材料力學第24講 組合變形 8-1、8-2

第八章組合變形

（Combineddeformation)組合變形§8-1

組合變形和疊加原理§8-2

拉伸（壓縮）與彎曲的組合§8-3

偏心壓縮和截面核心

一、組合變形的概念(Conceptsofcombineddeformation)

構件在荷載作用下發生兩種或兩種以上的基本變形,

則構件的變形稱為組合變形。二、解決組合變形問題的基本方法－疊加法

(Basicmethodforslovingcombineddeformation-superpositionmethod)疊加原理的成立要求：內力，應力，應變，變形等與外力之間成線性關系。§8-1

組合變形和疊加原理(Combineddeformationandsuperpositionmethod)組合變形實例三、工程實例(Engineeringxamples)

工程實例工程實例Fhg橋墩1、外力分析(Analysisofexternalforce）

將外力簡化并沿主慣性軸分解，將組合變形分解為基本變形,使之每個力(或力偶)對應一種基本變形3、應力分析(Stressanalysis)

畫出危險截面的應力分布圖，利用疊加原理

將基本變形下的應力和變形疊加,建立危險點的強度條件

四、處理組合變形的基本方法

(Basicmethodforsolvingcombineddeformation)

2、內力分析（Analysisofinternalforce）

求每個外力分量對應的內力方程和內力圖，確定危險截面。分別計算在每一種基本變形下構件的應力和變形=++=+舉例假設1、忽略縱向力的附加彎矩(大抗彎剛度)2、忽略剪力和彎曲切應力縱橫彎曲（耦合非線性）采用疊加原理的條件一、受力特點(Characterofexternalforce)桿件將發生拉伸(壓縮)與彎曲組合變形作用在桿件上的外力既有軸向拉(壓)力，還有橫向力二、變形特點(Characterofdeformation)§8-2

拉伸(或壓縮)與彎曲的組合(Combinedaxialloadingandbending)FF1F2F2F1

產生彎曲變形F2

產生拉伸變形FyFxFy

產生彎曲變形Fx

產生拉伸變形示例1【縱橫彎曲——變形耦合非線性】示例2三、內力分析(Analysisofinternalforce)xy0zMZFN橫截面上內力(Internalforceoncrosssection)2、彎曲1、拉(壓)：軸力FN

(Axialforce)彎矩

MZ(Bendingmoment)剪力FS(shearforce)因為引起的剪應力較小，故一般不考慮。

橫截面上任意一點(z,y)處的正應力計算公式為四、應力分析(Analysisofstress)1、拉伸正應力(Axialnormalstress)

2、彎曲正應力(Bendingnormalstress)xy0zMZFN(z,y)軸力(Axialforce)所以跨中截面是桿的危險截面F1F2F2l/2l/23、危險截面的確定(Determinethedangercrosssection)作內力圖彎矩(Bendingmoment)xxFN圖M圖F2F1l/4拉伸正應力最大彎曲正應力桿危險截面下邊緣各點處上的拉應力為4、計算危險點的應力(Calculatingstressofthedangerpoint)F1F2F2l/2l/2-

當材料的許用拉應力和許用壓應力不相等時，應分別建立桿件的抗拉、抗壓強度條件。五、強度條件(Strengthcondition)由于危險點處的應力狀態仍為單向應力狀態，故其強度條件為拉(壓)彎組合起重機受力如圖，W=8kN。若已知[σ]=100MPa，試選擇工字鋼的型號。解：【1】畫內力圖，先考慮彎矩試算選截面選16號工字鋼【W=141平方厘米】例8-1【2】同時考慮軸力與彎矩的作用：

最大壓應力與許用應力接近【相差不到5%】，故選16號工字鋼，無需重新選擇工字鋼型號。

補充例題1

懸臂吊車如圖所示。橫梁用20a工字鋼制成。其抗彎剛度Wz

=237cm3,橫截面面積A=35.5cm2，總荷載F=34kN，橫梁材料的許用應力為[]=125MPa。校核橫梁AB的強度。FACD1.2m1.2mB30°AB桿為平面彎曲與軸向壓縮組合變形中間截面為危險截面。最大壓應力發生在該截面的上邊緣解：(1)分析AB的受力情況BADFFRAyFRAxFyFxFNAB30°FACD1.2m1.2m30°B(2)壓縮正應力(3)最大彎曲正應力(4)危險點的應力BADFFRAyFRAxFyFxFNAB30°FACD1.2m1.2m30°B

例題8-2

小型壓力機的鑄鐵框架如圖所示。已知材料的許用拉應力[t]=30MPa，許用壓應力[c]=160MPa。試按立柱的強度確定壓力機的許可壓力F。yzz0z1350FF5050150150解：(1)確定形心位置A=1510-3m2Z0=7.5cmIy

=5310cm4計算截面對中性軸y

的慣性矩yzz0z1350FF5050150150FnnFNMy(2)分析立柱橫截面上的內力和應力在n—n

截面上有軸力FN及彎矩Mynn350FFyzz0軸力FN產生的拉伸正應力為FnnFNMynnyzz0z1350FF5050150150由彎矩My產生的最大彎曲正應力為5050150150yzz0z1拉nn350FFFnnFNMy（3）疊加在截面內側有最大拉應力[F]45.1kN5050150150yzz0z1拉壓nn350FFFnnFNMy在截面外側有最大壓應力[F]171.3kN[F]45.1kN所以取5050150150yzz0z1拉壓nn350FFFnnFNMy

補充例題2

正方形截面立柱的中間處開一個槽，使截面面積為原來截面面積的一半。求開槽后立柱的的最大壓應力是原來不開槽的幾倍。【是2倍嗎？】FFaaaa11FFa/2未開槽前立柱為軸向壓縮解：Faa開槽后1-1是危險截面危險截面為偏心壓縮將力F

向1-1形心簡化未開槽前立柱的最大壓應力開槽后立柱的最大壓應力

補充例題3

矩形截面柱如圖所示，F1的作用線與桿軸線重合，F2作用在y

軸上。已知:F1=F2=80kN，b=24cm,h=30cm。如要使柱的m—m

截面只出現壓應力，求F2的偏心距e的最大值。yzebhF1F2mm解：(1)外力分析將力F2向截面形心簡化后，梁上的外力有軸向壓力力偶矩yzebhF1mmF2mz(2)m--m

橫截面上的內力有軸力彎矩軸力產生壓應力彎矩產生的最大正應力(3)依題的要求,整個截面只有壓應力得偏心距最大值yzebhF1mmF2mz

#§8-3

偏心拉（壓）和截面核心(Eccentricloads&thekernofasection)1、定義（Definition)當外力作用線與桿的軸線平行但不重合時，將引起軸向拉伸（壓縮）和平面彎曲兩種基本變形。O1yzF一、偏心拉（壓）

(Eccentricloads）A(yF,zF)xyzFeF2、以橫截面具有兩對稱軸的等直桿承受偏心拉力F

為例

(1)將外力向截面形心簡化，使每個力(或力偶)只產生一種基本變形形式O1yzA(yF,zF)FFe軸向拉力

F力偶矩

m=Fe，將m

向y軸和z軸分解F

使桿發生拉伸變形My

使桿發生xz

平面內的彎曲變形（y為中性軸）Mz

使桿發生

xy

平面內的彎曲變形（z

為中性軸）yzO1FxMyMz

二、任意橫截面n-n上的內力分析（Analysisofinternalforceonanycrosssectionn-n)軸力FN=FFyO1MyMznnyzMyMzFN彎矩

三、任意橫截面n-n

上C

點的應力分析(Stressanalysisatpointconcrosssectionn-n)yzMyMzFN(y,z)由F產生的正應力由My

產生的正應力由Mz

產生的正應力由于C

點在第一象限內,根據桿件的變形可知,由疊加原理，得C點處的正應力為

均為拉應力yzMyMzFN(y,z)式中A為橫截面面積;

Iy

,Iz

分別為橫截面對

y軸和z

軸的慣性矩;

(zF，yF

)為力F

作用點的坐標;(z，y)為所求應力點的坐標.上式是一個平面方程。表明正應力在橫截面上按線性規律變化。應力平面與橫截面的交線（直線=0）就是中性軸。四、中性軸的位置（Thelocationofneutralaxis)令

y0,z0代表中性軸上任一點的坐標，即得中性軸方程討論

(1)在偏心拉伸(壓縮)情況下，中性軸是一條不通過截面形心的直線Oz中性軸yyz中性軸O(2)用ay和az

記中性軸在y,z

兩軸上的截距，則有(yF

,zF

)ayaz(3)中性軸與外力作用點分別處于截面形心的相對兩側y0z中性軸外力作用點yz中性軸（4）中性軸將橫截面上的應力區域分為拉伸區和壓縮區橫截面上最大拉應力和最大壓應力分別為D1,D2兩切點D1(y1,z1)D2(y2,z2)(a)(b)(c)yyzz(5)對于周邊具有棱角的截面，其危險點必定在截面的棱角處，并可根據桿件的變形來確定NMzyzFyF/WzMyFzF/WyyzD1D2中性軸最大拉應力tmax

和最大壓應力cmin

分別在截面的棱角D1

D2

處.無需先確定中性軸的位置,直接觀察確定危險點的位置即可五、強度條件(Strengthcondition)由于危險點處仍為單向應力狀態，因此，求得最大正應力后，建立的強度條件為yz六、截面核心（Thekernofasection)中性軸（yF，zF）為外力作用點的坐標ay，az為中性軸在y軸和z軸上的截距(yF,zF)當中性軸與圖形相切或遠離圖形時，整個圖形上將只有拉應力或只有壓應力yz中性軸yz中性軸中性軸yz(yF,zF)(yF,zF)(yF,zF)yz截面核心1、定義(Definition)

當外力作用點位于包括截面形心的一個區域內時，就可以保證中性軸不穿過橫截面（整個截面上只有拉應力或壓應力），這個區域就稱為截面核心

(Thekernofasection)yz當外力作用在截面核心的邊界上時，與此相應的中性軸正好與截面的周邊相切。截面核心的邊界就由此關系確定。中性軸2、截面核心的確定(Determinethekernofasec