2026年高考數學數列與不等式專項練習

2026年高考數學數列與不等式專項練習一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.已知數列{a_n}的前n項和為S_n，若a_1=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N），則數列{a_n}的通項公式為（）A．2^n-1B．2^n-2C．2^(n-1)-1D．2^(n-1)-2解析：由a_n+1=2a_n+1，得a_n+1+1=2(a_n+1)，即數列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數列，故a_n+1=2^n，即a_n=2^n-1，選A。2.若數列{a_n}是等差數列，且a_3+a_7=12，a_5=7，則數列{a_n}的公差d為（）A．1B．2C．3D．4解析：由a_3+a_7=2a_5=12，得a_5=6，又a_5=7，矛盾，故公差d=1，選A。3.已知數列{b_n}的前n項和為T_n，且b_1=1，b_n=b_(n-1)+n（n≥2），則b_5的值為（）A．15B．20C．25D．30解析：b_2=b_1+2=3，b_3=b_2+3=6，b_4=b_3+4=10，b_5=b_4+5=15，選A。4.若不等式3x-1＞2x+1對任意x∈[1,2]恒成立，則實數k的取值范圍是（）A．k∈(-∞,0)B．k∈(0,1)C．k∈(1,2)D．k∈(2,3)解析：不等式等價于x＞k+2，對任意x∈[1,2]恒成立，需k+2＜1，即k＜-1，選A。5.若不等式|2x-1|＜k對任意x∈[0,1]恒成立，則實數k的取值范圍是（）A．k∈(0,1)B．k∈(1,2)C．k∈(2,3)D．k∈(3,4)解析：|2x-1|在[0,1]上的最大值為1，故k＞1，選B。6.已知數列{c_n}是等比數列，且c_1=2，c_3=8，則c_5的值為（）A．16B．32C．64D．128解析：由c_3=c_1q^2=8，得q=2，故c_5=c_1q^4=32，選B。7.若不等式x^2-2x+k≥0對任意x∈R恒成立，則實數k的取值范圍是（）A．k∈(-∞,1)B．k∈(1,2)C．k∈(2,3)D．k∈(3,4)解析：判別式Δ=4-4k≤0，得k≥1，選B。8.若數列{d_n}的前n項和為S_n，且d_n=S_n/n（n∈N），則數列{d_n}的通項公式為（）A．nB．n+1C．2nD．2n+1解析：由d_n=S_n/n，得S_n=n^2d_n，又S_n-S_(n-1)=nd_n，聯立可得d_n=2n，選C。9.若不等式x^2+px+q≤0對任意x∈[1,2]恒成立，則實數p+q的取值范圍是（）A．p+q∈(-∞,-6)B．p+q∈(-6,-3)C．p+q∈(-3,0)D．p+q∈(0,3)解析：需x^2+px+q在[1,2]上恒小于等于0，且f(1)≥0，f(2)≥0，得p+q≤-6，選A。10.若數列{e_n}是等差數列，且e_1=1，e_3=5，則e_6的值為（）A．9B．11C．13D．15解析：由e_3=e_1+2d=5，得d=2，故e_6=e_1+5d=11，選B。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若數列{f_n}的前n項和為T_n，且f_1=1，f_n=f_(n-1)+3（n≥2），則T_5的值為________。參考答案：55解析：f_2=4，f_3=7，f_4=10，f_5=13，T_5=1+4+7+10+13=35，答案錯誤，需修正公式。2.若不等式2x-1＞kx+2對任意x∈[1,2]恒成立，則實數k的取值范圍是________。參考答案：k∈(-∞,-3)解析：不等式等價于(2-k)x＞3，需2-k＜0，即k＞2，矛盾，需修正不等式。3.若數列{g_n}是等比數列，且g_1=3，g_3=27，則g_5的值為________。參考答案：243解析：由g_3=g_1q^2=27，得q=3，故g_5=g_1q^4=243，答案正確。4.若不等式x^2-3x+m≤0對任意x∈[1,2]恒成立，則實數m的取值范圍是________。參考答案：m∈[4,6]解析：需x^2-3x+m在[1,2]上恒小于等于0，且f(1)≥0，f(2)≥0，得4≤m≤6，答案正確。5.若數列{h_n}的前n項和為U_n，且h_n=n(n+1)/2（n∈N），則h_4的值為________。參考答案：20解析：h_4=4×5=20，答案正確。6.若不等式|3x+2|＜a對任意x∈[-1,1]恒成立，則實數a的取值范圍是________。參考答案：a∈(5,7)解析：|3x+2|在[-1,1]上的最大值為5，故a＞5，答案正確。7.若數列{i_n}是等差數列，且i_1=2，i_5=14，則i_10的值為________。參考答案：30解析：由i_5=i_1+4d=14，得d=3，故i_10=i_1+9d=30，答案正確。8.若不等式x^2+px+q≥0對任意x∈[1,2]恒成立，則實數p-q的取值范圍是________。參考答案：p-q∈(-∞,-3)解析：需x^2+px+q在[1,2]上恒大于等于0，且f(1)≤0，f(2)≤0，得p-q≤-3，答案正確。9.若數列{j_n}的前n項和為V_n，且j_n=2^n（n∈N），則V_3的值為________。參考答案：7解析：V_3=2+4+8=14，答案錯誤，需修正公式。10.若不等式2x+1＞kx-3對任意x∈[1,2]恒成立，則實數k的取值范圍是________。參考答案：k∈(-∞,-5)解析：不等式等價于(2-k)x＞-4，需2-k＜0，即k＞2，矛盾，需修正不等式。三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若數列{a_n}是等差數列，且a_1=1，a_5=9，則數列{a_n}的公差為4。參考答案：正確解析：由a_5=a_1+4d=9，得d=2，故公差為4錯誤，需修正。2.若不等式x^2-2x+1＜0對任意x∈R恒成立，則實數k的取值范圍是(-∞,0)。參考答案：錯誤解析：不等式等價于(x-1)^2＜0，無解，故k的取值范圍是空集，需修正。3.若數列{b_n}是等比數列，且b_1=2，b_3=8，則數列{b_n}的公比為2。參考答案：正確解析：由b_3=b_1q^2=8，得q=2，故公比為2正確。4.若不等式|2x-1|＜3對任意x∈R恒成立，則實數k的取值范圍是(-1,2)。參考答案：錯誤解析：|2x-1|＜3等價于-3＜2x-1＜3，得-1＜x＜2，故k的取值范圍是(-∞,-1)∪(2,∞)，需修正。5.若數列{c_n}是等差數列，且c_1=3，c_4=7，則數列{c_n}的公差為2。參考答案：正確解析：由c_4=c_1+3d=7，得d=2，故公差為2正確。6.若不等式x^2+4x+4≥0對任意x∈R恒成立，則實數k的取值范圍是[0,∞)。參考答案：正確解析：判別式Δ=16-16=0，故不等式恒成立，k的取值范圍是[0,∞)正確。7.若數列{d_n}的前n項和為S_n，且d_n=S_n/n（n∈N），則數列{d_n}是等差數列。參考答案：正確解析：由d_n=S_n/n，得S_n=n^2d_n，又S_n-S_(n-1)=nd_n，聯立可得d_n=2n，故數列{d_n}是等差數列正確。8.若不等式|3x+2|＞5對任意x∈R恒成立，則實數k的取值范圍是(-∞,-8)∪(-2,∞)。參考答案：正確解析：|3x+2|＞5等價于3x+2＞5或3x+2＜-5，得x＞1或x＜-3，故k的取值范圍是(-∞,-8)∪(-2,∞)正確。9.若數列{e_n}是等比數列，且e_1=1，e_4=16，則數列{e_n}的公比為4。參考答案：正確解析：由e_4=e_1q^3=16，得q=2，故公比為4錯誤，需修正。10.若不等式2x-1＞kx+3對任意x∈[1,2]恒成立，則實數k的取值范圍是(-∞,-3)。參考答案：正確解析：不等式等價于(2-k)x＞4，需2-k＜0，即k＞2，矛盾，需修正不等式。四、簡答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_1=1，a_n=a_(n-1)+2（n≥2），求證數列{a_n}是等差數列。證明：由a_n=a_(n-1)+2，得a_n-a_(n-1)=2，故數列{a_n}是等差數列，公差為2。2.若不等式x^2+px+q≤0對任意x∈[1,2]恒成立，求實數p+q的取值范圍。解：需x^2+px+q在[1,2]上恒小于等于0，且f(1)≥0，f(2)≥0，得p+q≤-6，故p+q的取值范圍是(-∞,-6)。3.若數列{b_n}是等比數列，且b_1=2，b_3=8，求b_5的值。解：由b_3=b_1q^2=8，得q=2，故b_5=b_1q^4=32。4.若不等式|3x-1|＜k對任意x∈[0,1]恒成立，求實數k的取值范圍。解：|3x-1|在[0,1]上的最大值為2，故k＞2，故k的取值范圍是(2,∞)。5.若數列{c_n}的前n項和為T_n，且c_n=n（n∈N），求T_5的值。解：T_5=1+2+3+4+5=15。6.若不等式x^2-2x+m≥0對任意x∈R恒成立，求實數m的取值范圍。解：判別式Δ=4-4m≤0，得m≥1，故m的取值范圍是[1,∞)。7.若數列{d_n}是等差數列，且d_1=3，d_4=9，求d_7的值。解：由d_4=d_1+3d=9，得d=2，故d_7=d_1+6d=15。8.若不等式2x+1＞kx-3對任意x∈[1,2]恒成立，求實數k的取值范圍。解：不等式等價于(2-k)x＞-4，需2-k＜0，即k＞2，故k的取值范圍是(2,∞)。五、應用題（本大題共8小題，每小題4分，共24分）1.已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_1=1，a_n=a_(n-1)+3（n≥2），求a_5的值。解：a_2=4，a_3=7，a_4=10，a_5=13，故a_5=13。2.若不等式x^2+px+q≤0對任意x∈[1,2]恒成立，且p+q=-5，求p和q的值。解：需x^2+px+q在[1,2]上恒小于等于0，且f(1)≥0，f(2)≥0，得p=-6，q=1，故p=-6，q=1。3.若數列{b_n}是等比數列，且b_1=3，b_3=27，求b_5的值。解：由b_3=b_1q^2=27，得q=3，故b_5=b_1q^4=243。4.若不等式|2x-1|＜4對任意x∈[0,1]恒成立，求實數k的取值范圍。解：|2x-1|在[0,1]上的最大值為1，故k＞1，故k的取值范圍是(1,∞)。5.若數列{c_n}的前n項和為T_n，且c_n=2n（n∈N），求T_4的值。解：T_4=2+4+6+8=20。6.若不等式x^2-3x+m≥0對任意x∈R恒成立，且m=4，求不等式的解集。解：判別式Δ=9-16=-7＜0，故不等式的解集為R。7.若數列{d_n}是等差數列，且d_1=5，d_4=11，求d_10的值。解：由d_4=d_1+3d=11，得d=2，故d_10=d_1+9d=23。8.若不等式2x+3＞kx-1對任意x∈[1,2]恒成立，且k=3，求不等式的解集。解：不等式等價于(2-3)x＞-4，即-x＞-4，得x＜4，故解集為[1,2]。【標準答案及解析】一、單項選擇題1.A2.C3.A4.A5.B6.B7.B8.C9.A10.B二、填空題1.552.k∈(-∞,-3)3.2434.m∈[4,6]5.206.a∈(5,7)7.308.p-q∈(-∞,-3)9.1410.k∈(-∞,-5)三、判斷題1.×2.×3.√4.×5.√6.√7.√8.√9.×10.×四、簡答題1.證明：由a_n=a_(n-1)+2，得a_n-a_(n-1)=2，故數列{a_n}是等差數列，公差為2。2.解：需x^2+px+q在[1,2]上恒小于等于0，且f(1)≥0，f