2026年福建省湘教版高二數學選修第2章知識點鞏固習題

2026年福建省湘教版高二數學選修第2章知識點鞏固習題一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.在選修2-2中，函數f(x)=ln(x^2+1)在區間(-1,1)上的單調性是（）A.單調遞增且單調遞減B.單調遞減C.單調遞增D.先單調遞減后單調遞增解析：函數f(x)=ln(x^2+1)的導數為f'(x)=2x/(x^2+1)，在區間(-1,1)內，x取負值時f'(x)為負，x取正值時f'(x)為正，故函數在(-1,0)上單調遞減，在(0,1)上單調遞增，選項A正確。2.已知函數g(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，則實數a的值為（）A.eB.1/eC.2eD.e^2解析：函數g(x)的導數為g'(x)=e^x-a，在x=1處取得極值，則g'(1)=e-a=0，解得a=e，選項A正確。3.若函數h(x)=x^3-3x^2+2x+1的導數h'(x)在x=2處為負，則實數k的取值范圍是（）A.k>0B.k<0C.k=0D.k∈R解析：函數h(x)的導數為h'(x)=3x^2-6x+2，在x=2處，h'(2)=3×4-12+2=-2<0，故h(x)在x=2處單調遞減，選項B正確。4.已知函數f(x)=sin(x)+cos(x)在區間[0,π/2]上的最大值是（）A.√2B.1C.πD.2解析：函數f(x)=sin(x)+cos(x)可化為f(x)=√2sin(x+π/4)，在區間[0,π/2]上，x+π/4∈[π/4,3π/4]，sin(x+π/4)的最大值為1，故f(x)的最大值為√2，選項A正確。5.若函數p(x)=x^2+2ax+1在x=1處的切線斜率為-4，則實數a的值為（）A.-3B.-1C.3D.1解析：函數p(x)的導數為p'(x)=2x+2a，在x=1處，p'(1)=2+2a=-4，解得a=-3，選項A正確。6.已知函數q(x)=x^3-3x^2+2x在x=1處的二階導數為（）A.0B.-1C.1D.2解析：函數q(x)的二階導數為q''(x)=6x-6，在x=1處，q''(1)=6-6=0，選項A正確。7.若函數r(x)=ln(x+1)-x在x=0處的泰勒展開式的前三項為（）A.1-x-x^2/2B.1+x-x^2/2C.1-x^2/2D.1+x^2/2解析：函數r(x)的導數為r'(x)=1/(x+1)-1，在x=0處，r(0)=0，r'(0)=0，r''(0)=-1，故泰勒展開式的前三項為1-0-0=1，選項C正確。8.已知函數s(x)=e^x-x^2在x=0處的拐點坐標為（）A.(0,1)B.(0,0)C.(1,1)D.(1,0)解析：函數s(x)的二階導數為s''(x)=e^x-2，在x=0處，s''(0)=1-2=-1，故拐點坐標為(0,1)，選項A正確。9.若函數t(x)=x^3-3x^2+2x在x=1處的局部極值是（）A.極大值B.極小值C.非極值D.無法確定解析：函數t(x)的導數為t'(x)=3x^2-6x+2，在x=1處，t'(1)=0，且t''(1)=-3<0，故x=1處為極大值點，選項A正確。10.已知函數u(x)=sin(x)+cos(x)在x=π/4處的切線方程為（）A.y=√2/2xB.y=√2/2C.y=√2/2x-√2/2D.y=√2/2x+√2/2解析：函數u(x)在x=π/4處的導數為u'(π/4)=√2，切點坐標為(π/4,√2/2)，故切線方程為y-√2/2=√2/2(x-π/4)，化簡得y=√2/2x-√2/2，選項C正確。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.函數f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1處的導數為_________。參考答案：-1解析：函數f(x)的導數為f'(x)=3x^2-6x+2，在x=1處，f'(1)=3-6+2=-1。2.函數g(x)=e^x-ax在x=0處的極值為_________。參考答案：1解析：函數g(x)的導數為g'(x)=e^x-a，在x=0處，g'(0)=1-a=0，解得a=1，故g(0)=1。3.函數h(x)=sin(x)+cos(x)在區間[0,π/2]上的最小值是_________。參考答案：1解析：函數h(x)=sin(x)+cos(x)可化為h(x)=√2sin(x+π/4)，在區間[0,π/2]上，x+π/4∈[π/4,3π/4]，sin(x+π/4)的最小值為1，故h(x)的最小值為√2。4.函數p(x)=x^2+2ax+1在x=1處的切線方程為_________。參考答案：y=-4x+5解析：函數p(x)的導數為p'(x)=2x+2a，在x=1處，p'(1)=2+2a=-4，解得a=-3，故切線方程為y-1=-4(x-1)，化簡得y=-4x+5。5.函數q(x)=x^3-3x^2+2x在x=1處的二階導數為_________。參考答案：0解析：函數q(x)的二階導數為q''(x)=6x-6，在x=1處，q''(1)=6-6=0。6.函數r(x)=ln(x+1)-x在x=0處的泰勒展開式的前三項為_________。參考答案：1-x-x^2/2解析：函數r(x)的導數為r'(x)=1/(x+1)-1，在x=0處，r(0)=0，r'(0)=0，r''(0)=-1，故泰勒展開式的前三項為1-0-0=1。7.函數s(x)=e^x-x^2在x=0處的拐點坐標為_________。參考答案：(0,1)解析：函數s(x)的二階導數為s''(x)=e^x-2，在x=0處，s''(0)=1-2=-1，故拐點坐標為(0,1)。8.函數t(x)=x^3-3x^2+2x在x=1處的局部極值是_________。參考答案：極大值解析：函數t(x)的導數為t'(x)=3x^2-6x+2，在x=1處，t'(1)=0，且t''(1)=-3<0，故x=1處為極大值點。9.函數u(x)=sin(x)+cos(x)在x=π/4處的切線方程為_________。參考答案：y=√2/2x-√2/2解析：函數u(x)在x=π/4處的導數為u'(π/4)=√2，切點坐標為(π/4,√2/2)，故切線方程為y-√2/2=√2/2(x-π/4)，化簡得y=√2/2x-√2/2。10.函數v(x)=x^3-3x^2+2x在x=2處的導數為_________。參考答案：6解析：函數v(x)的導數為v'(x)=3x^2-6x+2，在x=2處，v'(2)=12-12+2=6。三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.函數f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1處的導數為-1，故函數在x=1處取得極值。（）參考答案：×解析：函數f(x)的導數為f'(x)=3x^2-6x+2，在x=1處，f'(1)=0，但f''(1)=-3<0，故x=1處為極大值點，但題目說法不完整，應補充二階導數信息。2.函數g(x)=e^x-ax在x=0處的極值為1，故實數a的值為1。（）參考答案：√解析：函數g(x)的導數為g'(x)=e^x-a，在x=0處，g'(0)=1-a=0，解得a=1，故g(0)=1，題目說法正確。3.函數h(x)=sin(x)+cos(x)在區間[0,π/2]上的最小值是1，故函數在該區間上單調遞增。（）參考答案：×解析：函數h(x)=sin(x)+cos(x)可化為h(x)=√2sin(x+π/4)，在區間[0,π/2]上，x+π/4∈[π/4,3π/4]，sin(x+π/4)的最小值為1，但函數在該區間上并非單調遞增。4.函數p(x)=x^2+2ax+1在x=1處的切線斜率為-4，故實數a的值為-3。（）參考答案：√解析：函數p(x)的導數為p'(x)=2x+2a，在x=1處，p'(1)=2+2a=-4，解得a=-3，題目說法正確。5.函數q(x)=x^3-3x^2+2x在x=1處的二階導數為0，故函數在x=1處取得拐點。（）參考答案：×解析：函數q(x)的二階導數為q''(x)=6x-6，在x=1處，q''(1)=0，但拐點的判定需要三階導數信息，題目說法不完整。6.函數r(x)=ln(x+1)-x在x=0處的泰勒展開式的前三項為1-x-x^2/2，故函數在x=0處取得極值。（）參考答案：×解析：函數r(x)的導數為r'(x)=1/(x+1)-1，在x=0處，r(0)=0，r'(0)=0，r''(0)=-1，故泰勒展開式的前三項為1-0-0=1，但題目說法不完整，應補充極值信息。7.函數s(x)=e^x-x^2在x=0處的拐點坐標為(0,1)，故函數在x=0處取得極值。（）參考答案：×解析：函數s(x)的二階導數為s''(x)=e^x-2，在x=0處，s''(0)=1-2=-1，故拐點坐標為(0,1)，但題目說法不完整，應補充極值信息。8.函數t(x)=x^3-3x^2+2x在x=1處的局部極值是極大值，故函數在x=1處取得全局極值。（）參考答案：×解析：函數t(x)的導數為t'(x)=3x^2-6x+2，在x=1處，t'(1)=0，且t''(1)=-3<0，故x=1處為極大值點，但題目說法不完整，應補充全局極值信息。9.函數u(x)=sin(x)+cos(x)在x=π/4處的切線方程為y=√2/2x-√2/2，故函數在x=π/4處取得極值。（）參考答案：×解析：函數u(x)在x=π/4處的導數為u'(π/4)=√2，切點坐標為(π/4,√2/2)，故切線方程為y=√2/2x-√2/2，但題目說法不完整，應補充極值信息。10.函數v(x)=x^3-3x^2+2x在x=2處的導數為6，故函數在x=2處取得極值。（）參考答案：×解析：函數v(x)的導數為v'(x)=3x^2-6x+2，在x=2處，v'(2)=6，但題目說法不完整，應補充極值信息。四、簡答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.求函數f(x)=x^3-3x^2+2x在區間[-1,3]上的最大值和最小值。參考答案：最大值為1，最小值為-2解析：函數f(x)的導數為f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，解得x=1±√3/3，在區間[-1,3]上，f(-1)=-5，f(1-√3/3)=1-√3/3，f(1+√3/3)=1+√3/3，f(3)=3，故最大值為1，最小值為-2。2.求函數g(x)=e^x-ax在x=1處的極值，并判斷其極值類型。參考答案：極小值，值為e-a解析：函數g(x)的導數為g'(x)=e^x-a，在x=1處，g'(1)=e-a=0，解得a=e，故g(1)=e-e=0，且g''(1)=e>0，故x=1處為極小值點。3.求函數h(x)=sin(x)+cos(x)在區間[0,π/2]上的單調區間。參考答案：單調遞增區間為[0,π/4]，單調遞減區間為[π/4,π/2]解析：函數h(x)=sin(x)+cos(x)可化為h(x)=√2sin(x+π/4)，在區間[0,π/2]上，x+π/4∈[π/4,3π/4]，sin(x+π/4)在[π/4,π/2]上單調遞減，故h(x)在[π/4,π/2]上單調遞減，在[0,π/4]上單調遞增。4.求函數p(x)=x^2+2ax+1在x=1處的切線方程，并判斷其與函數的交點個數。參考答案：切線方程為y=-4x+5，交點個數為1解析：函數p(x)的導數為p'(x)=2x+2a，在x=1處，p'(1)=2+2a=-4，解得a=-3，故切線方程為y-1=-4(x-1)，化簡得y=-4x+5，聯立p(x)=x^2-6x+1和y=-4x+5，解得x=1，故交點個數為1。5.求函數q(x)=x^3-3x^2+2x在x=1處的拐點，并判斷其凹凸性。參考答案：拐點為(1,1)，凹區間為(-∞,1)，凸區間為(1,+∞)解析：函數q(x)的二階導數為q''(x)=6x-6，令q''(x)=0，解得x=1，且q''(x)在x=1兩側變號，故x=1處為拐點，在(-∞,1)上q''(x)<0，故凹區間為(-∞,1)，在(1,+∞)上q''(x)>0，故凸區間為(1,+∞)。6.求函數r(x)=ln(x+1)-x在x=0處的泰勒展開式的前三項，并判斷其收斂域。參考答案：1-x-x^2/2，收斂域為(-1,+∞)解析：函數r(x)的導數為r'(x)=1/(x+1)-1，在x=0處，r(0)=0，r'(0)=0，r''(0)=-1，故泰勒展開式的前三項為1-0-0=1，收斂域為(-1,+∞)。7.求函數s(x)=e^x-x^2在x=0處的拐點，并判斷其凹凸性。參考答案：拐點為(0,1)，凹區間為(-∞,0)，凸區間為(0,+∞)解析：函數s(x)的二階導數為s''(x)=e^x-2，令s''(x)=0，解得x=0，且s''(x)在x=0兩側變號，故x=0處為拐點，在(-∞,0)上s''(x)<0，故凹區間為(-∞,0)，在(0,+∞)上s''(x)>0，故凸區間為(0,+∞)。8.求函數t(x)=x^3-3x^2+2x在x=1處的局部極值，并判斷其全局極值。參考答案：局部極大值，全局極大值解析：函數t(x)的導數為t'(x)=3x^2-6x+2，在x=1處，t'(1)=0，且t''(1)=-3<0，故x=1處為極大值點，且在區間[-1,3]上，t(x)的最大值為1，故x=1處為全局極大值點。五、應用題（本大題共8小題，每小題4分，共24分）1.已知函數f(x)=x^3-3x^2+2x，求函數在區間[-1,3]上的最大值和最小值。案例背景：某工廠生產一種產品，其成本函數為f(x)=x^3-3x^2+2x，其中x表示產量，求工廠在產量為1時的最大利潤和最小利潤。參考答案：最大值為1，最小值為-2解析：函數f(x)的導數為f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，解得x=1±√3/3，在區間[-1,3]上，f(-1)=-5，f(1-√3/3)=1-√3/3，f(1+√3/3)=1+√3/3，f(3)=3，故最大值為1，最小值為-2。2.已知函數g(x)=e^x-ax，求函數在x=1處的極值，并判斷其極值類型。案例背景：某公司投資一種項目，其收益函數為g(x)=e^x-ax，其中x表示投資年限，求公司在投資1年時的最大收益和最小收益。參考答案：極小值，值為e-a解析：函數g(x)的導數為g'(x)=e^x-a，在x=1處，g'(1)=e-a=0，解得a=e，故g(1)=e-e=0，且g''(1)=e>0，故x=1處為極小值點。3.已知函數h(x)=sin(x)+cos(x)，求函數在區間[0,π/2]上的單調區間。案例背景：某城市某天的氣溫變化函數為h(x)=sin(x)+cos(x)，其中x表示時間，求該城市在上午到中午之間的氣溫變化趨勢。參考答案：單調遞增區間為[0,π/4]，單調遞減區間為[π/4,π/2]解析：函數h(x)=sin(x)+cos(x)可化為h(x)=√2sin(x+π/4)，在區間[0,π/2]上，x+π/4∈[π/4,3π/4]，sin(x+π/4)在[π/4,π/2]上單調遞減，故h(x)在[π/4,π/2]上單調遞減，在[0,π/4]上單調遞增。4.已知函數p(x)=x^2+2ax+1，求函數在x=1處的切線方程，并判斷其與函數的交點個數。案例背景：某學校修建一條道路，其路面寬度為p(x)=x^2+2ax+1，其中x表示道路長度，求在道路長度為1時的路面寬度，并判斷其與道路長度的關系。參考答案：切線方程為y=-4x+5，交點個數為1解析：函數p(x)的導數為p'(x)=2x+2a，在x=1處，p'(1)=2+2a=-4，解得a=-3，故切線方程為y-1=-4(x-1)，化簡得y=-4x+5，聯立p(x)=x^2-6x+1和y=-4x+5，解得x=1，故交點個數為1。5.已知函數q(x)=x^3-3x^2+2x，求函數在x=1處的拐點，并判斷其凹凸性。案例背景：某公司生產一種產品，其產量變化函數為q(x)=x^3-3x^2+2x，其中x表示時間，求公司在時間點1時的產量變化趨勢。參考答案：拐點為(1,1)，凹區間為(-∞,1)，凸區間為(1,+∞)解析：函數q(x)的二階導數為q''(x)=6x-6，令q''(x)=0，解得x=1，且q''(x)在x=1兩側變號，故x=1處為拐點，在(-∞,1)上q''(x)<0，故凹區間為(-∞,1)，在(1,+∞)上q''(x)>0，故凸區間為(1,+∞)。6.已知函數r(x)=ln(x+1)-x，求函數在x=0處的泰勒展開式的前三項，并判斷其收斂域。案例背景：某公司投資一種項目，其收益函數為r(x)=ln(x+1)-x，其中x表示投資年限，求公司在投資0年時的收益變化趨勢。參考答案：1-x-x^2/2，收斂域為(-1,+∞)解析：函數r(x)的導數為r'(x)=1/(x+1)-1，在x=0處，r(0)=0，r'(0)=0，r''(0)=-1，故泰勒展開式的前三項為1-0-0=1，收斂域為(-1,+∞)。7.已知函數s(x)=e^x-x^2，求函數在x=0處的拐點，并判斷其凹凸性。案例背景：某城市某天的氣溫變化函數為s(x)=e^x-x^2，其中x表示時間，求該城市在時間點0時的氣溫變化趨勢。參考答案：拐點為(0,1)，凹區間為(-∞,0)，凸區間為(0,+∞)解析：函數s(x)的二階導數為s''(x)=e^x-2，令s''(x)=0，解得x=0，且s''(x)在x=0兩側變號，故x=0處為拐點，在(-∞,0)上s''(x)<0，故凹區間為(-∞,0)，在(0,+∞)上s''(x)>0，故凸區間為(0,+∞)。8.已知函數t(x)=x^3-3x^2+2x，求函數在x=1處的局部極值，并判斷其全局極值。案例背景：某公司生產一種產品，其產量變化函數為t(x)=x^3-3x^2+2x，其中x表示時間，求公司在時間點1時的產量變化趨勢。參考答案：局部極大值，全局極大值解