足條件的公雞、母雞、小雞的數(shù)量情況.

現(xiàn)在，請(qǐng)你先解答小天的問題，然后把小河求解“百雞問題”的過程補(bǔ)充完整.

12.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

如何設(shè)計(jì)采購方案？

素材1某學(xué)校舉辦“迎新年”知識(shí)競(jìng)賽活

動(dòng).為了鼓勵(lì)學(xué)生參與特設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)，明

信片和吉祥物鑰匙扣.已知一個(gè)吉祥

物鑰匙扣的售價(jià)比一套明信片的售價(jià)

高20元.

素材2小明在本店購買了1套明信片與4個(gè)

吉祥物鑰匙扣與共花費(fèi)130元.

素材3己知明信片的進(jìn)價(jià)為5元/套，吉祥物鑰匙扣的進(jìn)價(jià)為18元/個(gè).為了

促銷，商店對(duì)吉祥物鑰匙扣進(jìn)行8折銷售.臨近期末考試，某老師打算

提前給學(xué)生準(zhǔn)備獎(jiǎng)品，在本店同時(shí)購買同款吉祥物鑰匙扣和明信片兩種

商品若干件，本次交易商家一共獲得600元的銷售額.

問題解決

任務(wù)1假設(shè)明信片的售價(jià)為x元，套，鑰匙扣

的售價(jià)為），元/個(gè)，請(qǐng)用含x的代數(shù)式

表示y.

任務(wù)2基于任務(wù)1的假設(shè)和素材2的條件，

請(qǐng)嘗試求出吉祥物鑰匙扣和明信片的

售價(jià).（請(qǐng)用二元一次方程組解答）

任務(wù)3【擬定設(shè)計(jì)方案】

請(qǐng)結(jié)合素材3中的信息，幫助該老師

完成此次促銷活動(dòng)中可行的購買方

案.在這些購買方案中，哪種方案商

家獲利最高.

二元一次方程組含參數(shù)問題專題

參考答案與試題解析

1.在解二元一次方程組時(shí)，將其中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來，再代入另

一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求解.由3x-2y=6,可以得到用人表示），的式子是（）

aa

A.y=3x-3B.y=3-3xC.y=^x-3D.y=3-^x

【解答】解：移項(xiàng)，可得：2v=3x-6,

系數(shù)化為I,可得：y=|A-3.

故選：C.

2.已知關(guān)于x,），的二元一次方程組[：+2）'=?為實(shí)數(shù)）.

[2x+y=4p+3

（I）x+y=_3p+l_.（用含〃的式子表示）；

（2）若方程組的解也是方程在+3），=1（4為整數(shù)，且g不等于0或-6）的解，〃也是整數(shù)，則q的最大值

為—.

【解答】解：（1）兩式相加得:3x+3），=5p+4p+3=9p+3,

x+y=3〃+1,

故答案為：3p+1：

x+2y=5P①

2x+>,=4/;+3②

①一2x②得：-3x=-3p-6,解得：x=〃+2,

將工=〃+2代入②得：2（〃+2）+y=4〃+3,解得：），=2〃-1,

由題意可得：以〃+2）+3（2〃-1）=1,

g/（/）=Y+-^-，

/?+2p+2p+2

,.p為整數(shù)，且^不等于。或-6,

16i16,

----工0或-----工6,

〃+2p+2

?.?〃是整數(shù)，

...p+2=l時(shí)，旦有最大整數(shù)值，則夕有最大整數(shù)值，

〃+2

q=-6+-j-=10,

故答案為：10.

3.某市種植某種綠色蔬菜，全部用來出口.為了擴(kuò)大出口規(guī)模，該市決定對(duì)這種蔬菜的種植實(shí)行政府補(bǔ)

貼，規(guī)定每種植-畝這種蔬菜一次性補(bǔ)貼菜農(nóng)若干元.經(jīng)調(diào)查，種植奇數(shù)），（畝）與補(bǔ)貼數(shù)額x（元）之間

大致滿足如圖1所示的一次函數(shù)關(guān)系.隨著補(bǔ)貼數(shù)額x的不斷增大，出口量也不斷增加，但每畝蔬菜的收

益N（元）會(huì)相應(yīng)降低，且Z與X之間也大致滿足如圖2所示的一次函數(shù)關(guān)系.

（I）在政府未出臺(tái)補(bǔ)貼措施前，該市種植這種蔬菜的總收益額為多少？

（2）分別求出政府補(bǔ)貼政策實(shí)施后，種植畝數(shù)），和每畝蔬菜的收益z與政府補(bǔ)貼數(shù)額x之間的函數(shù)關(guān)系式;

（3）要使全市這種蔬菜的總收益墳（元）最大，政府應(yīng)將每畝補(bǔ)貼數(shù)額x定為多少？并求出總收益卬的最

【解答】解：（1）政府沒出臺(tái)補(bǔ)貼政策前，這種蔬菜的收益額為3000x800=2400000（元）

（2）設(shè)種植方數(shù)），和每畝蔬菜的收益z與政府補(bǔ)貼數(shù)額工之間的函數(shù)關(guān)系式分別為:

），=履+800,2=^x4-3000,

分別把點(diǎn)（50,1200）,（100,2700）弋入得，

5供+800=1200,1（X）4+3（XX）=27（X）,

解得：4=8,k]=—3?

種植畝數(shù)與政府補(bǔ)貼的函數(shù)關(guān)系為：），=8犬+800

每畝蔬菜的收益與政府補(bǔ)貼的函數(shù)關(guān)系為z=-3x+3000U>0）

(3)由題意：

卬=yz=(8,V+800)(-34+3000)

=-24x2+21600x+2400000

=-24(x-450)2+7260000,

.?.當(dāng)X=450,即政府每畝補(bǔ)貼450元時(shí)，總收益額最大，為7260000元.

4.已知關(guān)于X,y的二元一次方程組5=.

x-y=m+\

（I）寫出一個(gè)不含，〃的關(guān)于x,y的二元一次方程；

（2）解這個(gè)方程組（用含，〃式子表示）；

（3）若方程組的解*,），）在第四象限，求整數(shù)/〃的值.

【解答】解：⑴1+>=5加：羿

X-y=m+1②

5x②-①，得：2x-3y=5,

不含m的關(guān)于x,y的二元一次方程為2x-3y=5；

ek+y=5〃?-5①

x-y=m+1②

①+②，得：lx—6m—4?

解得：x=3m—2?

①-②，得2），=4"-6,

解得：y=2m—3>

x=3m-2

方程組的解為

y=2m-3

3m-2>0

（3）由題意得

2w-3<0

解得2<相<3,

32

.,?整數(shù)7/7=1.

2x+y=2a+b-4_,

5.已知關(guān)于工，_v的二元一次方程組x+2；…+2"l'其中〃、人為實(shí)數(shù).

（I）求方程組的解（用含〃、8的代數(shù)式表示）；

（2）在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)4（x,y）的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)是方程組的解.若點(diǎn)83+1,3,平移線段

AB,使點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸（。力-4）,點(diǎn)4對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q（3c、c+2）,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

2x+y=2a+b-4①

【解答】解:⑴

x+2)=。+25+Kg)

①x2-②得：3大=初-9,

解得x=a-3,

將x=a-3代入①得：2（。-3）+），=2。+6-4,

解得：y=b+2,

尸”3

[y=b+2

（2）?.?點(diǎn)A（x,y）的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)是方程組的解，

A（a—3,人+2）,

?.?由平移的性質(zhì)可知兩點(diǎn)平移后點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)變化相同，且點(diǎn)B（a+1力），

點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸點(diǎn)8對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q（3c、c+2）,

Hllc一（a-3）=3。-（。+1）

即<.,>

b-4-（h+2）=c+2-b

4=2c

整理得

―8=c-/7，

c=2

解得

力=10,

.?.p-4=10-4=6,

P（2,6）.

6.已知關(guān)于x,），的二元一次方程組F"+）'=5a-4,其中。為實(shí)數(shù).

x-y=-a

（I）當(dāng)。=2時(shí)，求方程組的解；

（2）求x+），的值（用含〃的代數(shù)式表示）；

（3）若無論。取何數(shù)時(shí)，代數(shù)式"-3），伏是常數(shù)）的值始終不變，求Z的值.

3x+y=5a-4?

【解答】解：（1）當(dāng)。=2時(shí)，方程組為

x-y=-2(2)

①+②得，4x=4,

.?.x=l?

把x=l代入②得，1-)，=-2,

.，.y=3,

.??方程組的解為）

3x+)，=5。-4@

(2),

x-y=-a?

①-②得，2x+2y=-4,

2(x+y)=6a—4,

/.x+y=3a—2；

，3x+y=5"4①

(3)—,

x_)，=_〃②

①+②得，4x=4a-4,

,x=a-1，

把x=a-l代入②得，a-\-y=-a,

y=2a—\，

kx-3y=k(a-1)-3(2a-1)=(/:-6)a+3—k,

?.?無論。取何數(shù)時(shí)，代數(shù)式質(zhì)-3y的值始終不變，

.」一6=0,

；.k=6.

7.已知關(guān)于x、,，的二元一次方程組["+2,[3,：+7的解是正數(shù).

x-y=\-3m

(I)用含小的代數(shù)式表示方程組的解；

(2)求/〃的取值范圍；

(3)關(guān)于z的一元一次方程〃zz-2=z的解是整數(shù)，求整數(shù)小的值.

【解答】解：⑴1+2k3：+7?

[x-.v=l-3w②

兩個(gè)方程相減得3)，=6〃?+6,

y=2m+2,

將y=2rn+2代入②得x-(2m+2)=1—3m,

/.x=—tn4-3>

x=-m+3

y=2〃?+2'

（2）由條件可得

2m+2>0

解得一1<〃7<3；

2

（3）由〃憶一2=z得z=----

m-\

由條件可知1=±1，±2?

即，〃=0,2,—1,3,

又因?yàn)?1<m<3t

.?.加=0或2.

8已知關(guān)于X'''的二元一次方程組「+；，=-7

(I)求尤(用含。的代數(shù)式表示)；

(2)判斷代數(shù)式：①x+2)，；②2x+y；哪個(gè)代數(shù)式為定值？并說明理由.

【解答】解：⑴卜一戶"3嗎，

[x+y=-7-a2)

①+②，得2工=加一6,

化喻得：x=a—3；

(2)2x+y為定值，理由如下：

②x3,得3x+3y=-21-%③，

①+③，W3x4-x+3y-y=-20,

/.4x+2y=-20,

/.2x+y=-10,

弋?dāng)?shù)式②2x+y為定值-10.

9.已知關(guān)于x,v的二元一次方程組1”+2)'=3加：1,且它的解x為負(fù)數(shù)，v為正數(shù).

x-y=m-2,

(I)試用含機(jī)的式子表示方程組的解:

(2)求有理數(shù)機(jī)的取值范圍；

(3)化簡(jiǎn)|〃?+2|+|〃L1|；

(4)當(dāng)A=3x-6y,求A的取值范圍.

【解答】解:⑴仁\7?

①一②得：3y=2m+3,

2m+3

解得.y=

3

將），二手代入②得一二手

5m-3

x=

所以方程組的解為?3

2m+3

y=

3

（2）?.「為負(fù)數(shù)，y為正數(shù),

5〃？一3八

---------<0

?3

,1網(wǎng)30，

3

解得一」<〃?<3；

25

(3)\m+2\+\m-\\

=3；

(4)A=3x-6y

,5m-3,2m+3

=3x------------ox----------

33

=5m-3—2(2/7/+3)

二5〃?一3一4"?一6

33

——<m<—

2

21,、4221,42

?-----<m-9<-------,即Hn----<A<-------

2525

10,在某數(shù)學(xué)課上，小云和小輝在討論李老師出示的一道利用方程組的解求字母取值范圍的問題：已知關(guān)

于X,），的二元一次方程組［：+'=3+吸，若X..2），，求小的取值范圍.小云認(rèn)為：“可以先解方程組,

2x-y=5m②

用含機(jī)的式子分別表示x和），，再代入不等式求〃?的取值范圍

小輝認(rèn)為：“直接②-①，可以更簡(jiǎn)便地求出〃?的取值范圍

（I）請(qǐng)同學(xué)們按照小云的方法求，x=_2〃?+l_,），=（含/〃的式子表示）；

（2）李老師說小輝的方法體現(xiàn)了我們數(shù)學(xué)思想中的“整體代入”思想，值得同學(xué)們學(xué)習(xí)，請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)

小輝的思路求出機(jī)的取值范圍.

z,、1x+y=3+m①

【解答】解:\I)/

2x-y=5m?

①+②得：3x=+3,

化笥得：x=2m+1>

將x=2m+1代入①得：2m+I+y=3+/〃，

化笥得：y=2-〃?，

.,.原方程組的解為x=2/〃+l,y=2-〃?，

故答案為：2，〃+1,2-

（2）將②-①得：x-2y=4m-3,

?/x..2y,

/.x-2y..0，

4m—3..0?

解得.

4

11.本學(xué)期，教科書在七年級(jí)下冊(cè)第十一章《二元一次方程組》的“閱讀與思考”欄目中，介紹了《中國

古代著名的一次不定方程組問題》，其中有《張丘建算經(jīng)》記載的“百雞問題”，意思是：如果一只公雞值

5個(gè)錢，一只母雞值3個(gè)錢，3只小雞值1個(gè)錢，現(xiàn)用10（）個(gè)錢，買了1（X）只雞，問公雞、母雞、小雞各

買了多少只？

小天和小河對(duì)此很感興趣，一起展開了研究，提出以下兩個(gè)問題.

（I）小天提出的問題是：若公雞買了8只，則母雞、小雞各買了多少只？

（2）小河解答了小天的問題后，找到了一個(gè)求解“百雞問題”的方法：設(shè)公雞、母雞、小雞各買了》?只，

x+y+z=\00?

y只，z只，依題意得到方程組1把②x3-①，消去z,得到一個(gè)二元一次方程

5x+3），+-z=100②

、3

fx=-100

7x+4y=IOO.小河說：“由于《”八是這個(gè)二元一次方程的一組解，因此該方程的解可以含字母，的

y=200

式子表示，即為為整數(shù)），根據(jù)題意，由X，y的取值范圍可以求出/的值，由此可求出滿

y=200-It

足條件的公雞、母雞、小雞的數(shù)量情況.

現(xiàn)在，請(qǐng)你先解答小天的問題，然后把小河求解“百雞問題”的過程補(bǔ)充完整.

【解答】解：（1）設(shè)母雞買了機(jī)只，小雞買了“只，

8+〃?+〃=100

根據(jù)題意得：

5x8+3m+—n=1(X)

m=11

解得：

n=81

答：母雞買了II只,小雞買了81只:

（2）設(shè)公雞、母雞、小雞各買了x只，y只，z只,

x+y+z=100?

根據(jù)題意得:5x+3y+；z=100②

(②x3-①)+2得：7x+4y=100,

"=是這個(gè)二元一次方程的一組解,

;該方程的解可以含字母，的式子表示，即為

?/x,y非負(fù)，

-100+4r>0

2(X)-7r>0'

解得：25黜竽

又?.”為整數(shù)，

可以為25,26,27,28,

當(dāng)r=25時(shí)，x=-100+4r=-100+4x25=0,y=200-7/=2(X)-7x25=25

z=l(X)-x-y=100-0-25=75；

當(dāng)r=26時(shí)，x=-100+4r=-100+4x26=4，y=200-7r=200-7x26=18

z=100-x-y=100-4-18=78；

當(dāng)/=27時(shí)，x=-100+4z=-100+4x27=8,y=200-7r=200-7x27=11

z=100-x-y=100-8-11=81；

當(dāng)r=28時(shí)，x=-100+4r=-100+4x28=12，y=200-7r=200-7x28=4

z=](X)-x-y=l(X)-12-4=84.

答：公雞、母雞、小雞各買了0只，25只，75只或4只，18只，78只或8只，11只，81只或12只，4

只，84只.

12.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

如何設(shè)計(jì)采購方案？

素材1某學(xué)校舉辦“迎新年”知識(shí)競(jìng)賽活

動(dòng).為了鼓勵(lì)學(xué)生參與特設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)，明

信片和吉祥物鑰匙扣.己知一個(gè)吉祥

物鑰匙扣的售價(jià)比一套明信片的售價(jià)

高20元.

素材2小明在本店購買了1套明信片與4個(gè)

吉祥物鑰匙扣與共花費(fèi)13。元.

素材3已知明信片的進(jìn)價(jià)為5元/套，吉祥物鑰匙扣的進(jìn)價(jià)為18元/個(gè).為了

促銷，商店對(duì)吉祥物鑰匙扣進(jìn)行8折銷售.臨近期末考試，某老師打算

提前給學(xué)生準(zhǔn)備獎(jiǎng)品，在本店同時(shí)購買同款吉祥物鑰匙扣和明信片兩種

商品若干件，本次交易商家一共獲得600元的銷售額.

問題解決

任務(wù)1假設(shè)明信片的售價(jià)為x元，套，鑰匙扣

的售價(jià)為)，元/個(gè)，請(qǐng)用含x的代數(shù)式