第三章統計案例1《回歸分析》課時2

3.1

回歸分析的基本思想及其初步應用（第二課時）

1．通過典型案例的探究，進一步了解回歸分析的基本思想、方法及其初步應用．

2．讓學生經歷數據處理的過程，培養他們對數據的直觀感覺，體會統計方法的特點，認識統計方法的應用，通過使用轉化后的數據，求相關指數，運用相關指數進行數據分析、處理的方法．

3．從實際問題中發現已有知識的不足，激發好奇心，求知欲，通過尋求有效的數據處理方法，開拓學生的思路，培養學生的探索精神和轉化能力，通過案例的分析使學生了解回歸分析在實際生活中的應用，增強數學取之生活，用于生活的意識，提高學習興趣．

本節課通過例題線性相關關系知識，通過實際問題中發現已有知識的不足，引導學生尋找解決非線性回歸問題思想與方法，培養學生化歸數學思想。通過知識的整理，通過例題講解掌握解決非線性回歸問題。

本節內容學生內容不易掌握，通過知識整理與比較引導學生進行區分、理解。通過對典型案例的探究，練習進行鞏固解決非線性回歸基本思想方法及初步應用．建立回歸模型的基本步驟(1)確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預報變量．(2)畫出確定好的解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系(如是否存在線性關系等)．(3)由經驗確定回歸方程的類型(如我們觀察到數據呈線性關系，則選用線性回歸方程)．(4)按一定規則(如最小二乘法)估計回歸方程中的參數．(5)得出結果后分析殘差圖是否有異常(如個別數據對應殘差過大，或殘差呈現不隨機的規律性等)．若存在異常，則檢查數據是否有誤，或模型是否合適等．(6)參數R2與相關系數r提示:它們都是刻畫兩個變量之間的的相關關系的,區別是R2表示解釋變量對預報變量變化的貢獻率,其表達式為R2=1-;相關系數r是檢驗兩個變量相關性的強弱程度,其表達式為

（7）相關系數r與R2(1)R2是相關系數的平方,其變化范圍為[0,1],而相關系數的變化范圍為[-1,1].(2)相關系數可較好地反映變量的相關性及正相關或負相關,而R2反映了回歸模型擬合數據的效果.(3)當|r|接近于1時說明兩變量的相關性較強,當|r|接近于0時說明兩變量的相關性較弱,而當R2接近于1時,說明線性回歸方程的擬合效果較好.例：一只紅鈴蟲產卵數y和溫度x有關，現收集到的一組數據如下表1-3表，試建立y與x之間的回歸方程。畫出確定好的解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系．（1）是否存在線性關系？（2）散點圖具有哪種函數特征？（3）以指數函數模型為例，如何設模型函數？非線性關系指數函數、二次函數、三次函數cc21設指數函數曲線其中和是待定參數。ecyxc12=我們可以通過對數變換把指數關系變為線性關系()這樣就可以利用線性回歸模型來建立z與x回歸模型，進而找到y與x的非線性回歸方程。*則變換后樣本點分布在直線的周圍。令)cb,clna(abxz21==+=ylnz=現在問題變為如何估計待定參數和？cc21非線性回歸模型(6)ey?0.272x-3.843(1)=另一方面,可以認為圖11-4中樣本點集中在某二次曲線因此可以對溫度變量做變換,即令然后建立y與t之間的線性回歸方程，從而得到y與x之間的排線性回歸方程。,2xt=的附近,其中和為待定參數.43cc423cxcy+=表1-5是紅鈴蟲的產卵數和對應的溫度的平方，圖1.1-6是相應的散點圖.()()()(),b,xgy~a,xfy~21==和對于給定的樣本點,兩個含有未知數的模型其中a和b都是未知參數,可以按如下的步驟來比較它們的擬合效果.b?a?其中和分別是參數a、b的估計值（1）分別建立對應于兩個模型的回歸方程()(),b?,xgy?2=()()a?,xfy?1=()()();y?yQ?n1i22ii2?=-=()Q?1()()y?yn1i21ii?=-=與（2）分別計算兩個回歸方程的殘差平方和()()()()()()()()()().b?,xgy?a?,xfy?,;b?,xgy?a?,xfy?,Q?Q?212121的好的效果不如反之的好的效果比則（3）若====<非線性回歸問題的處理方法(1)兩個變量不呈線性關系,不能直接利用線性回歸方程建立兩個變量的關系,可以通過變換的方法轉化為線性回歸模型,如y=,我們可以通過對數變換把指數關系變為線性關系.令z=lny,則變換后樣本點應該分布在直線z=bx+a(a=lnc1,b=c2)的周圍.(2)非線性回歸方程的求法①根據原始數據(x,y)作出散點圖;②根據散點圖,選擇恰當的擬合函數;③作恰當的變換,將其轉化成線性函數,求線性回歸方程;④在③的基礎上通過相應的變換,即可得非線性回歸方程.(3)非線性相關問題中常見的幾種線性變換在實際問題中,常常要根據一批實驗數據繪出曲線,當曲線類型不具備線性相關關系時,可以根據散點分布的形狀與已知函數的圖象進行比較,確定曲線的類型,再作變量替換,將曲線改為直線.下面是幾種容易通過變量替換轉化為直線的函數模型:①y=a+,令t=，則有y=a+bt；②y=axb，令z=lny，t=lnx，m=lna，則有z=m+bt；③y=aebx，令z=lny，m=lna,則有z=m+bt；④y=,令z=lny,t=，m=lna，則有z=m+bt；⑤y=a+blnx，令t=lnx，則有z=a+bt；⑥y=bx2+a,令t=x2，則有y=bt+a.例某種食品每公斤的生產成本y(元)與該食品生產的重量x(公斤)有關，經生產統計得到以下數據：x123510203050100200y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15通過以上數據判斷該食品的成本y(元)與生產的重量x(公斤)的倒數1/x之間是否具有線性相關關系？若有，求出y關于1/x的回歸直線方程，并借此估計一下生產該食品500公斤時每公斤的生產成本是多少？(精確到0.01)

于是y與1x的回歸方程為y^＝8.973x＋1.125.

當x＝500(公斤)時，y^＝8.973500＋1.125≈1.14.即估計生產該食品500公斤時每公斤的生