隨機過程復習提綱

第一章小結條件分布函數（連續型）條件分布律（離散型）條件概率密度n維隨機變量常用結論設相互獨立，為任意實數。※※數字特征——條件期望離散型連續型若X與Y相互獨立，則全期望公式離散型數字特征——條件期望連續型全期望公式特征函數定義對一切隨機變量，其特征函數都存在！

常見分布的特征函數1.兩點分布((0-1)分布)2.二項分布B(n,p)3.泊松分布4.均勻分布5.指數分布6.標準正態分布特征函數的基本性質特征函數分布函數第二章小結隨機過程{X(t)，t∈T}：樣本函數、樣本曲線一維分布函數X(t)是一個隨機變量X(t)的概率密度函數一維概率密度函數X(t)的分布律一維概率分布（一維分布律）：二維分布函數例3：若該過程中任意兩時刻的隨機變量相互獨立，試求兩時刻X(t)的二維分布函數。解X(1/2),X(1)的聯合分布律欲求聯合分布函數綜上隨機過程的數字特征與特征函數（1）均值函數（2）均方值函數（3）方差函數（4）自相關函數（5）自協方差函數（6）一維特征函數數字特征之間的關系二維隨機過程的數字特征：互相關函數：互協方差函數：隨機過程不相關：復隨機過程的數字特征——類似求X(t)的數字特征。(P80)例6解隨機過程的概率結構分類1、二階矩過程2、獨立隨機過程3、獨立增量過程4、平穩增量過程（齊次隨機過程）過程X(t)具有平穩增量。注：若X(t)為平穩增量過程，則對任意T中的時刻s和t，有X(t+τ)-X(t)與X(s+τ)-X(s)同分布。5、正態過程則稱X(t)為正態隨機過程。其中6、維納(Wiener)過程則稱隨機過程{X(t),t≥0}是參數為σ2的維納過程，或布朗運動。當σ＝1時稱為標準維納過程。微粒不停地做無規則運動的現象叫做布朗運動布朗運動的數學模型第四章小結隨機質點流

強度N(t)——[0,t)內到達的隨機質點個數τn——第n個隨機質點的到達時間Tn

——第n-1個與第n個質點時間間隔{N(t),t≥0}泊松過程21[例4]

設顧客依泊松過程到達某商店，平均每小時到達4人。已知商店上午9：00開門，試求：至9：30僅到一位顧客而11：30時總計已到達5位顧客的概率。22解人/小時，以9:00為時間起點。設N(t)為[0,t)內到達的顧客數，則N(t)為泊松過程。則稱是一由與復合而成的復合泊松過程。[定義1]

設是一強度為的泊松過程，是獨立同分布隨機變量序列，且與相互獨立。若令注：一般認為當t=0時，有Y(0)=0。24復合泊松過程獨立增量、平穩增量非齊次泊松過程是計數過程、獨立增量過程則在時間間隔內出現k個質點的概率為第六章小結馬爾可夫過程

獨立過程和具有常數初值的獨立增量過程是馬氏過程（二項過程、泊松過程、非齊次泊松過程、復合泊松過程、維納過程均是馬氏過程！）馬爾可夫鏈馬氏性馬氏性一步轉移概率齊次馬爾可夫鏈一步轉移概率一步轉移概率矩陣行和為1會判斷和說明一隨機過程是否齊次馬氏鏈；會寫一步轉移概率矩陣和畫出概率轉移圖！n步轉移概率C-K方程：矩陣形式對齊次馬氏鏈：初始分布絕對分布X(0)的分布X(n)的分布計算式：有限維分布（齊次馬氏鏈）29設齊次馬氏鏈的狀態空間為，若對于所有的狀態

，存在不依賴于的常數,為其轉移概率在時的極限，即其相應的轉移概率矩陣有則稱此馬氏鏈具有遍歷性,并稱為狀態的穩態概率，也稱為極限分布.齊次馬氏鏈的遍歷性

齊次馬氏鏈的平穩分布平穩方程若不滿足遍歷性定義，則非遍歷！

齊次馬氏鏈即使不具有遍歷性，也可能存在平穩分布；且平穩分布可能不唯一！滿足定理條件時，平穩分布即為極限分布。第三章小結均方極限定義與驗證（1）若，則；

（2）若，

，則；（3）若，

，則對任意常數和，有；（4）若數列滿足，是隨機變量，則；

均方極限性質——除具有唯一性外，還具有均方連續、均方導數、均方積分概念均方導數、均方積分的簡單性質33均方導數與自（互）相關函數關系第五章小結嚴平穩過程定義及數字特征特點

設為復（或實）隨機過程，若滿足（1）（2）（3）寬平穩過程定義與驗證則稱該過程為寬平穩過程。嚴平穩性即是