2026年小升初數學思維訓練：第十三章統籌優化問題典例精講

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第十三章

統籌優化問題知識概述在日常生活和生產中，我們經常會遇到下面的問題：完成一件事情，怎樣合理安排才能做到用的時間最少，效果最佳。這類問題在數學中稱為統籌問題。我們還會遇到“費用最省”“面積最大”“損耗最小”等等問題，這些問題往往可以從極端情況去探討它的最大（?。┲?，這類問題在數學中稱為極值問題。以上的問題實際上都是“最優化問題”。那么應該如何解決這些問題呢？這就需要統籌兼顧效率、科學安排。因此，掌握一些統籌安排的方法，了解最優化的思想，能節省人力、時間、物力，提高我們的解題速度。典例精講1．6個人各拿一只水桶到水龍頭接水，水龍頭注滿6個人的水桶所需時間分別是5分鐘、4分鐘、3分鐘、10分鐘、7分鐘、6分鐘?，F在只有這一個水龍頭可用，問怎樣安排這6人的打水次序，可使他們總的等候時間最短？這個最短時間是多少？【同步精練】2．五（1）班趙明、孫勇、李佳三位同學同時到達學校衛生室，等候校醫治病。趙明打針需要5分鐘，孫勇包紗布需要3分鐘，李佳點眼藥水需要1分鐘。衛生室只有一位校醫，校醫如何安排三位同學的治病次序，才能使三位同學留在衛生室的時間總和最短？3．如圖，有甲、乙兩個工廠各自需要15噸鋼材，而丙、丁兩個倉庫正好分別有12噸、18噸這種鋼材，問如何調運可使甲、乙兩個工廠都正好得到各自所需要的鋼材而又能使運輸費用最省。（假設每噸鋼材每千米的運費相同）【同步精練】4．甲、乙兩村相距5千米，要在兩村之間建一所小學。甲村有60人上學，乙村有40人上學，那么小學應該建在什么地方，才能使這100個學生每天上學的總行程最短？5．小芳為家里做飯，她擇菜需要8分鐘，洗菜5分鐘，放水3分鐘，淘米3分鐘，煮飯10分鐘，切菜4分鐘，炒菜6分鐘。若小芳家使用的是單火眼煤氣灶，她怎樣安排做飯順序最省時合理？若小芳家使用的是雙火眼煤氣灶，又將怎樣安排才合理？最省時間分別是多少？【同步精練】6．媽媽處理好魚后，讓小明幫助燒魚，他洗魚、切魚、切姜片蔥花、洗鍋、煎燒，各道工序共花了17分鐘（如下圖），請你設計一個順序，使花費的時間最少。答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《第十三章統籌優化問題典例精講》參考答案：1．按照接水時間按從少到多順序排列等候接水；最短時間是100分鐘【難度】0.4【知識點】最優化問題【分析】第一個人接水時，包括他本人在內，共有6個人等候，第二個人接水時，有5個人等候；……第6個人接水時，只有他1個人等候；可見，等候的人越多（一開始時），接水時間應當越短，這樣總的等候時間才會最少，因此，應當把接水時間按從少到多順序排列等候接水?！驹斀狻孔疃虝r間：＝18＋20＋20＋18＋14＋10＝100（分鐘）答：按照接水時間按從少到多順序排列等候接水；最短時間是100分鐘。【點睛】本題考查的是時間統籌優化問題，對于此類問題，要把時間最少的排在最前面。2．先安排李佳治病，然后孫勇治病，最后趙明治病。【難度】0.65【知識點】沏茶問題【分析】由題目可知，校醫應該給治療時間最短的先治病，治療時間長的最后治療，才能使三位同學留在衛生室的時間總和最短。這樣，三位同學留在衛生室的時間分別是：李佳1分鐘，孫勇1＋3＝4（分鐘），趙明1＋3＋5＝9（分鐘），即可解題?！驹斀狻坑煞治隹芍豪罴?分鐘孫勇1＋3＝4（分鐘）趙明1＋3＋5＝9（分鐘）時間總和是1＋4＋9＝14（分鐘）。答：先安排李佳治病，然后孫勇治病，最后趙明治病。3．方案：由丁倉庫運15噸鋼材到甲工廠，運3噸鋼材到乙工廠，丙倉庫運12噸鋼材到乙工廠。【難度】0.65【知識點】最優化問題【分析】本題是整數復合應用題，可根據最佳方法問題的解答方法進行解答；運費的多少決定于每噸鋼材所運的路程，所以只需計算所有鋼材被運的路程，并使總路程盡可能少即可；依據圖示以及"運費＝鋼材噸數×兩地間距離"可知，運費最省的方法是丙倉庫鋼材運到乙工廠，不夠的部分，再從丁倉庫補全，丁倉庫剩余的鋼材全部運到甲工廠，據此解答?！驹斀狻恳驗檫\費的多少決定于每噸鋼材所運的路程，所以只需計算所有鋼材運輸的路程，并使總路程盡可能少。設所有鋼材運輸路程為S（單位：千米）。設從丙倉庫運往甲工廠鋼材m噸，則所剩（12?m）噸鋼材將運往乙工廠，且丁倉庫將運往甲工廠（15?m）噸，剩余的（18?15＋m）噸應運往乙工廠。所以S＝800m＋500×（12?m）＋400×（15?m）＋300×（18?15＋m）＝200m＋12900由上式可看出要使運費最省而又要兩個工廠都得到所需鋼材，只需S最小即可，而S的大小取決于m。故m最小時S最小，所以m應為0。所以具體調運方案為：由丁倉庫運15噸鋼材到甲工廠、運3噸鋼材到乙工廠，丙倉庫運12噸鋼材到乙工廠。4．甲村【難度】0.65【知識點】最優化問題【分析】總行程＝甲村學生人數×甲村到學校的距離＋乙村學生人數×乙村到學校的距離。由于甲村學生人數多于乙村，若學校向乙村方向移動，甲村學生增加的路程總和將大于乙村學生減少的路程總和，導致總行程增加。因此，學校應建在人數較多的甲村，以使人數多的一方路程最短?！驹斀狻考僭O學校從甲村向乙村方向移動1千米。甲村60名學生每人多走1千米，共多走：60×1＝60（千米）乙村40名學生每人少走1千米，共少走：40×1＝40（千米）總行程增加：60－40＝20（千米）因為20＞0，所以向乙村方向移動總行程會增加。要使總行程最短，學校應靠近人數多的甲村。故小學應該建在甲村。5．（1）安排見詳解；29分鐘（2）安排見詳解；26分鐘【難度】0.65【知識點】沏茶問題【分析】（1）若小芳家使用單火眼灶具，則炒菜和煮飯不能同時進行，可這樣安排：淘米3分鐘，煮飯10分鐘（同時擇菜、洗菜），補洗菜3分鐘，放水3分鐘，切菜4分鐘，炒菜6分鐘，據此即可解題。（2）若小芳家使用雙火眼灶具，則炒菜和煮飯可同時進行，這樣安排：擇菜8分鐘，洗菜5分鐘，放水3分鐘（同時淘米），煮飯10分鐘（同時切菜、炒菜），據此即可解題?！驹斀狻坑煞治隹芍海?）3＋10＋3＋3＋4＋6＝29（分鐘）答：可這樣安排：淘米3分鐘，煮飯10分鐘（同時擇菜、洗菜），補洗菜3分鐘，放水3分鐘，切菜4分鐘，炒菜6分鐘，最省時間是29分鐘。（2）8＋5＋3＋10＝26（分鐘）答：這樣安排：擇菜8分鐘，洗菜5分鐘，放水3分鐘（同時淘米），煮飯10分鐘（同時切菜、