第四講 平穩隨機過程及其遍歷性

1.3

平穩隨機過程及其遍歷性平穩性：若一個函數，當，的特性不變，就稱關于函數是平穩的。對確定函數來說：特性不變指函數值不變。對隨機過程來說：特性不變指統計特性不變，且僅僅對時間變量t而言。分類嚴格平穩（廣平穩）寬平穩（廣義平穩）12

隨機過程可分為平穩和非平穩兩大類,嚴格地說,所有信號都是非平穩的,但是,平穩信號的分析要容易得多,而且在電子系統中,如果產生一個隨機過程的主要物理條件在時間的進程中不改變,或變化極小,可以忽略,則此信號可以認為是平穩的.如接收機的噪聲電壓信號,剛開機時由于元器件上溫度的變化,使得噪聲電壓在開始時有一段暫態過程,經過一段時間后,溫度變化趨于穩定,這時的噪聲電壓信號可以認為是平穩的。3

一平穩隨機過程1嚴平穩隨機過程(1)定義

如果隨機過程的任意n維分布不隨時間起點變化，即當時間平移時，其任意的n維概率密度不變，則稱是嚴（格）平穩的隨機過程或稱為狹義平穩隨機過程。實際應用中，通過上式來判定過程的平穩性是很不容易的，因此在實際中往往不需要所有時間都平穩，只要觀測的有限時間平穩就行了。4(2)特性一階平穩(n=1)

嚴平穩隨機過程的一維概率密度函數與時間無關時，對于一維概率密度有：SSS.R.S.由同分布隨機變量組成，一維的分布函數，概率密度函數相同。5隨機過程X(t)的均值，均方值和方差都是平穩的都與時間t無關均值為常數，我們稱為均值平穩。可見，一階平穩平穩一定均值平穩，但均值平穩不一定一階平穩。如：均值均為0，均值平穩，但各時刻的R.V.的分布不同。6二階平穩(n=2)

嚴平穩隨機過程的二維概率密度只與t1,

t2的時間間隔有關，而與時間起點無關。時，二維概率密度：從概率密度函數的角度講，高階平穩一定低階平穩7都與時間無關隨機過程X(t)的自相關函數，自協方差函數都是平穩的。若，則相關平穩89(3)嚴平穩隨機過程的判斷

按照嚴平穩隨機過程的定義，判斷一個隨機過程是否為嚴平穩，需要知道其n維概率密度，可是求n維概率密度是比較困難的。不過，如果有一個反例，就可以判斷某隨機過程不是嚴平穩的，具體方法有兩個：1)若X(t)為嚴平穩，k為任意正整數，則與時間t無關。

2)若X(t)為嚴平穩，則對于任一時刻t0，X(t0)具有相同的統計特性。10

實際中，要確定一個對一切n都成立的隨機過程概率密度函數族是十分困難的，因而在工程中往往根據實際需要只在相關理論范圍內考慮平穩過程問題。相關理論：只限于研究隨機過程一階和二階矩的理論。即研究隨機過程的數學期望、相關函數以及功率譜密度等。隨機過程的一、二矩函數雖然不能像多維概率密度函數那樣全面的描述隨機過程的統計特性，但它們在一定程度上相當有效的描述了隨機過程的重要特性。

（1）平穩隨機過程表示噪聲電壓，一、二矩函數可以表示噪聲的平均功率的直流、交流分量以及總功率的重要參數。（2）工程中常見的隨機過程是高斯過程，只要知道數學期望和相關函數，則多維概率密度函數就確定了。112寬(廣義)平穩隨機過程若隨機過程X(t)滿足則稱X(t)為寬平穩或廣義平穩隨機過程。嚴平穩與寬平穩的關系：

嚴格平穩廣義平穩一定不一定當隨機過程滿足高斯分布時，嚴平穩和寬平穩是等價的。12為什么要研究寬平穩隨機過程?

隨機過程可分為平穩和非平穩兩大類,嚴格地說,所有信號都是非平穩的,但是,在自然界和實際應用中許多隨機過程可以近似為平穩信號。且平穩信號分析要容易得多，理論成熟，是隨機信號分析的基礎。物理規律或統計結果與隨機試驗的時間起點無關，在線性時不變系統中，輸入寬平穩，輸出也寬平穩。13例隨機相位信號是否平穩?解X(t)均值為“0”，自相關函數僅與時間間隔有關，功率有限，故X(t)是寬平穩的。;14例設隨機過程Z(t)=Xcost+Ysint，-<t<。其中

X，Y為相互獨立的隨機變量，且分別以概率

2/3、1/3取值-1和2。試討論隨機過程Z(t)的平穩性。15解16Z(t)是廣義平穩的。17Z(t)不是嚴格平穩的。18例

設隨機過程X(t)=At，A為標準正態分布的隨機變量。試問X(t)是否平穩？19解所以X(t)是非平穩的。20二平穩隨機過程自相關函數的性質

數學期望和相關函數是隨機過程的基本數字特征。對于平穩隨機過程而言，數學期望是常數，經中心化后為零，所以基本的數字特征實際上就是相關函數。相關函數不僅僅展示隨機過程各隨機變量(狀態)間關聯特性的信息，而且也為隨機過程的功率譜密度以及從噪聲中提取有用信息的工具。要求：

(1)根據圖形或表達式判斷一個函數是否是廣義平穩過程的自相關函數；

(2)根據自相關函數分析隨機過程其它數字特征。21性質1

平均功率

性質2

偶函數

證：同理22性質3

極值性證：任何正函數的數字期望恒為非負值，即對于平穩過程X(t)，性質1可知代入前式，可得于是同理當平穩過程的相關函數具有最大值。物理意義：隨機過程同一時刻隨機過程自身的相關性最強。23性質4

若平穩過程X(t)滿足條件X(t)=X(t+T)，則稱它為周期平穩過程，其中T為隨機過程周期。

周期平穩過程的自相關函數必是周期函數，且與隨機過程的周期相同。即：周期平穩過程X(t)=X(t+T)，T為周期，則相關函數滿足證：由自相關函數的定義和周期性條件，容易得到性質5

24例：設隨機過程為式中為常數，為上均勻分布的隨機變量，為一般平穩過程，對于所有t而言，與統計獨立。則易得出相關函數為可見，相關函數也包含有與隨機過程X(t)的周期分量相同周期的周期分量。25性質6

若平穩隨機過程X(t)不含有任何周期分量，則滿足物理含義：當增大時，與之間相關性會減弱，在的極限情況下，兩者不相關。26性質7

若平穩過程含有平均分量(均值)，則相關函數也含有固定分量,即則若X(t)是非周期的，自相關性函數確定方差由協方差函數的定義，可得由此若X(t)是非周期，則有證：且在t=0時,可得2)(XXmR=￥例：若GuassR.S.X(t)的如下圖所示：求：A.f(x,t);B.①

②兩時刻的。性質8

例：判斷下面圖形表示的函數是否可以作為實WSS.R.S.的自相關函數。30平穩隨機過程必須滿足對所有均成立。

性質9

自相關函數的傅里葉變換是非負的，因為平穩隨機過程X(t)自相關函數的傅里葉變換是X(t)的功率譜密度。這限制了自相關函數曲線圖形不能有任意形狀，要求不能出現平頂、垂直邊或在幅度上的任何不連續。31平穩過程相關函數的典型曲線)(tXR2Xs)0(XR2Xmt032平穩過程的相關系數和相關時間

對于平穩隨機過程X(t)的兩個不同時刻t和的起伏值的關聯程度，可以用自協方差表示。但是，還與和的強度有關，若或很小，即使兩者的相關程度較強，則也不會太大，所以并不能準確表示關聯程度的大小。為了消除起伏值強度對的影響，需要對協方差函數作歸一化處理，引入相關系數。33此值在[－1，1]之間。表示不相關，表示完全相關。表示正相關，表明兩個不同時刻起伏值（隨機變量與均值之差）之間符號相同可能性大。

相關系數也稱為歸一化協方差函數或標準協方差函數表征隨機過程在兩個不同時刻的狀態之間的統計關聯程度34相關時間

對于一般的隨機過程而言，隨著時間間隔增大相關程度減弱，因此相關系數也隨著減弱，當間隔大到一定程度（假定為），相關系數很小可以認為起伏值不相關了，這個時間就稱為相關時間。351

通常把相關系數的絕對值小于0.05的時間間隔，記做相關時間,即:時的時間間隔為相關時間。2

有時我們用矩形（高為,底為的矩形）面積等于積分的一半來定義相關時間即相關時間示意圖36物理意義：

相關時間越小，就意味著相關系數隨增加而降落的越快，這表明隨機過程隨時間變化越劇烈。反之，越大，則表示隨機過程隨時間變化越慢。

相關時間越長，反映隨機過程前后取值之間的依賴性越強，變化越緩慢；相關時間越小，反映隨機過程前后取值之間的依賴性越弱，變化越快速。

兩個不同相關時間隨機過程的樣本函數

050100-4-2024050100-10-5051037例：已知平穩隨機過程X(t)的自相關函數為

求X(t)的均值和方差。38解：由性質6可知由性質7可知39例：已知隨機過程X(t)與Y(t)的協方差函數

比較兩個過程的起伏速度。40解:由隨機過程的協方差函數，得出X(t)、Y(t)的方差由于

，故過程X(t)比Y(t)起伏速度快。由定義得出X(t)、Y(t)的相關系數X(t)、Y(t)的相關時間41三遍歷(Ergodic)隨機過程（各態歷經性）

每當提及隨機過程時，意味著要涉及大量的樣本函數的集合。要得到隨機過程的統計特性，需要觀察大量的樣本函數。數學期望、方差、相關函數等都是對大量樣本函數在特定時刻的取值利用統計方法求平均而得到的數字特征。這種平均稱為統計平均或集合平均。顯然，取統計平均所需要的試驗工作量很大，處理方法也很復雜。這就使人們自然想到，根據平穩隨機過程統計特性與記時起點無關這個特點，能否找到更加簡單的方法代替上述的方法。辛欽證明：在具備一定的條件下有平穩隨機過程的任意一個樣本函數取時間平均（觀察時間足夠長），從概率意義上趨近于該過程的統計平均值。這樣的隨機過程，稱具備各態歷經性或遍歷性。42

隨機過程各態歷經性可以理解為：隨機過程的各樣本函數都同樣的經歷了隨機過程的各種可能狀態。因此從隨機過程的任何一個樣本函數都可以得到隨機過程的全部統計信息，任何一個樣本函數的特性都可以充分地代表整個隨機過程的特性。問題：隨機過程的各數字特征（集合平均），能否用任一條樣本函數的特征（時間平均）來代替。431遍歷性隨機過程的定義

如果一個隨機過程X(t)，它的各種時間平均（時間足夠長）依概率1收斂于相應的集合平均，則稱X(t)具有嚴格遍歷性，并稱它為嚴遍歷過程。

嚴（狹義）遍歷性的定義

寬（廣義）遍歷性的定義

設X(t)是一個平穩隨機過程，如果其均值和相關函數都具有各態歷經性或遍歷性，則稱X(t)為寬遍歷過程，或簡稱遍歷過程。在相關理論的范圍內討論歷經過程，即討論均值和自相關時間平均44均值各態歷經性定義為隨機過程的時間平均值。如果它依概率1收斂于集合均值，即則稱平穩過程X(t)的均值具有遍歷性。與取哪條樣本有關與時間無關是時間t的函數，與取哪條樣本無關45均值各態歷經

任何一條樣本函數所包含的取值狀態與隨機過程（任意時刻）所有的狀態相同，而且出現的頻率與隨機過程各狀態的概率相同。46定義隨機過程的時間自相關函數。則稱平穩隨機過程X(t)的自相關函數具有遍歷性。自相關函數各態歷經性如果它依概率1收斂于集合均值，即當且僅當時上式成立，則稱X(t)的均方值具有遍歷性。47自相關函數各態歷經

任何一條樣本函數都同樣的經歷了隨機過程的各種二階可能狀態。48各態歷經過程與非各態歷經過程示意圖廣義各態歷經（遍歷性）總結（1）定義：同時滿足均值各態歷經，相關各態歷經，則稱X(t)為廣義各態歷經。（2）條件：

①X(t)廣義平穩；

②502遍歷隨機過程的實際應用

一般隨機過程的時間平均是隨機變量，但遍歷過程的時間平均為確定量，因此可用任一樣本函數的時間平均代替整個過程的統計平均，在實際工作中，時間T不可能無限長，只要足夠長即可。

3遍歷隨機過程和平穩隨機過程的關系

遍歷過程必須是平穩的，而平穩過程不一定是遍歷的。514遍歷隨機過程的意義

在實際應用中，如果隨機過程是平穩的，要從理論上證明過程的各態歷經性并非易事。我們總是憑經驗假設它是各態歷經的。

任何一個樣本函數的特性都可以充分代表隨機過程的全部統計特性，簡化研究過程和實際統計方法。

實際通信系統中，通常認為噪聲和信號一般都是平穩和各態歷經的。525遍歷過程（各態歷經性）的判別定理

均值遍歷判別定理

平穩隨機過程X(t)的均值具有遍歷性的充要條件：平穩隨機過程X(t)的自相關函數具有遍歷性充要條件：

自相關函數遍歷判別定理

式中：53注意：判斷一個平穩過程是否遍歷，我們總是先假設其是遍歷的，然后看是否滿足定義要求（即時間平均以概率1等于統計平均）,一般不用兩個判別定理。

54故X(t)是寬（廣義）平穩隨機過程。解例設,式中a，為常數，是在上均勻分布的隨機變量。試問：X(t)是否平穩？是否遍歷？55故平穩隨機過程X(t)也是寬（廣義）遍歷隨機過程。56例判斷隨