《密鋪》教學(xué)設(shè)計(jì)（2課時(shí)）-2026-2027學(xué)年人教版（新教材）小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊

《密鋪》教學(xué)設(shè)計(jì)（2課時(shí)）-2026-2027學(xué)年人教版（新教材）小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊一、學(xué)情分析五年級學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)掌握長方形、正方形、三角形、梯形、正多邊形等平面圖形特征，熟記三角形內(nèi)角和180°、四邊形內(nèi)角和360°、周角360°等基礎(chǔ)幾何知識，具備圖形觀察、動手拼擺的實(shí)操能力。生活中隨處可見地磚、蜂巢、拼圖等密鋪場景，學(xué)生擁有直觀感性認(rèn)知，但無法提煉密鋪數(shù)學(xué)定義，更不能從內(nèi)角角度解釋密鋪底層原理。學(xué)生思維以具象操作思維為主，抽象推理能力薄弱，易混淆“能鋪滿”與“標(biāo)準(zhǔn)密鋪”，容易忽略“無空隙、不重疊”兩個(gè)核心條件；同時(shí)學(xué)生樂于動手拼擺、圖案創(chuàng)作，可依托教材操作活動，由直觀拼擺過渡到原理推理，落實(shí)空間觀念、推理意識核心素養(yǎng)。二、教材分析《有趣的密鋪》是2026秋新教材人教版五年級上冊“數(shù)學(xué)好玩”綜合實(shí)踐內(nèi)容，歸屬“圖形與幾何”綜合應(yīng)用板塊，承接平面圖形、多邊形內(nèi)角和知識，是小學(xué)階段圖形鑲嵌知識的集中探究課，為初中平面鑲嵌幾何內(nèi)容鋪墊。教材編排邏輯層層遞進(jìn)：第1課時(shí)依托教材95頁生活實(shí)景圖建立密鋪概念，通過96頁拼擺活動探究單一圖形密鋪規(guī)律，配套“數(shù)學(xué)小講堂”解讀內(nèi)角和360°密鋪核心原理；第2課時(shí)依托教材97頁圖案案例，認(rèn)識兩種圖形組合密鋪，學(xué)習(xí)規(guī)范設(shè)計(jì)密鋪圖案。教材全程遵循“生活感知—?jiǎng)邮烛?yàn)證—原理推導(dǎo)—?jiǎng)?chuàng)意設(shè)計(jì)”認(rèn)知路徑，以操作活動為載體，融合幾何直觀、歸納推理，貼合2022版新課標(biāo)綜合實(shí)踐課程要求，兼顧知識性、操作性與生活化。三、核心素養(yǎng)教學(xué)目標(biāo)（一）知識技能目標(biāo)1.理解密鋪定義，掌握密鋪“無空隙、不重疊鋪滿平面”兩大核心特征，能準(zhǔn)確識別生活、教材中的密鋪圖案。2.通過拼擺驗(yàn)證，明確可單獨(dú)密鋪圖形：任意三角形、任意四邊形、正六邊形；不可單獨(dú)密鋪圖形：正五邊形、圓形，并能結(jié)合內(nèi)角和解釋原因。3.掌握密鋪底層原理：拼接公共頂點(diǎn)處所有圖形內(nèi)角之和等于360°；能讀懂教材密鋪設(shè)計(jì)步驟，獨(dú)立完成簡單密鋪圖案繪制。（二）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.空間觀念：通過拼擺幾何圖形、觀察教材密鋪圖例，建立平面圖形拼接動態(tài)表象，區(qū)分可密鋪、不可密鋪圖形的空間結(jié)構(gòu)差異。2.幾何直觀：借助紙片拼擺、方格繪圖，將抽象內(nèi)角和規(guī)律轉(zhuǎn)化為可視拼接圖案，依托圖形直觀理解密鋪數(shù)學(xué)邏輯。3.推理意識：通過操作猜想、角度計(jì)算，歸納單一圖形密鋪通用規(guī)律，由現(xiàn)象推理出“內(nèi)角和湊360°”的判定依據(jù)，發(fā)展合情推理能力。4.應(yīng)用意識：運(yùn)用密鋪知識解讀教材、生活中的密鋪實(shí)例，能結(jié)合圖形特征自主設(shè)計(jì)實(shí)用密鋪圖案，體會幾何知識生活價(jià)值。5.創(chuàng)新意識：在組合密鋪圖案創(chuàng)作中靈活搭配圖形，感受數(shù)學(xué)圖案的規(guī)律美感。四、教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)1.第1課時(shí)：理解密鋪完整定義，區(qū)分能單獨(dú)密鋪、不能單獨(dú)密鋪的基礎(chǔ)平面圖形；掌握密鋪核心特征。2.第2課時(shí)：理解密鋪內(nèi)角和原理，讀懂教材密鋪設(shè)計(jì)流程，獨(dú)立繪制規(guī)范密鋪圖案，認(rèn)識組合圖形密鋪。教學(xué)難點(diǎn)1.第1課時(shí)：自主關(guān)聯(lián)多邊形內(nèi)角和與密鋪現(xiàn)象，推理圖形能否密鋪的內(nèi)在原因。2.第2課時(shí)：設(shè)計(jì)圖案時(shí)保證拼接點(diǎn)內(nèi)角和為360°，圖案無空隙、無重疊，圖形排布整齊規(guī)范。五、教學(xué)過程（2課時(shí)）第一課時(shí)：認(rèn)識密鋪，探究單一圖形密鋪規(guī)律（教材95-96頁）環(huán)節(jié)1：情境導(dǎo)入，研讀教材開篇實(shí)景圖，建立密鋪直觀感知教師活動：課件出示教材95頁開篇全套實(shí)景插圖：小區(qū)正方形地磚地面、衛(wèi)生間長方形墻磚、蜂巢正六邊形內(nèi)壁、兒童拼圖地板、圓形鵝卵石路面五幅圖片，完整對應(yīng)教材圖文內(nèi)容。

師：請同學(xué)們翻開課本第95頁，仔細(xì)觀察這五張生活圖片，對比觀察每一種圖形鋪設(shè)地面、墻面的狀態(tài)，同桌之間互相說一說，哪些畫面里圖形完整鋪滿地面，哪些留有縫隙？

生1：地磚、墻磚、蜂巢、拼圖鋪得滿滿當(dāng)當(dāng)，石頭路面中間有空隙。

生2：正方形地磚一塊挨著一塊，沒有縫隙，也沒有互相壓住。

師板書兩個(gè)關(guān)鍵詞：無空隙、不重疊。

師：結(jié)合課本配圖文字，我們一起來閱讀教材給出的概念：像這樣，用形狀、大小完全相同的一種平面圖形鋪滿平面，圖形之間既不留空隙，也不互相重疊，這種鋪設(shè)方式在數(shù)學(xué)上叫做密鋪。

師追問教材配套思考題：課本里圓形鵝卵石路面為什么不屬于密鋪？

生：圓形和圓形拼接中間會留下大片空隙，達(dá)不到密鋪“無空隙”的要求。

師補(bǔ)充區(qū)分：只有同時(shí)滿足“無空隙、不重疊”兩個(gè)條件，才能稱作密鋪，二者缺一不可。

設(shè)計(jì)意圖：嚴(yán)格依托教材開篇生活情境圖導(dǎo)入，依托課本原文定義建立基礎(chǔ)概念，通過對比圓形鋪路反例強(qiáng)化密鋪兩大核心特征，從生活具象過渡到數(shù)學(xué)概念，降低概念理解門檻。環(huán)節(jié)2：探究教材96頁拼擺活動，猜想并驗(yàn)證單一圖形密鋪情況教師出示教材96頁探究表格：表格左側(cè)羅列圖形：正方形、長方形、平行四邊形、任意三角形、梯形、正五邊形、正六邊形、圓形；表格右側(cè)預(yù)留“能否單獨(dú)密鋪”“拼擺結(jié)果”兩欄。子環(huán)節(jié)2.1：提出猜想，填寫教材探究表格師：觀察課本表格中的8種圖形，結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)先自主猜想，在課本表格中簡單標(biāo)注哪些圖形可以單獨(dú)密鋪，哪些不行。

學(xué)生獨(dú)立瀏覽教材圖形，完成猜想標(biāo)注，教師隨機(jī)點(diǎn)名分享猜想結(jié)果。

生1：地磚是正方形、墻磚是長方形，這兩種肯定能密鋪；蜂巢是正六邊形，也可以密鋪。

生2：拼圖有三角形，三角形應(yīng)該能鋪滿；圓形、正五邊形拼起來會有空隙，不能密鋪。子環(huán)節(jié)2.2：分組動手拼擺，對照教材圖例驗(yàn)證猜想師分發(fā)成套幾何紙片學(xué)具，明確課堂操作要求：每組依次拼擺8種圖形，將相同圖形平鋪在桌面，觀察拼接處是否有空隙、重疊，對照課本96頁標(biāo)準(zhǔn)拼擺示意圖核對結(jié)果，完成教材表格填寫。1.第一組圖形：正方形、長方形、平行四邊形

學(xué)生拼擺完成后，教師展示教材標(biāo)準(zhǔn)密鋪圖例：正方形橫豎拼接，四個(gè)正方形交匯于一點(diǎn)，無空隙無重疊。

師提問：觀察正方形拼接公共頂點(diǎn)，交匯了幾個(gè)直角？

生：4個(gè)直角，90°×4=360°，剛好湊成一周。

師板書記錄：正方形內(nèi)角90°，4個(gè)內(nèi)角和360°，可密鋪。長方形、平行四邊形同理，內(nèi)角均可在拼接點(diǎn)湊齊360°，全部可以單獨(dú)密鋪。2.第二組圖形：任意三角形、梯形

學(xué)生拼擺后發(fā)現(xiàn)：6個(gè)完全相同的三角形圍繞一點(diǎn)拼接，剛好鋪滿；兩個(gè)梯形可拼成平行四邊形，因此梯形也能密鋪。

結(jié)合教材文字提示：三角形內(nèi)角和180°，6個(gè)三角形內(nèi)角相加180°×3=360°，滿足密鋪條件。

師板書：任意三角形、任意梯形（四邊形）均可單獨(dú)密鋪。3.第三組圖形：正六邊形、正五邊形

對照教材蜂巢密鋪圖，學(xué)生拼擺正六邊形：3個(gè)正六邊形交匯于一點(diǎn)，教師出示內(nèi)角計(jì)算：正六邊形每個(gè)內(nèi)角120°，120°×3=360°，無空隙無重疊，可密鋪。

拼擺正五邊形時(shí)，學(xué)生直觀發(fā)現(xiàn)：3個(gè)正五邊形拼接留有空隙，4個(gè)拼接圖形互相重疊。教師結(jié)合教材數(shù)據(jù)講解：正五邊形內(nèi)角108°，108°無法通過整數(shù)個(gè)相加得到360°，因此不能單獨(dú)密鋪。4.第四組圖形：圓形

學(xué)生拼擺圓形紙片，直觀看到圖形間存在大量弧形空隙，對照教材鵝卵石反例，確認(rèn)圓形無法單獨(dú)密鋪。子環(huán)節(jié)2.3：匯總教材表格結(jié)論，梳理可密鋪/不可密鋪圖形師帶領(lǐng)全班統(tǒng)一填寫教材96頁探究表格，板書分類匯總：

可單獨(dú)密鋪圖形：正方形、長方形、平行四邊形、任意三角形、梯形、正六邊形

不可單獨(dú)密鋪圖形：正五邊形、圓形

設(shè)計(jì)意圖：完整復(fù)刻教材探究活動流程，以課本表格、圖例為探究載體，動手操作與角度計(jì)算雙線并行，讓學(xué)生通過自主拼擺驗(yàn)證猜想，積累幾何操作活動經(jīng)驗(yàn)，直觀區(qū)分兩類圖形。環(huán)節(jié)3：研讀教材“數(shù)學(xué)小講堂”，推導(dǎo)密鋪通用數(shù)學(xué)原理教師出示教材96頁底部“數(shù)學(xué)小講堂”板塊圖文，完整朗讀教材原文：“一種圖形能夠單獨(dú)密鋪，關(guān)鍵在于拼接點(diǎn)處各個(gè)內(nèi)角相加的和正好等于360°，也就是一個(gè)周角。”

師分步拆解教材原理，結(jié)合前面拼擺圖形計(jì)算講解：1.四邊形（正方形、梯形、平行四邊形）內(nèi)角和360°，4個(gè)相同四邊形內(nèi)角在拼接點(diǎn)剛好湊齊周角，滿足密鋪條件；2.三角形內(nèi)角和180°，6個(gè)三角形內(nèi)角拼接可湊出360°；3.正六邊形內(nèi)角120°，3個(gè)相加等于360°；4.正五邊形內(nèi)角108°，3個(gè)和324°（空隙），4個(gè)和432°（重疊），無法湊齊360°，不能密鋪。

師同步在黑板方格板上繪制教材標(biāo)準(zhǔn)拼接頂點(diǎn)示意圖，標(biāo)注每個(gè)內(nèi)角度數(shù)，直觀展示360°周角拼接邏輯。

師提問鞏固：為什么家里地磚多用正方形、長方形，蜂巢選擇正六邊形？結(jié)合密鋪原理用課本原話回答。

生：它們的內(nèi)角能在拼接點(diǎn)湊成360°，密鋪無空隙、不重疊，鋪設(shè)平整美觀。環(huán)節(jié)4：第一課時(shí)課堂過渡鋪墊師：本節(jié)課我們通過課本拼擺活動，認(rèn)識了密鋪的定義，分清了哪些單一圖形可以密鋪，還讀懂了密鋪的內(nèi)角和原理。課本第97頁還展示了兩種不同圖形搭配的密鋪圖案，下一節(jié)課我們將學(xué)習(xí)組合圖形密鋪，并且按照教材步驟自主設(shè)計(jì)專屬密鋪圖案。第二課時(shí)：組合圖形密鋪與密鋪圖案設(shè)計(jì)（教材97頁）環(huán)節(jié)1：復(fù)習(xí)回顧教材舊知，銜接本節(jié)課新知教師板書第一課時(shí)核心知識點(diǎn)：密鋪兩大特征、單一可密鋪圖形、密鋪核心原理（拼接點(diǎn)內(nèi)角和360°）。

師出示教材96頁表格，開展課堂問答，回顧上節(jié)課教材內(nèi)容：

師：課本表格中，哪些圖形可以單獨(dú)密鋪？密鋪的必備條件是什么？

生：三角形、四邊形、正六邊形可以單獨(dú)密鋪；拼接點(diǎn)內(nèi)角相加等于360°，圖形無空隙、不重疊。

師追問：正五邊形、圓形為什么不能單獨(dú)密鋪？

生：正五邊形內(nèi)角無法湊出360°，圓形存在弧形空隙。

師過渡：只用一種圖形密鋪樣式單一，課本97頁展示了多種圖形搭配的密鋪圖案，這種密鋪叫做組合密鋪，今天我們一起學(xué)習(xí)組合密鋪規(guī)律，學(xué)習(xí)課本的圖案設(shè)計(jì)方法，板書課題《有趣的密鋪（2）》。環(huán)節(jié)2：研讀教材97頁組合密鋪圖例，探究兩種圖形搭配密鋪課件出示教材97頁兩幅核心組合密鋪插圖：圖1正方形+正八邊形組合密鋪、圖2三角形+六邊形組合密鋪，同步展示教材配套文字說明。子環(huán)節(jié)2.1：觀察圖例，分析拼接點(diǎn)內(nèi)角和師引導(dǎo)學(xué)生聚焦兩幅圖案的公共拼接頂點(diǎn)，對照教材標(biāo)注的內(nèi)角度數(shù)計(jì)算：1.正方形（90°）+正八邊形（135°）：拼接點(diǎn)1個(gè)正方形+2個(gè)正八邊形，90°+135°+135°=360°，剛好湊齊周角，無空隙無重疊，滿足密鋪條件；2.正三角形（60°）+正六邊形（120°）：拼接點(diǎn)2個(gè)三角形+2個(gè)六邊形，60°×2+120°×2=360°，符合密鋪原理。

師總結(jié)教材隱含規(guī)律：兩種不同圖形組合密鋪，依舊遵循“拼接點(diǎn)所有內(nèi)角相加等于360°”的核心原理，只要度數(shù)和為周角，不同圖形也能完成密鋪。子環(huán)節(jié)2.2：小組拼擺組合圖形，對照教材圖例驗(yàn)證學(xué)生利用學(xué)具，模仿教材圖例搭配正方形、正八邊形、三角形、六邊形拼擺組合密鋪圖案，教師巡回指導(dǎo)，糾正拼接空隙、重疊問題。

師提問：能不能用正五邊形搭配正方形實(shí)現(xiàn)組合密鋪？學(xué)生動手拼擺驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)拼接處始終存在空隙，再次印證內(nèi)角和原理是密鋪的唯一判定標(biāo)準(zhǔn)。

設(shè)計(jì)意圖：依托教材組合密鋪范例，延續(xù)上節(jié)課內(nèi)角和推理邏輯，讓學(xué)生理解單一、組合密鋪共用同一數(shù)學(xué)原理，打通兩課時(shí)知識邏輯，強(qiáng)化推理意識。環(huán)節(jié)3：拆解教材密鋪圖案設(shè)計(jì)步驟，規(guī)范繪圖操作教師出示教材97頁“小設(shè)計(jì)師”板塊，課本完整給出四步設(shè)計(jì)流程，教師分步板書，同步在黑板方格板實(shí)操示范：步驟1：選定密鋪基礎(chǔ)圖形參考教材推薦圖形組合：正方形+三角形、正六邊形+三角形，也可選擇單一四邊形，確定本次繪圖使用的幾何圖形。

師提示：優(yōu)先選用第一課時(shí)驗(yàn)證過的可密鋪圖形，避免選擇圓形、正五邊形，無法完成規(guī)范密鋪。步驟2：確定拼接頂點(diǎn)，規(guī)劃方格排布在方格紙上標(biāo)記公共拼接中心點(diǎn)，按照360°內(nèi)角和要求，規(guī)劃每個(gè)頂點(diǎn)周圍擺放圖形數(shù)量，對照教材圖例均勻排布圖形框架。

教師示范易錯(cuò)點(diǎn)：隨意排布圖形，導(dǎo)致局部空隙、重疊，繪圖前必須先規(guī)劃頂點(diǎn)位置。步驟3：繪制完整密鋪框架，保證圖形大小統(tǒng)一使用直尺繪制圖形，所有同類型圖形邊長、角度完全一致，全程保證拼接處無空隙、無重疊，復(fù)刻教材標(biāo)準(zhǔn)圖案的規(guī)整效果。步驟4：涂色美化，完成完整密鋪?zhàn)髌穮⒄战滩牟噬茕伔独貌使P區(qū)分不同圖形，搭配均勻色彩，形成美觀、規(guī)范的密鋪圖案。

師完整對照教材示范圖，逐步驟核對繪圖標(biāo)準(zhǔn)，指出教材標(biāo)注的繪圖扣分點(diǎn)：圖形大小不一、拼接出現(xiàn)空隙、頂點(diǎn)內(nèi)角和不等于360°。環(huán)節(jié)4：課堂實(shí)操，按照教材流程自主設(shè)計(jì)密鋪圖案學(xué)生拿出方格紙、彩筆、直尺，嚴(yán)格按照教材四步設(shè)計(jì)流程獨(dú)立創(chuàng)作密鋪圖案，教師巡回巡視，針對兩類典型問題點(diǎn)撥：1.單一圖形密鋪繪圖時(shí)，頂點(diǎn)內(nèi)角計(jì)算錯(cuò)誤，出現(xiàn)空隙：引導(dǎo)學(xué)生回顧第一課時(shí)內(nèi)角計(jì)算方法，重新調(diào)整圖形排布；2.組合圖形搭配不當(dāng)，選用正五邊形、圓形：結(jié)合教材結(jié)論，更換可密鋪圖形重新繪制。

學(xué)生完成基礎(chǔ)繪圖后，同桌互相對照教材標(biāo)準(zhǔn)圖例檢查，確認(rèn)滿足“無空隙、不重疊”核心要求。

師選取貼合教材設(shè)計(jì)思路的學(xué)生作品上臺展示，對應(yīng)課本圖例講解繪圖優(yōu)勢，鞏固教材設(shè)計(jì)規(guī)范。環(huán)節(jié)5：教材配套基礎(chǔ)思考題鞏固課件出示教材課后基礎(chǔ)思考題：生活中墻面瓷磚、地板、蜂巢、藝術(shù)壁畫分別屬于哪種密鋪？

生集體作答：地磚墻磚為單一四邊形密鋪，蜂巢是單一正六邊形密鋪，藝術(shù)壁畫多為兩種圖形組合密鋪。

師總結(jié)：密鋪知識廣泛應(yīng)用于建筑、自然、藝術(shù)設(shè)計(jì)，所有密鋪現(xiàn)象都離不開內(nèi)角和360°這條核心數(shù)學(xué)規(guī)律。六、兩課時(shí)整體統(tǒng)一小結(jié)師：我們用兩節(jié)課完整完成教材《有趣的密鋪》綜合實(shí)踐探究，結(jié)合課本95、96、97頁圖文內(nèi)容，系統(tǒng)梳理全部核心知識點(diǎn)：1.密鋪定義與特征：用相同或不同平面圖形鋪滿平面，圖形之間無空隙、不重疊，兩個(gè)條件必須同時(shí)滿足；圓形、零散鵝卵石路面存在空隙，不屬于密鋪。2.單一圖形密鋪分類（教材表格結(jié)論）：

可單獨(dú)密鋪：任意三角形、所有四邊形（正方形、長方形、平行四邊形、梯形）、正六邊形；

不可單獨(dú)密鋪：正五邊形、圓形；3.密鋪通用核心原理（教材數(shù)學(xué)小講堂）：無論