2025-2026學年高一數學下學期第三次月考卷02（（人教A版））解析版

高一數學下學期第三次月考卷02（人教A版）

全解全析

（考試時間：120分鐘，分值：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。

寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：人教A版（2019）必修第二冊第六章?第八章。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.（25-26高一下?福建龍巖?期中）已知復數z滿足zi=-3+4i（i為虛數單位），則z的虛部

為（）

A.3B.-4C.-3D.4

【答案】A

【詳解】zi=-3+4i=>zi(-i)=(-3+4i)(-i),故z=3i+4,故虛部3.

2.（25-26高一下?北京豐臺?期中）如圖所示，觀察四個幾何體，下列選項中，錯誤的是

D.④是棱柱

【答案】A

【詳解】圖①不是由棱錐截到的，所以①不是樓臺;

圖②上、下兩個面不平行，所以②不是圓臺；

圖③是棱錐.

1/16

圖④前、后兩個面平行，其他面是平行四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊平行，所以⑷

是棱柱.

3.(25?26高一下?吉林?月考)己知a,b,。是空間中的三條直線，下列說法中錯誤的是

()

A.若a"b,b//ct則

B.若〃與人垂直，6與c垂直，則〃與c?可能相交、平行或異面

C.若a,。分別在兩個相交平面內，則這兩條直線可能平行、相交或異面

D.若。與c相交，Z?與c異面，則。與6異面

【答案】D

【詳解】對于A,由平行的傳遞性知A正確：

對于B,如圖①，在正方體力灰481GA中,

當力。48J,44時，4。與44］相交;

當ADJ.AB,48J_BC時，AD//BC；

當4DJ.4B,481CG時，與CG異面;

所以由"13,人1c可得。與c可能相交、平行或異面，故B正確;

對于C,若a,b分別在兩個相交平面內，如圖所示,

可知這兩條直線可能平行、相交或異面，故C正確;

對于D,如圖①，在正方體力〃co—44cA中,

力4與4c相交，G。與8c異面，此時力4與JA平行;

2/16

⑷5與AC相交，力4與8C異面，此時4?與力4相交;

與4c相交，DD］與BC異面,此時與。2異面；

所以。與c相交，6與c異面，則。與b可能相交、平行或異面，故D錯誤.

4.(25-26高一下?陜西寶雞?月考)已知點4-2,-3),8(2,1),C(O,I),則下列結論正確的是

()

A.A,B,C三點共線B.~ABLJC

C.△/8C為等腰三角形D.為鈍角三角形

【答案】D

【詳解】方=(4,4),第二(-2,0),，刀工九比，/./I,C三點不共線，故選項A錯誤；

前灰=-8/0，則刀，灰不成立，故選項B錯誤：

而二(2,0),CA-(-2,-4),則而.聲=-4<0，所以。是鈍角，故選項D正確；

v|^|=A/42+42=4V2,p|=>/4+0=2,|C4=42?+42=2后,因三邊長度均不相等，

48,C不是等腰三角形的頂點，故選項C錯誤.

故選：D.

5.(新情境)(25-26高一下?四川成都?期中)如圖，一張殘損的紙條上寫著：“在△力中,

”=7,JC=8,(隱約可見數字，6D,滿足條件的△48C有兩個，”則殘損處可能

是()

在△力3。中，AB=1,XC=8，16

滿足條件的△力6CW兩個。

A.BC=6B.A=60°C.8=60。D.C=60°

【答案】D

【詳解】選項A,當8C=6時，此時三角形△48C的三邊確定，此時三角形唯一，不符合

題意.

選項B,當4=60時，在。中，由余弦定理：

BC2=AC2+z452-2/1C-J5cosJ=82+72-2x7x8cos60=57,

所以占。=后，此時三角形唯一，不符合題意.

3/16

對JC,當5=60°時，設8C=X,在△力中，由余弦定理：COSB=BC2+AB2~AC2,

2BCAB

即■!■=3+72—82,整理得42一7%一15=0,解得％=7+啊或x=7-阿<0

22x7x22

此時三角形唯一，不符合題意.

對于D,當C=60,時，設3C=x,在△ABC中，由余弦定理：cosC二對+心―2,

2BCAC

即J/+8T,整理得、2-以+15—0,解得x=3或x=5.

22x8x

經檢驗8c=3和8。=5均可以構成三角形，滿足條件.

6.（新文化）（25-26高二上?廣東肇慶?期中）《九章算術》中，將底面為長方形，且一條側

棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.陽馬尸-44。中，若尸。_L平面如火?。，且

PD=CD=2AD=2,則異面直線PC與8。所成角的余弦值為（）

D.孚

5

【答案】C

【詳解】由題意，將尸補全為如下圖所示的長方體，且PE//BD.

所以異面直線PC與所成角，即為尸CPE所成角乙。PE,

由PD=CQ=2/O=2,N\PC=2Q,PE=CE=>5,

PC2+PE2-CE28+5-5VlO

所以cos/C尸石二

2PCPE2x272x75~5

4/16

所以異面直線尸。與8。所成.角的余弦值為我.

5

故選：C

7.（25-26高一下?安徽阜陽?期中）已知單位向最涓的夾角為方，則，eR時鏟動|

的最小值為（）

A.YB.且C.1D.-

224

【答案】C

【詳解】由題設得罕4=以1'（^^二不，

所以h一（1_2目『二|（1-居+2后（=（lT）2+4/（lT）xg+4/=3J+]Nl,

當f=0時，,T修-2碼取得最小值1.

8.（25-26高一上?湖南邵陽?期末）已知底面半徑為1,軸截面為正三角形的圓錐體內放一棱

長為小的正四面體，若正四面體可以在圓錐體內任意轉動，則正數州的最大值是（）

A.—B.—C.y/2D.

333

【答案】B

【分析】當正四面體的外接球為圓錐的內切球時，加的值最大，根據已知條件求出兩個球的

半徑，解不等式即可.

【詳解】當正四面體的外接球為圓錐的內切球時，加的值最大.

因為圓錐的底面半徑為1,軸截面為正三角形，所以正三角形的邊長為2,

如圖（一），圓錐軸截面內切圓的半徑即為圓錐內切球的半徑，〃=￡lsin3（）o=且，即內

33

切球的半徑為史.

3

因為正四面體的邊長為陽，則補全為正方體時其棱長為/，如圖（二）所示，

5/16

所以正四面體的外接球半徑火='，限應=華4走，所以“4士叵，

2、22&33

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.（25-26高二下?云南昭通?開學考試）下列結論正確的是（）

A.若復數N滿足14=2,則2=劃

B.若復數3+i與-2+4i在復平面內分別對應向量方與麗，則向量而對應的復數為

-5+3i

C.若復數z在復平面內對應的點為Z（2,-l）,則復數￡在復平面內對應的點在第一象

限

D.若復數z滿足2引z區3,則復數z在復平面內對應的點所構成的圖形的面積為5兀

【答案】BCD

【詳解】對于A,z=±2也滿足忖=2,A錯誤.

對FB,因為以=（3,1）,礪=（-2,4）,所以方=（-5,3）,B正確.

J（，Z”二對應的點為Z（2=1）,則復數￡對應的點為（2,1）,該點在第一象限，C正確.

對于D,更數n對應的點構成的圖形為圓環，它的面枳為兀（3?-22）=5兀，D正確.

10.（25-26高一下?河南許昌?期中）在△力8c中，AB=3,AC=4,NB4C=：，點D為邊

2

8C上一動點，則（）

A.BC=5

12

B.當力。為邊8C上的高線時，AD=—

C.當4。為邊8c上的中線時，AD=^

12

D.當力。為/助。的平分線時，AD=—

【答案】ABC

【詳解】A：根據勾股定理3。2=/外+4。2,

將48=3,4C=4代入可得802=32+4?=25，所以4。=5,A對；

6/16

B：根據三角形面積公式=

1112

代入得二x3x4=^x5xXO,解得力。=一,B對；

225

C：因為直角三角形斜邊二的中線等于斜邊的一半，3c=5,所以=C對:

D：因為力。為次C的平分線，所以如。=/。。弋,

由S“BC=S4D+S&ACD?n]*^—x3x4=—x3xJDxsin-4■-x4x/IDxsin—

AB22424

即6=g/lQx（3+4）x孝，解得力。=苧，D錯.

11.（25-26高一下?浙江?期中）如圖，彳。為圓錐SO底面圓。的直徑，點4是圓O上異于

A,C的動點，SO=OC=2,則下列結論正確的是（）

A.圓錐SO的表面積為（4+4&）兀

B.圓錐SO的外接球體積是一

C.圓錐SO的內切球半徑為近-1

D.若AB=BC,七為線段45上的動點，則SE+CE的最小值為2+2JJ

【答案】ABD

【分析】A求出底面積和側面積相加即可；B求出外接球半徑即可；C根據體積公式可得:

D展開共線時最短；

【詳解】根據題意可得底面半徑和母線的長分別為r=2,1=2五、

所以側面積為用”=%x2、2行=4缶，底面積為也「=xx2?=4兀，

所以圓錐S。的表面積為（4+4&）兀，故A對；

設外接球的半徑為氏，球心到圓錐底面的距離為do

由于圓錐的高SO=2,底面半徑〃=2,

所以尸=屋+/，代入d=R-2得

7/16

R2=&2-4A+4+4n0=-4R+8=4R=8=R=2,

44X）

所以尸=3萬/?3=5乃x2'=子7r，故B正確；

圓錐的體積P=；xm二x/?=gx/rx2,x2=-^,V=；xSx/%,「.日=；x（4+4&）;rx〃,

,r-8_2_2（72-1）_2（V2-1）

?八4+4應,+&一（出+1雁_|）一2-1-2、2,故C錯誤;

由4B=8C,E為線段48上的動點，乙48。=90°〃。=4得/18=8。=2近，

又SA=SB=2&，所以△S48為等邊三角形，則NSA4=60，

將AS/IB以AB為軸旋轉到與△U8共面，得到qAB,

所以迄/出為等邊三角形，則比1=60',

則(S￡+CEL=SC,

因為S/=AC=2&,NS|BC=ZS,BA+NABC=150：

2222

S1C=S15+5C-2XS1^XBCXCOS150°=8+8+8>/3=(273+2),

則（跖+以*“=￡0=2（石+1）,故口正確

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分。

4+3i

I2.（25.26高一下?山西晉中?期中）己知復數2=y，其中i為虛數單位，則z+*

【答案】1

■一.4+3i(4+3i)(l+i)4+7i+3i217i_,17i”

【詳解】z=H=l0M=F^=5+E，所以八5-丁所以z+-L

13.（25-26高一下?浙江?期中）如圖測量河對岸的塔高時，選擇與塔底8在同?水平面

8/16

內的兩個測點。與現測得N8CQ=75。，Z5DC=60°,CO=20,并在點。測得塔頂力

的仰角為60。，則塔高力4為,

【答案】30立米

【詳解】在△8。。中，ZCBD=180°-75°-60°=45°,

nn

由正弦定理得三*=3，

sin60sin45

解得8c=10x^(m),

在RtAJBC中，AB=BCtan^ACB=1Ox/6x73=3072（m）.

14.（新題型）（25-26高二上?四川成都?期中）如圖，正方體A8C。-力￡G2的棱長為4,

點E、產分別為棱4G、的中點，點G為線段4。上的一個動點，則/_由7=

;直線/G與平面力。。4所成角為g，則sin9的最大值為

【分析】根據4。〃平面BCC禺可知G到平面BCCA的距離為4，計算%?:%附即可;

取線段44的中點“，可知化簡sin夕求AG最小值即可.

【詳解】因平面力。〃4〃平面夙彳九4。u平面4DD4,則Afi//平面BCC.B,,

則G到平面8CC聲的距離為4,

9/16

因點石、尸分別為棱片￡、8片的中點，則4￡=87=2,

則SAMM=；BRBF=；X2X2=2,

1Q

八則.匕O？|-EtrFUG=VOG-cFrFOB|=一3X4X2=3—、：

取線段的中點”，易知產，i平面力。44,

則直線FG與平面力所成角o=/FGH,

在等腰直角三角形44。中，當〃G_L4。時，匕最短,

此時〃G=力4"二

故Sin。的最大值為

四、解答題：本題共5小迓，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)(25-26高一下?江蘇南京?期中)如圖，在菱形中,

BE=2EC,CF=2FD.

(l)^EF=xAB+yAD,求盯的值；

(2)若44=3,/84。=60。，求灰.而的值.

29

【答案】(1)一W；(2)-彳

vZ

10/16

【詳解】⑴EF=EC+CF=-BC+^CD=-jAS+-/D,------------------------3分

_______212

因而，通不共線,t&x=--,y=-,故肛=一§.---------------------------------6分

__..一2__?2

（2）荏=而+礪=益+5前=存+5而-----------------------------------9分

故衣歷「在+|利?卜：方+g到

2一22-21-------22119

=一一AB+-AD一一ABAD=一一x9+-x9一一x3x3x-=——,--------------------13分

39939922

16.（15分）（25-26高一下?吉林?期中）在△力8c中，sinJsin5+cos2A=sin2B+cos2C.

（1）求角C的大小；

Q）若AB=幣，△04。的面積為氈，求△〃?（?的周長.

2

【答案】（1）9;（2）5+4

【詳解】（1）解：在△/8C中，設內角/、8、C的對邊分別為〃、b、C,

因為sin4sin8+cos?A=sin25+cos2C?即sinJsinB+l-sin2A=sin2B+l-sin2C，

由題意得：sinzlsinB-sin2A=sin2i?-sin2C----------------------------------2分

由正弦定理得M-/=〃_C2,即/+/一。2=必，-----------------------------乙分

所以，cosC=—+Z?"-C--=—=-,又因為。?（。，萬），所以，C=f..............6分

2ab2ab2'’3

（2）解：AB=4i=c,代入。力一。2=從一。2,則7=/+從一"b,

即（a+b）2-3而=7,...................................................9分

因為S"8C《“加由八日"二?^，所以，ab=6,-------------------------------12分

貝1」（。+〃）2-18=7,可得。+6=5,-------------------------------------------14分

因此，△“6C的周長為〃+b+c=5+近.-----------------------------------------：5分

17.（15分）（23-24高一下?四川廣安?月考）如圖,在四棱錐尸-（5CO中,AD//BC,

ADVDC,8C=CD=；4D=1,E為棱力。的中點，P/_L平面48CQ.

11/16

p

(2)求證：平面P力8,平面尸30；

(3)若二面角P-CD-A的大小為45°,求四棱錐尸-48CO體積.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)1

【詳解】(1)因為8C//4E且8c=力a所以四邊形8CE4為平行四邊形，則48/7EC,-2分

乂AB(Z平面PCE,ECu平面PCE,

所以48〃平面尸CE；-=--------------------------------------------4分

(2)由產4_L平面/BCO,4。u平面力8c。，得P4LBD,連接

由BC//DE且BC=DE,

所以四邊形BCDE為平行四邊形，又DE1CD,BC=CD=1,

所以平行四邊形5CDE為正方形，所以8。1EC,-------------------------------6分

又ABHEC,所以8Q_Z4B,-------------------------------------------------7分

乂PAC4B=A,PA、48(=平面"8,

所以8。_￡平面048,由8Ou平面080,

所以平面P8Z)_L平面PAB:..................................9分

(3)由41.平面/8C。，CQu平面48CQ,所以產力ICO,

又CZ)_L力。,404。=4尸44Ou平面尸力。，

所以《。，平面產力。，又PQu平面尸40.所以CO1P。，---------------------11分

故NPD4為二面角尸一8-4的平面角，即NPZM=4S，-------------------------13分

在Rt△尸為O中，PA=4D=2,則/“8S=.X2X(I±2)11=].............................................15分

12/16

18.(17分)(25-26高一下?江蘇南京期中)在△45C中，角4B,C的對邊分別為a,b,

c.且滿足b=2a-2ecos8.

(1)求角。的大小：

(2)若△/AC的面積S=4月，內切圓的半徑為/?=苧，求c；

(3)若/力。的平分線交力4于。，且CO=4,求的面枳S的最小值.

【答案】(l)C=g;(2)c=4；(3)心巨.

33

【分析】(1)由題設結合正弦定理邊角互化可得答案：

(2)由Si8c=46,可得必=16,由S“8c=；(〃+力+。)〃，可得a+b=12—c,然后由

余弦定理可得答案；

(3)由S-guS-e+SMe結合。。=4可得〃+/)=正如，然后由基本不等式可得答案.

4

【詳解】(1)因為b=2a-2ccos8,由止弦定理邊角互化，可得：

sin5=2sinJ-2sinCcos5=2sin(C+5)-2sinCcos^=2cosCsin5,-----------------------2分

又sin8>0,則1=2cosC=cosC=-=>C=-；------------------------------------------4分

23

(2)S3=—abs\r\C=46=>ab=16,----------------------------------------------6分

4/loc2

又S“BC=^(^+b+c)r=>a+b+c=\2=>a+b=\2-c,-------------------------------------------8分

由余弦定理：c2=a2+b2-labcosC=(a+b)~-3ab,

所以cP=(12-c)2—48=144—24c-48=0=c=4：-------------------------------------------------10分

(3)由題可得/4CO=N8CO=四,

6

則S,*=S心+S=-C/1-CDsinAACD+,C8?CQsin乙BCD

a/foCAACDABCD?2

」。?C8sinNBCAa+b=—ab------------------------------------------------------------13分

24

>2\[ab=>yfab2-4==>ab,

由基本不等式，—ab=a+b15分

4出3

則5皿=-absin-=Bab>幽，當且僅當a=b='巨時取等號.------17分

"改23433

19.(17分)(24?25高一下?山東泰安?期末)在△相，中，/比1C=45°,AB=4五,

4c=4,/是邊8c上的動點(不與8,C重合)，過點尸作力。的平行線交于點E,將

13/16

△8￡6沿切折起，點8折起后的位置記為P,得到四棱錐尸-力。心，如圖所示.

（1）證明：力。〃平面尸￡7-

（2）若尸為8c中點，且平面平面/C刊?，求二面角P-EC-尸的余弦值；

（3）若。為力。中點，是否存在點產，P,使得9_L/E,若存在，求Cb的取值范圍；若不

存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）立；（3）存在：CM=2

3

【分析】（1）利用線面平行的判定定理訐明即可：

（2）利用余弦定理8C,結合題意求出6='，然后找角：方法1,作尸O_LEC于。，

連接。尸，則OP在平面4。1的射影為。尸，利用已知條件證明置，。尸，CELOF,則

NPOF為二面角P-EC-尸的平面角：

方法2：取CE中點為。，連09，OP,則OF人CE,OP上CE,則NP。尸為二面角P-EC-F

的平面角，然后求出二面角P-EC-尸的余弦值即可；

（3）先證明平面PFCJ■平面XC產E,過尸作尸MJ.C尸卜"，利用已知條件確定點”的位

置.，結合已知所給條件畫出平面圖分析求出即可.

【詳解】（1）由題意知后「〃/C，又E/u平面尸EE,/ICC平面PE尸

所以彳C//平面尸防-------------------------------------------------------3分

（2）在△/15C中，由余弦定理

BC1=AB2+AC2-2ABxACcosABAC

=32+l6-2x4V2x4x—

2

=16

:.BC=4,AC1+BC2=AB1,

:.AC1BC,乙4BC=45。

???在翻折過程中，EFlPF,EFLCF

NPA?為二面角P—Eb—C的平面角

14/16

平面9尸!平面ACFE,

/.ZPFC=90°,PF±FC

又PF工EF,且EF,"U平面力C尸E,EFcFC=F

一.Ph平面力CFE

,??尸為BC中點,ACF=PF=2--------------