【綠色通道】高考數學總復習 42平面向量基本定理及坐標表示課件 新人教A

考綱要求1.了解平面向量的基本定理及其意義．2．掌握平面向量的正交分解及其坐標表示．3．會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算．4．理解用坐標表示的平面向量共線的條件．熱點提示1.向量的坐標運算及用坐標表示平面向量共線的條件是高考考查的熱點，常以選擇、填空題的形式出現，為中、低檔題．2．向量的坐標運算常與三角，解析幾何等知識結合，在知識交匯點處命題，以解答題的形式呈現，屬中檔題.(2)范圍向量夾角θ的范圍是

，a與b同向時，夾角θ＝

；a與b反向時，夾角θ＝

.(3)向量垂直如果向量a與b的夾角是

，則a與b垂直，記作

.0°≤θ≤180°0°180°90°a⊥b提示：不正確．求兩向量的夾角時，兩向量起點應相同，向量a與b的夾角為π－∠ABC.

2．平面向量基本定理及坐標表示(1)平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個

向量，那么對于這一平面內的任意向量a，

一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．不共線有且只有(2)平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個

的向量，叫做把向量正交分解．(3)平面向量的坐標表示①在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面內的一個向量a，有且只有一對實數x，y，使a＝xi＋yj，把有序數對

叫做向量a的坐標，記作a＝

，其中

叫做a在x軸上的坐標，

叫做a在y軸上的坐標．互相垂直(x，y)(x，y)xy②設＝xi＋yj，則向量的坐標(x，y)就是終點A的坐標，即若＝(x，y)，則A點坐標為

，反之亦成立．(O是坐標原點) (x，y)3．平面向量的坐標運算(1)加法、減法、數乘運算向量aba＋ba－bλa坐標(x1，y1)(x2，y2)(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(2)向量坐標的求法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)則＝

，即一個向量的坐標等于

．(3)平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a與b共線?a＝λb?

.(x2－x1，y2－y1)該向量終點的坐標減去始點的坐標x1y2－x2y1＝0若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條條件能不不能寫成成提示：不能．因因為x2，y2有可能為為0，故故應表示示成x1y2－x2y1＝0.答案：A2．設向向量a＝(1，，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－－2)．若表表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向線段首首尾相接能構構成四邊形，，則向量d為 ()A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－－6)D．(－－2，－6)解析：由題知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)．2(a－c)＝(4，－－2)，由題意知：4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，則(4，－12)＋(－－6,20)＋(4，－－2)＋d＝0，即(2,6)＋d＝0，故d＝(－2，－－6)，選D.答案：D答案：(2,4)(－3,9)(－5,5)答案：2【例2】(2009··廣東卷)若若平面向量a，b滿足|a＋b|＝1，a＋b平行于x軸，b＝(2，－1)，則a＝________.思路分析：可以先設向量量a的坐標為(m，n)，則由條件件可以得到關關于m，n的方程組，解解方程組可得得m，n的值．本題主要是考考查向量加法法的坐標運算算及向量模的的運算，信息息量小，運算算量少，考查查了方程的思思想.變式遷移2已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求實數x的值．解：因為a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－－x,3)，又因為u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝.【例3】如右圖所示，，已知點A(4,0)，，B(4,4)，，C(2,6)，，求AC和OB交點P的坐標．求交點坐標問問題就是共線線向量的應用用.答案：D向量的工具性性在解析幾何何中可以得到到充分地體現現，因此，近近年的高考中中常有解析幾幾何與平面向向量交匯的題題目．向量的的坐標運算在在解析幾何中中的應用主要要體現在：用用向量給出的的條件可以轉轉化為向量的的坐標的關系系，而向量的的坐標與曲線線上點的坐標標往往具有內內在的聯系，，將這種內在在的聯系挖掘掘出來，也就就找到了解題題的思路．解解析幾何中的的平行，求軌軌跡方程，求求最值等問題題都可以很容容易地與平面面向量結合起起來，而向量量的坐標運算算也可以使這這些問題的求求解過程變得得簡單易行.1．在平面面向量基本本定理的學學習中，要要注意定理理的應用條條件，e1、e2是一組不共共線向量，，當基底確確定后，這這種表示是是唯一的．．而對于基基底的選取取卻不唯一一，只要是是同一平面面內的兩個個不共線向向量，都可可以作為一一組基底．．平面向量量基本定理理是平面向向量的重要要內容，它它是向量運運算數量化化、代數化化的依據，，為后面的的學習奠定定了基礎．．在解決具體體問題時，，合理地選選擇基底會會給解題帶帶來方便．．在解有關關三角形的的問題時，，可以不去去特意選擇擇兩個基本本向量，而而可以用三三邊所在的的三個向量量，最后可可以根據需需要任意留留下兩個即即可，這樣樣思考問題題要簡單得得多．2．向量的的坐標表示示，實際上上是向量的的代數表示示，引入向向量的坐標標表示可使使向量運算算完全代數數化，將數數與形緊密密地結合起起來，這樣樣可以將許許多幾何問問題轉化為為同學們熟熟知的數量量運算．這這也給我們們解決