2026年天津市湘教版高中數學必修第二冊第5章函數性質測試題

2026年天津市湘教版高中數學必修第二冊第5章函數性質測試題一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.已知函數f(x)=x3-3x+1，則f(x)在區間(-2,1)上（）A.既有極大值又有極小值B.只有極大值C.只有極小值D.沒有極值2.函數f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.2C.3D.43.若函數f(x)=ax2+bx+c在x=1處取得極小值，且f(0)=1，則b+c的值等于（）A.-1B.0C.1D.24.函數f(x)=ln(x2-2x+3)在區間(0,3)上的單調性是（）A.單調遞增B.單調遞減C.先增后減D.先減后增5.已知函數f(x)=x3-3x2+2x在x=2處的切線方程為（）A.y=xB.y=2xC.y=3x-4D.y=4x-56.函數f(x)=e^x-x3在區間(-1,1)上的零點個數是（）A.0B.1C.2D.37.若函數f(x)=x2-2ax+a2在x=1處取得最小值，則a的取值范圍是（）A.a>1B.a<1C.a=1D.a∈R8.函數f(x)=sin(x)+cos(2x)在區間(0,π/2)上的最大值是（）A.√2B.1C.√3/2D.09.已知函數f(x)=x3-3x2+2x在x=1處的二階導數為（）A.-1B.0C.1D.210.函數f(x)=|x-1|+|x-2|在區間(0,3)上的最大值是（）A.1B.2C.3D.4二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.函數f(x)=x3-3x+1的極小值點是_________。2.函數f(x)=|x-1|+|x+1|的值域是_________。3.若函數f(x)=ax2+bx+c在x=-1處取得極大值，且f(0)=1，則b-c的值等于_________。4.函數f(x)=ln(x2-2x+3)在區間(1,2)上的單調遞增區間是_________。5.已知函數f(x)=x3-3x2+2x在x=2處的切線斜率是_________。6.函數f(x)=e^x-x3在區間(-2,2)上的最大值是_________。7.若函數f(x)=x2-2ax+a2在x=2處取得最小值，則a的取值范圍是_________。8.函數f(x)=sin(x)+cos(2x)在區間(π/4,π/2)上的最小值是_________。9.已知函數f(x)=x3-3x2+2x在x=1處的三階導數為_________。10.函數f(x)=|x-1|+|x-2|在區間(1,2)上的最小值是_________。三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.函數f(x)=x3在區間(-1,1)上既有極大值又有極小值。2.函數f(x)=|x-1|+|x+1|在區間(-∞,∞)上單調遞增。3.若函數f(x)=ax2+bx+c在x=1處取得極小值，則a>0。4.函數f(x)=ln(x2-2x+3)在區間(0,3)上單調遞增。5.已知函數f(x)=x3-3x2+2x在x=2處的切線方程為y=x。6.函數f(x)=e^x-x3在區間(-1,1)上存在兩個零點。7.若函數f(x)=x2-2ax+a2在x=1處取得最小值，則a=1。8.函數f(x)=sin(x)+cos(2x)在區間(0,π/2)上的最大值是√2。9.已知函數f(x)=x3-3x2+2x在x=1處的二階導數為0。10.函數f(x)=|x-1|+|x-2|在區間(1,2)上單調遞減。四、簡答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.求函數f(x)=x3-3x2+2x的極值點。2.求函數f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值時的x值。3.若函數f(x)=ax2+bx+c在x=1處取得極小值，且f(0)=1，求b+c的值。4.求函數f(x)=ln(x2-2x+3)在區間(0,3)上的單調遞增區間。5.求函數f(x)=x3-3x2+2x在x=2處的切線方程。6.求函數f(x)=e^x-x3在區間(-2,2)上的最大值。7.若函數f(x)=x2-2ax+a2在x=2處取得最小值，求a的取值范圍。8.求函數f(x)=sin(x)+cos(2x)在區間(π/4,π/2)上的最小值。五、應用題（本大題共8小題，每小題4分，共24分）1.已知函數f(x)=x3-3x2+2x，求f(x)在區間[-2,2]上的最大值和最小值。2.已知函數f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)在區間[-3,3]上的最大值和最小值。3.若函數f(x)=ax2+bx+c在x=1處取得極小值，且f(0)=1，求f(2)的值。4.已知函數f(x)=ln(x2-2x+3)，求f(x)在區間(0,3)上的單調遞增區間。5.已知函數f(x)=x3-3x2+2x在x=2處的切線方程為y=x，求a的值。6.已知函數f(x)=e^x-x3，求f(x)在區間(-2,2)上的最大值。7.若函數f(x)=x2-2ax+a2在x=2處取得最小值，求f(0)的值。8.已知函數f(x)=sin(x)+cos(2x)，求f(x)在區間(π/4,π/2)上的最小值。【標準答案及解析】一、單項選擇題1.C解析：f'(x)=3x2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-1)=5，f(1)=-1，f(-2)=3，f(1)=5，在(-2,-1)上單調遞增，(-1,1)上單調遞減，故在x=-1處取得極大值，x=1處取得極小值。2.C解析：f(x)=|x-1|+|x+2|表示數軸上x到1和-2的距離之和，最小值為1-(-2)=3。3.A解析：f'(x)=2ax+b，x=1處取得極小值，則f'(1)=2a+b=0，f(0)=c=1，b=-2a，c=1，b+c=-2a+1，若a=1，b=-2，b+c=-1。4.A解析：f'(x)=2(x-1)/(x2-2x+3)，在(0,1)上f'(x)<0，在(1,3)上f'(x)>0，故在(0,3)上單調遞增。5.C解析：f'(x)=3x2-6x+2，f'(2)=3×4-12+2=2，f(2)=8-12+4=0，切線方程為y-0=2(x-2)，即y=2x-4，化簡為y=3x-4。6.B解析：f'(x)=e^x-3x2，f'(-1)=e^-1-3>0，f'(0)=1>0，f'(1)=e-3<0，f'(2)=e^2-12<0，f(x)在(-1,0)單調遞增，(0,1)單調遞增，(1,2)單調遞減，f(-1)=e+1>0，f(0)=1>0，f(1)=e-1>0，f(2)=e^2-6<0，故在(0,1)上存在唯一零點。7.A解析：f'(x)=2x-2a，x=1處取得最小值，則f'(1)=2-2a=0，a=1，f(x)=(x-1)2，開口向上，最小值在x=1處取得，故a>1。8.A解析：f'(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，在(0,π/2)上，cos(x)>0，令1-4sin(x)=0得sin(x)=1/4，x=arcsin(1/4)，f(x)在(0,arcsin(1/4))單調遞增，在(arcsin(1/4),π/2)單調遞減，f(0)=1，f(π/2)=0，f(arcsin(1/4))=√2/2+√14/8>√2，故最大值為√2。9.B解析：f''(x)=6x-6，f''(1)=6-6=0。10.C解析：f(x)=|x-1|+|x-2|表示數軸上x到1和2的距離之和，最小值為1，最大值在x=0或x=3處取得，f(0)=3，f(3)=4，故最大值為4。二、填空題1.1解析：f'(x)=3x2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-1)=5，f(1)=-1，故極小值點是1。2.[1,∞)解析：f(x)=|x-1|+|x+2|表示數軸上x到1和-2的距離之和，最小值為1，故值域為[1,∞)。3.-1解析：f'(x)=2ax+b，x=-1處取得極大值，則f'(-1)=-2a+b=0，b=2a，f(0)=c=1，b-c=2a-1，若a=1，b=2，b-c=1，矛盾，故a=-1，b=-2，b-c=-2-1=-3。4.(1,√2)解析：f'(x)=2(x-1)/(x2-2x+3)，在(1,√2)上f'(x)>0，故單調遞增。5.2解析：f'(x)=3x2-6x+2，f'(2)=12-12+2=2。6.1解析：f'(x)=e^x-3x2，f(-2)=e^-2-12<0，f(0)=1>0，f(1)=e-3<0，f(2)=e^2-12<0，f(x)在(-2,0)單調遞增，(0,1)單調遞增，(1,2)單調遞減，f(x)在x=0處取得最大值1。7.a>2解析：f'(x)=2x-2a，x=2處取得最小值，則f'(2)=4-2a=0，a=2，f(x)=(x-a)2，開口向上，最小值在x=a處取得，故a>2。8.√2/2-1/2解析：f'(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，在(π/4,π/2)上，cos(x)>0，令1-4sin(x)=0得sin(x)=1/4，x=π/4，f(x)在(π/4,π/2)單調遞減，f(π/4)=√2/2+√14/8>√2/2，f(π/2)=0，故最小值為0。9.0解析：f'''(x)=6，f'''(1)=6。10.1解析：f(x)=|x-1|+|x-2|表示數軸上x到1和2的距離之和，最小值為1，故最小值為1。三、判斷題1.×解析：f(x)=x3在區間(-1,1)上單調遞增，無極值。2.×解析：f(x)=|x-1|+|x+1|在區間(-∞,-1)上單調遞減，(-1,1)上單調遞增，(1,∞)上單調遞增。3.×解析：f(x)=ax2+bx+c在x=1處取得極小值，則f'(1)=2a+b=0，a可正可負。4.×解析：f'(x)=2(x-1)/(x2-2x+3)，在(1,√2)上f'(x)>0，在(√2,3)上f'(x)<0，故先增后減。5.×解析：f'(2)=2，切線斜率為2，切線方程為y=2(x-2)+2=2x-2。6.×解析：f(x)在(-1,0)單調遞增，(0,1)單調遞增，(1,2)單調遞減，f(x)在x=0處取得最大值1，在x=1處取得最大值e-1>1，故在(-1,1)上存在唯一零點。7.×解析：f'(x)=2x-2a，x=1處取得最小值，則f'(1)=2-2a=0，a=1，f(x)=(x-1)2，開口向上，最小值在x=1處取得，故a<1。8.×解析：f'(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，在(0,π/4)上f'(x)>0，在(π/4,π/2)上f'(x)<0，f(x)在(0,π/4)單調遞增，(π/4,π/2)單調遞減，f(0)=1，f(π/2)=0，故最大值為1。9.×解析：f''(x)=6x-6，f''(1)=6-6=0。10.×解析：f(x)=|x-1|+|x-2|表示數軸上x到1和2的距離之和，在(1,2)上單調遞增。四、簡答題1.解：f'(x)=3x2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-1)=5，f(1)=-1，f(-2)=3，f(1)=5，在(-2,-1)上單調遞增，(-1,1)上單調遞減，故極大值點是-1，極小值點是1。2.解：f(x)=|x-1|+|x+2|表示數軸上x到1和-2的距離之和，最小值為1，取得最小值時x=1。3.解：f'(x)=2ax+b，x=1處取得極小值，則f'(1)=2a+b=0，f(0)=c=1，b=-2a，c=1，b+c=-2a+1。4.解：f'(x)=2(x-1)/(x2-2x+3)，在(1,√2)上f'(x)>0，故單調遞增區間為(1,√2)。5.解：f'(x)=3x2-6x+2，f'(2)=2，f(2)=0，切線方程為y-0=2(x-2)，即y=2x-4。6.解：f'(x)=e^x-3x2，f(-2)=e^-2-12<0，f(0)=1>0，f(1)=e-3<0，f(2)=e^2-12<0，f(x)在(-2,0)單調遞增，(0,1)單調遞增，(1,2)單調遞減，f(x)在x=0處取得最大值1。7.解：f'(x)=2x-2a，x=2處取得最小值，則f'(2)=4-2a=0，a=2，f(x)=(x-2)2，開口向上，最小值在x=2處取得，故a>2。8.解：f'(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，在(π/4,π/2)上f'(x)<0，故單調遞減，f(π/4)=√2/2+√14/8>√2/2，f(π/2)=0，故最小值為0。五、應用題1.解：f'(x)=3x2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，f(-2)=10，f(1-√3/3)=4-2√3，f(1+√3/3)=4+2√3，f(2)=0，故最大值為10，最小值為4-2√3