現代信號處理教程（第三版）課件 第16、15章 模擬-信息轉換及CS的應用、壓縮感知的基礎理論-2

第16章模擬/信息轉換及CS的應用

16.1模擬/信息轉換的基本概念16.2Shannon抽樣定理及其擴展16.3基于隨機解調的模擬/信息轉換方案16.4基于調制寬帶轉換器的模擬/信息轉換方案16.5基于Xampling的模擬/信息轉換方案簡介16.6壓縮感知的應用16.1模擬/信息轉換的基本概念CS的基本公式待“抽樣”（重建）信號；未知，可能是模擬，可能是數字測量（已知）信號；它總是數字的。測量矩陣，長方陣由第15章討論的問題由第16章要討論的AIC問題Shannon抽樣定理成立的基本要求是待抽樣信號是有限帶寬的，從而有

，而基于CS的模擬/信息轉換（AIC）的基本要求是信號是稀疏的，或可壓縮的。信號經過變換（如DFT、DCT、WT，或其它合適的字典）后，在變換域容易做到稀疏，即其頻譜雖然還是帶限的，但是大部分區域是空的（即基本為零）。因此，充分利用信號的稀疏性是以遠低于奈奎斯特率的頻率進行抽樣得到測量的關鍵。

在15.1節我們曾提出了一個問題：能否直接“感知”信號

中重要的成分而對其采集、對不重要的成分而不采集呢？這實際上是不可能的，因為在對將要到來的信號采集時我們無法事先知道其那一部分重要，那一部分不重要。因此，合理的做法是對信號進行隨機抽樣，或隨機測量。因果性15.7節指出，如果是隨機矩陣，那么和以大概率具有RIP性質，從而保證了由對重建的唯一性。隨機矩陣可選擇高斯分布，或伯努利（Bernoulli）分布，或亞高斯分布等。顯然，選擇為隨機矩陣，那么測量不再是的均勻間隔（）上的點，而是信號的元素經隨機加權后得到的個點。即是在上的隨機投影。

將上述理論用于實際信號的抽樣時，一方面，必須考慮硬件的實現問題，另一方面，面對的是模擬信號。這時，基于離散形式的CS的基本公式必須做出改變。顯然，要實現上式，需要做如下工作：

每一項都有其限制和難度，首先，我們無法用硬件產生復函數的

，而復函數是很多變換里所必須的，如DFT，其次，個相關器/積分器是并行工作的，其成本和體積都是不可忽視的。

人們為解決上述問題做出了很大的努力，特別是在構造測量函數

方面。最簡單的，也是提出最早的是選擇

式中的表示在時間段內的個位置。設想，如果這個點代表的抽樣速度小于，那么，為使保留在時間段內的完整信息，將不能是在時間段內的均勻抽樣，而應該是非均勻抽樣。

已提出的A/IC方案：

（1）隨機抽樣

；

（2）隨機濾波器

；

（3）隨機卷積

；

（4）隨機解調（randomdemodulator，RD）

；

（5）多陪集（Multi-coset）抽樣

；

（6）調制寬帶轉換器（modulatedwideband~，MWC）

（7）“Xampling”方案；

（8）分段壓縮感知

等。上述多數方案離實際的工程應用還有相當的距離。主要討論：RD；MWC；Xampling注意：前四個都帶有“隨機”二字上述AIC方案和經典的Shannon抽樣定理及其擴展有著密切的聯系，如擴展內容中的帶通信號抽樣、多通道抽樣及非均勻抽樣等。因此，在討論AIC方案之前，我們在下面先介紹一下Shannon抽樣定理及其擴展，然后重點討論模擬/信息轉換中兩個值得關注的方案，一個是隨機解調（RD）方案，另一個是調制寬帶轉換器（MWC）方案。最后簡單介紹一下在MWC方案基礎上發展起來的“Xampling”方案及自2015年后至今AIC的一些新進展。在AIC方案中，“隨機”，“非均勻”，“帶通”，“多帶”等等，都經常遇到，它們是針對的信號模型，或抽樣策略。如在介紹RD方案時，我們會發現前述的將變成一個由組成的偽隨機序列。RD方案針對的是純正弦信號，即頻譜為線譜，是各種方案中最簡單的一種。

Shannon抽樣定理：

設

是有限帶寬的，抽樣頻率

至少要是其最高頻率

的兩倍，才能由抽樣后的離散信號

精確地恢復（或重建）出

。如何重建？1.D/A；2.重建公式：

16.2Shannon抽樣定理及其擴展[Sha49]ShannonC.E.Communicationinthepresenceofnoise.Proc.IRE,（37）,10–21，1949(又見：Proc.IEEE.86（2），447–457，1998)E.T.WhittakerJ.M.WhittakerV.A.Kotel’nikov早期對抽樣定理有貢獻文獻上：Shannon抽樣定理又稱Whittaker－Kotel’nikov－Shannon（WKS）抽樣定理

Shannon為了肯定H.Nyquist在通信理論中的重要貢獻

，將

稱為Nyquist頻率，簡稱為Nyquist率。NyquistH.Certaintopicsintelegraphtransmissiontheory.Trans.Amer.Inst.Elect.Eng.,vol.47,617–644,1928.

按Shannon抽樣定理，在通信和雷達等領域的抽樣頻率都過高，以致給A/D和后處理都帶來極大的挑戰。例如，在最近十多年發展起來的認知無線電（cognitiveradio）中，若按此來抽樣，抽樣頻率可高達幾個GHz。

物理信號的頻譜多具有稀疏性：雖然其最高頻率為

，但并不是都填滿空間

，中間會有許多為零和接近為零的頻帶，如帶通信號和多帶信號。因此，不考慮頻譜的稀疏性而一律采用

來抽樣似不夠合理。1949年提出后，人們對該領域繼續給以了很大的關注，并對其進行了多方面的擴展。

文獻：JerriA.J.TheShannonsamplingtheorem—Itsvariousextensionsandapplications:Atutorialreview，Proc.IEEE，65（11），1565–1596，1977.（1）多變量信號（即

維信號）的抽樣；

（2）非均勻抽樣；

（3）非帶限信號的抽樣；

（4）隱抽樣（implicitsampling）；

（5）隨機過程抽樣；

（6）帶通信號的抽樣；

（7）基于廣義函數（generilizedfunctions）的抽樣

詳細討論了Shannon抽樣定理，介紹了1949－1977年近30年間Shannon抽樣定理的擴展：是全面討論Shannon抽樣定理的又一篇重要論文，特別是補充了1977－2000年間Shannon抽樣定理的新擴展：

（1）基于小波理論的抽樣；

（2）多通道抽樣；

（3）基于有限元（FiniteElements）的抽樣

（4）基于多小波（Multiwavelets）的抽樣；

（5）基于標架理論的抽樣。

文獻：UnserM.Sampling—50yearsafterShannon.Proc.IEEE,88（4），569–587，2000.（1）不單是帶限信號模型；

（2）使用。擴展的目的：under-Nyquist頻率

sub-Nyquist頻率16.2.1帶通信號的抽樣?帶通信號的抽樣定理：設信號

是一帶通信號，中心頻率為

，帶寬為

，且

，若保證可由

準確重建出

。1953年提出局限：需要先知道中心頻率；不適用于多帶信號。16.2.2基于解調的多帶信號的抽樣多帶信號載波信號，正交載波頻率，不影響頻譜的形狀，只影響頻譜中心的位置“信息”信號，包含了的的全部信息。FM/PM調制的過程：目的是把低通信號移到高頻處，發射。在接收端，需要完成對多帶信號

的抽樣。?

降低的一個有效的方法是對接收到的信號的各個分量

逐一解調，然后再抽樣。正交分量解調器如果

有

個帶，且每個帶的帶寬都不超過

，那么，基于上述解調的方法對

抽樣的頻率為

，它應該遠小于

的Nyquist頻率

。

局限：如同帶通信號的抽樣一樣，實施上述基于解調的多帶信號抽樣，同樣事先要知道

中各個分量的中心頻率和帶寬。16.2.3多通道抽樣Shannon在文獻[Sha49]中指出：若帶限信號

及其一階、二階直至

階導數已知，通過對

及其導數分別用

的速率抽樣，那么，由抽樣后的離散信號也可以準確重建

。這樣，對每一個分量的抽樣頻率減少了

倍，從而減輕了A/D的壓力。當然，整個的抽樣頻率仍然是

。A.Papoulis擴展上述概念，提出利用

個LSI系統實現sub-Nyquist抽樣的方案

。對A/IC產生了重要的影響。

“多通道抽樣”的概念。“廣義抽樣定理（GeneralizedSamplingTheorem）”待求：16.2.4非均勻抽樣

至今我們所討論的抽樣策略都是均勻抽樣，即離散信號

各點之間的間隔都是

。非均勻抽樣的各抽樣點之間的間隔是不相等的，即非均勻的。非均勻抽樣時抽樣間隔的確定有兩種方法，即隨機抽樣和偽隨機抽樣。隨機抽樣中每個抽樣點的選擇是完全隨機的，這是一種理想化的非均勻抽樣，而偽隨機抽樣中每個抽樣點的選擇是經過挑選的偽隨機數。

非均勻抽樣的一個突出優點是其抗混疊的能力。例如，歐洲成立了一個名稱為“EURODASP”的工作組，致力于發展抗混疊信號處理（DigitalAlias-freeSignalProcessing，DASP）技術，其核心技術之一即是非均勻抽樣。有關非均勻抽樣的內容非常豐富，除了抽樣理論和重建算法外，還要發展適應非均勻間隔的傅里葉變換和Z變換理論。文獻[Eur01]是EURODASP工作組的一篇應用報告。對非均勻抽樣進行了較為詳細的討論。

上述4種擴展方案有共同特點：（1）信號模型：帶通信號或多通帶信號，頻譜稀疏，

有降低抽樣率的可能；（2）把用單個A/D的抽樣改為多個通道并行的抽樣，

降低每個通道的抽樣率

；（3）都需事先知道頻譜的信息，即中心頻率和帶寬；（4）這些抽樣方案都沒有違反Shannon抽樣定理，只

是針對稀疏譜信號的特殊改進方案；（5）它們對下面的模擬/信息轉換有著直接的影響。16.3基于隨機解調的A/IC方案（RD）三個部分：解調、模擬低通濾波和低速率A/D抽樣

RD是有關A/IC的第一個方案，論文首發在2006年，信號模型是純音（puretone）信號，或多音頻信號（multitone），即信號的頻譜是線譜

稀疏

“切普序列（chippingsequence）”，其幅值在

之間交替跳變，跳變的頻率要大于或至少等于

最高頻率的兩倍，即其

，在每一個跳變周期內取連續值，所以，它是一個跳變的方波。

低通濾波器，抗混疊。實際上是理想積分器。

信號的調制。RD卻稱之為解調。文獻[Bar13]解釋說：

再通過后面的積分器等效于做相關，而在通信領域中，相關器又常稱為解調器。

16.3.1的作用寬帶譜；線譜，或多個線譜；頻域卷積，結果是將

的寬帶譜平移到了一個個線譜的位置，然后疊加。觀察

的低頻段，可推知這一低頻小段原本在

頻譜中所處位置，從而推知

的頻譜在卷積的過程中平移了多少。該過程類似通信中的擴頻（spreadspectrum，SP）技術。總之，

保留了頻譜平移的信息，它們可用作編解碼的標識。再低通濾波，可得到這些信息。等效于在抽樣前就對信號實現了模擬壓縮，降低了帶寬。右邊三個圖分別是左邊三個圖的頻譜經

譜線移位后，移到低頻的

的頻譜近似正交或者說，移到各個線譜位置的寬帶譜是不相關的，通過低通濾波，可得到這些標識（signature）信息，達到壓縮帶寬、從而降低抽樣率的目的。16.3.2RD抽樣系統的時域分析雙求和，可寫成矩陣形式：

部分DFT矩陣，每一行有

個非零元素。其元素都是切普序列的值，因此，該矩陣是隨機矩陣。例如：16.3.3RD抽樣系統的硬件實現

（略）16.3.4RD抽樣系統的性能仿真頻域是稀疏的，如保證文獻[Tro10]的仿真結果：則可以大概率由測量

重建出以奈奎斯特率抽樣得到的離散信號

，或

。文獻[Las07]的仿真結果：？調幅，信號頻率100MHz，載波頻率200MHz16.4基于調制寬帶轉換器的模擬/信息轉換方案

（modulatedwidebandconverter，MWC）信號模型：多帶信號比RD的多音頻信號模型有更實際意義。當信號的譜線過多時（變大），需要的抽樣頻率將迅速增加。對實際的物理信號，需要過多的諧波才能近似。

MWC系統組成：將送入個通道，在每一個通道，和相乘，再通過理想濾波器，然后以低速率抽樣，得個，最后要由它們合成為。

周期信號，其周期是

，且

和：后者以不低于

的速度在

之間跳變，前者一個周期內做

跳變。作用都是模擬壓縮。

上述問題的分析，見教材。此處省略。在MWC系統中，有如下問題要解決：1.系統中的參數如何選擇？：每一條支路的抽樣頻率；：，的基波頻率；：在內跳變次數；：通道數；2.如何識別的支撐（每一個頻率中心和帶寬）？3.如何由每一個支路的輸出重建出？

文獻[Mis10b]對MWC的性能，如穩定性、對噪聲的靈敏性以及計算復雜性等問題進行了研究，并給出了仿真結果。其中一個結論是有關通道數的估計，即仿真信號：試驗信號：文獻[Mis10b]在設計的MWC抽樣系統中，令

一個周期內的轉換次數

，。仿真時，信噪比由－20dB～30dB變化，通道數由20～100之間變化。仿真結果表明，在高的信噪比情況下，當通道數大于35時，信號頻譜的支撐（即每一個帶的頻率中心和帶寬）可以準確識別，這時，整個系統的抽樣頻率是

的18％，使用的最小通道數（35）和由（16.4.22）式估計出的

基本接近。說明MWC方案基本可行。16.5基于Xampling的A/IC方案簡介XamplingCS＋Sampling模擬信號的壓縮感知壓縮＋SamplingM.MishaliY.C.Eldar在自己的MWC方案的基礎上，于2009年提出Xampling不是一具體的抽樣方案，而是提出了一個統一而且可行的A/IC方案所應遵循的準則。這些準則是：X1：信號模型。Xampling：實用的A/IC系統應可應用于更廣泛的信號，即不論信號頻譜的內容如何改變，都不需要改變已設計好的系統的硬件和軟件。X2：抽樣率。抽樣頻率應運低于

。X3：用商用器件有效實現，數字域的計算負擔要小；X4：基帶（baseband）處理能力。以低于

的抽樣，

須將信號在抽樣前進行模擬壓縮，以降低其譜帶。低頻信息信號實現低于

的抽樣的方法最好是能對“信息信號”直接抽樣，這就是“基帶處理能力”的含意。X1X2涉及低抽樣率系統的理論問題；X3X4涉及低抽樣率系統的實現問題；一個Xampling系統一般應包含下面四個模塊：（1）模擬預處理模塊：抽樣前先壓縮模擬信號的帶寬。（2）抽樣模塊，用商用的A/D進行低速抽樣；（3）子空間檢測模塊：利用算法在數字域實現其各個

頻帶（中心頻率及邊緣頻率）的檢測。（4）標準的DSP算法和D/AC算法。RDMWCXampling目前提出的三個主要的A/IC方案。由于它們的歷史較短，因此還不成熟，離實際應用還有很大距離。此處對它們的介紹也是粗略的，很不夠深入。請大家繼續關注這一領域的進展！

本章上述有關AIC的內容完成于2015年，到現在的2025年，已經十年。筆者再次查找有關AIC的文獻，發現這一領域仍然持續得到人們的關注，相關的文獻也很多。除了提出新的算法或對原來算法的改進外，更多的是有關硬件實現的方案，下面對此給以極其簡單的介紹。

文獻[Mic19]針對射頻信號，提出了一個將小波變換、非均勻抽樣和CS相結合的AIC方案。我們知道，AIC工作的基本要求是信號在頻域是稀疏的，而小波具有頻域定位及帶寬伸縮的功能，因此二者的結合是合理的。方案的基本思路是將要采集的射頻信號和選擇的小波相乘，然后積分，再以低速率的A/D進行抽樣，從而降低了抽樣率。

文獻[Fab16]提出了一個針對生物醫學信號抽樣的算法和硬件協同設計的AIC方案。方案采用隨機調制予積分（RandomModulationPre-Integration，RMPI)結構，該結構類似于圖16.4.1（a）的MWC，只不過后面不是用

個A/D，而是用一個A/D，通過開關切換實現對路信號的抽樣。

方案在算法上的創新之處是不但利用了信號具有稀疏性的特點，而且利用了生物醫學信號的頻域能量往往集中在一個較小的頻率范圍這一特點，如心電、肌電、心音等。信號的這一特點又稱為“可定位（localized）”性。

文獻[Byk22]報道了一個利用逐次逼近（SuccessiveApproximationRegister）A/D和非均勻抽樣實現AIC的硬件實現方案，其仿真結果表明，該方案能夠利用采集到的500個樣本恢復帶寬高達20MHz的信號。

文獻利用LabVIEW和MATLAB建立了一個基于RD的AIC仿真系統。系統由6個模塊組成：（1）輸入信號

發生器;（2）chipping序列

發生器（3）模擬乘法器，實現;（4）低通濾波器，對濾波；得到

加上了標識（signature）的低通信號；（5）對濾波后的信號以遠低于的頻率抽樣。得到

測量；（6）基于CS理論由重建出；該文獻先是利用一個500Hz的正弦作為輸入信號，然后利用三個正弦（300Hz，420Hz，500Hz）作為輸入信號進行了仿真，在壓縮比為4，即用的頻率抽樣時，可以準確重建輸入信號。該文獻的目標是為智能生活環境（smartlivingenvironments）提供高性能、低功耗、體積小的生命監護系統。因此，該仿真系統又用心電作為輸入信號，同樣取得了好的重建效果。文獻[Mar17]提出了一個基于Xampling框架和混沌序列相結合的方案實現了一個AIC實驗系統。我們知道，CS的基本公式中的是隨機矩陣，而隨機序列的產生、存儲和傳輸都是費時和高成本的，因此該文獻提出利用混沌序列來代替隨機序列。整個實驗系統的硬件由FPGA構建，實驗信號也是三個正弦的和，使用的抽樣頻率是的61.2%。文獻[Abi20]和[Jos21]是兩篇較新的文獻，它們都是用FPGA構建硬件平臺，前者討論視頻圖像的AIC，后者討論遙感超高譜信號的AIC。16.6壓縮感知的應用CS資源的網站

/cs有大量有關CS應用的論文圖像壓縮醫學成像計算生物學地球物理超光譜成像壓縮雷達成像天文學通信遙感計算機工程表面計量學CS可應用于一切需要由某些線性測量的結果來重建信號和圖像的領域，特別是當完備的測量的獲得是昂貴的，長時間的，困難的，危險的，不完備的，或者是不可能的場合。CS的應用：模擬/信息轉換，最期待；數字域，信號和圖像16.6.1單像素相機1996年：80萬像素；現在，普通：千萬像素，瑞士的Seitz6x17Digital：1.6億像素；MIT的Pan-STARRS天文相機：高達14億像素！

為什么要單像素相機？基于CCD的數碼相機只能對可見光成像，對紅外等不可見光無法成像。紅外成像有廣泛應用：軍事，車輛、飛機及船舶的夜視，晚上及霧天的監控，人體內窺鏡等。但紅外成像設備昂貴，普及困難。受CS理論的驅動，試圖開發出一種新的成像模式。RICE大學單像素相機的原理圖（1）兩個凸透鏡；（2）一數字微鏡陣列（DMD）；（3）一個光敏二極管：光電轉換器；（4）一個A/D；（5）圖像重建算法。系統組成

成像原理：關鍵部件是DMD，它由一系列細菌大小的靜電驅動的微小鏡片陣列組成，每個鏡片固定在鉸鏈上，通過RNG控制每個微鏡片的方向，使它們可依水平面做+12°、?12°的偏轉。+12°偏轉對應圖像被反射到光敏二極管上；?12°對應圖像沒有被反射到。每一個微鏡片連接著一個獨立的SRAM。DMD實際上是一空間光調制器（SLM），根據控制信號來調制光的強度，即通過微鏡片的偏轉實現這一調制。圖中是TI的DMD1100，其微鏡陣列為768×1024。其大小限制了該單像素相機的分辨率。目前市場上有更高分辨率的DMD供選擇。的元素＝1，定義為做+12°方向的偏轉＝0，定義為做?12°的偏轉

被拍照物體的反射光通過透鏡1聚焦在DMD上，在RNG的控制下，DMD的部分微鏡片做+12°偏轉，再通過透鏡2聚焦在光敏二極管上，于是就產生一電壓信號，實現光/電轉換。A/D轉換后得到一個測量

。記所要拍攝的圖像為

，假定它是一個

維的向量，即原圖像有

個像素，則第個鏡片做?12°偏轉

顯然，是DMD的第行中所有做+12°方向的偏轉的微鏡片和對應的原圖像中的像素相乘并相加后得到的總的結果，這和目前以CCD為基礎的相機成像原理截然不同。CCD相機是對原圖像的像素逐個成像。

將上述過程重復

次，可得到

維的測量向量

。重建算法利用CS的理論由

重建出所要拍攝的圖像

。單像素相機中一個關鍵的技術是如何控制DMD的微鏡片的偏轉。單像素相機樣機的實驗研究原圖像成像單像素相機尚不實用：成像時間過長測量數大；矩陣巨大；重建算法（BP，OMP）復雜測量時圖像必須靜止，上圖約5分鐘

16.6.2數據分離數據分離問題可表述為：若已知信號能否由分離出？

按數學概念，這是不可能的，因為只有一個已知量但卻要解出兩個未知量。數據分離問題有著實際的意義。如天文學家希望能從天體圖像的細狀物中分離出星體或星系團；音頻信號處理時，希望能由短的峰值分離出諧波成分。基于壓縮感知的數據分離方法可簡單表述如下：選擇兩個

正交陣，希望：都是稀疏這一假設引導出求欠定線性方程組等效求解顯然，如果稀疏向量

能被恢復，那么，可求出實現了數據分離上述分離過程要求

在形態上要有明顯區別，這一要求又隱含地要求矩陣

是不相干的。

文獻[Kut13]指出，數據分離問題可看作是CS的起源：早在2001年，Donoho就討論了數據分離問題。

是正弦信號的疊加，

是脈沖信號（Dirac函數）的疊加，二者有不同的形態。文獻[Don01]給出了分離原理16.6.3CS在醫療保健中的應用

健康是每一個人的希望和追求。要有一個健康的身體，除了自身的因素（好的生活習慣、好的飲食習慣、好的心態及積極鍛煉）和社會因素（好的空氣、飲水、物質較為豐富，無戰亂等）外，較高的醫療水平也是健康的必要條件。

醫療水平:醫學教育水平、疾病檢查水平、診斷水平、治療水平及康復水平等。為保證對疾病的精準檢查、診斷和治療，除了需要經驗豐富的醫生外，醫療儀器更起到了關鍵性的作用。在各個大中型醫院里，心電圖機、腦電圖機、X-ray透視、計算機斷層掃描（CT）、磁共振成像（MRI）、超聲成像及生化分析儀器等都成了標配。醫療儀器產業已成為國民經濟的支柱產業，以其為主要內容的新學科--生物醫學工程也應運而生。

隨著互聯網、移動通信、可穿戴傳感器及遠程醫療的飛速發展，面向個人的健康監護（Health-Monitoring），或醫療保健（Healthcare）也在飛速發展中。在此基礎上，一個新名詞“無處不在的醫療保健（UbiquitousHealthcare）”也出現在文獻中。U-Healthcare系統可以幫助有需要的人在家里將自己身上的生理信號通過無線的方式傳送到醫療機構，那兒的醫生可以及時給出診斷及治療建議。

人體有豐富的生理信號，心電（ECG）、腦電（EEG）、眼電（EOG）、胃電（EGG）、心音（PCG）等。ECG在臨床上應用最廣泛，是檢查心臟疾病的第一道程序，也是普通體檢必查項目。除了門診檢查、病房監護要用到心電圖外，可佩戴，即可行走性的心電記錄儀已廣泛應用。該儀器又稱心電Holter，它可記錄佩戴者24小時的心電，然后在醫院回放，并由心電自動分析軟件給出對24小時心電的統計分析。

在心電的遠程監護或

Holter系統中，主要問題是按

抽樣時獲得的數據量太大，從而增加了存儲和傳輸的負擔，這也給電池供電帶來了挑戰。除了心電圖外，在臨床上廣泛應用的還有CT及MRI兩種成像設備。和CT相比，MRI具有更好的軟組織對比度，可實現多參數成像，因而在臨床醫學診斷中得到廣泛應用。CT和MRI都獲得了諾貝爾生理學或醫學獎。CT的問題是X-ray對人體有傷害，因此人們希望在保證成像質量的前提下盡量減少劑量的強度和掃描時間。MRI的問題是掃描時間過長，約15~90min，隨掃描部位的不同而不同。掃描時，受試者要躺在一個較為封閉的空間，身體盡可能的保持不動。掃描時噪聲較大，戴著耳塞仍然可聽得到。所有這些，都使受試者有一種不舒服，甚至是恐懼感。

壓縮感知的最大優勢是對稀疏信號，或可壓縮信號能以遠低于

的頻率抽樣，然后在數字域實現信號的準確重建。因此，CS的理論在2006年提出后，馬上在ECG、MRI及CT等領域獲得了應用，目的就是為了解決上述它們各自存在的問題。有關這方面的論文很多。對ECG來說，其方案包括了模擬前端的信號調理、和隨機序列的模擬乘（如RD，MWC）、低抽樣率的A/D和信號重建等環節。文獻[Mah20]和[Nil19]是CS在U-Healthcare應用的新書，它們分別是系列叢書《AdvancesinUbiquitousSensingApplicationsforHealthcare》的第11卷和第5卷。這兩本書較為詳細地系統的介紹了CS在ECG、EEG、CT及MRI等領域的應用，其各章后面的參考文獻基本上包含了從2006年以來這些領域的方法與成果。限于篇幅，本書不再進一步討論。16.6.4CS在時頻分析中的應用

本書第一篇的標題是“時頻分析”，最后一篇是“壓縮感知”，當二者相遇會產生什么？毫無疑問，時頻分析將是壓縮感知重要的應用領域，當然，壓縮感知也為時頻分析提供了強大的理論工具。實際上，從2006年壓縮感知提出后不久，人們就已經關注二者的結合問題。

時頻分析針對的主要是非平穩信號，或多分量信號。物理世界的信號都是隨機的，而且都是非平穩的，即其頻率內容隨時間變化，因此，需要將時間和頻率結合起來去研究所關心的信號。這樣做的優點固然很多，但也有一點不足，即將一個時域長度為

點的信號映射到時頻平面，若頻域也取點，那么得到的將是的圖像，數據量巨大，這給時頻圖像的計算、存儲及傳輸都帶來非常大的負擔。壓縮感知以信號在時域，或變換域是稀疏的為基礎。但非平穩信號無論是在時域還是在頻域都不是稀疏的，因此，將CS應用于時頻分析需要另辟途徑。實際上，非平穩信號在時頻域多是稀疏的。文獻[Sej18]提出了用三種方法將壓縮感知應用到時頻分析，一是基于模糊域，二是基于時頻字典和匹配追蹤，三是基于短時傅里葉變換。此處僅簡單介紹一下基于模糊域的方法。

將壓縮感知應用到時頻分析，目的是以盡可能少的數據量來表示一個非平穩信號的時頻分布，同時，還希望有好的時頻分辨率并盡可能的去除時頻平面上的噪聲。

由4.2節的討論可知，信號

的模糊函數定義為瞬時自相關函數相對變量

的傅里葉逆變換，并且

對于二次型的Cohen類分布，它有著能量集中的性質，因此在時頻域是稀疏的，但由于交叉項的存在，其稀疏性會受到嚴重的影響。（1）求信號

的；（2）由求的模糊函數；（3）對

施加低通2-D濾波器;（4）通過令下式的

范數最小，得到在時頻平面最稀疏的時頻分布(16.6.6a)(16.6.6b)很小的常數文獻[Sej18]給出了如下的例子以說明（16.6.6）式的效果。（a）（b）（c）圖16.6.3基于模糊域的時頻分布的壓縮感知END謝謝您使用本書的電子課件！

15.4測量矩陣需要滿足的性質

的NSP約束等距性質（RIP）相干性（coherence）（1）是準確稀疏的；（2）測量過程不存在噪聲；本節討論的是：

矩陣的NSP不好應用，spark的求出是一組合問題，也不好應用。此外，在存在噪聲的情況下，由NSP和spark給出的重建往往缺乏魯棒性，為此，人們又提出了一些新的參數：最著名的是矩陣的約束等距性質（restrictedisometryproperty，RIP）及相干性。15.4.1

測量矩陣的約束等距性質定義15.4.1

令整數

對所有的

稀疏信號

，等距常數

是滿足的最小標量，如果，則稱滿足

階的RIP并具有等距常數

。RIP的概念最初由EmmanuelJ.Candès和TerenceTao在文獻[Can06b]中提出，當時稱為均勻不定原理(uniformuncertaintyprinciple，UUP)，后來文獻[Can05]將其重新定義為RIP。（1）定義要求對所有的

都成立，在

維空間中有

個這樣的

。當然，實際待求的只有一個。（2）不嚴謹地說，若

不太接近于1，則稱

RIP

粗略地看，（15.4.1a）式定義的RIP是想保證

和測量的能量沒有太大的差距。現對RIP給出更多的解釋。（3）如果保范變換？但現在

是扁的長方陣，隱含意思是：從

中任取

列所形成的

子矩陣應該接近于正交陣。顯然

越小，該子矩陣接近正交陣的程度越好。因此，當

投影到

的行向量上后，具有RIP性質的

就近似地保護了它的Euclidean范數

（或能量）。上述結論又意味著

稀疏信號不會落在

的零空間。這一點很重要，否則無法恢復該稀疏信號。為強調該子矩陣，RIP又可定義：

（4）：方陣，稱為Gram矩陣。若滿足RIP，

則

正定，對，則該矩陣的特征值

位于之間。（5）RIP定義的另一含意：如果

滿足

階的RIP，

則定義近似保護了任意兩個

稀疏向量之間的距離。如果：

：

是指下標集合的勢

時仍滿足RIP定義的最小常數。

的取值也應該在

之間。這時，我們說

具有

階的RIP性質。類似的，我們還可以定義

，

等。（6）如果

滿足

階的RIP并具有等距常數

，那

么，對任意的

，

，自動地具有

階

的RIP性質并具有等距常數

。（7）如果

“感知”的是變換系數

，那么RIP定義

中的矩陣

應該換為矩陣

。這時，

具有

階的RIP。（8）將RIP的定義和標架的定義相比較，會二者有非常相

似之處。它們都給出了信號

在通過非正交陣

變換前后能量的約束關系。

上面8個解釋說明：測量矩陣

的RIP性質保證了通過變換

前后信號的能量及幾何結構基本保持不變，同時也保護了兩個

稀疏信號在變換前后的距離，從而使得

稀疏信號的準確恢復成為可能，也保證了恢復的穩定性。為了求得稀疏信號的準確恢復，人們希望在盡可能小的測量數目

的情況下，尋求具有較小的等距常數

和較大稀疏度

的測量矩陣

。15.4.2測量矩陣的相干性定義15.4.2測量矩陣

的相干性定義為將的列歸一化越小，中不相關（或獨立）的列越多，中保留的信息越多，越有利于的恢復。因此，在構造時，希望它具有盡量小的相干性。下面的定理給出了的NSP，spark，相干性之間的關系，也給出了測量數

的約束。定理15.4.1如果

滿足

階的RIP并具有等距常數

，則

具有

階零空間

性質，且RIP常數證明見教材，用到兩個引理。定理說明：如果矩陣

滿足

階的RIP，則它也同時滿足

階的NSP。RIP給出了比NSP更為嚴格的條件，可以用來考慮存在噪聲情況下信號的恢復。

引理

假定

，則

稀疏信號三個范數之關系定理15.4.2對

，下面的關系成立

至少有列線性相關滿足spark定義定理15.4.3對任意的

，其相干性和spark

有如下關系該式給出了一個重要的關系，即

的相干性越小，其spark越大，

線性無關的列向量越多，由這些列構成的

的子矩陣越接近于正交。這正是我們所希望的。定理15.4.4記

的相干性為

，假定其每一列的

范數都歸一化為1，則對所有的

，

具有

階RIP并具有等距常數：測量矩陣和正交矩陣之間的互相干性也有著重要的應用，列的范數歸一化后，其定義為：測量兩個矩陣之間的最大相關性15.4.3解唯一性的條件

解唯一性：即

最小，或如何保證

？直觀理解：希望：對兩個不同的：必須有：因為：結論：否則無法恢復：將出現：含意？

該式又可簡單的解釋為：為保證解的唯一性，矩陣

的零空間中必不包含稀疏的向量。解的唯一性，有多種描述方式，如定理15.4.5

對任意的

和

，當且僅當

時，測量系統

有唯一解

。

該定理的一個等效說法是:如果

的任意

列都是線性無關的，那么，任意

稀疏信號

都可以唯一地由

來恢復。由于：的行秩是，由定理，必須有此結論很重要，指出，為恢復出稀疏信號，測量數的長度不能小于。定理15.4.6對任意的

，如保證

，

則下述說法等效：（1）對所有

，存在一

，使得

；

（2）：是正定矩陣；（3）；（4）對任意具有

的下標集合

，矩陣

的秩為

；定理15.4.7對任意的

和，如果

其解

滿足如下關系則測量系統

有唯一解

。對一個給定的感知矩陣

，該式給出了所能感知的信號稀疏水平的上限。定理15.4.8如果

滿足階RIP，且

，則對所有

，有定理15.4.8是直觀的：因為如果

，由RIP的定義，

將有

列線性相關，則存在一

使

。令

，有

，那么

就不是唯一解。15.4.4解唯一性的條件定理15.4.9如果

滿足階RIP，且

，，則對所有

，有對比定理15.4.8和15.4.9可以看出：

保證

保證結論合理：利用

范數來代替

范數是放寬了最優化的條件，當然對測量矩陣的要求要變得嚴一些。要求要求其實：可看作和等效的條件

解的唯一性也可用NSP給出：定理15.4.10給定

，當且僅當滿足

階零空間性質時，任意稀疏向量

都是唯一最小范數解。

實際信號在時域多不是稀疏的，而經正交矩陣變換后多是稀疏的，因此，研究測量矩陣

應具有的性質同樣是重要的。對該問題，用的最多的是互相干

。下面的定理給出了

和測量數

之間的關系以及保證

解唯一性的條件。定理15.4.11假定信號

在正交基

下的變換系數

是

稀疏的，且

是對

的均勻和

隨機測量，如果保證則優化問題以大概率有準確解。顯然，越小，需要的越少。若則以的測量可恢復長度為的。文獻指出:RIP等效于要求

的行向量

不能由

的列向量

線性表出，反之亦然。

隨機矩陣15.4.5和解等效的條件前面已指出：是、等效的條件定理15.4.12令

是一行滿秩矩陣，如

果一個解

存在并滿足則是

和

問題的唯一解。15.4.6測量邊界前面指出，為保證

解唯一性，測量數不能小

。定理15.4.10通過互相干

給出了

和

的關系。

在CS的文獻中

又稱為測量邊界。定理15.4.13若

滿足

階RIP并

，則

更一般關系定理15.4.5～15.4.13給出了

，

唯一、等效條件及和的NSP、spark、RIP和之間的關系。很重要15.4.7關于

解唯一性的進一步說明

由于CS是近十年來新發展起來的領域，理論的發展有一個不斷完善的過程，因此定理15.4.5～15.4.13所描述的內容及NSP的定義在文獻上不盡相同，特別是唯一性的條件的表述，如：文獻[Can05]：文獻[Can06c]：文獻[Can08b]：文獻[Fou09]：[Cai10]：15.4節的公式和結論都較多，現總結如下：（15.4.11b）（15.4.9）需要指出：上面討論的各個定理都是針對

是準確稀疏信號和無測量噪聲情況下的結論，在不是稀疏信號和存在測量噪聲情況下的信號恢復問題是下面兩小節要討論的內容。

15.5可壓縮信號的恢復以上討論，假定，這是理想的信號模型。實際信號多是近似稀疏，或可壓縮的。因此，研究可壓縮信號的CS更有意義。對可壓縮信號近似誤差將中最大個元素按大小排在前面，并賦予，再令其它元素為零。最佳項近似對非準確稀疏的可壓縮信號：，近似程度？特別關心和最佳項近似誤差的關系：重點關心如下關系：（1）.若是稀疏的，則左邊＝0，無誤差恢復；（2）.否則，則左邊的誤差和右邊的最佳項近

似誤差建立了聯系。（A）定理15.5.1令

表示

的任一解碼算

法，如果

和

滿足（A）式，則

滿足

階NSP。反之，如果滿足

階NSP，則（A）式的近似誤差關系成立。因此滿足

階NSP是（A）式成立的充要條件。上述討論的是任一解碼算法，更關心定理15.5.2令

是

解，對

，如果

滿足

階的RIP且

，則下面兩式成立該定理是CS中一個重要和著名的定理，由Candès在08年提出并給出證明。文獻[Bar13]又給出較詳細的證明。

15.6噪聲情況下的信號恢復

矩陣

對

測量時，會存在誤差：可能來于傳感器，或舍入誤差和量化誤差。這時，“感知”模型變成誤差向量記在有噪聲情況下，關心近似程度定義15.6.1令:，,，若則稱編碼－解碼對是C－穩定的。該定義說明一簡單事實，即測量誤差在恢復過程中其影響不會任意大，它將不超過誤差自身的

范數。

定理15.6.1如果:是C－

穩定的，則

對所有的

，下述關系成立RIP和C－穩定的關系定理15.6.2如果

滿足

階的RIP且

，令

及

，再令

是滿足的最優解，則式中近似誤差無噪聲時信號恢復的誤差噪聲引起，正比于噪聲能量的含意：15.7測量矩陣的構造用于：

稀疏信號；

可壓縮信號；

含噪信號準確、近似準確恢復性能描述：NSPsparkRIP，

要滿足定理15.4.5－15.4.13所提要求。小的RIP常數和相干性，大的spark。但這些性能的測量比較困難：滿足RIP？需要考察由于非零元素位置不同而可能有的

個

稀疏信號

是否都滿足RIP定義。研究發現，如果

是隨機矩陣，則以大概率有RIP性質。15.7.1Johnson–L引理和濃縮測量的概念15.7.2隨機測量矩陣（1）高斯測量矩陣每一個元素都是高斯分布，且I.I.D（2）伯努利測量矩陣或者可以用濃縮不等式證明，高斯和伯努利矩陣以大概率具有RIP性質。（3）亞高斯（subgaussian）測量矩陣

：高斯分布

：亞高斯分布

亞高斯種類很多，在一定的條件下，高斯分布、伯努利分布和均勻分布都可以看作是亞高斯分布：（1）（3）零均值，且常數，（2）：亞高斯分布伯努利分布全部由亞高斯隨機變量組成的矩陣成為亞高斯矩陣。定理15.7.2令

是亞高斯隨機矩陣，則

的RIP常數以至少

的概率滿足

，且：常數，只和亞高斯參數

和

有關給出了類似15.4.7節討論過的邊界條件。另外，如果是亞高斯矩陣，不管正交陣如何選擇，還是亞高斯陣。15.7.3部分隨機傅里葉矩陣

雖然隨機測量矩陣都具有RIP性質，且可達到測量下界，但有不足：（1）當需要對測量矩陣提出各種制約時，因為它們是隨機的，能給出的自由度很小，因此制約常無法實現；（2）隨機矩陣的每一個元素都要存儲，因此在硬件實現時困難；（3）缺少矩陣和向量乘的快速算法，限制了恢復算法的速度。DFT矩陣，確定性：

在DFT陣中隨機且均勻選擇

行，構成

的測量矩陣

。顯然，它具有部分隨機性，稱為部分隨機傅里葉矩陣。其一個突出優點是可用FFT來計算矩陣和向量的乘，提高編碼和解碼速度。

似傅里葉隨機矩陣的構成，也可以利用一般的正交矩陣來構成結構隨機矩陣。又稱為一般正交集總。定理15.7.23令

是部分隨機傅里葉矩陣，則

的RIP常數以至少

的概率足

，且，均為常數15.7.4確定性測量矩陣

雖然隨機矩陣可以大概率滿足RIP條件，但由于其存儲量大、缺乏快速算法等不足，特別是通過硬件實現時產生隨機數較為困難，因此人們在工程實際中更希望能使用確定性測量矩陣。文獻報告了該方面的一些進展，但離實際