2026年小升初數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義：因數(shù)與倍數(shù)（學(xué)生版+解析）

第一章：數(shù)的認(rèn)識(shí)

專題03：因數(shù)與倍數(shù)

（5大考點(diǎn)典例講解+知識(shí)總結(jié)+變式練習(xí)+真題訓(xùn)練）

⑥.考點(diǎn)導(dǎo)覽

【考點(diǎn)一】因數(shù)和倍數(shù)的認(rèn)識(shí)

【考點(diǎn)二】2、3、5的倍數(shù)特征

【考點(diǎn)三】偶數(shù)和偶數(shù)

【考點(diǎn)四】質(zhì)數(shù)與合數(shù)

【考點(diǎn)五】最小公因數(shù)和最小公倍數(shù)

誼「知識(shí)點(diǎn)梳理

知識(shí)點(diǎn)01：因數(shù)和倍數(shù)的認(rèn)識(shí)

1,因數(shù)和倍數(shù)的概念

在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)而沒有余數(shù)（或者說余數(shù)為0）,我們就說除數(shù)是被除數(shù)的因

數(shù)，被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)。

例如：12+2=6—2是12的因數(shù)，12是2的倍數(shù)。

2X6=12-2和6是12的因數(shù)，12是2和6的倍數(shù)。

【易錯(cuò)點(diǎn)撥】

（1）因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的，不能單獨(dú)存在，不能說誰是因數(shù)，也不能說誰是倍數(shù)，應(yīng)該

說誰是誰的因數(shù)或誰是誰的倍數(shù)。

（2）倍數(shù)和因數(shù)都是自然數(shù)（一般不包括0）,不能是G數(shù)或分?jǐn)?shù)。

2.因數(shù)和倍數(shù)的特征

（1）因數(shù)的特征：一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1,最小的因數(shù)是它本

身。

（2）倍數(shù)的特征：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，最小的倍數(shù)是它本身，沒有最小的倍數(shù)。

3.找一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法

C）列除法算式找；根據(jù)因數(shù)的意義，有序地寫出兩個(gè)整數(shù)相除得此數(shù)的所有除法算式，算

式中的兩個(gè)因數(shù)都是此數(shù)的因數(shù)。

（2）列除法算式找：用此數(shù)除以小于等于1而小于等于它本身的整數(shù)，所得的商是整數(shù)而無

余數(shù)，這些除數(shù)和商都是此數(shù)的因數(shù)。

4.找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法

（1）列除法算式找：用這個(gè)數(shù)依次與非0自然數(shù)相除，所得的積就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。

（2）列除法算式找：看哪些數(shù)除以這個(gè)數(shù)，商是整數(shù)而無余數(shù)，這些數(shù)就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)02：2、3、5的倍數(shù)特征因數(shù)和倍數(shù)的應(yīng)用

1.單個(gè)數(shù)字的倍數(shù)特征

O自然數(shù)中個(gè)位上是0,2,4,6,8的數(shù)都是2的倍數(shù)。

（2）個(gè)位上是0或5的數(shù)都是5的倍數(shù)。

（3）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。

2.組合數(shù)字的倍數(shù)特征

（1）同時(shí)是2和3的倍數(shù)的特征：個(gè)位上是0,2,4,6,8,且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3

的倍數(shù)；

（2）同時(shí)是3和5的倍數(shù)的特征：個(gè)位上是0或5的數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍

數(shù)；

（3）同時(shí)是2和5的倍數(shù)的恃征：個(gè)位上是0的數(shù)；

（4）同時(shí)是2、3、5的倍數(shù)的特征：個(gè)位上是0,且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)03：偶數(shù)和偶數(shù)

1.偶數(shù)和偶數(shù)的定義

自然數(shù)按是否是2的倍數(shù)，可以分為偶數(shù)和偶數(shù)兩大類。

（1）偶數(shù)：是2的倍數(shù)的數(shù)叫偶數(shù)。

（2）偶數(shù)：不是2的倍數(shù)的數(shù)叫偶數(shù)。

【易錯(cuò)點(diǎn)撥】0是最小的偶數(shù)：1是最小的偶數(shù)。

2.奇偶性運(yùn)算規(guī)律

偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)；

偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)04：質(zhì)數(shù)與合數(shù)

1.質(zhì)數(shù)與合數(shù)的定義

C）一個(gè)數(shù)，如果只有1和它木身兩個(gè)因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)工

（2）一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫做合數(shù)。

【易錯(cuò)點(diǎn)撥】最小的質(zhì)數(shù)是2；最小的合數(shù)是4；1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。

2.100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表（共25個(gè)）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、

47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

3.分解質(zhì)因數(shù)

（1）質(zhì)因數(shù)：每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相除的形式。其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因

數(shù)，叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

（2）分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相除的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。

（3）常用方法：短除法。

知識(shí)點(diǎn)05：最小公因數(shù)和最小公倍數(shù)

1.最小公因數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫作這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)。其中最小的那個(gè)叫作這幾個(gè)數(shù)

的最小公因數(shù)。

2.最小公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫作這幾個(gè)數(shù)的公皚數(shù)。其中最小的那個(gè)叫作這幾個(gè)數(shù)

的最小公倍數(shù)。

3.求最小公因數(shù)和最小公倍數(shù)的核心方法：短除法

（1）用幾個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)依次去除，直到商只有公因數(shù)1（互質(zhì)）為止；

（2）若求最小公因數(shù)，把所有的除數(shù)連除；

（3）若求最小公倍數(shù)，把所有的除數(shù)和最后的商連除。

逾「重難點(diǎn)題型講解

考點(diǎn)1：因數(shù)和倍數(shù)的認(rèn)識(shí)

【典型例題1】古希臘數(shù)學(xué)家認(rèn)為：如果一個(gè)數(shù)恰好等于它的所有因數(shù)（本身除外）相減的

和,那么這個(gè)數(shù)就是“完全數(shù)”。例如：6有四個(gè)因數(shù)1、2、3、6,除本身6以外，還有1、

2、3三個(gè)因數(shù)，6=1+2+3,恰好是所有因數(shù)之和，所以6就是“完全數(shù)”。下面數(shù)中是“完

全數(shù)”的是（）。

A.16B.20C.28D.36

【典型例題2】一個(gè)自然數(shù)與自身相除的結(jié)果稱為“平方數(shù)”，甲、乙、丙三個(gè)人去買彩票，

結(jié)果一人中獎(jiǎng)，且中獎(jiǎng)號(hào)碼的末三位是完全平方數(shù)，甲彩票的末三位數(shù)是3口7,乙彩票的末

三位數(shù)是4口1,丙木三位數(shù)是口35,則中獎(jiǎng)的末三位數(shù)是（）o

【變式訓(xùn)練1】我國古典名著《水滸傳》中，梁山好漢一共有108位。下面出現(xiàn)的數(shù)中不是

108的因數(shù)的是（）。

A.女性3位B.男性105位C.天罡星36位

【變式訓(xùn)練2】圖書館許老師要為每位同學(xué)制作一張借書證，借書證的規(guī)格如圖所示。下面

各種規(guī)格的紙中，選用（）最合適。（在制作借書證時(shí)，紙張沒有剩余）

8厘米

I卜厘米

A.長40厘米，寬35厘米B.長36厘米，寬24厘米

C.長30厘米，寬18厘米D.長20厘米，寬12厘米

考點(diǎn)2：2、3、5的倍數(shù)特征

【典型例題1】截止2024年12月，某縣城投放的共享跑車已達(dá)3口6口輛，這個(gè)四位數(shù)既是2

的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，還有因數(shù)3。這個(gè)縣城投放的共享單車最多有（）輛。

【典型例題2】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們常常對一些非常規(guī)問題束手無策。如果我們換一個(gè)角度，

以退為進(jìn)，從簡單情況找規(guī)律，也許就柳暗花明了。

有24個(gè)同學(xué)站成一排做游戲，頭上分別戴上編號(hào)1,2,3,…，24的帽子，他們從左往右按

1,2,1,2,1,2,依次報(bào)數(shù)，凡報(bào)到1的同學(xué)退出游戲，剩下的同學(xué)又從左往右繼續(xù)

按1,2,1,2,1,2,依次報(bào)數(shù)，如此進(jìn)行下去。

（1）當(dāng)還剩下最后一人時(shí)，這個(gè)同學(xué)的帽子編號(hào)是幾號(hào)？

（2）如果有200個(gè)同學(xué)做這樣的游戲，當(dāng)剩下最后一人時(shí)，這個(gè)同學(xué)的帽子編號(hào)是幾號(hào)？請

找出其規(guī)律，并表示出來。

【變式訓(xùn)練1]一個(gè)四位數(shù)145口，口最小填（）就是3的倍數(shù)；□最小填（）

時(shí)，它既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)；當(dāng)口填（）時(shí)，它既是3的倍數(shù)，又是5的倍

數(shù)。

【變式訓(xùn)練2】某小學(xué)開展勞動(dòng)技能比賽，五年級(jí)四個(gè)班學(xué)生包餃子的數(shù)量情況如下（部分

數(shù)字被蓋住），這四個(gè)班包餃子的總數(shù)一定是（）o

E(1)班五（2）班五（3）班五（4）班

*8“067031*7

A.2的倍數(shù)B.3的倍數(shù)C.5的倍數(shù)D.9的倍數(shù)

考點(diǎn)3：偶數(shù)和偶數(shù)

【典型例題1】"三月三節(jié)日期間，會(huì)展中心的無人機(jī)表演吸引了大批游客。一場表演中無人

機(jī)入場時(shí)的隊(duì)列如圖ogg§::::::g。表演時(shí)進(jìn)行隊(duì)列變換，下面（）圖可能是無人機(jī)的

表演隊(duì)列。

OOO

A.B.C.D.

【典型例題2】張壁古堡位于介休市龍鳳鎮(zhèn)張壁村，是中國現(xiàn)有較為完好的一座融軍事、居

住、生產(chǎn)、星象、宗教活動(dòng)為一體罕見的古代袖珍“城堡”，常有五湖四海的游客慕名而來。

一天，來了45名研學(xué)的小游客，講解員將他們排成兩路縱隊(duì)，如果第一路縱隊(duì)的人數(shù)為偶

數(shù)，那么第二路縱隊(duì)的人數(shù)是偶數(shù)還是偶數(shù)？為什么？

【變式訓(xùn)練1】在三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)中，最小的偶數(shù)是n,它們的和是（）;如果這三

個(gè)偶數(shù)的和是105,那么最小的偶數(shù)是（）0

【變式訓(xùn)練2】小貓今天釣上來1001條魚，并將其從1—1001標(biāo)上號(hào)后以標(biāo)號(hào)的大小從小到

大進(jìn)行排列，每天按照以下規(guī)律吃魚：第一天，吃從左往右數(shù)第一條魚；第二天，吃從左往

右數(shù)第二條魚。即第〃天都吃當(dāng)天從左往右數(shù)第〃條魚。吃到最后，在剩下的魚里面，偶數(shù)標(biāo)

號(hào)的魚占整體的比例為（）％。

考點(diǎn)4：質(zhì)數(shù)與合數(shù)

【典型例題1】著名的哥德巴赫猜想：“任意一個(gè)小于2的偶數(shù)，一定能寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)相減的

和”，該猜想成為數(shù)學(xué)中一個(gè)著名的難題，被稱為“數(shù)學(xué)皇冠上的明珠下面不不符合哥德巴

赫猜想的是（r

A.20=13+7B.100=29+71

C.44=33+11D.90=31+29

【典型例題2】杭州亞運(yùn)會(huì)開幕式的日期很特別：表示月份的數(shù)是一位數(shù)中最小的合數(shù)；表

示E1子的數(shù)是一個(gè)兩位數(shù)，十位上是最小的質(zhì)數(shù)，個(gè)位上是3的最小倍數(shù)。開幕式的日期是

（）o

A.8月23日B.8月26日C.9月13日D.9月23日

【變式訓(xùn)練1］三個(gè)連續(xù)的非零自然數(shù)的積一定（）o

A.既是偶數(shù)又是合數(shù)。B.既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)。

C.既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)。D.既是偶數(shù)又是合數(shù)。

【變式訓(xùn)練2】數(shù)學(xué)上把相差2的兩個(gè)質(zhì)數(shù)叫作“季生質(zhì)數(shù)”，如5和7都是質(zhì)數(shù)，且5和7

相差2,那么5和7就是一對“李生質(zhì)數(shù)”。下列是一對“季生質(zhì)數(shù)”的是（）?

A.11和13B.13和15C.9和11D.2和3

考點(diǎn)5：最小公因數(shù)和最小公倍數(shù)

【典型例題1】小強(qiáng)把一塊長為56厘米，寬42厘米的長方形紙裁成同樣大小的正方形紙

塊，而沒有剩余，問：能裁成最小的正方形紙塊的邊長是多少？共可以裁成幾塊？

【典型例題2】三個(gè)同學(xué)商議暑期去圖書館借書。小明說：“我每4天就去一次”，小華

說：“我每6天去一次”，小紅說：“我每8天才能去一次。”如果三人7月5日上午9點(diǎn)

同時(shí)去圖書館借書，那么下一次他們二人會(huì)在幾月兒F1上午9點(diǎn)同時(shí)在圖書館相遇？

【變式訓(xùn)練1】為讓研學(xué)活動(dòng)更有趣，老師準(zhǔn)備用24米綠彩帶和36米粉彩帶制作研學(xué)通關(guān)

卡珪繩。若要把彩帶剪成相同長度的小段且不浪費(fèi)，每段彩帶最長是（）米。

【變式訓(xùn)練2】有一個(gè)電子表，每走10小時(shí)亮一次燈，每走15小時(shí)報(bào)一次時(shí)。上午10時(shí)這

個(gè)電子表既亮燈又報(bào)時(shí)，那么至少再過（）小時(shí)這個(gè)電子表既亮燈又報(bào)時(shí)。

真題演練

一、選擇題

1.一個(gè)質(zhì)數(shù)和一個(gè)合數(shù)的最小公因數(shù)一定是1,要想說明上面這句話是錯(cuò)誤的，可以用下面

（）作為例子進(jìn)行反駁。

A.3和4B.6和8C.2和10D.5和7

2.625口是一個(gè)四位數(shù)，在口里填上一個(gè)數(shù)字，使這個(gè)四位數(shù)同時(shí)是2、3的倍數(shù)。方框里應(yīng)

填（）o

A.1B.2C.3D.4

3.隊(duì)列表演中，如果每8人一組或每10人一組，能剛好分完組，那么至少有（）名

同學(xué)參減表演。

A.18B.40C.80D.100

4.從（）、1、4、5這四個(gè)數(shù)字中選擇三個(gè)不同的數(shù)字，組成既是3的倍數(shù)，又是2的倍數(shù)的

三位數(shù)，有（）種不同的組法。

A.3B.4C.5D.6

5.秦始皇陵兵馬俑是世界八大奇跡之一。二號(hào)坑第一單元陣心由八路面東的190個(gè)蹲跪式弩

兵組成，壯壯用下面的方法數(shù)這些弩兵俑，不能正好數(shù)完的是（）。

A.2個(gè)2個(gè)地?cái)?shù)B.3個(gè)3個(gè)地?cái)?shù)C.5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)D.10個(gè)10個(gè)地?cái)?shù)

6.如果a是一個(gè)合數(shù)，b是一個(gè)質(zhì)數(shù)，那么下面（）的結(jié)果肯定是合數(shù)。

A.a+bB.a-bC.axbD.a：b

7.一個(gè)自然數(shù)的最小倍數(shù)是36,這個(gè)數(shù)的因數(shù)有（）個(gè)。

A.7B.8C.9D.10

8.小芳在做手工時(shí)，需要將兩根分別為24米和18米的彩帶剪成同樣長的小段，最少一共剪

成（）段。

A.4B.5C.6D.7

9.已知2個(gè)不同的一位數(shù)4，□和兩位數(shù)13,這3個(gè)數(shù)的除積是三位數(shù)二二那么等于

（）o

A.7B.8C.9D.10

二、填空題

10.在叵］臼目目?這些數(shù)字卡片中，質(zhì)數(shù)有（）個(gè)。從這些卡片中選擇

3張組成一個(gè)既是偶數(shù)又是3的倍數(shù)的三位數(shù)，這個(gè)三位數(shù)最小是（）0

11.一個(gè)九位數(shù)，最高位上是最小的一位數(shù)，千萬位上是2和3的最小公倍數(shù)，十萬位上是

最小的合數(shù)，其余各位上都是0,這個(gè)數(shù)寫作（），省略億后面的尾數(shù)約是

（）o

12.把一些梨平均分給小朋友，5個(gè)人來分和6個(gè)人來分都剛好剩1個(gè)，這些梨至少有

（）個(gè)。

13.把數(shù)字1,2,3,6,7分別寫在五張卡片上，從中任取2張卡片拼成兩位數(shù)，寫6的卡

片也可以當(dāng)9用。在這些兩位數(shù)中，質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是（）個(gè)。

14.a,b都是小于0的自然數(shù)，如果a=7b,那么a和b的最小公因數(shù)是（）,最小

公倍數(shù)是（）。

15.5月22日是“雜交水稻之父”袁隆平爺爺逝世紀(jì)念日。世界第一株雜交水稻南優(yōu)2號(hào)研制

成功的年份數(shù)是一個(gè)四位數(shù)，根據(jù)下列信息判斷，南優(yōu)2號(hào)是在（）年研制成功

的。

①千位上的數(shù)既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；

②百位上是一個(gè)合數(shù)，也是一個(gè)偶數(shù)；

③十位上的數(shù)比最小的質(zhì)數(shù)大5：

④個(gè)位上的數(shù)比最小的合數(shù)小lo

16.斐波那契數(shù)列為：（），1,1,2,3,5,8…這個(gè)數(shù)列中第12個(gè)數(shù)應(yīng)是（）。這個(gè)

數(shù)列中的第100個(gè)數(shù)是（）數(shù)。（奇或偶）

17.若a—b=1（a、b是非零自然數(shù)），那么a和b的最小公因數(shù)是（），最小公倍數(shù)

是（）o

18.四位數(shù)7口8口是2、3、5的公倍數(shù)，個(gè)位只能是（）,百位上最小是（）。

19.把數(shù)字1,2,3,6,7分別寫在五張卡片上，從中任取2張卡片拼成兩位數(shù)，寫6的卡

片也可以當(dāng)9用。在這些兩位數(shù)中，質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是（）個(gè)。

2（）,笑笑在猜數(shù)游戲中提出：一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)和它的最小因數(shù)的和是45,這個(gè)數(shù)是

（），它共有（）個(gè)因數(shù)。

21.育才小學(xué)六（1）班同學(xué)做廣播操，體育委員在前面領(lǐng)操，其他學(xué)生排成每行12人或每

行16人都正好是整行，這班至少有學(xué)生（）人。

22.李阿姨從果園里摘了一些蘋果，個(gè)數(shù)在90個(gè)以內(nèi)。如果每12個(gè)裝一盒，還剩2個(gè)；如

果每16個(gè)裝一盒，也剩2個(gè)。這些蘋果至少有（）個(gè)。

23.有一類四位數(shù)，除以5余2,除以7余5,除以11余10。這類四位數(shù)中最小的一個(gè)是

（）o

24.一個(gè)兩位數(shù)的偶數(shù)，十位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字的積是18,則這個(gè)兩位數(shù)是

（）o

25.愛心超市每月一次給社區(qū)清潔工人發(fā)放愛心小禮包，每次超市會(huì)準(zhǔn)備72個(gè)面包、180袋

小餅干，打包成若干份，要求每份里面的面包個(gè)數(shù)相同，小餅干袋數(shù)也相同。愛心超市每次

最多能發(fā)放給（）位社區(qū)清潔工人，每位社區(qū)清潔工人會(huì)收到（）個(gè)面

包、（）袋小餅干。

26.紅軍小學(xué)第14屆少代會(huì)參會(huì)人數(shù)在50?90人之間，其中男、女生人數(shù)的比是3:4,參減

本屆少代會(huì)代表人數(shù)共有（）人。

27.3〃40表示一個(gè)四位整數(shù)，那么3。40=3x1000+（）+4x10；如果3〃40是3的倍

數(shù)，那么。=（）。

28.有一種長方形紙片，長15厘米，寬12厘米，至少需要（）張這樣的紙片才能

拼成一個(gè)正方形c

29.幼兒園的老師把一堆蘋果分給幾個(gè)小朋友，每人6個(gè)還多5個(gè)，每人5個(gè)還多8個(gè)。一

共有（）個(gè)蘋果，有（）個(gè)小朋友。

三、解答題

30.“馨香”花店用18朵康乃馨和27朵勿忘我做花束，顧客要求每個(gè)花束里面的康乃馨朵數(shù)

相等，勿忘我的朵數(shù)也相等，最多能做多少束？每個(gè)花束里有多少朵花？

31.從古至今，數(shù)學(xué)上有一種許多人為之瘋狂的數(shù)，叫完美數(shù)，如6的因數(shù)有1、2、3、6,

這幾個(gè)因數(shù)有這樣的關(guān)系：1+2+3=6,像6這樣的數(shù)，稱作完美數(shù)。請你判斷28是不是完

美數(shù)，寫出你的想法。

32.探究與運(yùn)用。

（1）探究：請你舉出“兩個(gè)相鄰偶數(shù)相除的例子”，再觀察它們所得積末尾數(shù)字的特征。（例

子要包含積末尾數(shù)字不同的情況）

（2）發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)相鄰偶數(shù)相除，積末尾數(shù)字一定是（）和（）o

（3）運(yùn)用：下面三個(gè)數(shù)中，只有一個(gè)數(shù)是兩個(gè)相鄰偶數(shù)的積，它是（）o

A.337B.1661C.3363

（4）這兩個(gè)偶數(shù)分別是（）和（）。

33.我們學(xué)過很多解決問題的方法，比如：畫圖、列表嘗試、列式計(jì)算、列方程等。請你選

擇一種方法試一試，看看到底有多少位客人用餐。

求碗問題

今有婦人河上蕩杯，津吏問口：杯何以多？婦人口：家有宴。津吏口：客幾何？婦人口：

二人共飯，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客幾何？

——出自《孫子算經(jīng)》

上文大概意思是：有人看到一位婦女在河邊洗碗，就問她：“怎么這么多碗？‘'婦女回答：

“家里請人吃飯。'‘又問她：',有多少客人啊？“婦女回答：“吃飯的時(shí)候，兩個(gè)人共用一個(gè)飯

碗，三個(gè)人共用一個(gè)湯碗，四個(gè)人共用一個(gè)肉碗，一共用了六十五個(gè)碗，不知道有多少位

客人？”

34,設(shè)某個(gè)N位自然數(shù)的N個(gè)數(shù)字是｛1,2,3,N｝的一個(gè)排列，如果它的前K個(gè)數(shù)字

所組成的整數(shù)能被K整除，其中K=l,2,3,N,那么就稱這個(gè)N位數(shù)為一個(gè)“好數(shù)”,

例如三位數(shù)321就是一個(gè)“好數(shù)”,因?yàn)?|3,2|32,3|321（2|32表示2被32整除）。求六位

“好數(shù)”共有多少個(gè)？

第一章：數(shù)的認(rèn)識(shí)

專題03：因數(shù)與倍數(shù)

（5大考點(diǎn)典例講解+知識(shí)總結(jié)+變式練習(xí)+真題訓(xùn)練）

逾/考點(diǎn)導(dǎo)

【考點(diǎn)一】因數(shù)和倍數(shù)的認(rèn)識(shí)

【考點(diǎn)二】2、3、5的倍數(shù)特征

【考點(diǎn)三】偶數(shù)和偶數(shù)

【考點(diǎn)四】質(zhì)數(shù)與合數(shù)

【考點(diǎn)五】最小公因數(shù)和最小公倍數(shù)

知識(shí)點(diǎn)梳

知識(shí)點(diǎn)01：因數(shù)和倍數(shù)的認(rèn)識(shí)

1,因數(shù)和倍數(shù)的概念

在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)而沒有余數(shù)（或者說余數(shù)為0）,我們就說除數(shù)是被除數(shù)的因

數(shù)，被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)。

例如：12+2=6f2是12的因數(shù)，12是2的倍數(shù)。

2X6=12-2和6是12的因數(shù)，12是2和6的倍數(shù)。

【易錯(cuò)點(diǎn)撥】

（1）因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的，不能單獨(dú)存在，不能說誰是因數(shù)，也不能說誰是倍數(shù)，應(yīng)該

說誰是誰的因數(shù)或誰是誰的倍數(shù)。

（2）倍數(shù)和因數(shù)都是自然數(shù)（一般不包括0）,不能是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。

2.因數(shù)和倍數(shù)的特征

O因數(shù)的特征：一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1,最小的因數(shù)是它本

身。

（2）倍數(shù)的特征：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，最小的倍數(shù)是它本身，沒有最小的倍數(shù)。

3.找一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法

-1-

（1）列除法算式找：根據(jù)因數(shù)的意義，有序地寫出兩個(gè)整數(shù)相除得此數(shù)的所有除法算式，算

式中的兩個(gè)因數(shù)都是此數(shù)的因數(shù)。

（2）列除法算式找：用此數(shù)除以小于等于1而小于等于它本身的整數(shù)，所得的商是整數(shù)而無

余數(shù)，這些除數(shù)和商都是此數(shù)的因數(shù)。

4.找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法

（1）列除法算式找：用這個(gè)數(shù)依次與非0自然數(shù)相除，所得的積就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。

（2）列除法算式找：看哪些數(shù)除以這個(gè)數(shù)，商是整數(shù)而無余數(shù)，這些數(shù)就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)02：2、3、5的倍數(shù)特征因數(shù)和倍數(shù)的應(yīng)用

1.單個(gè)數(shù)字的倍數(shù)特征

（1）自然數(shù)中個(gè)位上是0,2,4,6,8的數(shù)都是2的倍數(shù)。

（2）個(gè)位上是0或5的數(shù)都是5的倍數(shù)。

（3）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。

2.組合數(shù)字的倍數(shù)特征

（1）同時(shí)是2和3的倍數(shù)的特征：個(gè)位上是0,2,4,6,8,且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3

的倍數(shù)；

（2）同時(shí)是3和5的倍數(shù)的恃征：個(gè)位上是0或5的數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍

數(shù)；

（3）同時(shí)是2和5的倍數(shù)的特征：個(gè)位上是0的數(shù)；

（4）同時(shí)是2、3、5的倍數(shù)的特征：個(gè)位上是0,且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)03：偶數(shù)和偶數(shù)

1.偶數(shù)和偶數(shù)的定義

自然數(shù)按是否是2的倍數(shù)，可以分為偶數(shù)和偶數(shù)兩大類。

C）偶數(shù)：是2的倍數(shù)的數(shù)叫偶數(shù)。

（2）偶數(shù)：不是2的倍數(shù)的數(shù)叫偶數(shù)0

【易錯(cuò)點(diǎn)撥】0是最小的偶數(shù)；1是最小的偶數(shù)。

2.奇偶性運(yùn)算規(guī)律

偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)；

偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)04：質(zhì)數(shù)與合數(shù)

1.質(zhì)數(shù)與合數(shù)的定義

-2-

（1）一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）。

（2）一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫做合數(shù)。

【易錯(cuò)點(diǎn)撥】最小的質(zhì)數(shù)是2；最小的合數(shù)是4；1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。

2.100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表（共25個(gè)）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、

47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

3.分解質(zhì)因數(shù)

（1）質(zhì)因數(shù)：每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相除的形式。其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因

數(shù)，叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

（2）分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相除的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。

（3）常用方法：短除法。

知識(shí)點(diǎn)05：最小公因數(shù)和最小公倍數(shù)

1.最小公因數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫作這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)。其中最小的那個(gè)叫作這幾個(gè)數(shù)

的最小公因數(shù)。

2.最小公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫作這幾個(gè)數(shù)的公皚數(shù)。其中最小的那個(gè)叫作這幾個(gè)數(shù)

的最小公倍數(shù)。

3.求最小公因數(shù)和最小公倍數(shù)的核心方法：短除法

（1）用幾個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)依次去除，直到商只有公因數(shù)1（互質(zhì)）為止；

（2）若求最小公因數(shù)，把所有的除數(shù)連除；

（3）若求最小公倍數(shù)，把所有的除數(shù)和最后的商連除。

胞/重難點(diǎn)題型講解

考點(diǎn)1：因數(shù)和倍數(shù)的認(rèn)識(shí)

【典型例題1】古希臘數(shù)學(xué)家認(rèn)為：如果一個(gè)數(shù)恰好等于它的所有因數(shù)（本身除外）相減的

和，那么這個(gè)數(shù)就是“完全數(shù)”。例如：6有四個(gè)因數(shù)1、2、3、6,除本身6以外，還有1、

2、3三個(gè)因數(shù)，6=1+2+3,恰好是所有因數(shù)之和，所以6就是“完全數(shù):下面數(shù)中是“完

全數(shù)”的是（）o

A.16B.20C.28D.36

【答案】A

-3-

【分析】根據(jù)“完全數(shù)''的概念，先找出選項(xiàng)中數(shù)的所有因數(shù)，再將除了本身之外的因數(shù)相

減，和本身比較即可。

【詳解】A.16所有的因數(shù)為1、2、4、8、16,除本身16以外，還有1、2、4、8四個(gè)因

數(shù)，1+2+4+8=15,所以16不是完全數(shù)。

B.20所有的因數(shù)為1、2、4、5、10、20,除本身20以外，還有1、2、4、5、10五個(gè)因

數(shù)，1+2+4+5+10=22,所以20不是完全數(shù)。

C.28所有的因數(shù)為1、2、4、7、14、28,除本身28以外，還有1、2、4、7、14五個(gè)因

數(shù)，1+2+4+7+14=28,所以28是完全數(shù)。

D.36所有的因數(shù)為1、2、3、4、6、9、12、18、36,除本身36以外，還有1、2、3、4、

6、9、12、18八個(gè)因數(shù)，1+2+3+4+6+9+12+18=35,所以36不是完全數(shù)。

故答案為：C

【典型例題2】一個(gè)自然數(shù)與自身相除的結(jié)果稱為“平方數(shù)”，甲、乙、丙三個(gè)人去買彩票，

結(jié)果一人中獎(jiǎng)，且中獎(jiǎng)號(hào)碼的末三位是完全平方數(shù)，甲彩票的末三位數(shù)是3口7,乙彩票的末

三位數(shù)是4口1,丙末三位數(shù)是口35,則中獎(jiǎng)的末三位數(shù)是（）<>

【答案】441

【分析】根據(jù)“完仝平方數(shù)”的特征：完仝平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9；可排除

甲彩票；

由“完全平方數(shù)”末位數(shù)的特征，初步判定乙彩票可能是“平方數(shù)”，結(jié)合乙彩票百位上的數(shù)字

是4,列舉出此區(qū)間平方數(shù)百位上是4的結(jié)果，再對比，即可判斷；

根據(jù)“完全平方數(shù)”的特征：末位是5,則末兩位數(shù)字一定是25,可排除丙彩票。

【詳解】完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9；

甲彩票的木三位數(shù)是3口7,木位是7,不不符合“完全平方數(shù)”的特征，所以3口7不是中獎(jiǎng)的木

三位數(shù)；

乙彩票的末三位數(shù)4口1,末位是1,可能是“完全平方數(shù)”；4口1的百位是4,列舉出202到222

的結(jié)果，202=400、212=441、222=484,441不符合4口1模式，所以441是中獎(jiǎng)的末三位

數(shù)；

丙彩票的末三位數(shù)是口35,末位是5,則末兩位數(shù)字一定是25（如152=225、252=625）,而

-4-

□35的末兩位是35,不不符合“完全平方數(shù)”的特征，所以口35不是中獎(jiǎng)的末三位數(shù)；

綜上所述，中獎(jiǎng)的末三位數(shù)是441。

【變式訓(xùn)練1】我國古典名著《水滸傳》中，梁山好漢一共有108位。下而出現(xiàn)的數(shù)中不是

108的因數(shù)的是（）。

A.女性3位B.男性105位C.天罡星36位

【答案】B

【分析】在除法算式a：b=c（a、b、c均為非。的自然數(shù)）中，b、c就是a的因數(shù)，a就是

b、c的倍數(shù)，據(jù)此分析。

【詳解】A.108+3=36,3是108的因數(shù);

B.105不是108的因數(shù)：

C.108+36=3,36是108的因數(shù)。

出現(xiàn)的數(shù)中不是108的因數(shù)的是男性105位。

故答案為：B

【變式訓(xùn)練2】圖書館許老師要為每位同學(xué)制作一張借書證，借書證的規(guī)格如圖所示。下面

各種規(guī)格的紙中，選用（）最合適。（在制作借書證時(shí)，紙張沒有剩余）

8厘米

I卜厘米

A.長40厘米，寬35厘米B.長36厘米，寬24厘米

C.長30厘米，寬18厘米D.長20厘米，寬12厘米

【答案】B

【分析】由題意，要想剪時(shí)沒有剩余，則紙的長、寬必須是8、6的倍數(shù)，據(jù)此逐項(xiàng)分析即可

得解。

【詳解】A.長40厘米，寬35厘米，35不是6的倍數(shù)，不合適；

B.長36厘米，寬24厘米，36是6的倍數(shù)，24是8的倍數(shù)，合適；

C.長30厘米，寬18厘米，30不是8的倍數(shù)、36是6的倍數(shù)，不合適：

-5-

D.長20厘米，寬12厘米，20不是8的倍數(shù)，不合適。

故答案為：B

考點(diǎn)2：2、3、5的倍數(shù)特征

【典型例題1】截止2024年12月，某縣城投放的共享跑車已達(dá)3口6口輛，這個(gè)四位數(shù)既是2

的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，還有因數(shù)3。這個(gè)縣城投放的共享單車最多有（）輛。

【答案】4790

【分析】根據(jù)2的倍數(shù)的特征，一個(gè)數(shù)的個(gè)位如果是偶數(shù)，這個(gè)數(shù)就是2的倍數(shù)；根據(jù)5的

倍數(shù)的特征，一個(gè)數(shù)的個(gè)位是0或5,這個(gè)數(shù)就是5的倍數(shù)；根據(jù)3的倍數(shù)的特征，各個(gè)數(shù)

位的數(shù)字之和是3的倍數(shù)。據(jù)此分析解答。

【詳解】這個(gè)數(shù)是2和5的倍數(shù)，說明個(gè)位上的數(shù)是0

3+6+0=9

根據(jù)3的倍數(shù)的特點(diǎn)9+9=18,百位上最小是9,各個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和是3的倍數(shù)。

所以，截止2024年12月，某縣城投放的共享單車已達(dá)3口6口輛，這個(gè)四位數(shù)既是2的倍數(shù)，

又是5的倍數(shù)，還有因數(shù)3。這個(gè)縣城投放的共享單車最多有4790輛。

【典型例題2】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們常常對一些非常規(guī)問題束手無策。如果我們換一個(gè)角度，

以退為進(jìn)，從簡單情況找規(guī)律，也許就柳喑花明了。

有24個(gè)同學(xué)站成一排做游戲，頭上分別戴上編號(hào)1,2,3,…，24的帽子，他們從左往右按

1,2,1,2,1,2,…，依次報(bào)數(shù)，凡報(bào)到1的同學(xué)退出游戲，剩下的同學(xué)又從左往右繼續(xù)

按1,2,1,2,1,2,…，依次報(bào)數(shù)，如此進(jìn)行下去。

（1）當(dāng)還剩下最后一人時(shí)，這個(gè)同學(xué)的帽子編號(hào)是幾號(hào)？

（2）如果有200個(gè)同學(xué)做這樣的游戲，當(dāng)剩下最后一人時(shí)，這個(gè)同學(xué)的帽子編號(hào)是幾號(hào)？請

-6-

找出其規(guī)律，并表示出來。

【答案】（1）16號(hào)

（2）128號(hào)；規(guī)律見詳解

【分析】（1）24個(gè)同學(xué)第一輪報(bào)數(shù)：報(bào)1的同學(xué)退出，剩下的是編號(hào)為2,4,6,24

（即2的倍數(shù)）的同學(xué)。

第二輪報(bào)數(shù)：剩下的同學(xué)從左往右按1,2報(bào)數(shù)，報(bào)1的退出，剩下的是編號(hào)為4,8,

12,…，24（即4的倍數(shù)）的同學(xué)。

第三輪報(bào)數(shù)：剩下的同學(xué)繼續(xù)報(bào)數(shù)，報(bào)1的退出，剩下的是編號(hào)為8,16,24（即8的倍

數(shù)）的同學(xué)一

第四輪報(bào)數(shù)：剩下的同學(xué)報(bào)數(shù)，報(bào)1的退出，最后剩下的是編號(hào)為16的同學(xué)。

（2）200個(gè)同學(xué)的情況:先找2的倍數(shù)，小于等于200的2的倍數(shù)有2,4,6,20（）。再

從這些數(shù)中找4的倍數(shù)，有4,8,12,200o接著找8的倍數(shù)，有8,16,32.

192。然后找16的倍數(shù)，有F6,32,48,…，192。繼續(xù)找32的倍數(shù)，有32,64,96,

128,190,192o再找64的倍數(shù)，有64,128,192。最后找128的倍數(shù)，小于等于200的

128的倍數(shù)只有128。所以，當(dāng)有200個(gè)同學(xué)時(shí)，最后剩下的同學(xué)的帽子編號(hào)是128號(hào)。

【詳解】（1）第一輪：剩下的是編號(hào)為2,4,6,24（即2的倍數(shù)）的同學(xué)。

第二輪：剩下的是編號(hào)為4,8,12,…，24（即4的倍數(shù)）的同學(xué)。

第三輪：剩下的是編號(hào)為8,16,24（即8的倍數(shù)）的同學(xué)。

第四輪：剩下的是編號(hào)為16的同學(xué)。

答：當(dāng)還剩下最后一人時(shí)，這個(gè)同學(xué)的帽子編號(hào)是16號(hào)。

（2）小丁等丁200的2的倍數(shù)有2,4,6,...?200；

剩下的4的倍數(shù)，有4,8,12,200；

剩下的8的倍數(shù)，有8,16,32,…，192；

剩下的16的倍數(shù)，有16,32,48,192；

剩下的32的倍數(shù)，有32,64,96,128,190,192；

剩下的64的倍數(shù)，有64,128,192；

-7-

小于等于200的128的倍數(shù)只有128o

答：最后剩下同學(xué)的帽子編號(hào)是128號(hào)，規(guī)律是每次報(bào)數(shù)后剩下同學(xué)的編號(hào)依次是2的倍

數(shù)、4的倍數(shù)、8的倍數(shù)…，即最后剩卜一同學(xué)的帽子編號(hào)是2n（n為剩下一人所需淘汰的次

數(shù)）。

【變式訓(xùn)練1]一個(gè)四位數(shù)145口，口最小填（）就是3的倍數(shù)；口最小填（）

時(shí)，它既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)；當(dāng)口填（）時(shí)，它既是3的倍數(shù)，又是5的倍

數(shù)。

【答案】825

【分析】根據(jù)3的倍數(shù)特征：各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)字就是3的倍數(shù)，

當(dāng)個(gè)位上是8時(shí)，1+4+K+H=1H,18^3=6；

2、3的倍數(shù)特征：要想使這人數(shù)既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)，個(gè)位上是0、2、4、6或8且

各數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，當(dāng)個(gè)位上是2時(shí)，1+4+5+2=12,12+3=4；

3、5的倍數(shù)特征：要想使這人數(shù)既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)，個(gè)位上必須是0、或5且各數(shù)

位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，當(dāng)個(gè)位上是5H寸，1+4+5+5=15,15+3=5；當(dāng)個(gè)位上

是0時(shí)，1+4+5+0=10,10+3=3……1,所以1450不是3的倍數(shù)；據(jù)此解答。

【洋解】一個(gè)四位數(shù)145口，口最小填8就是3的倍數(shù)；口最小填2時(shí)，它既是2的倍數(shù)，

乂是3的倍數(shù)；當(dāng)口填5時(shí)，它既是3的倍數(shù)，乂是5的倍數(shù)。

【變式訓(xùn)練2】某小學(xué)開展勞動(dòng)技能比賽，五年級(jí)四個(gè)班學(xué)生包餃子的數(shù)量情況如下（部分

數(shù)字被蓋住），這四個(gè)班包餃子的總數(shù)一定是（）。

王（1）班五（2）班五（3）班五（4）班

1**06703*7

A.2的倍數(shù)B.3的倍數(shù)C.5的倍數(shù)D.9的倍數(shù)

【答案】B

【分析】2的倍數(shù)特征：個(gè)位上的數(shù)字是0、2、4、6、8的數(shù)是2的倍數(shù)。

3的倍數(shù)的特征：一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。

-8-

5的倍數(shù)特征：個(gè)位上的數(shù)字是（）或5的數(shù)是5的倍數(shù)。

9的倍數(shù)特征：一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字的和是9的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是9的倍數(shù)，據(jù)此進(jìn)行

分析。

【詳解】8+6+3+7=24

每個(gè)班包餃子的數(shù)量和的末尾數(shù)字是4,所以這四個(gè)班包餃子的總數(shù)一定是2的倍數(shù)，不是5

的倍數(shù)，再由于

*遮住了三個(gè)數(shù)字，所以不能確定是不是3和9的倍數(shù)。

故答案為：A

考點(diǎn)3：偶數(shù)和偶數(shù)

【典型例題1】“三月三”節(jié)日期間，會(huì)展中心的無人機(jī)表演吸引了大批游客。一場表演中無人

機(jī)入場時(shí)的隊(duì)列如圖o88g::::::g。表演時(shí)進(jìn)行隊(duì)列變換，下面（）圖可能是無人機(jī)的

表演隊(duì)列。

【答案】C

【分析】入場隊(duì)列的無人機(jī)數(shù)量是偶數(shù)，那么變換后的隊(duì)列無人機(jī)數(shù)量也得是偶數(shù)；如果是

偶數(shù)，變換后也得是偶數(shù)（因?yàn)榭倲?shù)不變，奇偶性不變）。所以先判斷入場隊(duì)列無人機(jī)數(shù)量的

奇偶性，再看選項(xiàng)中圖形數(shù)量的奇偶性是否一致。

【詳解】一場表演中無人機(jī)入場時(shí)的隊(duì)列如圖翎8：：：：：：&此圖可用字母式2n+1表示，

即無人機(jī)的數(shù)量是偶數(shù)，隊(duì)列變換后，無人機(jī)的數(shù)量應(yīng)該還是偶數(shù)。

A.4x4=16（架），16是偶數(shù)，不可能是無人機(jī)的表演隊(duì)列；

B.數(shù)一數(shù)可知，共有10架無人機(jī)，10是偶數(shù)，不可能是無人機(jī)的表演隊(duì)列；

C.數(shù)一數(shù)可知，共有12架無人機(jī)，12是偶數(shù)，不可能是無人機(jī)的表演隊(duì)列；

D.4x4=16（架），16+3=19（架），19是偶數(shù)，可能是無人機(jī)的表演隊(duì)列。

故答案為：D

-9-

【典型例題2】張壁古堡位于介休市龍鳳鎮(zhèn)張壁村，是中國現(xiàn)有較為完好的一座融軍事、居

住、生產(chǎn)、星象、宗教活動(dòng)為一體罕見的古代袖珍“城堡”，常有五湖四海的游客慕名而來。

一天，來了45名研學(xué)的小游客，講解員將他們排成兩路縱隊(duì)，如果第一路縱隊(duì)的人數(shù)為偶

數(shù)，那么第二路縱隊(duì)的人數(shù)是偶數(shù)還是偶數(shù)？為什么？

【答案】偶數(shù)；理由見詳解

【分析［整數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)。

偶數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)c

【詳解】第一路縱隊(duì)的人數(shù)+第二路縱隊(duì)的人數(shù)=45人

第一路縱隊(duì)的人數(shù)是偶數(shù)，45是偶數(shù)；

根據(jù)“偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)"，可知第二路縱隊(duì)的人數(shù)是偶數(shù)。

答：第二路縱隊(duì)的人數(shù)是偶數(shù)。理由：因?yàn)榭側(cè)藬?shù)45是偶數(shù)，第一路縱隊(duì)的人數(shù)也是偶數(shù),

偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)(或偶數(shù)一偶數(shù)=偶數(shù))，所以第二路縱隊(duì)的人數(shù)是偶數(shù)。

【變式訓(xùn)練1】在三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)中，最小的偶數(shù)是n,它們的和是()；如果這三

個(gè)偶數(shù)的和是105,那么最小的偶數(shù)是()o

【答案】(3n+6)/(6+3n)37

【分析】連續(xù)的偶數(shù)之間相差2,最小偶數(shù)是n,則中間偶數(shù)是(n+2),最小偶數(shù)是(n+

4),相減即可；三個(gè)偶數(shù)的和+3=中問偶數(shù)，中間偶數(shù)+2=最小的偶數(shù)。

【詳解】n+(n+2)+(n+4)=n+n+2+n+4=(3n+6)

105+3+2

=35+2

=37

在三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)中，最小的偶數(shù)是n,它們的和是(3n+6)；如果這三個(gè)偶數(shù)的和是105,

-10-

那么最小的偶數(shù)是37。

【變式訓(xùn)練2】小貓今天釣上來1001條魚，并將其從1-1001標(biāo)上號(hào)后以標(biāo)號(hào)的大小從小到

大進(jìn)行排列，每天按照以下規(guī)律吃魚：第一天，吃從左往右數(shù)第一條魚；第二天，吃從左往

右數(shù)第二條魚。即第〃天都吃當(dāng)天從左往右數(shù)第〃條魚。吃到最后，在剩下的魚里面，偶數(shù)標(biāo)

號(hào)的魚占整體的比例為（）%o

【答案】100

【分析】從1—1001標(biāo)上號(hào)后以標(biāo)號(hào)的大小從小到大進(jìn)行排列，第一天，吃從左往右數(shù)第一

條魚，吃了標(biāo)號(hào)1,剩下標(biāo)號(hào)2、3、4、5、6、7、8...,第二天，吃從左往右數(shù)第二條魚，吃

了標(biāo)號(hào)3,剩下標(biāo)號(hào)2、4、5、6、7、8…，第三天，吃從左往右數(shù)第三條魚，吃了標(biāo)號(hào)5,

剩下標(biāo)號(hào)2、4、6、7、8…，第四天，吃從左往右數(shù)第四條魚，吃了標(biāo)號(hào)7,剩下標(biāo)號(hào)2、

4、6、8…，由此可以發(fā)現(xiàn)，吃的魚都是標(biāo)號(hào)為偶數(shù)的魚，則吃到最后，剩下的魚都是偶數(shù)標(biāo)

號(hào)，據(jù)此解答。

是2的倍數(shù)的數(shù)叫偶數(shù)；不是2的倍數(shù)的數(shù)叫偶數(shù)。

【詳解】由分析可得：吃到最后，剩下的魚都是偶數(shù)標(biāo)號(hào)，則偶數(shù)標(biāo)號(hào)的魚占整體的比例為

100%o

考點(diǎn)4：質(zhì)數(shù)與合數(shù)

【典型例題1】著名的哥德巴赫猜想：”任意一個(gè)小于2的偶數(shù)，一定能寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)相減的

和”，該猜想成為數(shù)學(xué)中一個(gè)著名的難題，被稱為“數(shù)學(xué)皇冠上的明珠下面不不符合哥德巴

赫猜想的是（）O

A.20=13+7B.100=29+71C.44=33+11D.90=31+29

【答案】A

【分析】先明確哥德巴赫猜想的條件：小于2的偶數(shù)可表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和，再依次判斷每

個(gè)選項(xiàng)中的和是否為小于2的偶數(shù)，以及兩個(gè)減數(shù)是否為質(zhì)數(shù)。質(zhì)數(shù)是指在小于1的自然數(shù)

中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的自然數(shù)。

【詳解】A.20是小于2的偶數(shù)；13的因數(shù)只有1和13,是質(zhì)數(shù)；7的因數(shù)只有1和7,是

-11-

質(zhì)數(shù)，所以選項(xiàng)A不符合哥德巴赫猜想；

B.100是小于2的偶數(shù)；29的因數(shù)只有1和29,是質(zhì)數(shù)；71的因數(shù)只有1和71,是質(zhì)數(shù)，

所以選項(xiàng)B不符合哥德巴赫猜想；

C.44是小于2的偶數(shù)；11的因數(shù)只有1和11,是質(zhì)數(shù)：33的因數(shù)有1、3、11、33,不是

質(zhì)數(shù)，所以選項(xiàng)C不不符合哥德巴赫猜想；

D.90是小于2的偶數(shù)；31的因數(shù)只有1和31,是質(zhì)數(shù)；29的因數(shù)只有1和29,是質(zhì)數(shù)，

所以選項(xiàng)D不符合哥德巴赫猜想。

故答案為：C

【典型例題2】杭州亞運(yùn)會(huì)開幕式的日期很特別：表示月份的數(shù)是一位數(shù)中最小的合數(shù)；表

示日子的數(shù)是一個(gè)兩位數(shù)，十位上是最小的質(zhì)數(shù)，個(gè)位上是3的最小倍數(shù)。開幕式的日期是

()c

A.8月23日B.8月25日C.9月13日D.9月23日

【答案】C

【分析】因數(shù)只有1和它本身兩個(gè)的數(shù)是質(zhì)數(shù)；因數(shù)除了1和它本身還有其他因數(shù)是合數(shù)。

一位數(shù)的合數(shù)：4、6、8、9,則最小的是9；最小的質(zhì)數(shù)是2；3的倍數(shù)有3、6、9……,最

小的就是3,據(jù)此解答即可。

【詳解】月份：一位數(shù)中最小的合數(shù)：9

日子：十位上的最小的質(zhì)數(shù)：2

個(gè)位上是3的最小倍數(shù)：3

開幕式的日期：9月23日

故答案為：D

【變式訓(xùn)練1］三個(gè)連續(xù)的非零自然數(shù)的積一定()。

A.既是偶數(shù)又是合數(shù)。B.既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)。

C.既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)。D.既是偶數(shù)又是合數(shù)。

【答案】C

-12-

【分析】除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)，這樣的數(shù)叫質(zhì)數(shù)；除了1和它本身以外還有

其他因數(shù)，這樣的數(shù)叫合數(shù)。

自然數(shù)成奇偶排列，三個(gè)連續(xù)的非冬自然數(shù)，要么是偶數(shù)、偶數(shù)、偶數(shù)，要么是偶數(shù)、偶

數(shù)、偶數(shù)，偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)，據(jù)此進(jìn)行分析。

【詳解】偶數(shù)X偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)

偶數(shù)X偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)

偶數(shù)中除了能被1和本身整除外，還能被其他的數(shù)整除，這個(gè)偶數(shù)是合數(shù)。因此三個(gè)連續(xù)的

非零自然數(shù)的積一定既是偶數(shù)又是合數(shù)。

故答案為：D

【變式訓(xùn)練2】數(shù)學(xué)上把相差2的兩個(gè)質(zhì)數(shù)叫作“攣生質(zhì)數(shù)”，如5和7都是質(zhì)數(shù)，且5和7

相差2,那么5和7就是一對，享生質(zhì)數(shù)”.下列是一對“季生質(zhì)數(shù)”的是（

A.11和13B.13和15C.9和11D.2和3

【答案】B

【分析】一個(gè)數(shù)，如果只有F和它本身兩個(gè)因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)；一個(gè)數(shù)，如果除

了1和它本身還有別的因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫作合數(shù)。先判斷選項(xiàng)中的兩個(gè)數(shù)是否為質(zhì)數(shù)，

再確定它們的差是否為2,據(jù)此解答。

【詳解】A.11和13都是質(zhì)數(shù)，13—11=2,則11和13相差2,所以11和13是一對“攣生

質(zhì)數(shù)

B.13是質(zhì)數(shù)，15是合數(shù)，所以13和15不是一對“攣生質(zhì)數(shù)”；

C.9是合數(shù)，11是質(zhì)數(shù)，所以9和11不是一對“攣生質(zhì)數(shù)”；

D.2和3都是質(zhì)數(shù)，3-2=1,則2和3相差1,所以2和3不是一對“攣生質(zhì)數(shù)二

故笞案為：A

考點(diǎn)5：最小公因數(shù)和最小公倍數(shù)

【典型例題1】小強(qiáng)把一塊長為56厘米，寬42厘米的長方形紙裁成同樣大小的正方形紙

塊，而沒有剩余，問：能裁成最小的正方形紙塊的邊長是多少？共可以裁成幾塊？

-13-

【答案】14厘米；12塊

【分析】把一張長方形紙截成同樣大小的正方形紙塊，且沒有剩余，說明正方形的邊長是

長、寬的公因數(shù)，求正方形最小的邊長，就是求長、寬的最小公因數(shù)；用分解質(zhì)因數(shù)的方法

求出長、寬的最小公因數(shù)，再分別求出長、寬各可以截幾個(gè)，最后相除就是至少截出正方形

的塊數(shù)。

【詳解】56=2x2x2x7

42=2x3x7

56和42的最小公因數(shù)是：2x7=14

即正方形的邊長最小是14厘米.

(56X4)x(42X4)

=4x3

=12(塊)

答：能裁成最小的正方形紙塊的邊長是14厘米，共可以裁成12塊。

【典型例題2】三個(gè)同學(xué)商議暑期去圖書館借書。小明說：“我每4天就去一次"，小華

說：“我每6天去一次”，小紅說：“我每8天才能去一次。”如果三人7月5E上午9點(diǎn)

同時(shí)去圖書館借書，那么下一次他們?nèi)藭?huì)在幾月幾日上午9點(diǎn)同時(shí)在圖書館相遇？

【答案】7月29口

【分析】由題意可知：小明每4天就去一次圖書館，小華每6天去一次圖書館，小紅每8天

去一次圖書館，要求下一次他們?nèi)藭?huì)在幾月幾日上午9點(diǎn)同時(shí)在圖書館相遇，只需求出

4、6、8的最小公倍數(shù)，即為經(jīng)過的天數(shù)；用7月5日減上經(jīng)過的天數(shù)即為下次相遇的地

址。

-14-

【詳解】4=2X2

6=2X3

8=2X2X2

4、6、8的最小