2027金版教程一輪復習數學基礎版第3章第4節 函數的對稱性及與其他性質的綜合

第三章函數與基本初等函數第四節函數的對稱性及與其他性質的綜合課標解讀考向預測1.能結合具體函數，理解函數圖象的軸對稱性和中心對稱性．2.能利用函數圖象的軸對稱性和中心對稱性解決問題.函數圖象的對稱性是近幾年高考的熱點，常與函數的周期性交匯命題，題型以選擇題、解答題為主，難度中檔．預計2027年高考會以抽象函數為載體，將函數的奇偶性、周期性、對稱性結合起來綜合考查，以多選題形式呈現.必備知識強基礎考點探究提素養課時作業目錄必備知識強基礎函數圖象的對稱性(1)函數y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關于______對稱．(2)函數y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關于______對稱．(3)函數y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關于______對稱．y軸x軸原點√×√√(2)(人教A必修第一冊習題3.2T13改編)已知函數y＝f(x＋2)－5是奇函數，且f(4)＝3，則f(0)＝_____．解析：由y＝f(x＋2)－5是奇函數，得f(x)的圖象關于點(2，5)對稱，故f(0)＋f(4)＝10，又f(4)＝3，所以f(0)＝7.7(3)(人教B必修第一冊習題3－1CT2改編)若偶函數f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，且當x∈[2，3]時，f(x)＝3x＋1，則f(－1)＝_____．解析：∵f(x)為偶函數，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，可得f(1)＝f(3)＝3×3＋1＝10，∴f(－1)＝10.10考點探究提素養3判斷對稱軸、對稱中心的方法設P0(x0，y0)為y＝f(x)圖象上任意一點：(1)若y＝f(x)的圖象關于點(a，b)中心對稱?點P1(2a－x0，2b－y0)在y＝f(x)的圖象上；(2)若y＝f(x)的圖象關于直線x＝m對稱?點P2(2m－x0，y0)在y＝f(x)的圖象上．函數f(x)滿足的關系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數圖象的對稱性，函數f(x)滿足的關系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數的周期性，在使用這兩個關系時不要混淆．3.(多選)(2026·福建福州模擬)已知f(x＋1)是奇函數，f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱，則下列結論正確的是(

)A．f(x)是周期為4的周期函數B．f(x－5)為偶函數C．f(x)的圖象關于點(－3，0)對稱D．f(5)＝0解析:對于A，由題知，f(x＋1)是奇函數，所以f(x)的圖象關于點(1，0)對稱，則f(－x)＋f(2＋x)＝0

①，因為f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱，所以f(－x)＝f(－2＋x)

②，將②代入①可得f(－2＋x)＋f(2＋x)＝0，將x換為2＋x代入上式有f(x)＋f(x＋4)＝0

③，再將x換為x＋4代入③有f(x＋4)＋f(x＋8)＝0

④，所以f(x)＝f(x＋8)，所以f(x)是周期為8的周期函數，故A錯誤；對于B，因為f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱且周期為8，所以f(－x－5)＝f(3＋x)＝f(x－5)，所以f(x－5)為偶函數，故B正確；對于C，由f(－x＋1)＝－f(x＋1)及f(x)的周期為8，可知f(－x－3)＝－f(x＋5)＝－f(x－3)，所以f(x)的圖象關于點(－3，0)對稱，故C正確；對于D，因為f(x＋1)＋f(－x＋1)＝0，取x＝0可得f(1)＝0，所以f(5)＝f(－3)＝f(1)＝0，故D正確．考點三單調性、奇偶性、對稱性、周期性的綜合(1)已知定義在R上的奇函數f(x)，其圖象關于點(－2，0)對稱，且f(x)在[0，2)上單調遞增，則(

)A．f(11)<f(12)<f(21) B．f(21)<f(12)<f(11)C．f(11)<f(21)<f(12) D．f(21)<f(11)<f(12)解析：∵函數f(x)的圖象關于點(－2，0)對稱，∴f(x－4)＝－f(－x)，又f(x)為定義在R上的奇函數，∴－f(－x)＝f(x)，∴f(x－4)＝f(x)，即函數f(x)的周期是4，則f(11)＝f(－1)，f(12)＝f(0)，f(21)＝f(1)，∵f(x)為奇函數，且在[0，2)上單調遞增，則f(x)在(－2，2)上單調遞增，∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(11)<f(12)<f(21)．故選A.(2)(多選)(2026·山東青島模擬)已知函數f(x)的定義域為R，且f(x)在[0，＋∞)上單調遞減，f(1)＝1，若函數f(x－1)的圖象關于直線x＝1對稱，則下列結論正確的是(

)A．f(x)的圖象關于直線x＝2對稱 B．f(x)為偶函數C．?x∈R，f(x)≤f(0)恒成立 D．不等式f(x)＞1的解集為(－1，1)解析：若函數f(x－1)的圖象關于直線x＝1對稱，則f(x)的圖象關于y軸對稱，即f(x)為偶函數，故B正確，A不正確；因為f(x)在[0，＋∞)上單調遞減，所以f(x)在(－∞，0]上單調遞增，所以?x∈R，f(x)≤f(0)恒成立，故C正確；因為f(1)＝1，f(x)為偶函數，所以f(x)＞1，即f(|x|)＞f(1)，又f(x)在[0，＋∞)上單調遞減，所以|x|＜1，解得－1＜x＜1，所以不等式f(x)＞1的解集為(－1，1)，故D正確．故選BCD.函數的奇偶性、對稱性、周期性和單調性是函數的四大性質，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時，往往需要借助函數的奇偶性、對稱性和周期性來確定另一區間上的單調性，即實現區間的轉換，再利用單調性解決相關問題．4.(多選)已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x)＋f(－x)＝0，f(x)＋f(x＋4)＝0，且對任意的x1，x2∈[－2，0]，當x1≠x2時，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，則下列判斷正確的是(

)A．函數f(x)是奇函數B．函數f(x)的最小正周期是4C．函數f(x)在[2，6]上單調遞增D．直線x＝1是函數f(x＋1)圖象的一條對稱軸解析：由f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，所以函數f(x)是奇函數，A正確；對任意的x1，x2∈[－2，0]，當x1≠x2時，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0，所以函數f(x)在[－2，0]上單調遞減，結合奇函數知，函數f(x)在[0，2]上單調遞減，即函數f(x)在[－2，2]上單調遞減，由A項分析及f(x)＋f(x＋4)＝0，可知f(x)＝－f(－x)＝－f(x＋4)，即f(－x)＝f(x＋4)，故函數f(x)關于直線x＝2對稱，所以函數f(x)在[2，6]上單調遞增，且直線x＝1是函數f(x＋1)圖象的一條對稱軸，C，D正確；又f(x)＝－f(x＋4)＝f(x＋8)，結合函數f(x)在[－2，6]上的單調性可知，函數f(x)的最小正周期為8，B錯誤．故選ACD.課時作業基礎題(占比50%)中檔題(占比40%)拔高題(占比10%)題號1234567難度★★★★★★★★考點軸對稱、中心對稱的判斷由軸對稱求參數對稱中心的判斷由奇偶性、對稱性、單調性解不等式由中心對稱求參數由奇偶性、對稱性求函數值由奇偶性、對稱性、單調性比較大小題號891011121314難度★★★★★★★★★★考點由奇偶性、對稱性、周期性求函數值軸對稱、中心對稱的判斷單調性、對稱性、周期性的綜合奇偶性、對稱性、周期性的綜合已知函數求對稱中心由函數圖象的對稱性求解析式由奇偶性、對稱性、周期性求函數值題號151617181920難度★★★★★★★★★★★★★★考點由奇偶性、對稱性求函數值奇偶性、對稱性、周期性的綜合奇偶性、單調性、對稱性、周期性的綜合由奇偶性、單調性、對稱性、周期性解不等式由奇偶性、對稱性、周期性求和式的值奇偶性、單調性、對稱性的綜合2．已知函數f(x)＝2|x－a|的圖象關于直線x＝2對稱，則a＝(

)A．1 B．2C．0 D．－2解析：由函數f(x)＝2|x－a|的圖象關于直線x＝2對稱，可得f(2＋x)＝f(2－x)，即2|2＋x－a|＝2|2－x－a|，則有|2＋x－a|＝|2－x－a|

(*)恒成立，可得2＋x－a＝2－x－a或2＋x－a＋2－x－a＝0，解得x＝0或a＝2，檢驗可得a＝2時(*)式恒成立．故選B.3．已知函數y＝f(x＋1)為奇函數，則函數y＝f(x)＋1的圖象(

)A．關于點(1，1)對稱 B．關于點(1，－1)對稱C．關于點(－1，1)對稱 D．關于點(－1，－1)對稱解析：因為函數y＝f(x＋1)為奇函數，所以其圖象關于點(0，0)對稱，則函數y＝f(x)的圖象關于點(1，0)對稱，所以函數y＝f(x)＋1的圖象關于點(1，1)對稱．故選A.5．(2026·山東煙臺模擬)若函數f(x)＝x3＋ax2＋b的圖象關于點(2，0)對稱，則實數a的值為(

)A．－3 B．3C．－6 D．68．設函數f(x)的定義域為R，y＝f(x－1)＋1為奇函數，y＝f(x－2)為偶函數，若f(2028)＝1，則f(－2)＝(

)A．1 B．－1C．0 D．－3解析：因為y＝f(x－1)＋1為奇函數，所以f(－x－1)＋1＝－1－f(x－1)，所以f(x)的圖象關于點(－1，－1)中心對稱，則f(－1)＝－1.因為y＝f(x－2)為偶函數，所以f(－x－2)＝f(x－2)，所以f(x)的圖象關于直線x＝－2軸對稱．由f(－x－1)＋1＝－1－f(x－1)，得f(－x－2)＝－2－f(x)，所以f(x－2)＝－2－f(x)，則f(x－4)＝－2－f(x－2)＝－2－f(－x－2)＝f(x)，則f(x)的周期為4，f(2028)＝f(0)＝－2－f(－2)＝1，則f(－2)＝－3.故選D.10．(2026·河北衡水中學模擬)定義在R上的函數f(x)，f(x＋1)的圖象關于點(－1，0)對稱，且恒有f(x－1)＝f(3－x)，若f(x)在[1，2]上單調遞減，則下列結論正確的是(

)A．直線x＝1是f(x)圖象的對稱軸 B．f(x)的最小正周期T＝2C．f(x)在[4，5]上單調遞增 D．f(5)＝0解析：因為f(x－1)＝f(3－x)，所以直線x＝1是f(x)圖象的對稱軸，故A正確；因為f(x＋1)的圖象關于點(－1，0)對稱，所以f(x)的圖象關于點(0，0)對稱，又因為f(x)的對稱軸為直線x＝1，且f(x)在[1，2]上單調遞減，所以f(x)在[0，1]上單調遞增，且f(x)的最小正周期T＝4，所以f(x)在[4，5]上單調遞增，故B錯誤，C正確；因為f(x)的最小正周期T＝4，所以f(4)＝f(0)＝0，所以f(5)＞f(4)＝0，故D錯誤．(2，1)13．(2026·安徽合肥模擬)已知直線x＝1是定義在R上的函數y＝f(x)的對稱軸，且當x≥1時，f(x)＝x2－4x，則f(x)的解析式是____________________．214．已知函數y＝f(2x＋1)為偶函數，且f(x)＋f(－x)＝2，則f(2028)＋f(2030)＝______．解析：因為函數y＝f(2x＋1)為偶函數，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，即f(1＋x)＝f(1－x)，即函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，則f(x)＝f(2－x)，即f(－x－2)＝f(x＋4)

①，又f(x)＋f(－x)＝2，即函數f(x)的圖象關于點(0，1)對稱，則f(0)＝1，且f(x＋2)＝2－f(－x－2)

②，由①②可得f(x＋2)＝2－f(x＋4)

③，所以f(x＋4)＝2－f(x＋6)，代入③，得f(x＋2)＝f(x＋6)，即f(x)＝f(x＋4)，即函數f(x)的周期是4，所以f(2028)＋f(2030)＝f(0)＋f(2)，因為f(x)＝f(2－x)，所以f(2)＝f(0)＝1，故f(2028)＋f(2030)＝f(0)＋f(2)＝2.15．(2026·遼寧沈陽質監)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，函數g(x)＝(x－2)f(x)的圖象關于點(2，0)中心對稱，若g(－1)＝3，則f(3)＝(

)A．－3 B．－1