2025-2026學陜西省榆林高三數學年下學期檢測訓練試卷（含解析）

2026屆高三年級五月檢測訓練

數學試題

注意事項：

1.本試卷共4頁，滿分150分，時間120分鐘。

2.答卷前，考生務必將自己的姓名、班級和準考證號填寫在答題卡上。

3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂

黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。涂寫在本試卷上無效。

4.作答非選擇題時，將答案書寫在答題卡上，書寫在本試卷上無效。

5.考試結束后，監考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試卷不回收。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.已知復數z滿足z(l—i)=-2+i(i是虛數單位)，則復數z為

31.n31.

A.一二一二1B——-1

2222

13.13.

C.----1D---1

2222

2.已知集合A={1,2,3,4,5},B={x|0<log2x<2},則AnB=

A.{1,2}B.{2,3}

C.{1,2,3}D.{2,3,4}

3.甲、乙、丙、丁、戊五名同學排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站在最左端，則不同的站法共有

A.12種B.36種C.72種D.96種

4.已知函數/(x)=sin(o)x+；)(o)>0)的圖象關于點(巳0)中心對稱，則3的最小值為

36

A.lB,2C.3D.4

5.已知雙曲線C:x2=l(b>0)的左、右焦點分別為F](-c,0),F2(C,0),C的一條漸近線與直線

l:x=:交于點M,若AMF1F2的面積為無，則C的離心率為

A.2V3B.V3

C.4D,2

6.在平行四邊形ABCD中，E是BC邊上的點，BC=4EC,F是線段DE的中點，若

AF=AAB+^iAD,則入+p的值為

7.已知函數/(x)=｛|log3x|,03,若函數g(x)=/(x)-m有三個不同的零點，則m的取值范圍為

A.I：0,1)B.[0,1)

C.(0,1]D.[0,1]

8.球面上有A,B,C三點，ZABC=60°,AB=BC=6,球心0到平面ABC的距離是2,則球0的

體積是

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有三個正確選項的，每個選項得2分，有

兩個正確選項的，每個選項得3分，有選錯的得。分.

9.設拋物線E:x2=4y的焦點為F,過點P(0,3)的直線與E相交于A,B兩點，且|AF|=2,|BF|=

10,則

A.E的焦點坐標為(0,1)

B.E的準線方程為y=-1

C.|AB|=4^2

D.AAOF的面積為1

1-L

10.已知函數/(x)=Inx+—-3，貝I」

XX

A.函數f(X)的定義域為(0,+8)

Bjg)+/(x)=0

C.函數f(x)在區間(1,+8)上單調遞減

D.函數/(X)有兩個不同的零點Xi，X2,且X1X2=1

n

11.已知數列｛aj滿足ai=l,an+1=4an+3,設｛aj的前n項和為Sn，則下列結論中正確的是

A.a2=7

B.數列｛an+311｝是等比數列

C.數列｛aj中存在最大項

D.數列｛SQ中存在最小項

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.計算：tan23°+tan22°(l+tan23°)=.

13.已知變量x、y滿足線性相關關系，經驗回歸方程為y=0.4x+a月.x=20,y=7.現有一對觀測數

據為(30,n),若該數據的殘差為0.6,則口=.

14.對于三次函數/(x)=ax?+bx2+ex+d(aH0),給出定義：設/'(x)是函數/'(x)的導函數，/"(x)

是函數/‘(X)的導函數，若方程/”[X)=0有實數解Xo,則稱點(XoJ(Xo))為函數/(x)的拐點.研究發現，

任何三次函數/(x)都有拐點，又有對稱中心，且拐點就是對稱中心.設g(x)=x3-6x2+17,數列｛a"

的通項公式為a11=-2n+11,則23g⑶)=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(本小題滿分13分)

已知△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足a=2,be=2。

2

(1)若sinA=g，求sinBsinC的值；

(2)求角A的最大值，并判斷此時△ABC的形狀。

16.(本小題滿分15分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD_L底面ABCD,底面ABCD為梯形，AB||CD,AB1BC,

AB=2BC=2CD=2VL

(1)證明：BD1平面PAD：

(2)若4PAD為等腰直角三角形，PA=PD,求二面角B-PD-C的余弦值。

17.(本小題滿分15分)

已知函數/'(x)=aex-x。

(1)當a=4l寸，求函數f(x)的最小值；

e

(2)若函數f(x)有極小值，記f(X)的極小值為g(a),證明：g(a)<ea-lo

18.(本小題滿分17分)

已知橢圓C：4+S=l(a>b>0)的離心率為，，右頂點為N(l,0)o

aDz

(I)求橢圓c的方程;

(2)過點M(L1)的直線1與C交于A,B兩點，在線段AB上取異于A,B的點P,且滿足

|MA|_|AP|

|MB|一麗。

(i)求證：點P在定直線上；

(ii)設直線NA,NP,NB的斜率分別為ki，k2,k3,求證：kPk2,1<3成等差數列。

19.(本小題滿分17分)

某校園社團為分析一款文創產品在學生群體中的受歡迎程度與傳播規律，構建如下概率模型：

研究團隊選定n名學生進行研究，假設每名學生對該產品的“基礎心動度”參數均相同，記為a(0<

a<l)o規則如下：第一天，研究團隊從n名學生中隨機招募m(l<m<n,且mGN*)名進行初始體

驗，每名學生體驗后購買的概率為p,且彼此相互獨立。從第二天起，每一天每名購買者會推薦未購買者

參與體驗，一旦成為購買者，將參與后續的推薦傳播，以此類推。

(1)當m=5,p=g時，求第一天結束，初始體驗的學生中恰有3名成為購買者的概率；

(2)求第一天結束，m名初始體驗的學生中，成為購買者的人數為奇數的概率；

(3)對卜任意一位未購買者，若某大有k(kEN')名購買者嘗試向他推薦，則他當大成為購買者的概率

為1一(1-a)t當n=6,m=2,p=g時，求在前兩天，學生甲成為購買者的概率(用含a的式子

表示)；基于此模型，簡要說明為什么在實際校園場景中，一款產品有時會突然“爆發式”走紅。

2026屆高三年級五月檢測訓練

數學試題參考答案及評分標準

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.【參考答案】A

-2+i(—2+i)(l+i)=31

由題意,知Z=1故選A.

1-i(l-i)(l+i)-22

2.【參考答案】B

由log2X>0=log2l,得x>1,由logzx<2=log24,得0Vx<4,所以B={x|l<x<4},

又A={12345},故AnB={2,3}.故選B.

3.【參考答案】C

因為甲、乙均不能站最左端，最左端有3種排法，剩下的位置共4個元素，全排列為A：種，廳以共有

3=72種不同的站法.故選C.

4.【參考答案】D

/(X)=sin(u)x+m)(3>0)的圖象關于點像,0)中心對稱，所以3+"kn(keZ),即o)=6k—

2(kGZ),所以3的最小值為4.故選D.

5.【參考答案】B

不妨取C的漸近線y=bx,與X=:聯立,得點M的坐標為G3),

SAMF1F2=1x2cx=V2,所以b=V2,從而c=V1+2=V3,故離心率為6.故選B.

6.【參考答案】C

因為F是線段DE的中點，所以&'=:(/+￡：),又/=晶+辰=豌+。鼠=

所以嘉=：(n+*=所以入=3口="入+口=：+：=4.故選c.

2\/2828288

7.【參考答案】A

解法1：令g(x)=0得f(x)=m.由題意可知函數/(x)的圖象與直線y=m有三個交點，由右圖可知

0<m<1,故選A.

解法2：當m=0時，g(x)=/(x).令g(x)=0得x=1或x=9,不滿足題意，因此排除B、D選項.

當m=1時，g(x)=f(x)-1.

如圖，設Oi是AABC外接圓的圓心,則0011平面ABC,因為NABC=60。，

AB=BC=6,所以等邊AABC的外接圓的半徑O]C=^%=2A/5,所以球0的半徑R=

C

-22+(2百/=4,所以球0的體積V=^nR3=空p,故選C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有三個正確選項的，每個選項得2分，

有兩個正確選項的，每個選項得3分，有選錯的得0分.

9.

【參考答案】ABD

因為拋物線E的方程為x2=4y,所以p=2,則E的焦點坐標為(0,1),準線方

程為y=-1,選項A,B均正確；

設A(x「yi),8乂,丫2)，則yi=2g=1,y2=10-^=9,

27

得

如可*

X==^

把丫1=1，丫2=9代入x214y1

不妨設A(—2,1),B(6,9),W0|AB|=8V2,選項C錯誤;

因為八(一2,1),則兇(^的面積品(^=4四忖=卜"2=1,選項D正確.

故選ABD.

1()

【參考答案】BD

A選項，由題意可知x>0且1—X2R0,解得X>0且X￥L函數f(x)的定義域為(O,l)U(l,+

8),A

選項錯誤：

B選項，fG)+f(x)=ln：+j昔+lnx+?=O,因此B選項正確；

C選項r(x)=2+7Tj>0,函數f(x)在(0,1)和(L+8)上單調遞增，因此C選項錯誤；

D選項，因為/(0)=告<0,f(e2)=^>0,所以存在唯一的x°€(e,e2),使得/(x0)=0.由選

項B可知/(《)=一/Go)=0,5€(**)'因此函數/(x)有兩個不同的零點Xi，X2,不妨設

X1=—,X2=X。，則X1X2=1.故選BD.

X。

II.【參考答案】ABD

n

解法1：當n=1時，可得a2=4al+3,又=1,所以a2=7,A正確；因為④什1=4an+3,所

以曳喑二="五黑二=如黑=4,又ai+3=4#0,所以數列｛an+3與是以4為首項，4為

nnn1

an+3an+3an+3i“j

公比的等比數列，B正確；由B選項分析可得an+3n=4-4n-i=4n,所以an=納一3%所以a^i一

n+1n+1nnnnnn

an=4-3-(4-3)=3-4-2-3>2-4-2-3>0恒成立，所以a^i>an,所以數列

｛aj為單調遞增數列，所以｛aj中不存在最大項，C錯誤；因為數列小口為單調遞增數列，所以a】12

a]=1>0,所以對任意n€N",Sn>St=ax=1,D正確，故選ABD.

nn+1nn+1n

解法2：因為an+1=4an+3,所以an+i+3=4an+34-3=4(an+3).又為4-3=

4學0,所以數列｛an+311｝是以4為首項，4為公比的等比數列，所以an+3n=4-451=41所以

nn

an=4-3,所以a2=42-32=7,A,B正確；因為

手=竺瀉二=寫亨=3+$>1，且4n>3t所以%>0,an+1>an,所以數列日工為

單調遞增數列，所以｛an｝中不存在最大項，C錯誤；因為an>0,所以對任意n6N*,Sn>S1=a[=

1,D正確，故選ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.【參考答案】1

tan230+tan22°(l+tan23°)=tan230+tan220+tan23°tan22°,

又tan45°=tan23Fan22。=1=tan23o+tan22°=1-tan23°tan22°,

1-tan23tan22

故tan23°+tan22°(l+tan23°)=tan23°+tan22°+tan23°tan22°=1.

13.【參考答案】11.6

由題意可知，將(20,7)代入i=0.4x+；,得7=0.4x20+；,解得;=一L

所以j=0.4x-l.當x=30時，預測值;=30X0.4—1=11,則n=11+0.6=11.6.故答案

為：116

14.【參考答案】8

解法1：g'(x)=3x2-12x,g"(x)=6x-12,令g"(x)=0得x=2.又因為g(2)=1,所以g(x)

的對稱中心為(2,1),g(x)+g(4—x)=2.由于an=-2n+ll,因此數列｛aQ為等差數列，因為+

as=4,所以a2+a7=a34-a6=…=a8+ax=4.設g(aj+g(a2)+…+g(a8)=t,則

g(a8)+g(a7)+…+g(at)=t,兩式相加得2x8=2t,解得t=8,因此

Elig?)=8.

解法2：g'(x)=3x2-12x,g"(x)=6x-12,令g"(x)=0得x=2。又因為g(2)=1,所以

g(x)的對稱中心為(2,1),g(x)+g(4-x)=2o因為=9,a2=7,a3=5,a4=3,a5=1,

=T，a7=-3,a8=-5,所以g(a。+g(a8)=2,g(a2)+g(a7)=2,g(a3)+g(a6)=2,

g(a。+g(a5)=2,因此，匕g(a)=80

四、解答題：本題共5小題，共“分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.【參考答案】⑴J(2)p等腰直角三角形

b_c

(I)AABC中,由止弦定理得—-二=3,(2分)

sinAsinBsinC

sinB=psinC=p..................................................................................................(4分)

???sinB-sinC=^=|?..................................................................................................(6分)

（2）AABC中，由余弦定理得

b2+cz-a22bc-a2_2x2-22

cosA>=0,（9分）

2bc2bc-2x2

當且僅當b=c=/時，等號成立，...........................................................

（10分）

（0,71）,.??A的最大值為今此時不等式等號成立,

（11分）

即a=2,b=c=V2,AABC為等腰直角三角

形。..................................................（13分）

16.【參考答案】⑴證明見解析⑵當

解法1：（1）證明：因為AB||CD,AB1BC,AB=2BC=2CD=2/，所以4BCD=90。，所以

BD=2,乙ABD=45。，所以在AABD中，由余弦定理得人口2=人82+8口2—

2-ABBD-coszABD=4,所以AD=2,所以AD?+BD2=AB2,所以

AD1BD,..................................................................................................（3分）

又因為側面PADJL底面ABCD,側面PADC1底面ABCD=AD,BDu底面ABCD,所以BD1平面

PAD。……（7分）

（2）以D為坐標原點，DA,DB所在直線分別為x軸，y軸，過點D且垂直于底面ABCD的直線為z

軸，建立如圖空間直角坐標系D-xyz,因為側面PAD1底面ABCD,所以PW平面xDz,又APAD為

則D(0,0,0),B(0,2,0),C(-1.1,0),P(l,0,l),

所以而=(0,2,0),DP=(1,04)，DC=(-14,0),...........................(9分)

—>

設平面PBD的法向量為n=(x,y,z),則｛n，,二。％”?:0人令x=l，則y=0,z=-l,即

n-DP=0,x+z=U,

n=(1A-1)..................................................................................................(11分)

同理，平面PCD的一個法向量

為m=(1,1,-1),..................................................(13分)

則|cos〈m,n)|=|端|=累親=三，又二面角B-PD-C為銳角，故其余弦值為

17.

(1)當a=:時，/(x)=iex-x,函數/(x)的定義域為R,f'(x)=................(1

分)

當xV1時f'(x)<0,f(x)單調遞減;當x>1時"(x)>0,/(x)單調遞

增，.................................(3分)

因此八x)min=/(I)=0?................................................................................................................................(4分)

(2)證法I：函數f(x)的定義域為R,/'(X)=aex-1.....................................

(5分)

當a40時，/<(x)<0,f(x)在R上單調遞減，f(x)無極小值，不符合題

意；...............................(6分)

當a>0時，令/'(x)=0,解得x=ln*

當KVIn34，/(X)<0,/(x)單調遞減；當x>ln-W/(x)>0,/(x)單調遞

aa

增........................(8分)

因此函數f(x)有極小值，極小值為r(ln3=1+Ina,故

g(a)=1+Ina..........................(9分)

令h(a)=ea-1-(1+Ina)=ea-Ina-2,則h'(a)=eah'(a)在(0,+8)上單調遞

3

增.............(10分)

因為h'(g)=返一2VO,h'(l)=e-l>0,所以存在唯一的XoEG，l),使得h'(Xo)=O,exo：

—,BPx=—lnx.

沏00

....................................................................................................................................................(12分)

當ae(O,x())時，h'(a)<0,h(a)單調遞減;當a€(x(),+8)時,h'(a)>0,h(a)單調遞增,

...................(13分)

因此h(a)>h(x)=ex°-lnx-2=—+x-2="°一,)>0,故g(a)<ea-1.

00xo0xo

...........................................(15分)

證法2：函數f(x)的定義域為R,f'(x)=aex-1...........................(5分)

當a40時，<(x)<0,/(x)在R上單調遞減，f(x)無極小值，不符合題意；....................

(6分)

當a>0時，令/'(X)=0,解得x=In，.

當xVIn細,<(x)<0,/(x)單調遞減；當X>In［時，/'(x)>0,f(x)單調遞增.

aa

...............(8分)

因此函數/(x)有極小值，極小值為/(in：)=14-Ina,故g(a)=1+Ina..................(9

分)

由(I)知ex》ex,當且僅當x=l時取等號.............................(10分)

令u(a)=ea-1-g(a)=ea-Ina—2,則u(a)>ea-Ina-2......................(11

分)

PPI—11*1

令m(a)=ea-Ina-2,則m'(a)=—?當0<a<1時，m(a)<0,m(a)單調遞減；當a>%

時，m'(a)>0,m(a)單

調遞增.因此m(a)>m(B=°，即ea-lna-2>0,當且僅當a=曰寸取等號，................

(14分)

由干等號不能同時取到，因此u(a)>0,即g(a)vea-l.........................(15分)

證法3：函數/'(x)的定義域為R,/'(X)=aex-1.........................(5分)

當a40時，/'(X)<0,/(x)在R上單調遞減，f(x)無極小值，不符合題意；....................

(6分)

當a>0時，令/'(X)=0,解得x=ln*

當xVIn與時，/(X)<0,/(x)單調遞減；當x>In芍寸，/'(x)>0,/(x)單調遞增.

a3

.............(8分)

因此函數/(x)有極小值，極小值為f(lng)=1+Ina,故g(a)=l+lna..................(9

分)

要證g(a)Vea-l,即證(e，-a—1)+(a-1-Ina)>0........................(II分)

令h(x)=ex—x—1,則h'(x)=ex—1.當xV0時，h(x)<0,h(x)單調遞減：當x〉0時,

h'(x)>0,h(x)單調遞增.因此

h(x)>h(0)=0,當且僅當x=0時取等號.故h(a)>0,即ea-a-1>0,..............

(13分)

h(lna)>0,即a—l—lna>0,當且僅當a=1時取等號，..........................：14分)

因此(ea-a-l)+(a-l-Ina)>0,原不等式成立.............................(15分)

證法4：函數/(x)的定義域為R,/'(x)=ae'_1.........................(5分)

當a40時，/(x)<0,/(x)在R上單調遞減，/(x)無極小值，不符合題意；....................

(6分)

當a>0時，令/'(X)=0,解得x=In，.

當xVIn4寸，/(x)<0,f(x)單調遞減；當x>ln4寸，fix)>0,f(x)單調遞增.

3a

...............(8分)

因此函數f(x)有極小值極小值為/'(inJ=14-Ina,故g(a)=1+Ina.

分)

令h(x)=ex-x-1,則h'(x)=ex-1.當xV0時，h(x)<0,h(x)單調遞減;當x>0時,

h'(x)>0,h(x)單調遞增.因此

h(x)>h(0)=0,當且僅當x=0時取等號.故h(a)>0,即屋-a-1>0................

(11分)

令u(a)=ea—1—g(a)=ea-Ina—2,則u(a)>a4-1-Ina—2=a—Ina—1.

(12分)

令m(a)=a—Ina—1,則m'(a)=當0VaV1時，m'(a)<0,m(a)單調遞減；當a>1

時,m'(a)>0,m(a)單調遞

增.因此m(a)>m(l)=0,BPa-l-lna>0,當且僅當a=1時取等號,

.....................(14分)

因此u(a)>0,即g(a)<ea-1。.....................................(15分)

18.【參考答案】

(1)由題意可知，b=1,-=v*...............................(2分)

a2

又a2-c2=b2,所以a2-[a2=l,解得a=2(a=-2舍去)，

..............................(3分)

所以橢圓C的方程為：=+x2=1。.........................................(4分)

4

(2)證明：(i)由題意直線1的斜率存在，設直線1的方程為y-1=k(x-1),

不妨設A(X],yD，B(x2,y2)?P(x,y),且一lWXiVxzVL..........................(5

分)

y-1=k(x—1)

由｛y2x2_1,可得(4+k2)x2—(2k2—2k)x+k2-2k—3=0,

2k2-2k

依題意222所以

A=(2k-2k)2-4(4+k)(k-2k-3)=32k+48>0,4-x2=4-k2'

k2-2k-3

XG2=（7分）

22

又|MA|=|Vk+l|xt-1|=Vk4-1(1—Xi),

T

同理|MB|=—X2),|BP|=Vk+7(x2-x),|AP|=4=T(x-xi),

?(9分)

I心=空1得上u=±ux

,化簡得2X1X2一(i+x2)=(xi+x2-2)x,

|MB||BP|l-x2x2-x

口一一rk2-2k-32k2-2k2k2—2kr、ihVE/日i-4x+3

所以2x-^-4b-2)x,整理得k==

（11分）

代入y-1=k(x-1),并化簡得4x+y-4=0,

所以點P在直線4x+y-4=0±.o..............................................................................(12分)

(ii)依題意ki=力,1<2=~^7，1<3=>°............................................................(13分)

A1JV—1JYc—1

由（i）易知k2=￡=-4（點N,P都在直線4x+y-4=0上），

.......................................................（14分）

.,.yi,yzyi(x2-i)+y2(xi-i)

ki+k3=-------+--------=—7--------

X1—(X1—

1X2-11)(X2-1)

_的一l)(kxi+1-k)+(X1-1)(%+1-k)

(X1-1)(X2-1)

_2kX]