【走向高考】高三數學一輪復習 123二項定理課件（北師大）

考綱解讀1．能用計數原理證明二項式定理．2．會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題．考向預測1．本節內容的考查熱點是通項公式，可以求指定項，或已知某項，求指數n等．2．本節內容的考查通常用選擇題、填空題的方式進行．知識梳理1．二項式定理(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b1＋Cn2an－2b2＋…＋Cnran－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其中的系數Cnr(r＝0,1,2，…，n)叫做

．式中的Cnran－rbr叫做二項展開式的

，用Tr＋1表示，即展開式的第

項；Tr＋1＝

.二項式系數通項r＋1Cnran－rbr2．二項展開式形式上的特點(1)項數為

.(2)各項的次數都等于二項式的冪指數n，即a與b的指數的和為

.(3)字母a按

排列，從第一項開始，次數由n逐項減1直到零；字母b按

排列，從第一項起，次數由零逐項增1直到n.(4)二項式的系數從

，Cn1，一直到Cnn－1，

.n＋1n降冪升冪Cn0Cnn3．二項式系數的性質(1)在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的

相等．(2)如果二項式的冪指數是偶數，

的二項式系數最大；如果二項式的冪指數是奇數，

的二項式系數相等并且最大．(3)二項式系數的和等于

，即

.(4)二項式展開式中，偶數項的二項式系數和

奇數項的二項式系數和，即

.二項式系數中間一項中間兩項2nCn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n等于Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝2n－1[答案]

A[答案]

B3．(2009·江西西文)若Cn1x＋Cn2x2＋…＋Cnnxn能被7整除除，則x，n的值可能為為()A．x＝4，n＝3B．x＝4，n＝4C．x＝5，n＝4D．x＝6，n＝5[答案]C[解析]考查二項式式定理．因為Cn1x＋Cn2x2＋…＋Cnnxn＝Cn0x0＋Cn1x＋Cn2x2＋…＋Cnnxn－1＝(1＋x)n－1能被7整除，代代入選項檢檢驗易知選選C.4．(2010·全國國卷Ⅰ文)(1－x)4(1－)3的展開式中中x2的系數是()A．－6B．－3C．0D．．3[答案]A[解析]該題考查求求展開式的的特定項，，用生成法法．∵(1－)3的有理項為為1和3x，故要出現現x2，需從(1－x)4因式中找x2項和x項，即C42(－x)2和－C41x，∴x2項為C42(－x)2·1－C41·x·3x＝－6x2，∴選A.[答案]66．(2010·全國卷卷Ⅱ文)(x＋)9的展開式中中的x3的系數是__________．[答案]847．若(1＋2x)6展開式中第第2項大于于它的相鄰鄰兩項，試試求x的取值范圍圍．[點點評評]求二二項項展展開開式式中中某某些些特特殊殊項項、、常常數數項項、、有有理理項項、、無無理理項項或或它它們們的的系系數數等等問問題題．．利利用用通通項項公公式式寫寫出出其其一一般般式式，，再再令令其其中中r取某某些些特特定定值值是是解解決決該該類類型型問問題題常常用用方方法法．．[答案案]B[答案案]B[例例2]若若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋……＋＋a1x＋a0，求求(1)a1＋a2＋……＋＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6.[解解析析]所求求結結果果與與各各項項系系數數有有關關，，可可以以考考慮慮用用““特特殊殊值值””法法，，整整體體解解決決．．(1)令令x＝0，，則則a0＝－－1；；令令x＝1，，則則a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128①∴a1＋a2＋…＋a7＝129.(3)已已知知(x＋1)2009＝a0＋a1x＋a2x2＋……＋＋a2009x2009，則則a0＋a1＋a2＋……＋＋a1004＝()A．．22009B．．22008C．．21005D．．21004[答答案案](1)49－1(2)A(3)B[解析](1)在在(1－－3x)9展開式中中奇數項項為正，，偶數項項為負．．故|a1|＋|a2|＋…＋＋|a9|＝－a1＋a2－a3＋…－a9.令x＝－1，，得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝49.令x＝0，得得a0＝1.故故|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝49－1.[例3]已知知f(x)＝(＋＋3x2)n展開式中中各項的的系數和和比各項項的二項項式系數數和大992.(1)求求展開式式中二項項式系數數的最大大項．(2)求求展開式式中系數數最大的的項．[分析]展開式中中二項式式系數的的最大項項應是中中間項，，并要根根據n的奇偶性性來確定定是兩項項還是一一項；系系數最大大項的系系數，應應滿足它它不小于于前一項項的系數數，也不不小于后后一項的的系數，，若設第第r＋1項為為展開式式的系數數最大項項，則應應滿足第第r＋1項的的系數大大于或等等于第r項及第r＋2項的的系數．．[解析](1)令令x＝1，則則二項式式各項系系數和為為f(1)＝＝(1＋＋3)n＝4n，展開式中中各項的的二項式式系數之之和為2n.由題意，，知4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0.∴(2n＋31)(2n－32)＝0.∴2n＝－31(舍)或2n＝32.∴n＝5.由于n＝5為奇奇數，∴展開式中中二項式式系數最最大項為為中間兩兩項，它它們是[解析]根據二項項式系數數的性質質，列方方程求解解n.系數的的絕對值值最大問問題需要要列不等等式組求求解．由題意知知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，，∴2n＝32，，解得n＝5.[點評]在運用二二項式定定理時不不能忽視視展開式式中系數數的正負負符號．．當然還還需考慮慮二項式式系數與與展開式式某項的的系數之之間的差差異：二二項式系系數只與與二項式式的指數數和項數數有關，，與二項項式無關關；而項項的系數數不僅與與二項式式的指數數和項數數有關，，還與二二項式有有關．值值得注意意的是，，本例中中是求“系數的絕絕對值最最大的項項”，若改改為“系數最最大的的項”又該如如何處處理？？因為為第4項的的系數數為負負值，，所以以系數數最大大項必必是第第3項項或第第5項項中的的某一一項．．比較較這兩兩項的的系數數C10228與C10426大小即即可.[例4](1)求求證：：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，且n>2)；(2)求S＝C271＋C272＋…＋＋C2727除以9的余余數．．[分析析](1)把3n化為(2＋＋1)n展開后后放縮縮證明明；(2)求出出系數數和構構造二二項展展開式式求解解．[解析析](1)證明明：∵n∈N*，且n>2，，∴3n＝(2＋1)n展開后后至少少有四四項，，而(2＋1)n＝2n＋Cn1×2n－1＋…＋＋Cnn－1×2＋＋1≥≥2n＋n·2n－1＋2n＋1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，故3n>(n＋2)·2n－1.(2)S＝C271＋C272＋…＋C2727＝227－1＝＝89－1＝＝(9－1)9－1＝C9099－C91×98＋…＋C98×9－C99－1＝9(C90×98－C91×97＋…＋C98)－2∵C90×98－C91×97＋…＋C98是正整整數，，∴S被9除除的余余數為為7.[點評評]冪指數數含n的不等等式(n∈N*)，用用二項項式定定理證證明，，有時時比用用數學學歸納納法證證明要要簡捷捷得多多．用用二項項式定定理證證明不不等式式時，，要根根據n的最小小值確確定展展開后后的最最少項項數，，然后后視具具體情情況確確定應應該保保留多多少項項．這這實際際上是是一個個放縮縮適量量的問問題．．利用二二項式式定理理解決決整除除性問問題時時，關關鍵是是要巧巧妙地地構造造二項項式，，其基基本思思路是是：要要證明明一個個式子子能被被另一一個式式子整整除，，只要要證明明這個個式子子按二二項式式定理理展開開后的的各項項均能能被另另一個個式子子整除除即可可．因因此，，一般般要將將被除除式化化為含含有相相關除除式的的二項項式，，然后后再展展開．．此時時常采采用““配湊湊法”、“消去法法”配合整整除的的有關關知識識來處處理．．(1)22012除以9的余余數是是()A．1B．2C．5D．8(2)1－－90C101＋902C102－903C103＋…＋＋(－－1)k90kC10k＋…＋＋9010C1010除以88的的余數數是()A．－－1B．．1C．－－87D．．87[答案案](1)C(2)B[解析析](1)22012＝4××22010＝4(9－－1)670＝4(9670－C67019669＋C67029668＋…－1)，展展開式式中共共671項項，最最后一一項為為4××(－－1)＝－－4，，故余余數為為9－－4＝＝5.答案案選C.(2)1－－90C101＋902C102－903C103＋…＋(－－1)k90kC10k＋…＋9010C1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋＋1)10＝8810＋C101889＋C102888＋…＋C10988＋＋1，，前10項項均可可被88整整除，，故余余數為為1.答案案選B.1．運運用二二項式式定理理一定定要牢牢記通通項Tr＋1＝Cnran－rbr，注意(a＋b)n與(b＋a)n雖然相同，，但具體到到它們展開開式的某一一項時是不不相同的，，我們一定定要注意順順序問題，，另外二項項展開式的的二項式系系數與該項項的(字母母)系數是是兩個不同同概念，前前者只指Cnr，而后者是是指字母外外的部分．．2．求二項項展開式中中指定的項項，通常是是先根據已已知條件求求