中心極限定理演示文稿3

第二節中心極限定理實際背景

在現實中為什么很多數量指標都服從或近似正態分布。

研究發現這些指標通常是大量相互獨立的隨機因素綜合而成，即中心極限定理研究的內容，當時,什么情況下

的極限分布是中心極限定理設是相互獨立，均值和方差存在

則隨機變量和的標準化隨機變量。則定義：若

的分布函數

對任意

滿足

則稱服從中心極限定理。問：服從中心極限定理的條件是什么?

定理4.5（獨立同分布的中心極限定理）設隨機變量相互獨立,服從相同的分布,且則對于任何實數x,有

注：1）定理表明獨立同分布的隨機變量之和

當n充分大時，隨機變量之和與其標準化隨機變量分別為

2)獨立同分布中心極限定理的另一種形式可寫為3)雖然在一般情況,我們很難求出的分布的確切形式。但當n很大時，可以求出近似分布。推論1：在獨立同分布中心極限的條件下，當很大時，對任意實數a<b,有近似公式：

1）

2）

例1擲一顆骰子100次,記第次擲出的點數其算術平均為試求概率解:由題意得利利用中心極限定理可得

這表明,擲100次骰子點數的平均在3到4之間的概率近似為0.9966,很接近于1.例2計算器在進行加法時，將每個加數舍入最靠近它的整數，設所舍入誤差相互獨立，且在（-0.5，+0.5）上服從均勻分布。

1）將1500個數相加，問誤差總和的絕對值超過15的概率是多少？

2）最多可由幾個數相加使得總和的絕對值小于10的概率不小于0.90？解：設第個加數的舍入誤差為

已知在（-0.5，+0.5）上服從均勻分布。

2）設最多有n個數相加，使誤差總和符合要求。即要確定n，試例3某汽車銷售點每天銷售的汽車服從參數為

泊松分布，若一年365天都經營汽車銷售，且每天銷售的汽車數是相互獨立的，求一年中售出700輛以上汽車的概率？

解:記則為一年的總銷量,由利用獨立同分布中心極限定理，可得這表明,該銷售點一年售出700輛以上的概率近似為0.8665.二、棣美佛-拉普拉斯中心極限定理定理4.6設在獨立試驗序列中，事件A的概率p(A)=p(0<P<1),隨機變量表示A在n次試驗中發生的次數，則對任何實數x有

注記：1）該定理是概率論歷史上第一個中心極限定理，由棣美佛于1730年給出時的證明，幾十年后經拉普拉斯推廣到

的一般情況

推論2若當n很大時，則

例4調整某種儀表200臺，調整無誤的概率為0，設調整過大或過小的概率都是，問調整過大的儀表在95臺到105臺間的概率是多少？注：若直接用二項分布來計算中心極限定理當n很大時較準確例5某電視機廠每月生產10000臺電視機，但它的顯像管車間的正品率為0.8，為了以0.997的概率保證出廠的電視機都裝上正品的顯像管，該車間每月生產多少只顯像管？解:設生產顯像管正品數X,月總產量n,則為了試電視機都裝上正品，則每月至少生產10000臺正品，則所求為由拉普拉斯定理得：且n較大，即反查正態分布表得例6從次品率為0.05的一批產品中隨機地取200件產品，分別用二項分別，泊松分布，拉普拉斯中心極限計算取出的產品中至少有3個次品的概率？解:設為表示取出的200件產品中的次品數,則1)用二項分布近似計算2）用泊松分布計算。3