第5章 梁的應力

材料力學第5章梁的應力姓名：魯曉俊單位：武昌理工學院第5章梁的應力5.1梁橫截面上的正應力5.2梁橫截面上的剪應力5.3梁的強度條件5.4梁的合理截面及變截面梁5.1.1純彎曲與橫力彎曲5.1梁橫截面上的正應力mmFSM當梁上有橫向外力作用時，一般情況下，梁的橫截面上既又彎矩M，又有剪力FS.mmFSmmM彎矩M是由正應力合成的.剪力FS有由切應力合成的；所以，在梁的橫截面上一般既有正應力s，又有切應力t。這種梁段的彎曲稱為橫力彎曲。簡支梁CD段任一橫截面上，剪力等于零，而彎矩為常量，所以該段梁的彎曲就是純彎曲.若梁在某段內各橫截面的彎矩為常量，剪力為零，則該段梁的彎曲就稱為純彎曲.aaFSMxx+FCDABF+－5.1梁橫截面上的正應力5.1.2純彎曲梁段橫截面上的正應力一、彎曲試驗與假設彎曲試驗5.1梁橫截面上的正應力試驗現象

橫線為直線,仍與縱線正交

靠頂部縱線縮短,靠底部縱線伸長縱線伸長區,截面寬度減小縱線縮短區,截面寬度增大彎曲假設

橫截面變形后保持平面，仍與縱線正交－彎曲平面假設

各縱向“纖維”處于單向受力狀態－單向受力假設（純彎與正彎矩作用）5.1梁橫截面上的正應力推

論

梁內存在一長度不變的過渡層－中性層中性層與橫截面得交線－中性軸

橫截面間繞中性軸相對轉動

中性軸⊥截面縱向對稱軸5.1梁橫截面上的正應力幾何方面:物理方面:靜力學方面:二、對稱彎曲正應力公式5.1梁橫截面上的正應力(a)(b)中性軸通過橫截面形心(a)(c)(d)(a)－抗彎截面系數(d)－慣性矩5.1梁橫截面上的正應力結論中性軸過截面形心

中性軸位置：

正應力公式：

中性層曲率：,對稱彎曲,純彎與非純彎應用條件：總

結假設平面假設，單向受力假設綜合考慮三方面5.1梁橫截面上的正應力一些易混淆的概念對稱彎曲－對稱截面梁，在縱向對稱面承受橫向外力時的受力與變形形式純彎曲－梁或梁段各橫截面的剪力為零彎矩為常數的受力狀態中性軸－橫截面受拉與受壓區的分界線形心軸－通過橫截面形心的坐標軸彎曲剛度EI－代表梁截面抵抗彎曲變形的能力

抗彎截面系數Wz－代表梁截面幾何性質對彎曲強度的影響中性軸與形心軸對稱彎曲與純彎曲截面彎曲剛度與抗彎截面系數5.1梁橫截面上的正應力三、Iz及Wz矩形截面圓形截面圓環截面bhzyzdyzDdy5.1梁橫截面上的正應力zy四、于中性軸不是對稱軸的橫截面M應分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠的距離ytmax和ycmax直接代入公式5.1梁橫截面上的正應力5.1.3橫力曲梁段橫截面上的正應力5.1梁橫截面上的正應力橫力彎曲時，梁的橫截面上既有正應力又有切應力.切應力使橫截面發生翹曲，橫向力引起與中性層平行的縱截面的擠壓應力，純彎曲時所作的平面假設和單向受力假設都不成立.雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，但進一步的分析表明，對于跨度與橫截面高度之比l/h大于5的梁，橫截面上的正應力變化規律與純彎曲時幾乎相同，因此，純彎曲時的正應力計算公式，也可以應用于橫力彎曲的梁.例

已知：F=15kN,l=400mm,b=120mm,d=20mm試計算：截面

B-B的最大拉應力st,max與壓應力sc,max解：1.彎矩計算2.形心位置計算由矩形

1

與矩形

2

組成的組合截面5.1梁橫截面上的正應力3.慣性矩計算4.最大彎曲正應力5.1梁橫截面上的正應力5.2.1矩形截面梁的剪應力5.2梁橫截面上的剪應力假設t

(y)

//

截面側邊，并沿截面寬度均勻分布狹窄矩形截面梁(h>b)Sz(w)－面積

w

對中性軸

z

的靜矩5.2梁橫截面上的剪應力5.2.2工字形截面梁的剪應力5.2梁橫截面上的剪應力假設:t//腹板側邊,并沿其厚度均勻分布w－y下側部分截面對中性軸

z的靜矩5.2.3圓形截面梁的剪應力5.2梁橫截面上的剪應力分析表明，最大彎曲切應力仍發生在中性軸上，并可近似認為沿中性軸均勻分布5.2.4薄壁圓環形截面梁的剪應力5.2梁橫截面上的剪應力式中：在中性軸處有最大剪應力tmax:5.3

梁的強度條件5.3.1梁的正應力強度條件1.概念危險點——發生最大正應力（包括最大拉應力和最大壓應力）的各點，叫做梁的危險點。

危險截面——最大彎矩或較大彎矩所在截面叫梁的危險截面。2.梁的正應力強度條件：梁的橫截面上的最大工作正應力smax不容許超過材料的許用彎曲正應力[s]，即

當中性軸為截面對稱軸時的強度條件為：

當中性軸不為截面對稱軸時，拉應力強度條件為：當中性軸不為截面對稱軸時，壓應力強度條件為：5.3梁的強度條件例題5.2

圖5.12（a）所示的樓板主梁欲用二個工字型鋼制成。已知鋼的許用彎曲正應力，試選擇工字鋼的型號。解先作簡支梁的彎矩圖（如圖5.12（b））,可知，發生在梁的跨中截面處。每一個工字鋼的抗彎截面模量由型鋼規格表可查得45b工字鋼為故所選工字形截面型號為45b。5.3梁的強度條件試校核該梁的強度。例題5.3

某T形截面鑄鐵梁尺寸如圖所示。已知解（1）作出梁的彎矩圖。這時可能出現的危險截面應為B、C兩截面，且有5.3梁的強度條件中性軸z距梁截面上、下邊緣最遠距離為y1=52mm和y2=88mm。截面對形心主軸z的慣性矩為（2）求形心位置。選參考軸z1，有5.3梁的強度條件（3）校核B截面的強度。B截面上負彎矩、梁截面上的正應力分布規律如圖所示，中性軸以上為受拉區，中性軸以下為受壓區。B截面上的最大壓應力B截面上的最大拉應力5.3梁的強度條件因此，該梁不滿足抗拉強度條件。（4）校核C截面強度。C截面上為正彎矩，梁截面上的正應力分布規律如圖所示，中性軸以上為受壓區，中性軸以下為受拉區。C截面上的最大拉應力為5.3梁的強度條件對于橫力彎曲的等直梁，在剪力最大橫截面上的中性軸處，通常產生最大剪應力，而正應力為零，此時的應力狀態為純剪切應力狀態。需滿足的剪應力強度條件為：5.3.2梁的剪應力強度條件式中表示橫截面在中性軸以上(或以下)部分面積對中性軸z的面積矩，為材料在橫力彎曲時的許用剪應力。b——表示橫截面在中性軸處的寬度，5.3梁的強度條件5.3.3梁的正應力強度條件和剪應力強度條件的主次關系兩個強度條件中正應力強度條件是主要的，需要滿足正應力強度條件，一般情況下，不校核剪應力強度條件，也會滿足。但對以下三種特殊情況，就必須注意校核梁內的剪應力強度：（1）梁的跨度較短，或在支座附近作用有較大的荷載，梁內出現彎矩較小而剪力很大；（2）在鉚接或焊接的組合截面（例如工字形）鋼梁中，其橫截面的腹板厚度與高度之比小于一般型鋼截面的相應比值；5.3梁的強度條件例題簡支梁在距支座0.2m處作用有P=200kN的集中力若鋼材的許用正應力[s]=160MPa，許用剪應力[t]=100MPa。試選擇工字形型鋼號碼。解（1）作梁的彎矩圖與剪力圖，如圖（b）、（c）。5.3梁的強度條件選工字形鋼20b，（3）剪應力強度校核不滿足剪應力強度條件。(2)由正應力強度條件選擇型鋼號碼5.3梁的強度條件（4）根據剪應力強度條件重選型鋼號碼，采用試算法仍不滿足剪應力強度要求。（a）選22b：（b）選25b：故選25b可以滿足要求。

5.3梁的強度條件5.4

梁的合理截面及變截面梁5.4.1梁的合理截面形狀選取原因：2.截面面積愈小，自重也小，引起的附加自重應力也小，還有利于安裝和現場施工。1.在選擇材料相同及外力不變的條件下，由正應力強度條件可知，若截面面積不變，抗彎截面模量較大者梁的承載能力高。一、梁的合理截面形狀請問哪種擺放形式合理?將梁的抗彎截面模量WZ與其橫截面面積A之比作為選定合理截面形狀的一個指標。1、梁的合理擺放5.4梁的合理截面及變截面梁將較多材料放置在遠離中性軸的位置2、梁的合理截面形狀5.4梁的合理截面及變截面梁常見截面的WZ/A

值

因此：工程上常采用工字形、圓環形、箱形等截面形式。5.4梁的合理截面及變截面梁2.若梁的截面設計得過高過窄，則可能使梁在不大的外力作用下，出現側向翹曲而失穩破壞。如圖：1.分析梁的截面的合理形式時，還應考慮剛度、穩定性以及施工、制造、安裝等方面的要求。注意：5.4梁的合理截面及變截面梁

1.變截面梁：在彎矩較大的梁段采用較大的截面，