2026年高考數學一輪復習對數與對數函數（專練+相遇試題）原卷版+解析

第06講對數與對數函數

A夯實基礎B相遇高考C素養提升

A夯實基礎

一、單選題

1.（2025?山西臨汾?三模）已知2*=3,嚏55'=2,則（）

A.3B.1C.-1D.-3

2.（2025?山東臨沂?二模）已知實數滿足唾2（唾31）=唾3（唯2力=1，則工+2=

（）

A.11B.12C.16D.17

21

3.（24-25高三下?河北滄州?階段練習）假定風力等級與風速的關系滿足方程：lg〃=]lgv+茄

（其中丫為風速，單位：m/s,〃為風力等級），2025年4月12日，河北省氣象部門發布大

風預瞥，某地區風速達到10m/s,則該地區此次大風的風力等級約為（注：10。〃2ss5）

（）

A.2級B.3級C.4級D.5級

4.（2024?四川攀枝花?一噗）深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現方法，它是以神

經網絡為出發點的，在神經網絡優化中指數衰減的學習率模型為￡=其中心表示每

一輪優化時使用的學習率，4表示初始學習率，。表示衰減系數，G表示訓練迭代輪數，伍

表示衰減速度.已知某個指數衰減的學習率模型的初始學習率為0.8,衰減速度為12,且當

訓練選代輪數為12時，學習率衰減為0.5.則學習率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓

練選代輪數至少為（參考數據：愴2。0.301）（）

A.34B.35C.36D.37

5.（2025?天津紅橋?二模）若3。=5'=15,則-+7=（）

ab

A.1B.log35

C.Iog53D.2

6.（2025,天津,,一模）已知a=log.：=bg?3,c=（0J，則（）

A.b>c>aB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c

]+r

7.（24-25高三下?天津南開?階段練習）關于函數〃x）=ln丁一,下列說法正確的是（）

1-X

A../（X）在上單調遞增，旦曲線），=〃x）存在對稱軸

B.7(x)在上單調遞增,且曲線y=/(x)存在對稱中心

c./(x)在(-1/)上單調遞減，且曲線y=/(x)存在對稱軸

D./5)在(T1)上單調遞減，且曲線y=/(x)存在對稱中心

二、多選題

8.(25-26高一上?全國?課后作業)已知實數a,6滿足lg(3a)+lgb=lg(2a+b),則》+26的

可能取值是()

A.9B.3C.2D.6

9.(24-25高一下?湖南?期中)已知/(x)=ln(x+l),g(x)=ln(lr),令

F(x)=/(x)-g(x),則下列結論正確的是()

A.一(力的定義域是(-1J)

B./(x)>g(x)的解集為(01)

C./(%)是奇函數

D./(x)在區間(7,0)上單調遞增，在區間(0J)上單調遞減

三、填空題

10.(2025?安徽?三模)已知Mog25=l,則5、+25-'=.

11.(2025?湖南長沙一模)已知y二后魯三十號為奇函數，則實數。的值是.

四、解答題

12.(24-25高一下?山西大同?階段練習)化簡下列各式：

(I)4lg2+3lg5-lg1；

⑵MJ'圖'("-廠

13.(22-23高一上?陜西商洛?期末)(1)求”一6峪3+{(6-2>.logSlogsd的值;

(2)若Ig3=a,lg5=b,用人表示log/.

14.(24-25高一下?江西?期中)己知函數/(x)=log2(a2+2r+/)(aeR)是偶函數.

⑴求/(。)的值；

(2)若關于x的不等式/("之：+〃?在[1,2]上有解，求實數機的取值范圍.

B相遇高考

1.(2024?新課標I卷?高考真題)已知函數/(%)=卜：::如二:"r)在R上單調遞增，則

ex+ln(x+l),x>0

。的取值范圍是()

A.(-8,0]B.[-1,0]C.[-U]D.[0,+<?)

115

2.(2024,全國甲卷?高考真題)已知。*且1--------：―T=-T,則〃=

log*log/2

3.(2023?北京?高考真題)已知函數/(x)=4'+log,x,則/|^|=.

C素養提升

1.（天津市河西區2024-2025學年高三下學期總復習質量調查（三）數學試題）設

a=-,b=204,c=ln『則。也。的大小關系為（）

⑴2

A.b<c<aB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

2.（24-25高一下?云南昆明?期中）Deepseek（深度求索）是人工智能的一種具有代表性的

實現方法，它是以神經網絡為出發點.在神經網絡優化中，指數衰減的學習率模型為

L=橫，其中心表示每一輪優化時使用的學習率，4表示初始學習率，。表示衰減系數,

G表示訓練迭代輪數，a表示衰減速度.已知某個指數衰減的學習率模型的初始學習率為

0.6,衰減速度為20,且當訓練迭代輪數為10時，學習率衰減為0.3,則學習率衰減到0.2

以下（不含0.2）所需的訓練迭代輪數至少為（）

（參考數據：他2。0.3,1g3^0.477）

A.14B.15C.16D.17

1/y_l_1\

3.（24-25高一上?安徽合肥?階段練習）已知函數/（x）=、+log2--

3kX-I；

⑴求/（》）的定義域；

⑵當XC（L+8）,

①求證：〃X）在區間（1,+動上是減函數；

②求使關系式/（，〃-2）>/（2機-1）成立的實數機的取值范圍.

/、t\—,x<0

4.（24-25高一下?湖北?期中）已知函數/（x）=log2（2'+l）,g（x）=R9；

log2（4'+l）,x>0

⑴若/。）=加，/（2）=〃，求k）g212和Iog3l5（結果用加，〃表示）.

（2）求不等式g卜）<3的解集.

（3）若立40,2],都有g（”-/（x）T>0成立，求實數，的取值范圍.

5.（24-25而一下?陜西西安?期中）已知函數/。）=1唱（/-。二+1）.

⑴當。=1時，求/（x）的最小值；

（2）若/（力為偶函數,求。的值；

⑶設g（"=4X-2,若對于任意再存在電。卜可,使得不等式/>）*&）成立,

求。的取值范圍.

第06講對數與對數函數

A夯實基礎B相遇高考C素養提升

A夯實基礎

一、單選題

1.（2U25?山西臨汾?三模）已知2—=3,logs5=2,則（）

A.3B.1C.-1D.-3

【答案】B

【知識點】指數幕的運算、對數的運算

【分析】根據指數，對數的運算性質即可求解.

【詳解】由2*=3,1。&5"=2可得2啕a=4=3,1%5'=方=2,

則a-6=1,

故選：B

2.（2025?山東臨沂?二模）已知實數x，y滿足唾2（四31）二唾3（噬2歹）=1，則x+J'=

（）

A.11B.12C.16D.17

【答案】D

【知識點】指數式與對數式的力化

【分析】由指對互化公式即可求解.

【詳解】因為Iog2（log3x）=log3（log2y）=l，所以x+y=3?'+2'=9+8=17.

故選：D.

21

3.（24-25高三下?河北滄州?階段練習）假定風力等級與風速的關系滿足方程：lg//=^lgP+—

（其中V為風速，單位：m/s,〃為風力等級），2025年4月12日，河北省氣象部門發布大

風預瞥，某地區風速達到10m/s,則該地區此次大風的風力等級約為（注：10。72。5）

（）

A.2級B.3級C.4級D.5級

【答案】D

【知識點】指數式與對數式的互化、對數的運算

【分析】代入》=10,根據指對互化即可求解.

【詳解】將"10代入公式lg〃=￡lgv+L得lg〃=3glO+L=2

32032060

所以〃=10聯片10。.72°5，即該地區此次大風的風力等級約為5級，

故選:D.

4.（2024?四川攀枝花?一噗）深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現方法，它是以神

經網絡為出發點的，在神經網絡優化中指數衰減的學習率模型為L其中心表示每

一輪優化時使用的學習率，4表示初始學習率，。表示衰減系數，G表示訓練迭代輪數，G。

表示衰減速度.已知某個指數衰減的學習率模型的初始學習率為0.8,衰減速度為12,且當

訓練選代輪數為12時，學習率衰減為0.5.則學習率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓

練選代輪數至少為（參考數據：愴2ao.301）（）

A.34B.35C.36D.37

【答案】C

【知識點】對數的運算性質的應用、指數函數模型的應用（2〉、指數式與對數式的互化、

運用換底公式化簡計算

G

【分析】根據已知條件列方程，可得。=￡,再由0.8x（?］立<0.2,結合指對數關系和對數

函數的性質求解即司;

GG

【詳解】由于￡=4旅，所以L=0.8x加，

依題意0.5=0.8x滯,則〃=5，

O

GG

由L=0.8x[J<0.2，即《丫<；,

所以G>“廿詈翳晚苦舒的,

所以所需的訓練迭代輪數至少為36次.

故選：C.

5.（2。25?天津紅橋?二模）若3“=5~5,則%"（）

A.1B.log35

C.logs3D.2

【答案】A

【知識點】指數式與對數式的互化、對數的運算性質的應用

【分析】根據指數對數轉化，再應用對數運算律計算求解.

【詳解】因為3a=5=15,

所以a=log315,b=log515,

則l+l=log153+logI55=log1515=l.

故選：A.

6.(2025?天津?一模)己知Q=log；，@=k)g?3,c=CJ，貝I(

)

A.b>c>aB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c

【答案】A

【知識點】比較指數嘉的大小、比較對數式的大小

【分析】化簡式子，然后借用中間值0和1來進行比較即可.

【詳解】a=log3=log33=——?

32

b=log有3==210g53=log59＞log55=1

lg5y51g5

所以,

故選：A

7.(24-25高三下?天津南開?階段練習)關于函數/(x)=ln「，下列說法正確的是()

A./(另在(-3)上單調遞增，且曲線歹=/(力存在對稱軸

B./(X)在上單調遞增，且曲線N=/(x)存在對稱中心

c./(X)在(T1)上單調遞減，且曲線v=/(x)存在對稱軸

D./(X)在(-1,1)上單調遞減，且曲線N=/(x)存在對稱中心

【答案】B

【知識點】函數奇偶性的定義與判斷、對數型復合函數的單調性、求對數函數的定義域

【分析】根據復合函數的單調性、函數的奇偶性等知識確定正確答案.

【詳解】令二＞。，得(Z)(1)＜。，解得―可知小)的定義域是㈠J),

因為/(X)=In戶=In2?」一')

I-xI-x

7

且y1在(-1』)上單調遞增，y=lnx在(0,+e)上單調遞增,

1-X

根據復合函數單調性同增異減可知/(X)在(-1，1)上是增函數，

又因為/(x)+/(-x)=ln￥+1nF=lnl=0,即/(x)=-/(-x),

所以/(X)是奇函數，曲線y=/(x)存在對稱中心，即B選項正確.

故選：B.

二、多選題

8.(25-26高一上?全國?課后作業)已知實數a,方滿足電(3。)+電/)=愴(2。+/)),則。+2〃的

可能取值是()

A.9B.3C.2D.6

【答案】ABD

【知識點】對數的運算性質的應用

【詳解】由lg(3a)+勵=lg(2a+4)得3ab=2a+b,

12_.(\2Y_._2b2。、=_12b2a八

變形得一+工=3.因J為-+-(t/+2A)x=5+—+—>5+2-----=9,

abb)ab、ab

當且僅當竺=半，即〃=力=1時，等號成立，所以〃+2心3.

ab

9.(24-25高一下?湖南?期中)己知/(x)=ln(x+l),g(x)=ln(l-x),令

F(x)=/(x)-g(x),則下列結論正確的是()

A.尸(x)的定義域是(f】)

B./(x)〉g(x)的解集為(。/)

C.尸(x)是奇函數

D./(x)在區間(-1,0)上單調遞增，在區間(0J)上單調遞減

【答案】ABC

【知識點】函數奇偶性的定義與判斷、時數型復合函數的單調性、求對數型復合函數的定義

域、山對數函數的單調性解不等式

【分析】A選項，根據真數大于0得到不等式，求出定義域；B選項，根據函數單調性和定

義域得到不等式，求出不等式解集；C選項，先求出函數定義域，再得到尸(%)+尸(-，=0,

C正確;D選項,/(X)在上單調遞增,g(x)在(-U)上單調遞減,從而得到D錯誤.

/\7\/\fx+1>0

【詳解】A選項，由已知，F(x)=In(x+l)-ln(l-x),故〈

解得-Ivxvl,所以尸(M的定義域為(TJ),A正確;

x+1>0,

B選項，由ln(x+l)>ln(l-x),得<17>0,解得0<x<lB正確:

X+1>1-X,

c選項，Q尸(X)的定義域為(-1,1),

又F(.r)+F(-x)=1n(x+l)-ln(l-x)+ln(-x+l)-ln(l+j)=0,

??,尸(x)為奇函數,C正確;

D選項,D/卜)在上單調遞增,g(x)在(-1,1)上單調遞減,

???萬。)在(-11)上單調遞增,D錯誤.

故選：ABC

三、填空題

10.(2025?安徽?三模)已知Wog25=l,則夕+25七=,

9

【答案】7

4

【知識點】指數式與對數式的互化、對數的運算

【分析】根據對數的運算公式，解對數方程，依據對數的性質求答案.

【詳解】由題意得，工=JrfogQ,故5、+25-'=5峭2+25,°叼=5啕2+25喝9=2.

9

故答案為：-

11.(2025?湖南長沙?一模)已知y=ln

【答案】4

【知識點】求對數函數的定義域、由奇偶性求參數

【分析】由奇函數的定義域關于原點對稱得出。，再檢驗即可求解.

【詳解】由題意知‘二+1=得(.2)(/2)>0,

x-2x-2

令(x-2)(x+a-2)=0,解得x=2或x=2-”，

又該函數為奇函數，所以其定義域關于原點對稱，

、(4、t+2

所以2+(2-〃)=0,解得〃=4,即y=ln-----+1=ln:--,

\x-2)x-2

令/a)=ln±=,其定義域為(-8,-2)52,+力)，

x-2

/(—x)=ln士|=_lnT=—/(力，滿足題意，

-X—2x-2

故答案為：4.

四、解答題

12.（24-25高一下?山西大同?階段練習）化簡下列各式：

（I）41g2+31g5-lg1；

（2）8支⑶+借）4-（員1:

【答案】⑴4

8

【知識點】指數哥的化簡、求值、對數的運算性質的應用

【分析】（1）根據對數的運算分析求解；

（2）根據指數塞運算分析求解.

【詳解】⑴原式=吆1fLM2r5"）=3。'=4

5

（2）根據分數指數轅的定義，得

.二（2相2-，出"=4,偌『=倒4?彳，

原式=4-4+§27-1=?19.

88

13.（22-23高一上?陜西商洛?期末）（1）求8§-6*3+&方"^F-log51ogs4的值:

（2）若Ig3=a,lg5=b,用。,b表示10/2.

【答案】（1）1-百；（2）二?.

【知識點】運用換底公式化簡計算、指數易的化簡、求值、對數的運算性質的應用

【分析】（1）根據指數及對數的運算性質，即可求值；

（2）根據對數的運算和換底公式，即可求解.

8A32

【詳解】（1）8^-6'°+7（V3-2）-log,5-log54

川匕+i）常震

=22-3+2-73-^

電2

=4-3+2-V3-2=l->/3

,]0

（2）通2=型1=上=0°一3=上^

IglSlg（V5）Ig^+1g5a+h

14.（24-25高一下?江西?期中）已知函數/"）=1。82（。2'+27+/）（。￡1<）是偶函數.

（1）求/⑼的值;

⑵若關于x的不等式/（耳2,+加在［1,2］上有解，求實數，〃的取值范圍.

X

【答案】⑴1

⑵18,log?33-T

【知識點】由奇偶性求參數、函數不等式能成立（有解）問題、對數型復合函數的單調性、

對數函數最值與不等式的綜合問題

【分析】（1）根據偶函教的性質/（-4）=/（x）求出參數。的值，即可得到函數解析式，再

代入計算可得；

（2）依題意關于x的不等式10氏（2*+2一，+/）—在［1,2］上有解，令

〃3=2，+2-，+/,xe［l,2］,利用作差法證明函數的單調性,即可得到g（x）在［1,2］上的

單調性，從而求出g"）皿，，即可得解.

【詳解】（1）因為函數/⑺為偶函數，所以/（T）=/（X）,

即log,?2、+2r+（-x）2'=log??2、+2-r+x2）,

所以。2*+2』2=〃?2工+2-+丁,整理得（。―1）（2，-2-*）=0恒成立，

所以4—1=0,解得0=1,所以/（x）=k>g2（2'+2r+/）,故/（0）=10&2=1.

（2）由（1）可得，關于x的不等式1。氏（2,+2-r/）」之〃?在［1,2］上有解，

X

4,h（x）=2'+2'+x2,xe［l,2］,取

則〃（七）一力（》2）=2演+2一“+x；-（2'：+2-"+x；）=（2*_2，11-2：々）+（為一9）（再+x2）.

因為14玉<心42,所以司一x,<0,.V］+x,>0,2占<24，Jr<l，

所以（2=211-嬴）<（）,（x,-x2）（xl+x2）<0,即力（占）-〃（巧）<0,

所以“x）在［1,2］上單調遞增，

又y=log4在定義域上單調遞增，因此/（x）在［1,2］上單調遞增.

令g（x）=k）g2（2'+2-+/）-Lxe［\,2］,

X

因為函數/（X）與函數y=-L在［1,2］上均單調遞增，

所以g(x)在[1,2]上單調遞增，且g(x)3=雇2)=10氏5-51=10&33-s1

所以〃2410g?33-g,故實數根的取值范圍為18,log?33-g.

B相遇高考

-Y"-2/ZY-/7Y<0

X,‘八’八在R上單調遞增，則

{e+ln(x+l),x^0

a的取值范圍是()

A.(-8,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+a))

【答案】B

【知識點】判斷指數函數的單調性、研究對數函數的單調性、根據分段函數的單調性求參數

【分析】根據二次函數的性質和分界點的大小關系即可得到不等式組，解出即可.

【詳解】因為/(x)在R上單調遞增,且kNO時，/(x)=e'+ln(x+l)單調遞增，

則需滿足J2x(—1),解得TSawO,

-a<e°+Ini

即。的范圍是[T,0].

故選：B.

I15

2.(2024?全國甲卷?高考真題)已知且六一-：-T=--,則〃=

log*1限42

【答案】64

【知識點】對數的運算性質的應用、運用換底公式化簡計算

【分析】將logs。，log”4利用換底公式轉化成log2a來表示即可求解.

1131,5

【詳解】由題------：7=1-------loga=--,整理得(zlog-51og,a-6=0,

2v172

log"log_4log2a22

=>log2a=-l?￡log2a=6,又a>l,

所以log2a=6=log22'、，故a=26=64

故答案為：64.

3.(2023?北京?高考真題)已知函數/*)=4'+k)g2X，則.

【答案】1

【知識點】求函數值、指數暴的運算、對數的運算

【分析】根據給定條件，把X=；代入，利用指數、對數運算計算作答.

【詳解】函數/（x）=4'+bg2x,所以/（]）=42+嚏2]=2-1=1.

故答案為：1

c素養提升

1.（天津市河西區2024-2025學年高三下學期總復習質量調查（三）數學試題）設

<?、-0.33

a=-,b=20-4,c=ln-,則a,4。的大小關系為（）

⑴2

A.h<c<aB.a<c<hC.c<a<hD.c<b<a

【答案】D

【知識點】比較指數昂的大小、比較對數式的大小

【分析】“°>少°，結合指數函數單調性得到。>力>1，又CY1,得到結論.

【詳解】4=f=3°3>|,/；=204>1,

"。=3'=27,〃°=24=16,故所以

c=In—<Ine=1,所以c〈b<o.

2

故選：D

2.（24-25高一下?云南昆明?期中）Deepseek（深度求索）是人工智能的一種具有代表性的

實現方法，它是以神經網絡為出發點.在神經網絡優化中，指數衰減的學習率模型為

L=L°D/，其中心表示每一輪優化時使用的學習率，4表示初始學習率，。表示衰減系數,

G表示訓練迭代輪數，伉表示衰減速度.已知某個指數衰減的學習率模型的初始學習率為

0.6,衰減速度為20,且當訓練迭代輪數為10時，學習率衰減為0.3,則學習率衰減到0.2

以下（不含0.2）所需的訓練迭代輪數至少為（）

（參考數據：lg2ao.3,lg3?0.477）

A.14B.15C.16D.17

【答案】C

【知識點】對數的運算、對數的運算性質的應用、指數函數模型的應用（2）

.G

【分析】根據已知條件列方程，可得。=（，再由￡=0.6x（；）元<0.2,結合指對數關系和

對數函數的性質求解即可.

【詳解】由于人人湍，所以￡=0.6x湍，

依題息0,3=0.6x則D=；，

3由L=0.6x(fv0.2,

則L=0.6x

4>

即G>2吃>。噫3=10備@答

所以,=159,

所以所需的訓練迭代輪數至少為16次.

故選：C.

3.（24-25JSJ上?安徽合肥?階段練習）已知函數/（x）=1+log2心+1、

⑴求/（X）的定義域；

⑵當X￡（l,+8）,

①求證：/（x）在區間（1,+句上是減函數；

②求使關系式/（〃?-2）>/（2加-1）成立的實數〃?的取值范圍.

【答案】⑴（YO,-1）U（1,+00）；

⑵①證明見解析；②〃?>3.

【知識點】定義法判斷或證明函數的單調性、求對數型復合函數的定義域、根據函數的單調

性解不等式

【分析】（1）根據對數的性質求函數的定義域；

（2）①由單調性的定義證明區間單調性即可；②利用函數單調性解不等式求參數范圍.

【詳解】（1）由=Y4>.10,得x<-1或x>l,所以函數/（X）的定義域為（y,-l）U（l,+功，

X-1

x,Olo>O

（2）①設1<再<x2，）-f（2）=g2^4-gz=g：

玉一1x2-1（X,-1）（.￥,+1）

,X.Xy+X,-X-1

=l°g2~~~~：,

x}x2+玉_-1

+XX

因為1<X]，貝！J（X[X22~\-1）一（再42+^I-X2-1）=2（X2-XI）>0,

所以玉工2+x2-X]-1>X]X2+X）-x,-1=（X1-l）（x2+1）>0.

xx+X,-A]-1

所以}20,所以/&)>/(：),

mq+r(-r2-1

故/（%）在區間―）上是減函數.

②由①知/⑴在區間（1，+8）上是減函數，

由/。〃-2）>/（25-1）,可得1<5一2<2〃1,解得〃>3.

/|、x+l

/、/、-,x<0

4.（24-25高一下?湖北?期中）已知函數/（》）=1。82（2'+1）,雙X）=八力

K

log2（4+l）,x>0

⑴若/()=〃?，/(2)=〃，求1。氏12和log315(結果用加，〃表示).

(2)求不等式g(x)<3的解集.

⑶若VX€[0、2],都有g(“-/(工)->0成立，求實數/的取值范圍.

n

【答案】⑴logJ2=〃?+2,R)g315=l+—；

m

(2)f-|jog47j

(3)(-oo,0)

【知識點】運用換底公式化簡計算、解分段函數不等式、函數不等式恒成立問題

【分析】(1)利用對數的運算性質可得.

(2)解分段函數不等式，先利用指數和對數的性質分段求解，最后求并集；

(3)參變分離,現設力(x)=g(x)-〃X),求%nOY%n(x).

【詳解】(1)已知/(x)=log2(2v+l),所以"?=/⑴=夠3,〃=/(2)=log25,

所以1"212=噫3+噫4=m+2,

皿5,n

log315=log33+log35=l+=1+—

噫3m

(2)當x<0時，(2)=所以X+1>-5，解得工>一5，所以一5Vx<0；

當xNO時，log2(4'+l)<3=log28,所以4'+1<8,解得x<log$7,所以OVxvlog/；

練上可得，不等式g(x)<3的解集為，弓,10以71

(3)Q.ve[0,2],所以g(x)=k)g2(4'+l),設6(x)=g(x)-/(x),

r

則=iog2(4+l)-log,(2'+1)=log,j-,令。=2'+1e[2,5],

則4'+1=優)2+l=(a-l)2+l=/-2q+2,

即y=