2027金版教程一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)版第5章第7節(jié) 余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例

第五章三角函數(shù)、解三角形第七節(jié)

余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例課標(biāo)解讀考向預(yù)測能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.預(yù)計(jì)2027年高考，以利用正弦定理、余弦定理測量距離、高度、角度等實(shí)際問題為主，常與三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合考查，題型主要為選擇題和填空題，難度中檔.必備知識強(qiáng)基礎(chǔ)考點(diǎn)探究提素養(yǎng)課時(shí)作業(yè)目錄必備知識強(qiáng)基礎(chǔ)測量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語上方術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線_______的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線________的叫做俯角下方方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α(1)北偏東α：(2)南偏西α：坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tanθ解三角形應(yīng)用問題的步驟：√×√√×題組二回歸教材——練一練(1)(人教A必修第二冊6.4.3練習(xí)T3改編)如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°方向，燈塔B在觀察站南偏東60°方向，則燈塔A在燈塔B(

)A．北偏東10°方向 B．北偏西10°方向C．南偏東80°方向 D．南偏西80°方向解析：由題可知，∠CAB＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°方向．(4)如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形OAB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2min，從D沿著DC走到C用了3min.若此人步行的速度為每分鐘50m，則該扇形的半徑為________m.考點(diǎn)探究提素養(yǎng)考點(diǎn)一測量距離問題解決測量距離問題的基本步驟(1)確定解決問題所需要的三角形；(2)分析三角形中的已知量和未知量，將未知量放在另一個(gè)三角形中求解；(3)在確定的三角形中運(yùn)用正弦定理或余弦定理求解．考點(diǎn)二測量高度問題20.1(1)在測量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，目標(biāo)視線與水平視線的夾角．(2)在實(shí)際問題中，若遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．(4)運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運(yùn)用．2.圭表是我國古代通過觀察記錄正午時(shí)影子長度的長短變化來確定季節(jié)變化的一種天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)桿(稱為“表”)和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)桿垂直的長尺(稱為“圭”)．當(dāng)正午陽光照射在表上時(shí)，影子就會落在圭面上，圭面上影子長度最長的那一天定為冬至，影子長度最短的那一天定為夏至．如圖是根據(jù)蚌埠市(北緯32.92°)的地理位置設(shè)計(jì)的圭表的示意圖，已知蚌埠市冬至正午太陽高度角(即∠ABC)約為33.65°，夏至正午太陽高度角(即∠ADC)約為80.51°.圭面上冬至線和夏至線之間的距離(即BD的長)為7米，則表高(即AC的長)約為(

)考點(diǎn)三測量角度問題正北14(1)測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解．(2)方向角是相對于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時(shí)，必須先弄清楚是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角．3.在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇A發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12公里的水面上，有藍(lán)方一艘小艇B正以每小時(shí)10公里的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若偵察艇以每小時(shí)14公里的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍(lán)方的小艇，且要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，則紅方偵察艇所需的時(shí)間為_____小時(shí)，角α的正弦值為________．2課時(shí)作業(yè)基礎(chǔ)題(占比60%)中檔題(占比30%)拔高題(占比10%)題號1234567891011121314難度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考點(diǎn)測量距離問題測量角度問題測量距離問題測量高度問題測量角度問題測量距離問題測量高度問題測量距離問題測量高度問題測量距離、角度問題測量高度問題測量距離問題測量高度、距離問題測量距離、角度問題2．如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為(

)A．30° B．45°C．60° D．75°5．《孔雀東南飛》中曾敘“十三能織素，十四學(xué)裁衣，十五彈箜篌，十六誦詩書．”箜篌歷史悠久、源遠(yuǎn)流長，音域?qū)拸V、音色柔美清澈，表現(xiàn)力強(qiáng)．如圖是箜篌的一種常見的形制，對其進(jìn)行繪制，發(fā)現(xiàn)近似一扇形，在圓弧的兩個(gè)端點(diǎn)A，B處分別作切線相交于點(diǎn)C，測得AC＝100cm，BC＝100cm，AB＝180cm，根據(jù)測量數(shù)據(jù)可估算出該圓弧所對圓心角的余弦值為(

)A．0.62 B．0.56C．－0.56 D．－0.62三、填空題11．(2026·湖北武漢模擬)享有“天下江山第一樓”美譽(yù)的黃鶴樓位于湖北武漢，地處蛇山之巔，瀕臨萬里長江，更因歷代詩人登樓作詩而名聞天下．如圖，某同學(xué)為測量黃鶴樓的高度MN，在黃鶴樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為26m，在地面上點(diǎn)C處(B，C，N三點(diǎn)共線)測得建筑物頂部A，黃鶴樓頂部M的仰角分別為30°和45°，在A處測得樓頂部M的仰角為15°，則黃鶴樓的高度約為________m.5212．山東省科技館新館目前成為濟(jì)南科教新地標(biāo)(如圖1)，其主體建筑采用與地形吻合的矩形設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)符號“∞”完美嵌入其中，寓意無限未知、無限發(fā)展、無限可能和無限的科技創(chuàng)新．如圖2，為了測量科技館最高點(diǎn)A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機(jī)在點(diǎn)C測得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為75°，30°，隨后無人機(jī)沿水平方向飛行600米到點(diǎn)D，此時(shí)測得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為45°，60°(A，B，C，D在同一鉛垂面內(nèi))，則A，B兩點(diǎn)之間的距離為________米．13．(2026·貴州貴陽模擬)鏡面反射法是測量建筑物高度的重要方法，在如圖所示的模型中，已知人眼距離地面的高度h＝1.5m，某建筑物的高h(yuǎn)1＝4.5m，將鏡子(平面鏡)