2026年北師大版高中數學第10單元數列習題集

2026年北師大版高中數學第10單元數列習題集一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.在等差數列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，則該數列的通項公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差數列通項公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。選項A正確。2.已知數列{b_n}滿足b_1=1，b_n=b_{n-1}+2n（n≥2），則b_6的值為（）A.21B.22C.23D.24解析：根據遞推關系b_n=b_{n-1}+2n，依次計算b_2=b_1+4=5，b_3=b_2+6=11，b_4=b_3+8=19，b_5=b_4+10=29，b_6=b_5+12=41。選項均不正確，需重新計算遞推公式：b_n=b_{n-1}+2n，則b_n-b_{n-1}=2n，累加可得b_n=b_1+2(2+3+…+n)=1+2×n(n+1)/2=n(n+1)+1，代入n=6得b_6=6×7+1=43。修正選項為E.43（因原選項錯誤）。3.若數列{c_n}的前n項和S_n=2^n-n+1，則c_4的值為（）A.8B.9C.10D.11解析：由數列通項公式c_n=S_n-S_{n-1}，計算c_1=S_1=2^1-1+1=2，c_2=S_2-S_1=4-2=2，c_3=S_3-S_2=8-4=4，c_4=S_4-S_3=16-8=8。選項A正確。4.在等比數列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，則該數列的公比q等于（）A.3B.2√3C.-3D.±3√2解析：由等比數列通項公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，聯立可得q^2=9，解得q=±3。選項C正確。5.已知數列{e_n}的前n項和T_n=n^2+n，則e_5等于（）A.25B.30C.35D.40解析：由數列通項公式e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1，代入n=5得e_5=2×5-1=9。選項均不正確，需重新計算T_n=n^2+n的通項公式：e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1，代入n=5得e_5=9。修正選項為E.9（因原選項錯誤）。6.若數列{f_n}滿足f_1=2，f_n+1=2f_n+1（n≥1），則f_5等于（）A.31B.32C.33D.34解析：根據遞推關系f_n+1=2f_n+1，依次計算f_2=2×2+1=5，f_3=2×5+1=11，f_4=2×11+1=23，f_5=2×23+1=47。選項均不正確，需重新計算遞推公式：f_n+1=2f_n+1，則f_n+1-1=2f_n，即f_n+1=2f_n+1，累加可得f_n=2^n-1+1=2^n，代入n=5得f_5=32。修正選項為B.32（因原選項錯誤）。7.在等差數列{g_n}中，若a_3+a_7=18，則a_5+a_9等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差數列性質a_3+a_7=2a_5，可得2a_5=18，即a_5=9。又由a_5+a_9=2a_7，且a_7=a_5+2d=9+2d，故a_5+a_9=9+2(9+2d)=27+4d。因未給出公差d，無法確定具體值。選項均不正確，需補充條件：由a_3+a_7=18可得2a_5=18，即a_5=9。又由a_5+a_9=2a_7，且a_7=a_5+2d=9+2d，故a_5+a_9=9+2(9+2d)=27+4d。假設公差d=2，則a_5+a_9=27+8=35。修正選項為E.35（因原選項錯誤）。8.若數列{h_n}的前n項和U_n=3^n-n^2，則數列{h_n}是（）A.等差數列B.等比數列C.摩爾數列D.非等差非等比數列解析：計算h_n=U_n-U_{n-1}=3^n-n^2-[3^{n-1}-(n-1)^2]=3^n-n^2-3^{n-1}+(n-1)^2=2×3^{n-1}-2n+1。因h_n與h_{n-1}的差值不恒定，故非等差數列；公比(2×3^{n-1}/2×3^{n-2})=3不恒定，故非等比數列。選項D正確。9.在等比數列{i_n}中，若i_1+i_2+i_3=13，i_1?i_2?i_3=27，則i_4等于（）A.12B.15C.18D.21解析：設i_1=a，q為公比，則i_2=aq，i_3=aq^2。由i_1+i_2+i_3=a+aq+aq^2=13，且i_1?i_2?i_3=a^3q^3=27，解得a=3，q=1。故i_4=aq^3=3。選項均不正確，需重新計算：由a+aq+aq^2=13，a^3q^3=27，解得a=3，q=1。故i_4=aq^3=3。修正選項為E.3（因原選項錯誤）。10.已知數列{j_n}滿足j_n=n(n+1)/2（n≥1），則j_1+j_2+…+j_10等于（）A.330B.335C.340D.345解析：j_n=n(n+1)/2為前n項和公式，故j_1+j_2+…+j_10即求1×2/2+2×3/2+…+10×11/2，等于(1+2+…+10)(1+1/2)=55×3/2=82.5。選項均不正確，需重新計算：j_n=n(n+1)/2為前n項和公式，故j_1+j_2+…+j_10即求1×2/2+2×3/2+…+10×11/2，等于(1+2+…+10)(1+1/2)=55×3/2=82.5。修正選項為E.82.5（因原選項錯誤）。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若等差數列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，則該數列的公差d等于______。解：由a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，聯立解得d=5/3。參考答案：5/32.已知數列{b_n}滿足b_1=2，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），則b_6的值為______。解：根據遞推關系b_n=b_{n-1}+n，依次計算b_2=4，b_3=7，b_4=10，b_5=13，b_6=16。參考答案：163.若數列{c_n}的前n項和S_n=2^n-n，則c_4等于______。解：由數列通項公式c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，代入n=4得c_4=3。參考答案：34.在等比數列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，則該數列的公比q等于______。解：由等比數列通項公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，聯立可得q^2=9，解得q=±3。參考答案：±35.已知數列{e_n}的前n項和T_n=n^2+n，則e_5等于______。解：由數列通項公式e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1，代入n=5得e_5=9。參考答案：96.若數列{f_n}滿足f_1=2，f_n+1=2f_n+1（n≥1），則f_5等于______。解：根據遞推關系f_n+1=2f_n+1，依次計算f_2=5，f_3=11，f_4=23，f_5=47。參考答案：477.在等差數列{g_n}中，若a_3+a_7=18，則a_5+a_9等于______。解：由等差數列性質a_3+a_7=2a_5，可得2a_5=18，即a_5=9。又由a_5+a_9=2a_7，且a_7=a_5+2d=9+2d，故a_5+a_9=9+2(9+2d)=27+4d。因未給出公差d，無法確定具體值。參考答案：無法確定8.若數列{h_n}的前n項和U_n=3^n-n^2，則數列{h_n}是______。解：由數列通項公式h_n=U_n-U_{n-1}=3^n-n^2-[3^{n-1}-(n-1)^2]=2×3^{n-1}-2n+1。因h_n與h_{n-1}的差值不恒定，故非等差數列；公比(2×3^{n-1}/2×3^{n-2})=3不恒定，故非等比數列。參考答案：非等差非等比數列9.在等比數列{i_n}中，若i_1+i_2+i_3=13，i_1?i_2?i_3=27，則i_4等于______。解：設i_1=a，q為公比，則i_2=aq，i_3=aq^2。由i_1+i_2+i_3=a+aq+aq^2=13，且i_1?i_2?i_3=a^3q^3=27，解得a=3，q=1。故i_4=aq^3=3。參考答案：310.已知數列{j_n}滿足j_n=n(n+1)/2（n≥1），則j_1+j_2+…+j_10等于______。解：j_n=n(n+1)/2為前n項和公式，故j_1+j_2+…+j_10即求1×2/2+2×3/2+…+10×11/2，等于(1+2+…+10)(1+1/2)=55×3/2=82.5。參考答案：82.5三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若數列{a_n}滿足a_n=a_{n-1}+d（n≥2），則{a_n}一定是等差數列。（）解：等差數列的定義是相鄰兩項之差為常數，題干條件滿足該定義，故正確。參考答案：正確2.若數列{b_n}的前n項和S_n=n^2，則b_n=2n。（）解：由數列通項公式b_n=S_n-S_{n-1}=n^2-[（n-1）^2]=2n-1，故b_n≠2n。參考答案：錯誤3.在等比數列{c_n}中，若c_3=8，c_5=32，則公比q=2。（）解：由等比數列性質c_5=c_3q^2，代入8q^2=32，解得q=±2。題干未指明正負，故不能確定q=2。參考答案：錯誤4.若數列{d_n}的前n項和T_n=2^n-n，則{d_n}是等比數列。（）解：由數列通項公式d_n=T_n-T_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，公比(2×2^{n-1}/2^{n-2})=2不恒定，故非等比數列。參考答案：錯誤5.在等差數列{e_n}中，若a_1+a_10=20，則a_5+a_6=10。（）解：由等差數列性質a_1+a_10=2a_5+8d=20，a_5+a_6=2a_5+d，無法確定具體值。參考答案：錯誤6.若數列{f_n}滿足f_n=f_{n-1}+n（n≥2），則{f_n}是等差數列。（）解：由遞推關系f_n-f_{n-1}=n，差值不恒定，故非等差數列。參考答案：錯誤7.在等比數列{g_n}中，若g_1?g_4=16，則公比q=2。（）解：由等比數列性質g_4=g_1q^3，代入g_1g_1q^3=16，解得q=2或q=-2。題干未指明正負，故不能確定q=2。參考答案：錯誤8.若數列{h_n}的前n項和U_n=3^n-n^2，則{h_n}是等比數列。（）解：由數列通項公式h_n=U_n-U_{n-1}=2×3^{n-1}-2n+1，公比(2×3^{n-1}/2×3^{n-2})=3不恒定，故非等比數列。參考答案：錯誤9.在等差數列{i_n}中，若i_1+i_2+i_3=9，則i_4=3。（）解：由等差數列性質i_1+i_2+i_3=3i_2=9，可得i_2=3。又由i_4=i_2+2d，無法確定具體值。參考答案：錯誤10.若數列{j_n}滿足j_n=n(n+1)/2（n≥1），則j_1+j_2+…+j_10=55。（）解：j_n=n(n+1)/2為前n項和公式，故j_1+j_2+…+j_10即求1×2/2+2×3/2+…+10×11/2，等于(1+2+…+10)(1+1/2)=55×3/2=82.5。參考答案：錯誤四、簡答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.已知等差數列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，求該數列的通項公式a_n。解：由等差數列通項公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，聯立解得a_1=2，d=5/3，故a_n=2+(n-1)×5/3=5/3n+1/3。2.若數列{b_n}滿足b_1=1，b_n=b_{n-1}+2n（n≥2），求b_6的值。解：根據遞推關系b_n=b_{n-1}+2n，依次計算b_2=3，b_3=5，b_4=9，b_5=13，b_6=17。3.已知數列{c_n}的前n項和S_n=2^n-n，求c_4的值。解：由數列通項公式c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，代入n=4得c_4=3。4.在等比數列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，求該數列的公比q。解：由等比數列通項公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，聯立可得q^2=9，解得q=±3。5.已知數列{e_n}的前n項和T_n=n^2+n，求e_5的值。解：由數列通項公式e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1，代入n=5得e_5=9。6.若數列{f_n}滿足f_1=2，f_n+1=2f_n+1（n≥1），求f_5的值。解：根據遞推關系f_n+1=2f_n+1，依次計算f_2=5，f_3=11，f_4=23，f_5=47。7.在等差數列{g_n}中，若a_3+a_7=18，求a_5+a_9的值。解：由等差數列性質a_3+a_7=2a_5，可得2a_5=18，即a_5=9。又由a_5+a_9=2a_7，且a_7=a_5+2d=9+2d，故a_5+a_9=9+2(9+2d)=27+4d。因未給出公差d，無法確定具體值。8.若數列{h_n}的前n項和U_n=3^n-n^2，判斷{h_n}是否為等差數列或等比數列。解：由數列通項公式h_n=U_n-U_{n-1}=2×3^{n-1}-2n+1，因h_n與h_{n-1}的差值不恒定，故非等差數列；公比(2×3^{n-1}/2×3^{n-2})=3不恒定，故非等比數列。五、應用題（本大題共8小題，每小題4分，共24分）1.某工廠計劃每年比上一年增加生產設備數量，已知第一年增加10臺，第二年增加12臺，第三年增加14臺，以此類推。求第10年增加的設備數量。解：由題意可知，每年增加的設備數量構成等差數列，首項a_1=10，公差d=2。第10年增加的設備數量為a_{10}=a_1+(10-1)d=10+9×2=28臺。2.某城市人口增長率為每年10%，已知2020年人口為100萬，求2025年的人口數量。解：由題意可知，人口增長構成等比數列，首項a_1=100萬，公比q=1.1。2025年的人口數量為a_5=a_1q^4=100×1.1^4≈133.1萬。3.某學生計劃每天比前一天多背10個單詞，已知第一天背50個單詞，求第10天背的單詞數量。解：由題意可知，每天背的單詞數量構成等差數列，首項a_1=50，公差d=10。第10天背的單詞數量為a_{10}=a_1+(10-1)d=50+9×10=140個。4.某投資項目的回報率為每年20%，已知初始投資為1000元，求5年后的投資總額。解：由題意可知，投資回報構成等比數列，首項a_1=1000元，公比q=1.2。5年后的投資總額為a_5=a_1q^4=1000×1.2^4≈2073.6元。5.某工廠計劃每年比上一年減少能耗，已知第一年能耗為100噸，第二年能耗為90噸，第三年能耗為80噸，以此類推。求第10年的能耗。解：由題意可知，每年減少的能耗構成等差數列，首項a_1=100噸，公差d=-10噸。第10年的能耗為a_{10}=a_1+(10-1)d=100+9×(-10)=10噸。6.某城市道路建設計劃每年新建道路長度比上一年多1公里，已知第一年新建道路5公