高中數學 加練 專題8　第88練　等角定理與蝴蝶定理

第88練等角定理與蝴蝶定理(分值：30分)1.等角定理(1)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，過長軸上任意一點N(t，0)(0<|t|<a)的弦的端點A，B與對應點Ga2t，0圖1圖2(2)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，過實軸所在直線上任意一點N(t，0)(t≠0且t≠±a)的弦的端點A，B與對應點Ga2t，0(3)已知拋物線y2=2px(p>0)，過拋物線對稱軸上任意一點N(a，0)(a>0)的一條弦的端點A，B與對應點G(-a，0)的連線所成的角被對稱軸平分，即∠OGA=∠OGB(如圖3).圖32.蝴蝶定理設Q為圓內弦XY的中點，過Q作弦AB和CD，設AD和BC交XY于點P和R，則Q是PR的中點.進一步，去掉Q為中點的條件，可得“坎迪定理”：當Q不為中點時，滿足1|XQ|-1|YQ|=1|PQ|-定理原本只是圓的背景，通過射影幾何，我們可以非常容易地將蝴蝶定理推廣到普通的任意圓錐曲線(包括橢圓、雙曲線、拋物線，甚至退化到兩條相交直線的情況).圓錐曲線上弦XY的中點為Q，過Q作弦AB和CD，設AD和BC交XY于點P和R，則Q是PR的中點.進一步，去掉Q為中點的條件，可得“坎迪定理”：當Q不為中點時，滿足1|XQ|-1|YQ|=1|PQ|-1.(15分)設橢圓C：x22+y2=1的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為(2，0(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；(6分)(2)設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.(9分)(1)解c=2-1=1，所以F(1，0)，因為l與x軸垂直，所以l的方程為x=1，由x=1，x2即A1，22或所以直線AM的方程為y=-22x+2或y=22x-2，即x+2y-2=0或x-2y(2)證明方法一當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°；當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB；當l與x軸不重合也不垂直時，設l的方程為y=k(x-1)，k≠0，聯立y=k(x-1)和x22+y2=1，得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0，Δ=8k2設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則-2<x1<2，-2<x2<2，且x1+x2=4k22k2+1，x所以kMA+kMB=y1x=2k而2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=12k2+1(4k3-4k-12k3+8k3+4k)=0，進而kMA+故MA，MB的傾斜角互補，所以∠OMA=∠OMB，綜上，∠OMA=∠OMB.方法二當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°，當l與x軸不重合時，由(1)知橢圓C的右焦點為F(1，0)，設直線l：x=my+1，聯立橢圓方程x2+2y2=2，得(2+m2)y2+2my-1=0，設直線l與橢圓C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則Δ=4m2+4(2+m2)>0恒成立，且y1+y2=-2m2+m2，y1y所以kMA+kMB=y1x=y=y=2m由2my1y2-(y1+y2)=2m·-12+m2可得kMA+kMB=0，故MA，MB的傾斜角互補，則∠OMA=∠OMB.綜上，∠OMA=∠OMB.2.(15分)已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，四點P1(1，1)，P2(0，1)，P3-1，3(1)求橢圓Γ的方程；(5分)(2)蝴蝶定理：如圖1，AB為圓O的一條弦，M是AB的中點，過M作圓O的兩條弦CD，EF.若CF，ED分別與直線AB交于點P，Q，則|MP|=|MQ|.該結論可推廣到橢圓.如圖2所示，假定在橢圓Γ中，弦AB的中點M的坐標為0，12，且兩條弦CD，EF所在直線的斜率存在，證明：|MP|=|MQ|.((1)解由于P3，P4兩點關于y軸對稱，故由題設知橢圓Γ經過P3，P4兩點，又由1a2+1b2>1a2+34b2知，橢圓Γ因此1b2故橢圓Γ的方程為x24+y2(2)證明因為點M的坐標0，12在y軸上，且M為AB的中點，所以直線AB設C(x1，y1)，D(x2，y2)，E(x3，y3)，F(x4，y4)，設直線CD的方程為y=k1x+12代入橢圓Γ：x24+y2得k12+14x2+k1由根與系數的關系可得x1+x2=-4kx1x2=-34k1同理，設直線EF的方程為y=k2x+12代入橢圓Γ：x24+y2得k22+14x2+k2由根與系數的關系可得x3+x4=-4kx3x4=-34k2由C，P，