高中數學 二級結論 結論快練 （一）

二級結論01絕對值問題最值結論

1.卜一2卜卜+1|的（）

A.最小值為0,最大值為3B.最小值為-3,最大值為0

C.最小值為-3,最大值為3D.既無最小值，也無最大值

2.不等式|x-4|-|x+2|的最大值為，最小值為.

3.不等式上-卜|'-2|的最大值為，最小值為.

4.若關于X的不等式k-4|-卜-3〈。在R上的解集為空集，常數。的取值范圍為

二級結論02糖水不等式

1.下列命題是真命題的是（）

A.若a>b,貝I]/〉。）.B.若。>b,則/</

D.若a>b>0,c>0,則"^>2

C.若。>b,貝

a+ca

2.根據不等式的性質判斷下列命題一定正確的是（）

A.若〃>〃>（）,〃?>0,則妙'與2的大小關系隨機的變化而變化

G+〃？U

B.若Z?>a>0,〃?>0,貝I>""

aa+in

C.若c>d>。，則鬻〈筌

D.若心。，…，則一定有品+七〈卷+備

3.建筑學規定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準，窗戶面積與地板面積

的比值不小于1。％,并且這個比值越大，住宅的采光條件越好.現欲在原設計方案的基礎上，

同時增加住宅的窗戶面積和地板面積，若增加的窗戶面積和地板面積相同，則住宅的采光條件

一定_________.（變好或變差）

二級結論03權方和不等式

1.若。>0,/?>（）,且a+Z?=3,則X—+上一的最小值為________.

〃+1b+\

2.已知〃>0,b>0,c>0且〃+。=2,則一二十―的最小值為.

3.已知正實數x,y滿足x+y=3,則&或+12士江的最小值為________.

yx

二級結論04三元（n元）不等式

1.已知正數。，〃滿足/+2〃=1廁"2的最大值是（）

A.1B.3C.BD.1

3399

2.已知c>。，且a+b+c=abc，,則abc?的最小值為.

3.若x>0，貝I2x+，?的最小值為.

二級結論05柯西不等式

1,已知。，b,ceR,滿足(a+2f+〃+(c+l)2=12,則a+b+c的最大值為()

A.2B.3C.4D.6

2.實數X、y滿足3d+4/=12,則z=2x+6)，的最小值是()

A.-5B.-6C.3D.4

3.已知實數x‘y,z滿足x+2y+3z=6,則d+知+z?的最小值是

18

A.76B.3C.—D.6

4.已知“、beR,a1+b2=4,求3a+26的最大值為()

A.2y/lB.2>/13C.2x/17D.4

二級結論06倒負函數

1.若函數滿足=,則稱/'(x)為“倒負函數”.已知函數/(x)=alnx+"_-,

/(2)=1-21n2,,\)\\\ab=()

A.2B.1C.-2D.-1

2.設/0)=M，若小/)+/9)=0,則2〃『十5的最小值為.

2

3.若f(%)=lnx-----1,則函數/a)在定義域內有_________個零點.

x-1

二級結論07對數糖水不等式

1.己知〃=log32,方=1嗝3,c=log54,則〃，b,C的大小關系為()

A.c<tz<bB.a<h<c

C.b<a<cD.c<b<a

2.已知79<6°,設i=log?6,b=logs7,c=0.9,貝lj()

A.c<a<bB.c<b<a

C.b<a<cD.h<c<a

3.已知89<7i°,設a=log，，Z?=logy8,c=0.9,貝I］()

A.c<a<bB.c<b<a

C.b<a<cD.b<c<a

4比較大小:嘀2—(填“v"或"二”)log96.

5.比較大小:1。瓦3一(填或J")iogl614.

二級結論08抽象函數周期性和對稱性

L已知函數“X)滿足〃x+3)=—/(力，當xe(-3,O］時，仆)=2'+si嗒，則”2025)=()

A.&B.C.1D.-1

22

2.已知函數/("的定義域為R,其圖象關于直線.”-3對稱且〃"3)=/(%-3),當xw［0,3］時,

/(x)=2*+2x-ll,則下列說法不正確的是()

A.函數/⑴為偶函數B.函數/⑴在［F-3］上單調遞增

C.函數/(力的圖象關于直線工=3對稱D./(2026)=-7

3,已知定義在R上的奇函數“力滿足〃x)+/(2-力=0,則()

A./(月的圖象關于點a。)對稱B.〃x+2)=/a)

c./(3-x)=/(x-l)D./(x-2)=/(x)

4.已知函數/(x)是定義在R上的奇函數，對任意實數”,恒有/(2-?心(力成立，且上1)=1,

則()

A./(.r)=/(r+4)B.〃1)+/。)+/(3)+…/(2025)=I

C.在區間6］有5個零點D.〃力關于/=2對稱

二級結論09萬能公式

1.己知，+3,則期加的值為()

2sina

I

A-

?5

2.已知公(0,以,且3sina=sin(2/?-a),則tana的最大值為()

A.也B.巫C.--D.B

4444

3.已知0<”1,=1，貝口解的個數為()

A.0B.1C.2D.無窮多個

4.已知aw(1?，兀)，taner=-2,貝ljsin(7i+2a)=.

5.在平面直角坐標系xOv中，角。與角夕均以3為始邊，它們的終邊關于直線y=x對■稱，若

tana=2,則sin(/?+%)=.

二級結論10海倫公式

1.在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且Z?=c,sinB+sinC=2sinA,若△ABC的周長為6,

則△ABC的面積為()

A.2B.V3C.3D.273

2.已知△ABC的三個內角分別為A,8,C,若AABC的周長為9,且sinA:sinB:sinC=2:3:4,則

△ABC的面積為()

3已知△ABC中,內角A,8c的對邊分別為a,b,c,若sinA,sinB,sin(A+6)成等差數列,且〃=4,

則△ABC面積的最大值為.

二級結論11三角形四心

1.若〃是VA8C的垂心，2HA+2HB+3HC=0,則tan/AHB的值為()

A.-石B.巫C.-272D.一巫

22

2.已知等邊VA8C的邊長為2,點P是平面A8C內任意一點，則幺，4+。4，。+2。尸4的最小

值為()

A.-3B.-2C.-1D.0

3.在7ABe中，AB=AC^5.BC=6,P為7ABe的內心，AP=xAB+yAC,貝ljx+V=.

4.已知在VABC中，G4+GB+GC=0,若8G_LCG,貝IJsinA的最大值為.

二級結論12奔馳定理

(JUDIlliUL1TS4

1.己知點。是VA3C內一點，滿足。4+2。8=〃?。。,薩也=弓，則實數〃?為()

6c1

A.2B.一2C.4D.-4

2.己知點。在VA8C內，且S?：S皿:S?.=4:3:2,AO=AAB+^AC,貝l"+〃=()

252

A.1B.-C.-D.-

993

1121

3如圖，M?N為AABC內的兩點，且AM=——AC,AN=—AB4—AC,則與AA8N的面積

4352

之比為.

二級結論13雞爪定理

1.在AABC中，點。在上，滿足4)=208,若CA=a,CB=b,則CQ二()

A12、34n43

A.-a+~bB.-a+-bC.-a+—b1D.-a+-Z>t

333355

2.在△ABC中，。為AC邊上一點，若C/）=4,4）=5,貝JBD=()

54144-5-41

A.-BA+-BCB.-BA+-BCC.-BA+-BCD.-BA+-BC

99559955

3.在△ABC中，已知。是邊AB上的一點，若2AD：,CD=-CA+/IC5,則％=()

=DB3

-I,1D3

A-C

-3,,2?4

二級結論14等和線定理

1.如圖，在正六邊形ABCOQ中,點、P為CE上一點、,若AP=xA8+3，AF,則（)

A.2B?iD.不確定

2.如圖，在VA8C中，點。在邊8c上（與aC不重合），延長A。到P,使得”=12,若

(4

PA=mPB+PC。〃為常數），則AO二

<3

)

A.3

3.在梯形ABCD中，AB//CD,AB=3,CD=2^C與BD交于點E,若AC=/MO+〃A8,則

A+//=_________

二級結論15極化恒等式

L如圖，正六邊形的邊長為2及，半徑為1的圓0的圓心為正六邊形的中心，若點M在正六邊

形的邊上運動，動點A,8在圓。上運動且關于圓心0對稱，則的取值范圍為（）

A

?o

B

M

A.[5,7]B.[4,5]C.[4,6]D.[5,8]

2.如圖，在VA6C中，。是5c的中點，￡/是AD_L的兩個三等分點.若6ACA=4,BFCF=-l,

則BECE的值為（)

2

A,9B?iC.1D.2

3.在平行四邊形43。中,A8=4,AO=2,NA=60。，QM=3MC,則AM-8M=()

A.1C.2D.3

二級結論16射影定理

1.在VABC中,內角A,B,C所對的邊分別為。,b,c.^2Z>COS(^4-C)-67COSC=CCOSA,貝ljA

等于（）

A71Cz

-7J3D-T

2cos.4cosAcosC

2.已知VA3C的內角A叢C所對的邊分別為a/",--------=-------+-----，--則角A

beabac

3.已知V4BC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,C,且滿足acosC+ccosA=2Z?cos8,

a=2gb=36.則VA3C的面積為

二級結論17角平分線定理

1.已知VA8C中，。是BC上的點，AO平分N3AC,且/XABD面積是zMOC面積的2倍,

/U）=2,OC=1,則4C的長度為（）

A.73B.2C.2V2D.3

2.在V48C中，內角4,B,C所對的邊分別是b,c,且。=丁.若/AC8的角平分線8交

于點。.若點E滿足E8=AD=gA8,則cosZDCE=.

3.已知VA4c中，內角A/*C的對邊分別為。，b,c,若AO為內角A的角平分線且AD=〃，滿

足|叫二斗。。|,則sinA=.

二級結論18正切恒等式

1.在VABC中內角4,B,C所對的邊分別為。，b,c,若tanAtan4>l,則lanAtan歷anC的取值

范圍是.

2.在V4BC中，tanA=/:-1,tanB=tanC=k+\,則k=.

3.記銳角NABC的內角AB,C的對邊分別為若角人B,C滿足

tanAtan^unC<[tanA]+[（anB]+[tanC],其中符號國表示不大于x的最大整數，若AW5WC,則A

的值為.

二級結論19中線定理

1.已知&WC的內角A,B,C的對邊分別為〃，b,C,若〃=立叵，bc=\6,且Hc=8,則底邊

3

BC上中線AE的長為.

2.AABC的內角AA,C的對邊分別為。也c,若〃=4,b=3,c=2,則邊4c中線A￡）的長

為?

3.AA8C的內角ARC的對邊分別為。也。，已知。=26，c=3,D是BC邊的中點，AD=—

2f

則cosB=.

二級結論20張角定理

1.已知〃，b,。分別為VA3C角A,B,C的對邊，0=生，。=2,b=5f點。在邊A8上，且CQ

3

是/ACB的角平分線，則S^e=.

2.已知VA4C的內角A,B,C所對的邊分別為。，〃，c,A=1,若該三角形的面積為2&,AD

為內角A的角平分線，交BC邊于點。，則4。長的最大值為.

3.在VA8C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,C=y,若CO是C的角平分線，c=9,A48。的

周長為19,則CO=.

4.在VAKC中，角AB,C的對邊分別為a,b,c,cos2A+cos2B-cos2C=l,N4C8的角平分線交

A8于。，CD=2丘，則V4BC面積的最小值為.

二級結論21歐拉定理

1.碳70（G。）是一種碳原子族，可高效殺滅癌細胞，它是由70個碳原子構成的，其結構是由

五元環（正五邊形面）和六元環（正六邊形面）組成的封閉的凸多面體，共37個面，則其六

元環的個數為（）

C.汨子結構圖

A.12B.25C.30D.36

2.現代足球的外觀取自一種不完全正多面體，它是由12塊黑色正五邊形面料和20塊白色正

六邊形面料構成的.20世紀80年代，化學家們成功地以碳原子為頂點組成了該種結構，排列

出全世界最小的一顆“足球”，稱為“巴克球（Buckyball）則“巴克球”的頂點個數為（）

A.180B.120C.60D.30

3.已知某〃面體各面均為五邊形，且經過每個頂點的棱數為3,則〃=（）

A.6B.10C.12D.20

4.已知某正多面體所有面的內角總和為3600。，且各面都為正三角形，則該多面體的頂點數

V=;棱數E=.

二級結論22三垂線定理及其逆定理

1.如圖，BC是RTZWBC的斜邊，過點A作△ABC所在平面a的垂線，連接PB,PC,過點A

作AO_L8C于點。，連接尸。，那么圖中的直角三角形共有（）

A.4個B.6個C.7個D.8個

2.如圖，在四面體A8CO中,棱AB.ACAD兩兩垂直，則頂點4在底面BCD上的正投影H為

△8CD的（）

A.重心R.垂心C.外心D.內心

二級結論23常見幾何體的外接球半徑公式

1.已知某圓柱的高為26,底面半徑為1,且其上、下底面圓周均在以。為球心的球面上，則

球。的表面積為（）

A.4兀B.8兀C.1671D.24兀

2.已知四棱錐P-A3C。的所有頂點都在球。的球面上，且四邊形人8CO是邊長為6的正方形,

若四棱錐P-A3CZ）的體積的最大值為6,則球。的體積為.

3.已知圓臺的上、下底面半徑之比為3:4,母線長為及，該圓臺的上、下底面圓周都在球。的

球面上，球。的表面積為100兀，則該圓臺的體積為.

二級結論24常見幾何體的內切球半徑公式

1.已知半徑為R的球內切于圓柱.設球，圓柱的體積分別為匕，匕，表面積分別為S。,百,則（）

A.向=今B.C.^L<yD.，■與今無法比較

2.在正三棱錐尸-A8C中，48=26，PA=幣,三棱錐P-A8C的內切球球心為O,若在此三棱

錐中再放入一個球G，使其與三個側面及內切球。均相切，則球。的半徑為.

二級結論25內切球萬能公式

1.如圖，圓錐的底面半徑為八高為2人旦該圓錐的內切球（球與圓錐的底面和側面均相切）

的半徑為1,則廣（）

2.若圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好一圓柱的高相等，記圓柱與球的體積之比為

A,表面積之比為〃，貝1J（）

A.2=/;B.Z<//C.2>//D.的大小不確定

3.已知正四面體的棱長為3,則其內切球的體積為.

二級結論26空間余弦定理

1.已知正三棱錐人-水刀中，4B=3,BC=2,F為CD中點,則異面直線A尸與所成角的余

弦值為（）

A巫B.立C.正D.與

2348

2.如圖，在平行四邊形A8C。中，AB=2BC=2fZABC=60°,七為CO的中點，沿AE將一D4E翻

折至△/>/I￡的位置得到四棱錐P-A4CE,且直線”與直線4E所成的角為45。，則b二（)

3.在直四棱柱A8C。-48CQ中，底面A8CO是矩形，AA]=AB=2ADtE,F,G分別是棱

AB,CG的中點，則直線環與G4所成的角的大小為（）

A￡RC—□—

A.6B.4。3U-2

4.已知E,F,G,"分別是正方體ABC。-AeGQ的棱AB,CD,B￡,A"的中點，則異面直

線E〃與GW所成角的余弦值為.

B

參考答案

二級結論01絕對值問題最值結論

1.C【快解】由題知。二2力=-1,4?，由絕對值最值結論知最大值為2-(-1)二3,最小值為-1-2=3.

2.6；-6【快解】由題知a=4力=-2/>"由絕對值最值結論知最大值為4-(-2)=6,最小值為-2-4=6.

3.1；-1【快解】由題知力=2,a<b,由絕對值最值結論知最大值為2?1=1,最小值為1快=1.

【快解】由題可得。=4/=3,。池由絕對值最值結論知最小值為3-4=1,又因為不等

式|工一4T工一耳〈。在R上的解集為空集，所以日-1.

二級結論02糖水不等式

1.D【快解】由糖水不等式得D正確.

2.BCD【快解】由糖水不等式可得A錯誤，B正確；

r-r-1,1b+cb+d(b+c)(a+d)—(b+d)(a+c)(a—b)(c—d)人

用T以---------=---------------------=---------->0,所以C正確;

a+ca+a(a+c)(a+d)(a+c)(a+a)a+aa+c

bb

因為Ovl+avl+a+〃，0<\+b<\+a+bf所以，一>——-->

1+。l+a+67+b\+a+b'

口fabab

所以——+——>------+-------D正確.

l+aI+b\+a+b1+。+〃

3.變好【快解】設窗戶面積為〃，地板面積為人，增加面積為根，則原比值為現在比值為

b

”生，因為人>a>0，m>0,由糖水不等式可知空巴〉所以住宅的采光條件變好.

b-\-mb+mb

二級結論03權方和不等式

1-7【快解】由題得(。+1)+3+1)=5,根據權方和不等式得工+工4=，當且僅當

5a+10+155

號=白，即1時，等號成立.

?+1/7+12

2,

2.3【快解】由權方和不等式得1??二(1+,)2.4.2,當且僅當

2a+ha+2h(2a+b)+(a+2b)3a+3b3

，二，，即a=〃=l時，等號成立.

2a+ba+2b

3.夕【快解】由權方和不等式得(x+2)\(y+2):(K+2+)，+2『=竺,當且僅當山

3yx3yx

即號時，等號成立.

二級結論04三元"元)不等式

LC【快解】由三元不等式得1=/+m=.?2+八3次防萬，所以腳4當且僅當““手

時，等號成立，所以加2^^.

2.4【快解】由〃元不等式可知〃+〃+￡叁4.；「力?晨,即欣?飛出巧,當且僅當

22V22V4

”=力=：=1時，等號成立，整理得32“，故〃加的最人、值為4.

3.3【快解】由三元不等式可得2X+!=X+X+±N3：H=3,當且僅當.與，即x=l時，等

JTXVX~X~

號成立.

二級結論05柯西不等式

1.B【快解】設.+2=卬,b-v,c+l=u,可得卬2+F+〃2=12,所以。+力+c=W+P+〃-3.則

由河西不等式得(w+v+〃f<(l24-l2+l2)(w2+v2+rr)=36，所以-6?w+u+〃46,當且僅當

w=v=u=2f卬+丫+"取得最大值6,此時。+2=b=c、+l=2,所以a+〃+c的最大值為6-3=3.

2.A【快解】因為實數X、J滿足3/+4/=12,所以1+4=1,則由柯西不等式得

5十5(16+9)>(2x+73y)\-542x+Gy45,當且僅當=8y時取等號，所以z=2x+6y的

最小值是-5.

3.C【快解】由柯西不等式得02+22+32)(x2+y2+z2)N(x+2y+3z)2,則

x2+y2+z2?(X+2誓3z)2=耳當,當且僅當時取等號故人二十,2+7?的最小值是黑

14147xyz7

4.B【快解】因為/+從=4,由柯西不等式可得(32+2飛標+燈“3a+2〃)2,即

(36+2ib)2<13x4=52,所以—2后W3a+2》W2萬.當且僅當a=時，3a+2》取得最

1313

大值.因此3a+2〃的最大值為2而.

二級結論06倒負函數

1.C【快解】因為f(x)=alnx+/zx-L所以/(，)=-alnx+'-x,.

XJx

因為/(“為“倒負函數”，所以/3=-7口)，^a\nx+bA--=a\nx--+xt^bx--=--+xt

\)XXXX

整理得+1)=0,解得力=1,又因為3

/⑵=/-21n2,

所以八2)=〃1][2+2-3=1-2卜2,解得4=-2,

所以"=1x(—2)=—2.

2.2五【快解】任取。＜…，小，M6富一黑=高高＞。，

所以/a)在(0，包)上單調遞減，

因為〃加片,

‘所以

所以/(X)為倒負函數，所以/(叫+/(/)=。，

又/(叫+/(/)=(),所以/(叫=/(叫，所以心"2.

2/zr+1=2"+4之2&,當且僅當加2=1=變時等號成立.

〃-，廣2

9

3.2【快解】因為/(x)=lnx—弋―1,x(0,l)U(l,+oo),

x-l€

「22、2(x—x)

xx=>11,n<0,

任取,/(i)-/(2)^i-^----%------=lnx(-lnx2+-一；：.、

(再一1x2-\)(^-1)(^-1)

所以/(-V)在(1，+8)上單調遞增，同理/(X)在(0,1)上單調遞增.

又/(e)=l—l—T=—々<0,/(e2)=2-l--^-=l—Ar>0,

e-1e-1、7e--le--l

由零點存在性定理知，丸?ed),/(xo)=0,

所以f(x)在(l,+oo)上有且只有一個零點.

(1A?1??2x

T7/(?<)+f—=Inx——=——1+ln----—1=lnx-lnx——=----------2=0

又⑴x-\xJ—x-l1-x

x

所以"X)為倒負函數,則/⑷+/(?

=0

所以/—=-/(/)=0,1e(。」)也是/(X)的零點，

所以fix)在(0,1)和(1,+00)各有一個零點,即/*)有2個零點.

二級結論07對數糖水不等式

1.B【快解】由對數糖水不等式得。=1嗚2<1%用(2+1)=1嗎3="即〃<〃；由對數糖水不等式

得b=log43Vlog4,［3+l)=logs4=c,即〃<c.綜上,a<b<c.

2,A［快解】由對數糖水不等式得。=6<log?”(6+1)=logs7=力，即av/八因為7')<6北，即7Vv6，

o2

10

所以c=而=log77<log76=a.綜上,c<a<b.

3.A【快解】由對數糖水不等式得。=喝7<嗨+1(7+1)=瞋98=。，即“<〃；因為々〈嚴,所以

心&⑹卜喝任。)，BP9<101ogx7,所以。=0.9<啕7=4.綜上，c<a<b.

4.<【快解】由對數糖水不等式得log"<log3x3(2x3)=10&6.

5.<【快解】由對數糖水不等式得Iog43<log4x4(3x4)=log］612,又log1612vlog1614,所以

log43<log1614.

二級結論08抽象函數周期性和對稱性

LD【快解】由/(丹3)=-/⑺得/*)的周期為6,則

/(2025)=/(337x6+3)=/⑶=/(0+3)=-/(0),由于當x?-3,0］時，〃x)=2'+sin葭，所以

/(0)=2°+sin0=1,所以/(2025)=-1.

2.D【快解】因為函數/(x)的定義域為R,其函數圖象關于直線x=-3對稱，所以

/(x-3)=/(-x-3),又小+3)=/(%-3),所以“X+3)=/(T—3),所以/(X)=/(T),即該函數

為偶函數，A正確；

由/'(X+3)=〃A3)得函數/("的周期為6,當工目-6,-3］時，x+6e［0,3］,因為當x?0,3］時，

/(x)=2'+2x-ll,易得此時函數/⑴在［0,3］上單調遞增，故函數/(“在［-6,-3］上也單調遞增,

B正確；

因為函數/(力的圖象關于直線X=-3對稱，且為偶函數,則函數/(力的圖象也關于直線％=3對

稱，C正確：

/(2026)=/(337X6+4)=/(4)=/(2)=2*2+2X2-I1=-3,D錯誤.

3.ABD【快解】由/(x)+/(2-力=0知函數/(幻的圖象關于點(1,0)中心對稱，A正確；

因為/(1)關于(L。)，(。⑼中心對稱，則/(.Y)的周期為2,故/(x+2)=.f(x),B正確；

用L1替換〃X)+〃27)=0中的x,可得/(、-1)+八37)=0,HP/(3-X)=-/(X-1),C錯誤;

由B知函數/(x)的周期為2,則"1-2)=/(力，D正確.

4.AB【快解】因為函數/(力是定義在R上的奇函數，所以/(力關于點(0,0)中心對稱,由

f(2-x)寸⑺得f(x)關于4=1對稱,所以/(“的周期為4,所以f(x)="x+4),A正確;

由/⑴=1,根據/(2+力=-/3可得：/(3)=-7(1)=-1,由"0)=0,根據/(2+力=-/(力可得:

/(2)=-/(0)=0,/(4)=-/(2卜0.所以〃1)+/(2)+/⑶+"4)=0,又的周期為4,所以

/(l)+/(2)+/(3)+-..+/(2025)=506[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(2025)=506x0+/(2025)=/(1)=1,

B正確；

由B可知，函數/(X)在[Y,6]上的零點為-6,T,-2,()24,6共7個，C錯誤；

因為/(2+x)=-/")且〃2T)寸(x),所以/(2+x)=-/(2-x),所以函數外力的圖象關于點(2,0)

中心對稱，沒有足夠的理由說明的圖象關于x=2軸對稱，D錯誤.

二級結論09萬能公式

q3sin|—+al+sina-3

1.B【快解】由皿舒。.(2J，得

idn——---------------------------

2sina

「.aa/.2a

2sin—cos----6sin-

、a3cosa+sina-3

tan"—=----------2------2----2=1-3tan—,

r.aa

2sina2sin—cos2

22

2tan—e

由萬能公式得tana=——\(9，則由萬能公式得cos2a=產f2=亮.

1-tan2-3l+tan-a13

2

2.B【快解】由題得3sina=sin2/ycosa-cos2/ysina,即(3+cos2/?)sine=sin2/ycos。；即

2tanp

sine?sin2/7..sin2/?八一/n，sinip1+tan2B.,,

----=--------,故tana=------------,由萬能公式得tana=---------^―=------------,令，=tan〃,

cosa3+cos2夕'口乂3+cos2['出〃"區八1寸3+cos2/?3+l-tanj?'

I+tan2P

2t

則刖口二十一二號二^工看;乎，當且僅當”及時等號成立.

313']

1+廣/

/\,/ian_?_21-ian一

3,C【快解】令叫ta吟，aw0弓，由萬能公式得鳥=——1=sina,曰=-----^=cosa,

2

I2J1+41+tan2￡1+41+lar2￡

22

則;---+-----=I轉化為cos'a+sin，a=1.又cos?Q+sin：a=1,所以x=2.

4,7【快解】由萬能公式得sin(nI2a)=sin2a=/[ana士=J

tan-a+14+15

5.-|【快解】因為角a/的終邊關于直線)，='對稱，由己知得空+a=?+E,即

c兀

a-vp=—+ICkfit,

/\

所以4+3a=2a+§+2E(ZcZ),所以sin(6+3a)=sin2a+午=cos2a,由萬能公式得

cos2a=a=-1,所以sin(夕+3c)=一：.

1+tarra55

二級結論10海倫公式

1.B【快解】因為sinB+sinC=2sin4,所以Z?+c=2〃，

又因為△ABC的周長為6,所以〃=3,4+力+<?=3〃=6,所以〃=2,b=c=2,

由海倫公式得S&ABC=-(*p一-C)=yj3(3-2^3-2^3-2)=73x1x1x1=g.

2.B【快解】因為sinA:sin8:sinC=2:3:4,所以a:〃:c=2:3:4,

a

又因為a+b+c=9,所以。=2,人=3,c=4,p=—,

2

由海倫公式得SMBC=

3.4V3【快解】因為sinA,sin3,sin(4+3)成等差數列,3=4,所以2sinB=sin(A+B)+sin

A,

即2sinB=sinC+sinA,所以a+c=2b=S,則△ABC的周長為12,

由海倫公式得SwJ6（6-4）（6-〃）（6-c）=273.J（6-口）（6-。）<V3（6-6/+6-c）=W3,

當且僅當6-。=6-c,即〃=c=4時等號成立，故此時AAAC面積的最大值為4vL

二級結論11三角形四心

LB【快解】在VA3C中，取48的中點。，連接〃。，則“A+//B=2"O,如圖，由2”A+2”B+3”C=0,

9477

得CH=-（HA+HB）=-HD,于是CD=_HD,CA=CD+DA=-HD+DA,HB=HD+DH=HD-DA,

3333

由“是VA8C的垂心，得HD1DA,HB上CA,則〃。?OAMO,VBCAMO,因此

04“8=0”。+。4）（”。一。4）=[”。2一。1二0,即|。4|二尊|，。|,顯然tanZA”D=^^=浮,

90

2tanNA”。亍浮,所以tanZAHB的值為

/BH