2022-2023學年安徽省安慶市桐城中學高一年級上冊學期期末數學考試題【含答案】

安徽省桐城中學2022—2023學年高一數學上學期期末測試卷一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，且A=B，則（）A.－1 B.0 C.1 D.±1【答案】A【解析】【分析】由集合相等關系，即集合元素的互異性，得和的值.【詳解】因為，又即，所以，則，又，所以，所以.故選：A.2.sin2010°的值是（）A. B.－ C. D.－【答案】B【解析】【分析】直接利用誘導公式化簡計算即可.【詳解】，故選：B3.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，平方求得，再化簡，即可求解.【詳解】因為，平方可得，可得，又由.故選：D.【點睛】本題主要考查了三角函數的基本關系式的化簡、求值，其中解答中熟練應用三角函數的基本關系式進行化簡、運算是解答的關鍵，著重考查運算與求解能力.4.已知為凸多邊形的內角，且，則這個多邊形是（）A.正六邊形 B.梯形C矩形 D.含銳角菱形【答案】C【解析】【分析】根據對數運算的性質以及正弦的有界性可得，進而可得，根據凸多邊形的內角和即可求解.【詳解】,則,又為凸多邊形的內角,則,則,進而得,所以,所以,由凸多邊形的內角和可得,解得,即這個多邊形是矩形.故選:C.5.將函數f（x）＝cos8x圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）,再將它的圖像向左平移φ（φ>0）個單位長度，得到了一個奇函數的圖像，則φ的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據函數圖像平移規則求出平移后的解析式，再利用奇偶性求出.【詳解】將x伸長2倍后的函數函數解析式為，再向左平移，得到，由題意，是奇函數，，的最小值是，的最小值是；故選：B.6.在平面直角坐標系中，已知點P（cost，sint），A（2，0），當t由變化到時，線段AP掃過的區域的面積等于（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意作圖，點P在單位圓上，考慮AP與單位圓相切的情況，求出AP掃過的圖形，再求出面積.【詳解】，點P在以原點為圓心的單位圓O上，起始點為圖中的，終點為，顯然，AP掃過的面積為圖中陰影面積，與等底同高，，所以AP掃過的面積就是扇形CDO的面積，OC與OD的夾角，扇形CDO的面積；故選：B.7.函數的圖像關于直線對稱，則a的值為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】令，，根據輔助角公式，可得.又根據對稱性可得，.對為偶數以及為奇數討論，即可得出的值.詳解】由已知，令，，則.因為圖像關于直線對稱，所以，所以.當為偶數時，有，可得；當為奇數時，有，又，此時無解.綜上所述，.故選：C.8.已知角的頂點都為坐標原點，始邊都與x軸的非負半軸重合，且都為第一象限的角，終邊上分別有點，，且，則的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別求出終邊所在的直線的斜率，運用正切二倍角公式求出a與b之間的關系，再運用基本不等式求解.【詳解】角終邊所在直線的斜率為，角終邊所在的直線的斜率為，，，，由基本不等式得（當時等號成立）；故選：D.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.設正實數a，b滿足，則（）．A.有最大值4 B.有最大值C.有最大值 D.有最小值【答案】BC【解析】【分析】由已知條件結合基本不等式逐一檢驗各選項即可判斷．【詳解】解：正實數，滿足，對A：，當且僅當且，即時取等號，所以有最小值4，故選項A錯誤；對B：，則，當且僅當時取等號，所以有最大值，故選項B正確；對C：，當且僅當時取等號，所以，即有最大值，故選項C正確；對D：，當且僅當時取等號，所以有最小值，故選項D錯誤．故選：BC.10.下列命題中正確的是（）A.命題：“”的否定是“”B.函數（且）恒過定點C.已知函數的定義域為，則函數的定義域為D若函數，則【答案】BCD【解析】【分析】A選項，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，把任意改為存在，把結論否定；B選項，，從而得到函數恒過定點；C選項，利用同一對應法則下，范圍一致得到，求出即為定義域；D選項，利用配方得到結合，得到答案.【詳解】A選項，“”的否定是“”，A錯誤；B選項，且，當時，，故函數（且）恒過定點，B正確；C選項，由得：，故，解得：，C正確；D選項，，且，故，D正確.故選：BCD11.下列命題為真命題的是（）A.函數的圖象關于點，k∈Z對稱B.函數是最小正周期為π的周期函數C.設θ為第二象限角，則，且D.函數的最小值為－1【答案】AD【解析】【分析】根據正切函數的性質可知函數的圖象得對稱中心判斷A；由函數的圖象判斷B；由，則，，分為偶數，為奇數兩種情況檢驗C；由，，，結合二次函數的性質可判斷D；【詳解】解：根據正切函數的性質可知函數的圖象關于點對稱，故A正確；函數的圖象如下所示；故B錯誤；設是第二象限角即，則，當為偶數，，成立，當為奇數時，，，故C錯誤；函數，，，則當時，函數有最小值，故D正確；故選：AD【點睛】本題主要考查了三角函數的性質的判斷，解題的關鍵是要熟練掌握三角函數的性質并能靈活應用，其中B中的函數的周期的判斷的方法是根據函數的圖象，而不要利用周期定義，屬于中檔題．12.已知銳角滿足，設，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由條件判斷，再根據函數的單調性，判斷選項正誤.【詳解】因為，為銳角，若，則，，則，同理，與矛盾，所以，A項正確；所以，所以，B項正確；同理可得，，所以，所以是減函數，所以，C正確；，D錯誤.故選：ABC.【點睛】根據，通過假設得到矛盾，由此得，比較出，，得.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，且，函數的圖象恒過點，若在冪函數圖像上，則＝__________．【答案】【解析】【分析】由，知，即時，，由此能求出點的坐標．用待定系數法設出冪函數的解析式，代入點的坐標，求出冪函數的解析式，即可求得答案.【詳解】，，即時，∴點的坐標是由題意令，圖象過點得解得：故答案為：.【點睛】本題主要考查了求冪函數值，解題關鍵是掌握判斷對數函數恒過定點的方法和冪函數的基礎知識，考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.14.若，則___.【答案】【解析】【分析】首先根據同角三角函數的基本關系求出，，再根據利用兩角差的余弦公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，因為，所以，所以，因為，所以所以故答案為：【點睛】本題考查同角三角函數的基本關系以及兩角差的余弦公式，屬于中檔題.15.函數（ω>0）的圖象在[0，1]上恰有兩個最大值點，則ω的取值范圍為__________【答案】≤ω<【解析】【分析】計算的取值范圍，根據正弦在此范圍內恰有兩個最大值點，列出不等式，解出的取值范圍.【詳解】因為，且，所以，又因在上恰有兩個最大值點，所以，解得.故答案為：.16.設表示，兩者中較大的一個，已知定義在的函數，滿足關于的方程有個不同的解，則的取值范圍為_____【答案】【解析】【分析】由題意可得或，畫出的圖象，然后結合圖象求解即可.【詳解】由，得或，的圖象如圖所示，因為關于的方程有個不同的解，所以和與的圖象共有6個不同的交點，所以，解得，所以的取值范圍為，故答案為：四、解答題（本大題共6小題，第17題10分，第18-22題每題12分，共70分，解答應寫成文字說明、證明過程或演算步驟）17.化簡求值（1）（2）［2sin50°+sin10°（1+tan10°）］×【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）根據對數性質計算；（2）運用三角函數的誘導公式和和差公式計算.【小問1詳解】；【小問2詳解】原式；綜上，（1）原式=1，（2）原式=.18.已知函數，.（1）求函數的單調增區間；（2）若≤對任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式將整理為，將整體對應的單調增區間，求出的范圍即可；（2）將問題轉化為，通過還原將問題轉化為，；根據單調性求得，從而得到結果.【詳解】（1）由得：單調增區間為：（2）由得：當時，令，則，又在單調遞增【點睛】本題考查的單調區間的求解、與三角函數有關的恒成立問題.解決恒成立問題的關鍵是通過分離變量的方式將問題轉化為變量與函數最值之間的關系，需要注意的是自變量的取值范圍.19.如圖，某市準備在道路的一側修建一條運動比賽道，賽道的前一部分為曲線段，該曲線段是函數，時的圖象，且圖象的最高點為，賽道的中部分為長千米的直線跑道，且，賽道的后一部分是以為圓心的一段圓弧．（1）求的值和的大小；（2）若要在圓弧賽道所對應的扇形區域內建一個“矩形草坪”，矩形的一邊在道路上，一個頂點在半徑上，另外一個頂點在圓弧上，且，求當“矩形草坪”的面積取最大值時的值．【答案】（1），；（2）.【解析】【詳解】試題分析：（1）由題意可得，故，從而可得曲線段的解析式為，令x=0可得，根據，得,因此（2）結合題意可得當“矩形草坪”的面積最大時，點在弧上，由條件可得“矩形草坪”的面積為，然后根據的范圍可得當時，取得最大值．試題解析：(1)由條件得.∴.∴曲線段的解析式為.當時，.又，∴,∴.(2)由(1)，可知.又易知當“矩形草坪”的面積最大時，點在弧上，故.設,,“矩形草坪”的面積為.∵，∴,故當，即時，取得最大值．20.已知函數，將y=f（x）的圖象向左平移個單位后得到g（x）的圖象，且y=g（x）在區間內的最小值為（1）求m的值；（2）在銳角三角形ABC中，若g（）=，求sinA+cosB的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】⑴根據二倍角公式化簡，利用平移規律得出的解析式，根據最小值列方程求出⑵根據條件求出，用表示出，化簡得出關于的函數，根據的范圍，正弦函數的性質得出的范圍【詳解】⑴，則當時，取得最小值，解得⑵,，則，即是銳角三角形，則，解得，即的取值范圍是【點睛】本題主要考查了三角函數解析式的求解以及解三角形中的取值范圍問題，運用輔助角公式、兩角和的正弦公式進行化簡，需要注意角的取值范圍，有一定的計算量，屬于中檔題．21.已知函數，其中.如圖是函數在一個周期內的圖象，A為圖象的最高點，B，C為圖象與x軸的交點，為等邊三角形.將函數的圖象上各點的橫坐標變為原來的倍后，再向右平移個單位，向上平移1個單位，得到函數的圖象.（1）求函數的解析式；（2）若不等式對任意恒成立，求實數m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將函數解析式化簡，由圖象得的解析式，進而得的解析式；（2）換元令，，將條件轉化為在上恒成立，令，對m分類討論求得在上的最小值，可得m的取值范圍.【小問1詳解】.由題意可知，點A的縱坐標為，因為為等邊三角形，所以，即函數的最小正周期，，所以，由題，.【小問2詳解】，由對任意恒成立，即，即對任意恒成立，令，，即在上恒成立.設，對稱軸，當時，即時，，令，解得，所以；當時，即時，，令，解得（舍）；當時，即時，，令，解得.綜上，實數的取值范圍為.22.已知函數()為偶函數.（1）求的值;（2）若函數,，是否存在實數使得的最小值為0,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.【答案】（1）（2）存在使得最小值為0.【解析】【分析】（1）根據函數是偶函數，得，代入整理得，即對一切恒成立，即可求解的值；（2）由（1）知，，令，則，分類求得函數的單調性和最小值，即可得到