第2章 特殊三角形（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）解析版

第2章特殊三角形（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）

（考試時(shí)間：120分鐘；滿(mǎn)分：120分）

姓名班級(jí)考號(hào)

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.（3分）（2023秋?路橋區(qū)期末）下列亞運(yùn)會(huì)的會(huì)徽中，屬于軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義逐項(xiàng)分析判斷即可.

【解答】解?：A.不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，該選項(xiàng)不符合題意:

B.是軸對(duì)稱(chēng)圖形，該選項(xiàng)符合題意；

C.不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，該選項(xiàng)不符合題意：

D.不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，該選項(xiàng)不符合題意.

故選:B.

2.（3分）（2023秋?浙江校級(jí)期末）等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)分別為5和10,則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（）

A.15B.20C.25或20D.25

【分析】根據(jù)腰為5或10,分類(lèi)求解，注意根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷.

【解答】解：當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?時(shí)，三邊為5,5,10,5+5=10,三邊關(guān)系不成立；

當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?0時(shí)，三邊為5,10,1（）,三邊關(guān)系成立，周長(zhǎng)為5+10+10=25.

故選：

3.（3分）（2024?蕭山區(qū)一模）如圖，AD,8E均為△/BC的高，HAB=AC,連結(jié)OE交力8于點(diǎn)O,若

ZC=28°,則NOE8的度數(shù)為（)

E

A

B。°

A.62°B.60°C.58°D.56°

【分析】根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)得出點(diǎn)。是〃。的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜

邊的一半得出。￡=8。，根據(jù)等邊對(duì)等角得出NOE8=NE8O,在中求出NE8O的度數(shù)，即可

得解.

【解答】解：???48=4C,4）是8C邊上的高，

:?BD=CD,

???BE是力。邊上的高，

:?/BEC=90°.

乙

???NOEB=/EBD,

VZBFC=90°,ZC=28°,

：.ZEBD=900-ZC=90°-28°=62°,

：?/OEB=62°,

故選:A.

4.（3分）（2023秋?柯橋區(qū)期中）兩個(gè)直角三角形中:

①一銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等；

②斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等；

③有兩條邊相等：

④兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等.

能使這兩個(gè)直角三角形全等的是（）

A.①②B.②③C.③④D.①②③④

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法及“/〃”定理，判斷即可.

【解答】解：①有斜邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，可以利用力4s1證明全等，故①符合題意；

②有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等，可以利用兒證明全等，故②符合題意；

③有兩條邊相等，沒(méi)有表明是對(duì)應(yīng)邊相等，不一定可以利用此或S4s1證明全等，故③不符合題意；

④有兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，不能利用444證明全等，故④不符合題意：

綜上分析可知①②正確，故1符合題意.

故選:A.

5.（3分）（2024春?浙江期末）如圖，在中，AB=BC,由圖中的尺規(guī)作圖得到射線(xiàn)4D,BD與AC

交于點(diǎn)七，點(diǎn)戶(hù)為8C的中點(diǎn)，連接上凡若3E=/1C=4,則的周長(zhǎng)為（）

A.2V5B.4C.2>/5+2D.275-2

【分析】由尺規(guī)作圖可知，8E為N48。的平分線(xiàn)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得8E_L4C,

AE=CE=yAC=2?利用勾股定理得AB=二K而，進(jìn)而可得EFJAB-而，CE】BC二代，

乙乙乙

即可得出答案.

【解答】解：由題意得，8E為N/8C的平分線(xiàn)，

?：AB=BC,

:?BELAC,AE=CE=yAC=2^

由勾股定理得，AB=BC=A/42+22=2>/5>

???點(diǎn)月為8c的中點(diǎn)，

AEF=yAB=V5>CE=yAC=2*

乙乙

???△EFC的周長(zhǎng)為遙+V5+2=275+2，

故選：C.

6.（3分）（2023秋?宇波期木）將三張半圓形紙片按如圖的方式擺置，半圓的直徑恰好構(gòu)成一個(gè)直角三角

形，若知道圖中兩個(gè)月牙形的面積和，則一定能求出（）

A.直角三角形的面積

B.最大半圓形的面積

C.較小兩個(gè)半圓形的面積和

D.最大半圓形與直角三角形的面積和

【分析】?jī)蓚€(gè)月牙形的面積和=以力。、8c為直徑的半圓的面積的和+直角三角形三角形的面積-以力4

為直徑的半圓的面積，由此即可解決問(wèn)題.

2

【解答】解：以AC為直徑的工圓的面積=工打義蘆）=三4c2,

同理：以8C、48為直徑的半圓的面枳分別是工3C2,2L4B2,

88

???兩個(gè)月牙形的面積和=以/IC、BC為直徑的半圓的面積的和+直角三角形三角形的面積-以AB為直徑

的半圓的面積，

???兩個(gè)月牙形的面積和=三。2+98。2-工4爐+直角三角形的面積=三（AC2+BC2-AB2）+直角三

8888

角形的面積，

由勾股定理得：AC2+RC2=AR\

，兩個(gè)月牙形的面積和=直角三角形的面積.

7.13分）（2023秋?衢州期末）如圖，在Rt△48c中，/ACB=90：分別以4點(diǎn)，8點(diǎn)為圓心，以大于超

2

為半徑畫(huà)弧，兩弧交于￡,F,連接E/交48于點(diǎn)。，交4c于點(diǎn)〃.連接CQ,以C為圓心，。。長(zhǎng)為

半徑作弧，交于G點(diǎn)，若/出=10。〃，BC=6cm,則G〃的長(zhǎng)度為（）

A.—B.——C.3cmD.——

4cir4cir4cir

【分析】連接8〃，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得HlCD』AB二5cm根據(jù)勾股定理求出

2

AC-VAB^-BC^=V=8(cm>求出AG—AC-CG—8-5—3設(shè)All—BH—Xan,貝IjCH

=(8-x)cm,根據(jù)勾股定理得出62+(8-x)2=/,求出*且，最后求出結(jié)果即可.

4

【解答】解：連接3”,如圖所示：

根據(jù)作圖可知，EF垂直平分力4

:?BH=4H,AD=BD,

???△48C為直角三角形，

.1

??CD~AB=5cm,

乙

CG=CD=Sent,

根據(jù)勾股定理得：AC=7AB2-BC2H1。2_62=8(5)，

：.AG=AC-CG=8-5=3(CM),

設(shè)4H=8H=xcw,MCH=(8-x)cm,

根據(jù)勾股定理得：SC2+CH2=BH2,

即62+(8-x)2=x2,

解得：乂且，

4

,,GH=AH-AG=^--3=-^7-(cm>

44

故選:B.

8.(3分)(2024春?懷化期末)如圖，在RtZ^/18C中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,/出=10,AD是/

54c的平分線(xiàn).若P,。分別是力。和4c上的動(dòng)點(diǎn)，貝I」?C十尸。的最小值是()

A.2.4B.4.8C.4D.5

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CMLAB交AB于點(diǎn)M,交AD于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作PQ2-AC于點(diǎn)由AD是N4/1C

的平分線(xiàn).得出尸這時(shí)尸C+PQ有最小值，即CM的長(zhǎng)度，運(yùn)用勾股定理求出力8,再運(yùn)用SM8C=

LB?CA/=LC?AC,得出CM的值，即PC+尸。的最小值.

22

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作。交48于點(diǎn)M,交4）于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作P0L4c于點(diǎn)0,

??"。是N84C的平分線(xiàn).

:.PQ=PM,這時(shí)PC+P。有最小值，即CM的長(zhǎng)度，

V/1C=6,43=10,ZJCB=90n,BC=8,

'：S^=^B*CM=1AC*BC,

ABC22

???CM=AC?BC=j4,

AB5

即PC+PQ的最小值為普.

故選:B.

9.（3分）（2024?寧海縣校級(jí)自主招生）如圖△44C的三條高相交于點(diǎn)G,C”是角平分線(xiàn)，已知N44C=

15。，N/CO=60°,則圖中的等腰三角形共有（）個(gè).

A.5B.6C.7D.8

【分析】根據(jù)條件和等腰三角形的判定分別找出等腰三角形即可.

【解答】解：①??"Q_L4C,ZABC=45<,,

???△48。是等腰三角形；

2）VCF1J5,ZABC=45°,

???ABC/是等腰三角形;

③丁ZJC5=60,

CBE=900-60°=30°,

?/C〃是角平分線(xiàn)，

/.ZBCH=ZACH=^ZACB=30°,

2

???ZCBI=NICB,

???△6C/是等腰三角形；

?VZACB=6()°，

???/。。=90°-60°=30°,

AZACJ=ZCAJ=30°,

???△4C7是等腰三角形；

@VZACF=60°-45°=15°,

:./CAF=90"-150=75",

：?N/iHC=NABC+NBCH=450+30°=75°,

：,ZCAH=ZCHA=15°,

???△/C”是等腰三角形：

@VZGCD=ZZ)GC=45°,

???△CQG是等腰三角形；

⑦?：NGIJ=/EBC+NHCB=30。+30°=60°,

ZGJ/=ZC/D=90°-30°=60",

:?/GIJ=4GJI=60°,

是等腰三角形；

⑧△4尸G是等腰三角形；

綜上分析，圖中等腰三角形共有8個(gè)：△480、△8CA△8C/、△/仃、△AC〃、△COG、△G/4△

AFG.

故選：D.

10.(3分)(2023秋?浙江期末)如圖，在△/1&?中，ZACB=90<>,以△45C的各邊為邊作三個(gè)正方形,

點(diǎn)G落在，/上，若AC+BC=7,空白部分面積為13,則48的長(zhǎng)為（)

G

M

AB

A.5B.V21C.V19D.V26

【分析】由正方形的性質(zhì)推出18=4尸，/BAN=/F=90：由余角的性質(zhì)推出/48N=NM4尸，由4S4

證明得到△84V的面積=△/1￡”的面積，因此四邊形廠NCM的面積=448。的面積,

得到空白部分的面積=正方形/8G/的面積-2XZX/BC的面積，因此482-2X工lC?8C=13①，由完

2

全平方公式得/。2+夕。2+24C3C=49,由勾股定理得到/辟+24。“。=49②，于是47=25,即可求出

.46的長(zhǎng).

【解答】解：???四邊形力8G"是正方形，

:?AB=AF,NBAN=NF=90°，

/.ZMAF+ZBAC=90Q,

VZJC^=90°,

：?/ABN+/BAC=90°,

:.ZABN=NMAF,

?：AB=4F,NBAN=NF,

:.4BANqAAFM(ASA),

???△84V的面積=△/五M的面積，

???四邊形FNCM的面積=ZX/18C的面積，

，空白部分的面積=正方形48Gb的面積-2X△48C的面積，

C.AB1-2X_jjC?〃C=13①,

?:AC+BC=7,

:.(AC+BC)2=72,

AC2+BC2+2AC?AC=49,

,:AB2=AC2+BC2,

?"82+2心8c=49②，

由①和②得g=25,

，AB=5（舍去負(fù)值）.

故選:A.

填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）

II.（3分）（2023秋?竦州市期末）如圖，在△48C中，AB=AC,月。是4C邊上的高線(xiàn)，若/。=2/4,

則NC8O的度數(shù)為18°.

【分析】根據(jù)等腰三角膽的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求得Z/1—36°,推出NC—72°,再利用余角的

性質(zhì)即可求解.

【解答】解：?.Z4=/iC,ZC=2ZJ,

???/ABC=NC=2/A,

AZABC+ZC+ZA=\S00,

解得N4=36°,

.?.NC=72”,

:.NCBD=900-NC=18°,

故答案為：18°.

12.（3分）（2023秋?寧海縣期中）如圖，將一副三角尺按如圖所示的方式疊在一起，若4B=l0cm,則陰

【分析】易證8C〃QE,那么△力3也是等腰直角三角形，欲求其面積，必須先求出直角邊4C的長(zhǎng)；

RtA/15C?P,已知斜邊力6及的度數(shù)，易求得4C的長(zhǎng)，進(jìn)而可根據(jù)三角形面積的計(jì)算方法求出陰影

部分的面積.

【解答】解：???/8=30°,4c8=90°,AB=\Qcm,

：?AC=5cm.

VZAED=ZACB=90t>,

：,BC//ED,

；?N4FC=N/1DE=45°,

AC=CF=5cffi.

故（cm2）.

2

故答案為：12.5.

13.（3分）（2023秋?北侖區(qū)期末）定義：若三角形滿(mǎn)足其中兩邊之和等于第三邊的三倍，則稱(chēng)該三角形為

“三倍三角形”.若等腰三角形48c是三倍三角形，且其中一邊長(zhǎng)為3,則△48C的周長(zhǎng)為12或8.

【分析】分兩種情況，底邊長(zhǎng)是3或腰長(zhǎng)是3,由三角形三邊關(guān)系定理，“三倍三角形”的定義即可求解.

【解答】解：如果底邊長(zhǎng)是3,

若兩腰的和是3的三倍，即為9,滿(mǎn)足三角形三邊關(guān)系定理，則。的周長(zhǎng)是9+3=12,

若腰與底邊的和是腰長(zhǎng)的三倍，求出腰長(zhǎng)是1.5,不滿(mǎn)足三角形三邊關(guān)系定理；

如果腰長(zhǎng)是3,

若兩腰的和是底邊的三倍，底邊長(zhǎng)是2,滿(mǎn)足三角形三邊關(guān)系定理，則△48C的周長(zhǎng)是3+3+2=8,

若腰與底邊的和是腰長(zhǎng)的三倍，求出底邊長(zhǎng)是6,不滿(mǎn)足三角形三邊關(guān)系定理，

???△48C的周長(zhǎng)為12或8.

故答案為：12或8.

14.（3分）（2024春?拱皇區(qū)校級(jí)期中）勾股定理被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學(xué)

家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖1所示的“弦圖”，后人稱(chēng)之為“趙爽弦圖”.圖2由弦圖變

化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成的.記圖中正方形48CO、正方形EFGH、正方形MNXT

的面積分別為g,S2,S3,若正方形￡/G〃的邊長(zhǎng)為6,則Si+S,+Sa=108.

22

【分析】設(shè)全等的直角三角形的兩條直角邊為a、b且。>b,則S尸(a+b)2,S2=a+h,S3=(a-h)

2,先證明S2=Q2+Z>2=36,再證明SI+S2+S3=3(〃2+乂)即匕得到答案.

【解答】解:設(shè)全等的直角三角形的兩條直角邊為4、b,且。

由題意可知:S]=(.a+b)2,$2=。2+意,Sy=(a-b)2?

???正方形EFGH的邊長(zhǎng)為6,

???S2=〃2+b2=36,

S]+Sz+S3=(a+b)2+a2+b2+(a-h)2

=a2+2ah+h2^-a1+b1+a2-lab+h1

=3(a2+b2)

=108,

故答案為：108.

15.(3分)(2023秋?浙江期末)如圖，在△48。中，AB=BC=2,A()=B(),P是射線(xiàn)CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

ZJOC=60°,則當(dāng)△"8為直角三角形時(shí)，4P的長(zhǎng)為3或7或1.

【分析】利用分類(lèi)討論，當(dāng)N』PA=9()°時(shí)(如圖1),由N/OC=60°,得到△AOP為等邊

三角形，于是有N/A尸=60°,由三角形內(nèi)角和得到N84P=30°,即可求得4P；

當(dāng)//8P=90°時(shí)，如圖2,由對(duì)頂角的性質(zhì)可得N/OC=N8OP=60°,易得N8PO=30°,易得BP

的長(zhǎng)，利用勾股定理可得力。的長(zhǎng)；當(dāng)N4P8=90°時(shí)，分兩種情況討論，情況一：如圖1,情況二：如

圖3,利用直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半可得結(jié)論.如圖4中，ZPAB=90°時(shí)，求出力尸即可.

【解答】解：當(dāng)N/1P8=9O”時(shí)，如圖1,

:?PO=BO,

VZAOC=60°,

???N8"=60°,

???△HOP為等邊三角形,

44尸=60°,

，/氏4尸=30°,

:,AP=M；

VZAOC=ZBOP=60a,

???N8PO=30°,

_0B_i

：.BP=

tan300返以

3

在直角三角形力4尸中,

-4P=VAB2+PB2=V7；

圖3

?:AO=BO,N”B=90°,

：.PO=AO,

VZAOC=60°,

???△/IO2為等邊二角形,

?'.AP=AO=L

如圖4中，當(dāng)/PAB=90°時(shí),

圖4

:?PA=4^0A=氏,

故答案為：勺叵或小或1.

16.（3分）（2023秋?奉化區(qū)校級(jí)期中）如圖，ZX/IBC中，ZACB=9（）°,4C=8,BC=6,射線(xiàn)CO與邊

4B交千點(diǎn)E、b分別為40、5。中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)月、尸到射線(xiàn)CO的距離分別為加、〃,則線(xiàn)段的最

【分析】連接CE,CF,根據(jù)面積關(guān)系可以求得工S4^cJCDlm+n），當(dāng)最小為力夕邊上高時(shí)，

22

即可求出ni+n的最大值.

【解答】解：如圖，連接CE,CF,過(guò)￡作。。垂線(xiàn)，垂足為M點(diǎn)，過(guò)尸作CO垂線(xiàn)，垂足為N點(diǎn)，即

Eyf=ni,EN=〃,

則Xnr

?:E,F分別為4D,BD中點(diǎn),

一SACDE卷SACDA*SACDF蔣SACDB*

**^ACEF=2ACDE+^ACDF至(^ACDA+^ACDB)而^AABC)

^ACEF=^ACDF+^ACDE至0D(m+n>

..1

-SAABC=yX6X8=24*

(m+n)=12

：，CD(m+n)=24,

VZJCB=90°,AC=8,BC=6,

：?前32+62=10,

設(shè)力〃上的高為A,

.1

?,yABwh=24,

AA=4.8,

當(dāng)CD最小時(shí)，BPCDLAB,此時(shí)。=6=4.8時(shí)，〃1+〃最大,

，最大值為5.

故答案為：4.8,5.

三.解答題（共8小題，共72分）

17.（6分）（2023秋?味州市期末）一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是25c5.

（1）若腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的2倍，求這個(gè)等腰三角形各邊的長(zhǎng).

（2）若其中一邊的長(zhǎng)為7c〃1，求這個(gè)等腰三角形其余兩邊的長(zhǎng).

【分析】（1）設(shè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為XCM，則腰長(zhǎng)為2xc陽(yáng)，根據(jù)“周長(zhǎng)是25。〃”列方程求解即可;

（2）根據(jù)等腰三角形的定義，分腰為7cm與底為7c〃?兩種情況分別求出其他兩邊即可.

【解答】解：（1）設(shè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為xc〃?，則腰長(zhǎng)為2xc〃，

由題意得：2x+2x+x=25,

解得：x=5

/.2x=10,這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為5C〃?，腰長(zhǎng)分別為10C優(yōu)，10CM

即各邊長(zhǎng)分別是10cm,10cm,5cm；

（2）當(dāng)腰為7創(chuàng)時(shí),底邊長(zhǎng)為:25-7X2=11（cm）,

???其余兩邊分別為7a〃，11am此時(shí)能構(gòu)成三角形；

當(dāng)?shù)诪?c〃?時(shí)，腰長(zhǎng)為：生;二乂力），

2

???其余兩邊分別為9a〃，9cm,此時(shí)能構(gòu)成三角形；

綜上所述：其余兩邊分別為7cm與1lent,或9cm與9cm.

18.（6分）（2023秋?浙江期末）己知△48C中，D為邊BC上一點(diǎn),AB=AD=CD.

（1）試說(shuō)明N/1BC=2NC；

（2）過(guò)點(diǎn)8作力。的平行線(xiàn)交。的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)￡若4E=4B,求證：力。平分N4力C.

【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)推出ZC=ZDAC,由三角形外角的性質(zhì)得到N/Q8

=ZC+ZDAC=2ZC,即可推出N48C=2NC.

（2）由等腰三角形的性質(zhì)推出由平行線(xiàn)的性質(zhì)推出NdO=/E,NBAD=4ABE,得到

/CAD=/B4D,即可證明4）平分N84C.

【解答】⑴解:，：AB=AD=CD,

/.ZABC=ZADB,ZC=ZDAC,

???ZADB=ZC+ZDAC=2ZC,

???/ABC=2/C.

（2）證明：*：AE=AB,

：.NE=NABE,

,:BE〃AD,

；?NCAD=NE,NBAD=/ABE,

：.ZCAD=ZBAD,

，力。平分

19.（8分）（2023秋?東陽(yáng)市期中）如圖，在8X8的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,網(wǎng)格中有

一格點(diǎn)△48C（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）.

（1）在圖中作出△力8c關(guān)于直線(xiàn)/對(duì)稱(chēng)的△小8]G；（要求/與小，8與當(dāng)，。與G相克?應(yīng)）

（2）若有一格點(diǎn)P到點(diǎn)4B的距離相等,則網(wǎng)格中滿(mǎn)足條件的點(diǎn)?有4個(gè):

（3）在直線(xiàn)/上找到一點(diǎn)0,使08+QC的值最小.

【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)作圖即可.

（2）利用網(wǎng)格，作線(xiàn)段48的垂直平分線(xiàn)，所經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)即為滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的位置.

（3）連接C5，交直線(xiàn)/于點(diǎn)。，連接8。，此時(shí)Q8+QC的值最小.

【解答】解：（I）如圖，△為與。即為所求.

（2）由圖可知，P],P2,當(dāng)，尸4滿(mǎn)足到點(diǎn)44的距離相等，

???網(wǎng)格中滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P有4個(gè).

故答案為:4.

20.（8分）（2023秋?浙江模擬）如圖，點(diǎn)C、E、B、/在一條直線(xiàn)上，4BLCF于B,DE上CF于E,AC=

D

【分析】先根據(jù)直角三角形全等的判定方法證得Rt△48c絲RtZXQE/（私），則8C=EF即CE=8立

【解答】證明：VJ51CF,DELCF,

:?NABC=NDEF=90°.

在RtAJBC和RtADEF中，

'AC=DF,

'AB=DE，

RiA/lBC^RtA￡）￡F（HL）.

:,BC=EF.

：.BC-BE=EF-BE.

即：CE=BF.

21.（10分）（2023秋?浙江期末）已知：如圖△48C中4C=6c，〃，AB=Scm,BD平分/ABC,CQ平分/

ACB,過(guò)。作直線(xiàn)平行于8C,交.AB,AC于E,F.

（1）求證：△OPC是等腰三角形；

（2）求尸的周長(zhǎng).

【分析】（1）首先根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得N"QC=NOC8,再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得/R?Q=N8O,

可得NFCD=NFDC,據(jù)此即可證得；

（2）同理（1）可得DE=BE,根據(jù)△力EE的周長(zhǎng)=4七+力尸+QE+。產(chǎn)=48+4C,求解即可.

【解答】（1）證明：尸〃8C,

???NFDC=NDCB,

???CO平分N4C8,

JZFCD=ZDCB,

???ZFDC=ZFCD,

:.FD=FC,

???△ORT是等腰三角形；

（2）,:EFUBC,

???/EDB=/DBC,

?；BD平分/4BC,

:./EBD=/DBC,

???ZEDB=ZEBD,

：,ED=EB,

AC=6cm,AB=8cm,

???△力環(huán)的周長(zhǎng)為：AE+EF+AF

=AE+ED+FD+AF

=AE+EB+FC+AF

=AB+AC

=8+6

=14（cm）.

22.（10分）（2023秋?東陽(yáng)市期末）我們新定義一種三角形：若一個(gè)三角形中存在兩功的平方差等干第三

邊上高的平方，則稱(chēng)這個(gè)三角形為勾股高三角形，兩邊交點(diǎn)為勾股頂點(diǎn).

?特例感知

①等腰直角三角形是勾股高三角形（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)“是”或者“不是”）；

②如圖1,已知△力AC為勾股高三角形，其中。為勾股頂點(diǎn)，C。是4月邊上的高.若BD=24D=2,

試求線(xiàn)段CO的長(zhǎng)度.

?深入探究

如圖2,已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點(diǎn)且C4>C8,。。是48邊上的高.試探究線(xiàn)段

,4。與C8的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

?推廣應(yīng)用

如圖3,等腰△月AC為勾股高三角形，其中CQ為力4邊上的高，過(guò)點(diǎn)。向8c邊引平行

線(xiàn)與4C邊交于點(diǎn)E.若CE=a,試求線(xiàn)段。E的長(zhǎng)度.

【分析】?特例感知：①根據(jù)勾股高三角形的定義即可判斷；

②如圖1，根據(jù)勾股定理可得：CA1=Cb1+\,于是CJn(CD2+4)-(CD2+1)=3,

即可解決問(wèn)題；

?深入探究：由C42-C5=。2可得：CA2-CD2=CB2,rtfCA2-CD^AD2,即可推出4?2=^2；

?推廣應(yīng)用：過(guò)點(diǎn)力向EQ引垂線(xiàn)，垂足為G,只要證明△HGOg△COB(44S),即可解決問(wèn)題；

【解答】解：?特例感知：

①一等腰直角三角形是勾股高三角形.

故答案為是.

②如圖1中，根據(jù)勾股定理可得：。?2=。。2+4,CJ2=CD2+1,

于是CQ2=(CD2+4)-(C/^+l)=3,

:?CD=6.

?深入探究：

如圖2中，由。2?。82=。》可得：CA2-CD2=CB2,而。不?。。2=/》，

:.AD2=CB2,

即AD=CB；

?推廣應(yīng)用：

過(guò)點(diǎn)/向EO引垂線(xiàn)，垂足為G,

???”勾股高三角形”。為等腰三角形，且4B=4C>BC,

???只能是力〃.BC2=CD2,由上問(wèn)可知力。=8。……①.

又ED"BC,；.N1=NB……(2).

而4GD=NCDB=90°……③，

:.XAGD4XCDB(AAS),

:.DG-BD.

易知△4QE與均為等腰三角形，

根據(jù)三線(xiàn)合一原理可知ED=2DG=2BD.

又AB=AC,AD=AE,

BD-EC=ci,

ED=2(i.

23.（12分）（2023秋?江北區(qū)月考）如圖，在中，ZACB=90°,AB=\0cm,BC=6cm,若點(diǎn)尸從

點(diǎn)力出發(fā)，以每秒的速度沿折線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒（/>（））.

（1）若點(diǎn)P恰好在N84C的角平分線(xiàn)上（點(diǎn)力除外），求f的值；

（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)△BPC為等腰三角形時(shí)，貝h的值.

【分析】（1）過(guò)P作PE_L48,設(shè)CP=x,根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)和勾股定理，列方程式進(jìn)行解答即可：

（2）分類(lèi)討論：當(dāng)CP=CB時(shí),△8”為等腰三角形，若點(diǎn)P在AC上,根據(jù)X。的長(zhǎng)即可得到/的值,

苦點(diǎn)尸在/也上，根據(jù)戶(hù)移動(dòng)的路程易得/的值；當(dāng)尸。=尸4時(shí)，△4C尸為等腰三角形，作尸。_L4C于

D,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得60=8,則可判斷PO為△46C的中位線(xiàn)，則月2=16=5,易得/的值；

2

當(dāng)4P=4C=6時(shí)，/XBCP為等腰三角形，易得/的值.

【解答】解：（1）如圖1,過(guò)P作

VZACB=90°,

AJC=VAB2-BC2=V102-62=8>

???點(diǎn)產(chǎn)恰好在NA4c的角平分線(xiàn)上，且NC=90°,AB=\0,BC=6,

:,CP=EP,

在RtAJCP和RtAJEP中，

fAP=AP

lCP=EP，

???RtZ\4C0也Rt△力EP（HL）,

AC-8cM=AE,BE=2,

設(shè)C'P=x,貝ij4P=6-x,PE=x,

RtABEP中，BE2+PE2=BP：,

即22+X2=(6-x)2,

解得x=B，

3

,\CP=X

3

???C4+CP=8+B=絲，

33

?“&1=四：

33

當(dāng)點(diǎn)P沿折線(xiàn)A-C-B-A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P也在/胡C的角平分線(xiàn)上,

此時(shí),t=(10+8+6)4-1=24.

綜上，若點(diǎn)Q恰好在N歷1C的角平分線(xiàn)上，/的值為四或6：

3

(2)①如圖2,當(dāng)CQ=C8時(shí)，ZXBC尸為等腰三角形，

若點(diǎn)尸在C4上，則,=8-6,

解得/=2：

②如圖3,當(dāng)4P=4C=6時(shí)，△AC尸為等腰三角形，

???AC+CB+BP=8+6+6=20，

?1=20；

③如圖4,若點(diǎn)尸在上，。尸=C8=6,作COJ_48于。，根據(jù)面積法求得CO=4.8,

在Rt^BCO中，由勾股定理得80=3.6,

???尸8=28。=7.2,

ACA+CB+BP=8+6+7.2=21.2,

此時(shí)1=21.2：

④如圖5,當(dāng)尸。=P8時(shí)，為等腰三角形，作夕OJ_8c于。，則。為8c的中點(diǎn),

???PD為△NBC的中位線(xiàn),

:?AP=BP=LB=5,

2

???/C+C4+4P=8+6+5=19,

/.r=19；

綜上所述，，為2或21.2或20或19時(shí)，△8CA為等腰三角形.

故答案為：工2或21.2或20或19.

2

c

24.（12分）（2023秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）如圖1,射線(xiàn)18〃射線(xiàn)C