高中數學 加練 專題8　第75練　拋物線

第75練拋物線(分值：40分)一、單項選擇題(每小題5分，共10分)1.已知點N(1，1)，拋物線C：x2=4y的焦點為F，P是C上的動點，則|PN|+|PF|的最小值為()A.32 B.2 C.5答案B解析過點P作PQ垂直拋物線C的準線l：y=-1于點Q，由拋物線定義可得|PQ|=|PF|，則|PN|+|PF|=|PN|+|PQ|≥|NQ|，當且僅當N，P，Q三點共線，NQ垂直拋物線C的準線，即xP=1時，|PN|+|PQ|有最小值2.2.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，拋物線上有一點M，過點M的直線交拋物線的準線于點N，若MF⊥NF，|MF|=2|NF|=5，則p等于()A.14 B.12答案D解析如圖，過M作MM1⊥l于M1，由拋物線的定義知|MM1|=|MF|=5，又MF⊥NF，則Rt△MNF≌Rt△MNM1，設∠FMN=α，則∠M1MN=α，因為|MF|=2|NF|=5，則|MN|=|MF|2+所以sinα=|NF||MN|=15，由于MM1∥所以∠MFx=∠M1MF=2α，則cos∠MFx=cos2α=1-2sin2α=35則|MF|cos∠MFx=3，所以|MM1|=p+3=5，則p=2.二、多項選擇題(每小題6分，共12分)3.已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F的直線l交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，且A，B在其準線上的射影分別為A1，B1，則下列結論正確的是()A.若直線l⊥x軸，則|AB|=2B.x1x2=1C.y1y2=-4D.∠A1FB1=π答案CD解析由題意知，拋物線C的焦點為F(1，0)，準線方程為x=-1，顯然l不垂直于y軸，設l的方程為x=my+1，由x=my+1，y2=4x，得y2-4my若直線l⊥x軸，則m=0，x=1，則|AB|=4，故選項A錯誤；∵y1y2=-4，則x1x2=y124·y224=(如圖，由拋物線的定義知|AF|=|A1A|，∴∠AA1F=∠AFA1，又AA1∥x軸，∴∠AA1F=∠A1FO，∴∠AFA1=∠A1FO=12∠AFO同理可得∠BFB1=∠B1FO=12∠BFO∴∠A1FB1=∠A1FO+∠B1FO=12(∠AFO+∠BFO)=π2，故選項D4.拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為F，直線l：y=2交C于A，B兩點，且OA⊥OB，已知點M(0，4)，圓M與直線l相切，則()A.p=1B.圓M的方程為x2+(y-4)2=2C.過點F作圓M的切線，切點所在的直線方程為y=20D.拋物線上的點G與圓M上的點的最小距離為2答案AC解析對于A選項，設點A(m，2)，B(-m，2)，m>0，由OA⊥OB，得-m2+4=0，即m2=4，即m=2，所以點A(2，2)，B(-2，2)，4=4p，即p=1，故A正確；對于B選項，易知圓M的半徑為2，故圓M的方程為x2+(y-4)2=4，故B錯誤；對于C選項，由A選項知，點F的坐標為0，12，過點F作圓M的切線，則切點在以FM為直徑的圓x2+y2-92y+2=0上，又切點也在圓M上，所以切點在直線y=對于D選項，設拋物線上的點G(x0，y0)與圓M上點的距離為d，d=x0=x02+=(y0-3)2當且僅當y0=3時取等號，故D錯誤.三、填空題(共5分)5.過拋物線C：y2=8x的焦點F且斜率為3的直線交拋物線C于點M(M在x軸上方)，直線l為拋物線C的準線，點N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為.答案43解析設直線l交x軸于點A，則|AF|=4，因為直線MF的斜率為3，則該直線的傾斜角為π3由拋物線的定義可得|MN|=|MF|，易知MN∥x軸，則∠NMF=π3故△MNF是等邊三角形，則∠AFN=∠MNF=π3所以|FN|=|AF|cosπ因此M到直線NF的距離為8sinπ3=43四、解答題(共13分)6.(13分)已知圓C：x2+y2=2x，動點P在y軸的右側，P到y軸的距離比它到圓心C的距離小1.(1)求動點P的軌跡E的方程；(4分)(2)過圓心C作直線l與軌跡E和圓C交于四個點，自上而下依次為A，M，N，B，若|AM|，|MN|，|NB|成等差數列，求|AB|及直線l的方程.(9分)解(1)圓C的方程x2+y2=2x化為標準方程為(x-1)2+y2=1，可得半徑r=1，圓心C(1，0)，因為動點P在y軸的右側，P到y軸的距離比它到圓心C的距離小1，所以點P到定點C(1，0)的距離與到定直線x=-1的距離相等，所以由拋物線的定義得，P(x，y)的軌跡E的方程為y2=4x(x>0).(2)如圖，由圓C的半徑為1，可得|MN|=2，因為|AM|，|MN|，|NB|成等差數列，所以|AM|+|NB|=2|MN|=4.又|AM|+|NB|=|AB|-|MN|=2|MN|，所以|AB|=3|MN|=6，當直線l的斜率為0時，直線l與拋物線只有1個交點，不符合題意；所以直線l的斜率不為0，可設直線l的方程為x=my+1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知m≠0，聯立