第6講 分支界限法

第6章分支限界法1廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計學習要點理解分支限界法的剪枝搜索策略。掌握分支限界法的算法框架（1）隊列式(FIFO)分支限界法（2）優先隊列式分支限界法2廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計學習要點通過應用范例學習分支限界法的設計策略。（1）單源最短路徑問題（2）裝載問題；（3）布線問題（4）0-1背包問題；（5）最大團問題；（6）旅行售貨員問題（7）電路板排列問題（8）批處理作業調度問題3廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.1 分支限界法的基本思想分支限界法與回溯法（1）求解目標：回溯法的求解目標是找出解空間樹中滿足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標則是找出滿足約束條件的一個解，或是在滿足約束條件的解中找出在某種意義下的最優解。

（2）搜索方式的不同：回溯法以深度優先的方式搜索解空間樹，而分支限界法則以廣度優先或以最小耗費優先的方式搜索解空間樹。

4廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.1 分支限界法的基本思想分支限界法常以廣度優先或以最小耗費（最大效益）優先的方式搜索問題的解空間樹。此后，從活結點表中取下一結點成為當前擴展結點，并重復上述結點擴展過程。這個過程一直持續到找到所需的解或活結點表為空時為止。在分支限界法中，每一個活結點只有一次機會成為擴展結點。活結點一旦成為擴展結點，就一次性產生其所有兒子結點。在這些兒子結點中，導致不可行解或導致非最優解的兒子結點被舍棄，其余兒子結點被加入活結點表中。5廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.1 分支限界法的基本思想常見的兩種分支限界法（1）隊列式(FIFO)分支限界法按照隊列先進先出（FIFO）原則選取下一個節點為擴展節點。

（2）優先隊列式分支限界法按照優先隊列中規定的優先級選取優先級最高的節點成為當前擴展節點。6廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.2 單源最短路徑問題1.問題描述下面以一個例子來說明單源最短路徑問題：在下圖所給的有向圖G中，每一邊都有一個非負邊權。要求圖G的從源頂點s到目標頂點t之間的最短路徑。

7廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.2 單源最短路徑問題1.問題描述下圖是用優先隊列式分支限界法解有向圖G的單源最短路徑問題產生的解空間樹。其中，每一個結點旁邊的數字表示該結點所對應的當前路長。8廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計2.算法思想解單源最短路徑問題的優先隊列式分支限界法用一極小堆來存儲活結點表。其優先級是結點所對應的當前路長。算法從圖G的源頂點s和空優先隊列開始。結點s被擴展后，它的兒子結點被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當前路長的結點作為當前擴展結點，并依次檢查與當前擴展結點相鄰的所有頂點。如果從當前擴展結點i到頂點j有邊可達，且從源出發，途經頂點i再到頂點j的所相應的路徑的長度小于當前最優路徑長度，則將該頂點作為活結點插入到活結點優先隊列中。這個結點的擴展過程一直繼續到活結點優先隊列為空時為止。9廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計3.剪枝策略在算法擴展結點的過程中，一旦發現一個結點的下界不小于當前找到的最短路長，則算法剪去以該結點為根的子樹。在算法中，利用結點間的控制關系進行剪枝。從源頂點s出發，2條不同路徑到達圖G的同一頂點。由于兩條路徑的路長不同，因此可以將路長長的路徑所對應的樹中的結點為根的子樹剪去。10廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.2 單源最短路徑問題

while(true){for(intj=1;j<=n;j++)if((c[E.i][j]<inf)&&(E.length+c[E.i][j]<dist[j])){//頂點i到頂點j可達，且滿足控制約束

dist[j]=E.length+c[E.i][j];prev[j]=E.i;//加入活結點優先隊列

MinHeapNode<Type>N;N.i=j;N.length=dist[j];H.Insert(N);}try{H.DeleteMin(E);}//取下一擴展結點

catch(OutOfBounds){break;}//優先隊列空

}}頂點I和j間有邊，且此路徑長小于原先從原點到j的路徑長11廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.3裝載問題1.問題描述有一批共個集裝箱要裝上2艘載重量分別為C1和C2的輪船，其中集裝箱i的重量為Wi，且裝載問題要求確定是否有一個合理的裝載方案可將這個集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。

容易證明：如果一個給定裝載問題有解，則采用下面的策略可得到最優裝載方案。

(1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。

12廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.3裝載問題2.隊列式分支限界法在算法的while循環中，首先檢測當前擴展結點的左兒子結點是否為可行結點。如果是則將其加入到活結點隊列中。然后將其右兒子結點加入到活結點隊列中(右兒子結點一定是可行結點)。2個兒子結點都產生后，當前擴展結點被舍棄。活結點隊列中的隊首元素被取出作為當前擴展結點，由于隊列中每一層結點之后都有一個尾部標記-1，故在取隊首元素時，活結點隊列一定不空。當取出的元素是-1時，再判斷當前隊列是否為空。如果隊列非空，則將尾部標記-1加入活結點隊列，算法開始處理下一層的活結點。13廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計2.隊列式分支限界法while(true){//檢查左兒子結點

if(Ew+w[i]<=c)//x[i]=1EnQueue(Q,Ew+w[i],bestw,i,n);//右兒子結點總是可行的

EnQueue(Q,Ew,bestw,i,n);//x[i]=0Q.Delete(Ew);//取下一擴展結點

if(Ew==-1){//同層結點尾部

if(Q.IsEmpty())returnbestw;Q.Add(-1);//同層結點尾部標志

Q.Delete(Ew);//取下一擴展結點

i++;}//進入下一層}}14廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.3裝載問題3.算法的改進節點的左子樹表示將此集裝箱裝上船，右子樹表示不將此集裝箱裝上船。設bestw是當前最優解；ew是當前擴展結點所相應的重量；r是剩余集裝箱的重量。則當ew+rbestw時，可將其右子樹剪去，因為此時若要船裝最多集裝箱，就應該把此箱裝上船。另外，為了確保右子樹成功剪枝，應該在算法每一次進入左子樹的時候更新bestw的值。15廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計3.算法的改進//檢查左兒子結點

Typewt=Ew+w[i];

//左兒子結點的重量

if(wt<=c){//可行結點

if(wt>bestw)bestw=wt;//加入活結點隊列

if(i<n)Q.Add(wt);}提前更新bestw//檢查右兒子結點if(Ew+r>bestw&&i<n)Q.Add(Ew);

//可能含最優解

Q.Delete(Ew);//取下一擴展結點右兒子剪枝

16廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.3裝載問題4.構造最優解

為了在算法結束后能方便地構造出與最優值相應的最優解，算法必須存儲相應子集樹中從活結點到根結點的路徑。為此目的，可在每個結點處設置指向其父結點的指針，并設置左、右兒子標志。

classQNode{

QNode*parent;//指向父結點的指針

boolLChild;//左兒子標志

Typeweight;//結點所相應的載重量17廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計找到最優值后，可以根據parent回溯到根節點，找到最優解。4.構造最優解//構造當前最優解for(intj=n-1;j>0;j--){bestx[j]=bestE->LChild;bestE=bestE->parent;}18廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.3裝載問題5.優先隊列式分支限界法解裝載問題的優先隊列式分支限界法用最大優先隊列存儲活結點表。活結點x在優先隊列中的優先級定義為從根結點到結點x的路徑所相應的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。優先隊列中優先級最大的活結點成為下一個擴展結點。以結點x為根的子樹中所有結點相應的路徑的載重量不超過它的優先級。子集樹中葉結點所相應的載重量與其優先級相同。在優先隊列式分支限界法中，一旦有一個葉結點成為當前擴展結點，則可以斷言該葉結點所相應的解即為最優解。此時可終止算法。

19廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.4布線問題1.算法思想解此問題的隊列式分支限界法從起始位置a開始將它作為第一個擴展結點。與該擴展結點相鄰并且可達的方格成為可行結點被加入到活結點隊列中，并且將這些方格標記為1，即從起始方格a到這些方格的距離為1。接著，算法從活結點隊列中取出隊首結點作為下一個擴展結點，并將與當前擴展結點相鄰且未標記過的方格標記為2，并存入活結點隊列。這個過程一直繼續到算法搜索到目標方格b或活結點隊列為空時為止。即加入剪枝的廣度優先搜索。20廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.4布線問題Positionoffset[4];offset[0].row=0;offset[0].col=1;//右

offset[1].row=1;offset[1].col=0;//下

offset[2].row=0;offset[2].col=-1;//左

offset[3].row=-1;offset[3].col=0;//上定義移動方向的相對位移

for(inti=0;i<=m+1;i++)grid[0][i]=grid[n+1][i]=1;//頂部和底部

for(inti=0;i<=n+1;i++)grid[i][0]=grid[i][m+1]=1;//左翼和右翼設置邊界的圍墻21廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.4布線問題for(inti=0;i<NumOfNbrs;i++){nbr.row=here.row+offset[i].row;nbr.col=here.col+offset[i].col;if(grid[nbr.row][nbr.col]==0){//該方格未標記

grid[nbr.row][nbr.col]=grid[here.row][here.col]+1;if((nbr.row==finish.row)&&(nbr.col==finish.col))break;//完成布線

Q.Add(nbr);}}找到目標位置后，可以通過回溯方法找到這條最短路徑。22廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.50-1背包問題算法的思想首先，要對輸入數據進行預處理，將各物品依其單位重量價值從大到小進行排列。節點的優先級由已裝袋的物品價值加上剩下的最大單位重量價值的物品裝滿剩余容量的價值和。算法首先檢查當前擴展結點的左兒子結點的可行性。如果該左兒子結點是可行結點，則將它加入到子集樹和活結點優先隊列中。當前擴展結點的右兒子結點一定是可行結點，僅當右兒子結點滿足上界約束時才將它加入子集樹和活結點優先隊列。當擴展到葉節點時為問題的最優值。23廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.50-1背包問題上界函數while(i<=n&&w[i]<=cleft){

//n表示物品總數，cleft為剩余空間cleft-=w[i];//w[i]表示i所占空間b+=p[i];//p[i]表示i的價值i++;}if(i<=n)

b+=p[i]/w[i]*cleft;//裝填剩余容量裝滿背包returnb;

//b為上界函數24廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.50-1背包問題

while(i!=n+1){//非葉結點

//檢查當前擴展結點的左兒子結點

Typewwt=cw+w[i];if(wt<=c){//左兒子結點為可行結點

if(cp+p[i]>bestp)bestp=cp+p[i];AddLiveNode(up,cp+p[i],cw+w[i],true,i+1);}up=Bound(i+1);//檢查當前擴展結點的右兒子結點

if(up>=bestp)//右子樹可能含最優解

AddLiveNode(up,cp,cw,false,i+1);

//取下一個擴展節點（略）}分支限界搜索過程25廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計分支限界法解0-1背包問題n=3,w=[16,15,15],p=[45,25,25],c=30FIFO隊列：A活結點隊列：{}BC{B,C}DEJKFGLMNO{C,E}{E,F,G}{F,G}{G}{}45502525026廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計一般情況下，解空間樹中第i層的每個結點，都代表了對物品1～i做出的某種特定選擇，這個特定選擇由從根結點到該結點的路徑唯一確定：左分支表示裝入物品，右分支表示不裝入物品。對于第i層的某個結點，假設背包中已裝入物品的重量是w，獲得的價值是v，計算該結點的目標函數上界的一個簡單方法是把已經裝入背包中的物品取得的價值v，加上背包剩余容量c-w與剩下物品的最大單位重量價值vi+1/wi+1的積，于是，得到限界函數：

27廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計分支限界法解0-1背包問題n=3,w=[16,15,15],p=[45,25,25],c=30FIFO隊列，帶上界函數。A活結點隊列：{}BC{B,C}DEJKFGLM{C,E}{E,F,G}{F,G}{G}{}45502568.3>050>068.3>050>4525<5028廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計分支限界法解0-1背包問題n=3,w=[16,15,15],p=[45,25,25],c=30價值大者優先隊列：A活結點隊列：{}BC{B,C}DEJKFGLMNO{E,C}{C}{F,G}{G}{}4550252504545250029廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計分支限界法解0-1背包問題n=3,w=[16,15,15],p=[45,25,25],c=30價值上界大者優先隊列，帶上界函數。A活結點隊列：{}BC{B,C}DEJKFGLM{E,C}{C,K}{F,K,G}{L,K,G}L為葉子結點，算法結束。455068.368.3505068.3>4550>4545=4525<502530廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.6最大團問題給定無向圖G=(V，E)。如果UV，且對任意u，vU有(u，v)E，則稱U是G的完全子圖。G的完全子圖U是G的團當且僅當U不包含在G的更大的完全子圖中。G的最大團是指G中所含頂點數最多的團。下圖G中，子集{1，2}是G的大小為2的完全子圖。這個完全子圖不是團，因為它被G的更大的完全子圖{1，2，5}包含。{1，2，5}是G的最大團。{1，4，5}和{2，3，5}也是G的最大團。

1.問題描述31廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.6最大團問題2.上界函數用變量cliqueSize表示與該結點相應的團的頂點數；level表示結點在子集空間樹中所處的層次；用cliqueSize+n-level+1作為頂點數上界upperSize的值。

在此優先隊列式分支限界法中，upperSize實際上也是優先隊列中元素的優先級。算法總是從活結點優先隊列中抽取具有最大upperSize值的元素作為下一個擴展元素。

32廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.6最大團問題3.算法思想子集樹的根結點是初始擴展結點，對于這個特殊的擴展結點，其cliqueSize的值為0。

算法在擴展內部結點時，首先考察其左兒子結點。在左兒子結點處，將頂點i加入到當前團中，并檢查該頂點與當前團中其它頂點之間是否有邊相連。當頂點i與當前團中所有頂點之間都有邊相連，則相應的左兒子結點是可行結點，將它加入到子集樹中并插入活結點優先隊列，否則就不是可行結點。接著繼續考察當前擴展結點的右兒子結點。當upperSize>bestn時，右子樹中可能含有最優解，此時將右兒子結點加入到子集樹中并插入到活結點優先隊列中。33廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.6最大團問題3.算法思想算法的while循環的終止條件是遇到子集樹中的一個葉結點(即n+1層結點)成為當前擴展結點。對于子集樹中的葉結點，有upperSize＝cliqueSize。此時活結點優先隊列中剩余結點的upperSize值均不超過當前擴展結點的upperSize值，從而進一步搜索不可能得到更大的團，此時算法已找到一個最優解。

34廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.7旅行售貨員問題1.問題描述某售貨員要到若干城市去推銷商品，已知各城市之間的路程(或旅費)。他要選定一條從駐地出發，經過每個城市一次，最后回到駐地的路線，使總的路程(或總旅費)最小。路線是一個帶權圖。圖中各邊的費用（權）為正數。圖的一條周游路線是包括V中的每個頂點在內的一條回路。周游路線的費用是這條路線上所有邊的費用之和。旅行售貨員問題的解空間可以組織成一棵樹，從樹的根結點到任一葉結點的路徑定義了圖的一條周游路線。旅行售貨員問題要在圖G中找出費用最小的周游路線。

35廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.7旅行售貨員問題2.算法描述算法開始時創建一個最小堆，用于表示活結點優先隊列。堆中每個結點的子樹費用的下界lcost值是優先隊列的優先級。接著算法計算出圖中每個頂點的最小費用出邊并用minout記錄。如果所給的有向圖中某個頂點沒有出邊，則該圖不可能有回路，算法即告結束。如果每個頂點都有出邊，則根據計算出的minout作算法初始化。

算法的while循環體完成對排列樹內部結點的擴展。對于當前擴展結點，算法分2種情況進行處理：36廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.7旅行售貨員問題2.算法描述1、首先考慮s=n-2的情形，此時當前擴展結點是排列樹中某個葉結點的父結點。如果該葉結點相應一條可行回路且費用小于當前最小費用，則將該葉結點插入到優先隊列中，否則舍去該葉結點。2、當s<n-2時，算法依次產生當前擴展結點的所有兒子結點。由于當前擴展結點所相應的路徑是x[0:s]，其可行兒子結點是從剩余頂點x[s+1:n-1]中選取的頂點x[i]，且(x[s]，x[i])是所給有向圖G中的一條邊。對于當前擴展結點的每一個可行兒子結點，計算出其前綴(x[0:s]，x[i])的費用cc和相應的下界lcost。當lcost<bestc時，將這個可行兒子結點插入到活結點優先隊列中。

37廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.7旅行售貨員問題2.算法描述算法中while循環的終止條件是排列樹的一個葉結點成為當前擴展結點。當s=n-1時，已找到的回路前綴是x[0:n-1]，它已包含圖G的所有n個頂點。因此，當s=n-1時，相應的擴展結點表示一個葉結點。此時該葉結點所相應的回路的費用等于cc和lcost的值。剩余的活結點的lcost值不小于已找到的回路的費用。它們都不可能導致費用更小的回路。因此已找到的葉結點所相應的回路是一個最小費用旅行售貨員回路，算法可以結束。算法結束時返回找到的最小費用，相應的最優解由數組v給出。

38廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計分支限界法解旅行售貨員問題1234302010654FIFO隊列：活結點隊列：{}BCDEGIKFHJMOQLNP222223333344444592525666659{C,D,E}{D,E,F,G}{E,F,G,H,I}{F,G,H,I,J,K}{G,H,I,J,K}{H,I,J,K}{I,J,K}{J,K}{K}{}39廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計某條路徑的一些邊被確定后，就可以并入這些信息并計算部分解的目標函數值的下界。一般情況下，對于一個正在生成的路徑，假設已確定的頂點集合U=(r1,r2,…,rk)，即路徑上已確定了k個頂點。該部分解的目標函數值的計算方法如下：

40廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計分支限界法解旅行售貨員問題1234302010654FIFO隊列，帶下界函數。活結點隊列：{}BCDEGIKFHJMLNP222333334444459252566{C,D,E}{D,E,F,G}{E,F,G,H,I}{F,G,H,I,J,K}{G,H,I,J,K}{H,I,J,K}{I,J,K}{J,K}{K}{}44<10120<10118<10144<10149<5920<5935>2524<2534>2541廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計分支限界法解旅行售貨員問題1234302010654最小費用優先隊列：活結點隊列：{}BCDEGIKFHJMOQLNP2222233333444443064402624351114592525666659{E,D,C}{D,J,K,C}{H,J,K,I,C}{J,K,I,C}{K,I,C}{I,C}{C}{F,G}{G}{}42廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計分支限界法解旅行售貨員問題1234302010654最小費用優先隊列，帶下界函數。活結點隊列：{}CDEIKHJNP2223334443064262411142525{E,D,C}{D,J,K,C}{H,J,K,I,C}{J,K,N,I,C}{K,N,P,I,C}{N,P,I,C}18<10120<10120<10124<2534>25N為葉結點，結束。B43廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.8電路板排列問題算法描述算法開始時，將排列樹的根結點置為當前擴展結點。在do-while循環體內算法依次從活結點優先隊列中取出具有最小cd值的結點作為當前擴展結點，并加以擴展。首先考慮s=n-1的情形，當前擴展結點是排列樹中的一個葉結點的父結點。x表示相應于該葉結點的電路板排列。計算出與x相應的密度并在必要時更新當前最優值和相應的當前最優解。當s<n-1時，算法依次產生當前擴展結點的所有兒子結點。對于當前擴展結點的每一個兒子結點node，計算出其相應的密度node.cd。當node.cd<bestd時，將該兒子結點N插入到活結點優先隊列中。44廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.8電路板排列問題算法描述do{//結點擴展

if(E.s==n-1){//僅一個兒子結點

intld=0;//最后一塊電路板的密度

for(intj=1;j<=m;j++)ld+=B[E.x[n]][j];if(ld<bestd){//密度更小的電路板排列

delete[]bestx;bestx=E.x;bestd=max(ld,E.cd);}S=n-1的情況，計算出此時的密度和bestd進行比較。45廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.8電路板排列問題算法描述else{//產生當前擴展結點的所有兒子結點

for(inti=E.s+1;i<=n;i++){BoardNodeN;N.now=newint[m+1];for(intj=1;j<=m;j++)//新插入的電路板

N.now[j]=E.now[j]+B[E.x[i]][j];46廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.8電路板排列問題intld=0;//新插入電路板的密度

for(intj=1;j<=m;j++)if(N.now[j]>0&&total[j]!=N.now[j])ld++;N.cd=max(ld,E.cd);if(N.cd<bestd){//可能產生更好的葉結點

N.x=newint[n+1];N.s=E.s+1;for(intj=1;j<=n;j++)N.x[j]=E.x[j];N.x[N.s]=E.x[i];N.x[i]=E.x[N.s];H.Insert(N);}elsedelete[]N.now;}delete[]E.x;}算法描述計算出每一個兒子結點的密度與bestd進行比較大于bestd時加入隊列47廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計6.9批處理作業調度問題1.問題的描述給定n個作業的集合J={J1,J2,…,Jn}。每一個作業Ji都有2項任務要分別在2臺機器上完成。每一個作業必須先由機器1處理，然后再由機器2處理。作業Ji需要機器j的處理時間為tji，i=1,2,…,n；j=1,2。對于一個確定的作業調度，設是Fji是作業i在機器j上完成處理的時間。則所有作業在機器2上完成處理的時間和稱為該作業調度的完成時間和。批處理作業調度問題要求對于給定的n個作業，制定最佳作業調度方案，使其完成時間和達到最小。48廣州大學華軟軟件學院算法分析與設計