高中數學 加練 專題3　第18練　公切線問題

第18練公切線問題(分值：40分)一、單項選擇題(每小題5分，共10分)1.若直線y=3x+m是曲線y=x3(x>0)與曲線y=-x2+nx-6(x>0)的公切線，則m+n等于()A.4 B.5 C.6 D.8答案B解析設直線y=3x+m與曲線y=x3(x>0)相切于點(a，a3)，與曲線y=-x2+nx-6(x>0)相切于點(b，3b+m)，對于函數y=x3(x>0)，y'=3x2，則3a2=3(a>0)，解得a=1，所以13=3+m，即m=-2.對于函數y=-x2+nx-6(x>0)，y'=-2x+n，則-2b+n=3(b>0)，又-b2+nb-6=3b-2，所以-b2+b(3+2b)-6=3b-2，又b>0，所以b=2，n=7.所以m+n=-2+7=5.2.已知函數f(x)=x3-x，則與曲線y=f(x)和y=x2+14均相切的直線l有(A.1條 B.2條 C.3條 D.4條答案C解析f(x)=x3-x，所以f'(x)=3x2-1，所以y=f(x)在點(x1，f(x1))處的切線方程為y-(x13-x1)=(3x12-1)(x-整理得y=(3x12-1)x-2設g(x)=x2+14，直線l與g(x)的圖象相切于點(x2，g(x2))，因為g'(x)=2所以切線方程為y-x22+14=2x2(x整理得y=2x2x-x22則3x12-1=2整理得3x122-122-2x13-14=94x14-2當9x12-8x1-6=0時，Δ=82+4×9×6>0，x1=0也滿足方程，故上述方程有3個解，所以方程組(*)有3組解，故滿足題中條件的直線l有3條.二、多項選擇題(共6分)3.若兩曲線y=x2-1與y=alnx-1存在公切線，則正實數a的取值可能是()A.1 B.e C.2e D.6答案ABC解析設兩曲線上的兩點分別為A(x1，x12-1)，B(x2，alnx2-1)，x由兩曲線y=x2-1與y=alnx-1分別求導得y'=2x，y'=a故在A處的切線方程為y-(x12-1)=2x1(x-x1整理得y=2x1x-x12在B處的切線方程為y-(alnx2-1)=ax2(x-x2整理得y=ax2x-a+alnx2所以2又a>0，解得a=4x22(1-lnx2構造函數f(x)=4x2(1-lnx)，x>0，f'(x)=4x(1-2lnx)，令f'(x)>0，解得0<x<e，令f'(x)<0，解得x>故f(x)在(0，e)上單調遞增，在(e，+∞)故f(x)max=f(e)=2e，因為a>0，所以a的取值范圍是(0，2e]，故A，B，C正確.三、填空題(每小題5分，共10分)4.已知函數g(x)=x的圖象與函數f(x)=alnx的圖象在公共點處有相同的切線，則公共點坐標為.答案(e2，e)解析函數f(x)=alnx的定義域為(0，+∞)，可得f'(x)=ax，由g(x)可得g'(x)=12x，設曲線f(x)=alnx與曲線g(x)=x的公共點為(x0，y0)，x由于在公共點處有相同的切線，所以12x所以x0=4a2(a>0)，由f(x0)=g(x0)，可得alnx0=x聯立x解得x0=e2，所以y0=e，所以公共點坐標為(e2，e).5.若曲線y=kx-1(k<0)與曲線y=ex有三條公切線，則k的取值范圍是.答案-解析令f(x)=kx-1(k<0)，g(x)=ex，則f'(x)=-kx2，g'(x)設點A(x1，f(x1))，則曲線y=f(x)在點A處的切線方程為y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)，即y=-kx12設點B(x2，g(x2))，則曲線y=g(x)在點B處的切線方程為y-g(x2)=g'(x2)(x-x2)，即y=ex2x+(1-x2由題意-消去x1得-4k=(1-x2)2e由題意，方程-4k=(1-x)2ex有三個不同的實數根，令φ(x)=(1-x)2ex，則φ'(x)=(x2-1)ex=(x-1)(x+1)ex，當x<-1或x>1時，φ'(x)>0，φ(x)單調遞增；當-1<x<1時，φ'(x)<0，φ(x)單調遞減；故當x=-1時，φ(x)取極大值φ(-1)=4e當x=1時，φ(x)取極小值φ(1)=0，當x→-∞時，φ(x)→0；當x→+∞時，φ(x)→+∞，y=φ(x)的大致圖象如圖所示，由圖可知0<-4k<4e，即-1e<四、解答題(共14分)6.(14分)已知拋物線C1：y=x2+2x和C2：y=-x2+a，如果直線l同時是C1和C2的切線，稱l是C1和C2的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段.(1)當a取何值時，C1和C2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；(7分)(2)若C1和C2有兩條公切線，證明：相應的兩條公切線段互相平分.(7分)(1)解函數y=x2+2x的導數y'=2x+2，曲線C1在點P(x1，x12+2x1)處的切線方程是y-(x12+2x1)=(2x1+2)(x即y=(2x1+2)x-x12函數y=-x2+a的導數y'=-2x，曲線C2在點Q(x2，-x22+a)處的切線方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-即y=-2x2x+x22+a.如果直線l是過P和Q的公切線，則①式和②式都是l的方程，則2x1+2=-2x2，-x12=x2消去x2得方程2x12+2x1+1+a當判別式Δ=4-4×2(1+a)=0，即a=-12時，解得x1=-12，此時點P與即當a=-12時，C1和C2有且僅有一條公切線由①得公切線方程為y=x-14(2)證明由(1)可知，當a<-12時，Δ>0，C1和C2有兩條公切線設一條公切線上的切點為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中P在C1上，Q在C2上，則由(1)得x