醫學統計學九雙變量回歸與相關課件

雙變量回歸與相關BivariateRegression&Correlation第二軍醫大學衛生統計學教研室張羅漫第9章9/26/20231醫學統計學BivariateRegression&Co

講課內容：

第一節直線回歸(重點)第二節直線相關(重點)第三節秩相關第六節兩條回歸直線的比較第七節曲線擬合9/26/20232醫學統計學講課內容：8/5/20232醫學統計學

第2、第3、第4章介紹了計量資料單變量的統計描述與統計推斷：P.13例2-1：計算101名成年女子血清總膽固醇的平均指標與變異指標。P.51例3-7：比較阿卡波糖膠囊(試驗組)與拜糖蘋膠囊(對照組)降低糖尿病人的空腹血糖值

有無差別。P.73例4-2：比較安慰劑組、降血脂新藥2.4g組、降血脂新藥4.8g組、降血脂新藥7.2g組降低患者的低密度脂蛋白含量有無差別。9/26/20233醫學統計學第2、第3、第4章介紹了計量資料單變量的統8/5/2在醫學研究中常要分析兩變量間或多變量間的關系：年齡與血壓藥物劑量與動物死亡率肺活量與身高、體重、胸圍和肩寬等．．．9/26/20234醫學統計學在醫學研究中常要分析兩變量間或多變8/5/20234醫學統計事物間的相關關系確定性關系兩變量間的函數表達式

圓的周長與半徑的關系：C＝2R路程與速度、時間的關系：L＝ST數學中X與Y的直線函數關系：Y＝a+bX

非確定性關系

兩變量間存在關系，但未精確到可以用函數表達式來描述。

年齡與血脂的關系；身高與體重的關系；體重與體表面積的關系。9/26/20235醫學統計學事物間的相關關系8/5/20235醫學統計學第一節直線回歸LinearRegression9/26/20236醫學統計學第一節直線回歸LinearRegression8/5一、直線回歸的概念“回歸”是一個借用已久因而相沿成習的統計學術語。直線回歸是分析成對觀測數據中兩變量間線性依存關系的方法。9/26/20237醫學統計學一、直線回歸的概念8/5/20237醫學統計學生物遺傳學上的“回歸”

PearsonK(英,1857～1936)1903年搜集了1078個家庭人員的身高、前臂長等指標的記錄，發現兒子身高(Y,英寸)與父親身高間(X,英寸)存在線性依存關系：

=33.73+0.516X

但不少身材高的父親的兒子成年后身高比其父親矮，不少身材矮的父親的兒子成年后身高比其父親高。GaltonF(英,1822～1911)將這種現象稱之為子一代身高向人群平均身高的“回歸”。9/26/20238醫學統計學生物遺傳學上的“回歸”8/5/20238醫學統計學Regression釋義210=10249/26/20239醫學統計學Regression釋義210=10248/5/20239FrancisGaltonFrancisGalton爵士(英,1822～1911)是達爾文(CharlesDarwin)的表弟。他對統計學的主要貢獻是提出“相關”與“回歸”的概念，用統計方法對進化論中的變異進行研究，開創了生物統計學。9/26/202310醫學統計學FrancisGaltonFrancisGalton爵KarlPearsonKarlPearson(英,1857～1936)是FrancisGalton的得意門生，他開創了統計方法學。他對統計學的主要貢獻：變異數據的處理、分布曲線的選配、卡方檢驗的提出、回歸與相關的發展。9/26/202311醫學統計學KarlPearsonKarlPearson(英,18天文學上的“回歸”地球繞太陽公轉，在公轉的同時本身還自轉，在本身自轉的同時地球的假設軸心還來回擺動。由于地球軸心的來回擺動，太陽光垂直照射到地球上就有南、北兩個極限位置(南、北緯23027’)，分別稱南、北回歸線，太陽光對赤道“回歸”垂直照射到南、北回歸線的時間分別為我國農歷的冬至與夏至。

9/26/202312醫學統計學天文學上的“回歸”8/5/202312醫學統計學日常生活中的“回歸”現象

1歲姜二狗，7歲姜二狗同學，20歲小姜同志，30歲姜科長，40歲姜處長，50歲姜局長，60歲姜老，70歲老姜，80歲姜二狗。

目前“回歸”已成為表示變量之間數量依存關系的統計術語，并且衍生出“回歸方程”、“回歸系數”等統計學概念。9/26/202313醫學統計學日常生活中的“回歸”現象目前“回歸”已成為表示變量之間例某地方病研究所調查了8名正常兒童的尿肌酐含量(mmol/24h),試估計尿肌酐含量(Y)對其年齡(X)的回歸方程。9/26/202314醫學統計學例某地方病研究所調查了8名正常兒童的尿肌酐含量(mmol年齡（歲）X尿肌酐含量Y(mmol/24h)hat9/26/202315醫學統計學年齡（歲）X尿肌酐含量Y(mmol/24h)hat8/5/2各散點呈直線趨勢但并非均在一條直線上根據原始數據擬合的直線方程與數理上二元一次函數方程在內涵上有區別，稱為直線回歸方程。9/26/202316醫學統計學各散點呈直線趨勢8/5/202316醫學統計學二、直線回歸方程的求法最小二乘法在所有直線中最小9/26/202317醫學統計學二、直線回歸方程的求法最小二乘法在所有直線中最小8/5/209/26/202318醫學統計學8/5/202318醫學統計學CASIOfx-3600PV計算器計算a、b與r步驟

鍵盤

說明1MODE2

進入線性回歸模式

LR2SHIFTKAC

清除以前儲存數據313XDYD3.54DATA

數據輸入

11XDYD3.01DATA9XDYD3.09DATA

4SHIFTr

顯示相關系數0.88185SHIFTa

顯示截距1.66176SHIFTb

顯示回歸系數0.1392

SHIFTDEL刪除輸錯的一對數據9/26/202319醫學統計學CASIOfx-3600PV計算器計算a、b與r步驟年齡（歲）X尿肌酐含量Y(mmol/24h)(8,2.8)(12,3.3)9/26/202320醫學統計學年齡（歲）X尿肌酐含量Y(mmol/24h)(8,2.8)(b的意義斜率(slope)年齡每增加1歲,尿肌酐含量平均增加0.1392(mmol/24h)b的單位為(Y的單位/X的單位)9/26/202321醫學統計學b的意義斜率(slope)a截距(intercept,constant)X=0時，Y的估計值a的單位與Y值相同當X可能取0時，a才有實際意義。a的意義9/26/202322醫學統計學a截距(intercept,constant)a的回歸直線的有關性質直線通過均點各點到該回歸線縱向距離平方和較到其它任何直線者為小。

為來自的一個樣本對于X各個取值，相應Y的總體均數9/26/202323醫學統計學回歸直線的有關性質直線通過均點為來自的一個樣本對于X各個取XY9/26/202324醫學統計學XY8/5/202324醫學統計學三、直線回歸方程中的統計推斷（一）回歸方程的假設檢驗1.方差分析（1）建立檢驗假設并確定檢驗水準

H0:β=0H1:β≠0α=0.05的分解重點9/26/202325醫學統計學三、直線回歸方程中的統計推斷（一）回歸方程的假設檢驗1.方差因變量Y總變異的分解X

Y

Y9/26/202326醫學統計學因變量Y總變異的分解XYY8/5/202SS總=SS回+SS殘9/26/202327醫學統計學SS總=SS回+SS殘8/5/202327醫學統計學未引進回歸時的總變異：

(sumofsquaresofdeviationfrommean)引進回歸以后的剩余變異:

(sumofsquaresofresiduals)回歸的貢獻，回歸平方和：

(sumofsquaresduetoregression)Y的總變異分解9/26/202328醫學統計學未引進回歸時的總變異：Y的總變異分解8/5/202328醫學

(3)計算檢驗統計量F值SS總=lYY=1.0462

SS回=blXY=l2XY/lXX=5.8452/42=0.8134SS殘=SS總－SS回=1.0462－0.8134=0.2328v總=v回+v剩v總=n－1,v回=1,v殘=n－29/26/202329醫學統計學(3)計算檢驗統計量F值SS總=lYY=1.0462F0.01(1,6)=13.749/26/202330醫學統計學F0.01(1,6)=13.748/5/202330醫學統計2.t檢驗回歸的剩余標準差扣除了X的影響后Y方面的變異;引進回歸方程后,Y方面的變異。9/26/202331醫學統計學2.t檢驗回歸的剩余標準差扣除了X的影響后Y方面的變異;（2）計算檢驗統計量t值（1）建立檢驗假設并確定檢驗水準（3）確定P值下結論

9/26/202332醫學統計學（2）計算檢驗統計量t值（1）建立檢驗假設并確定檢驗水準

（二）總體回歸系數

的可信區間此區間不包括β=0，結論為b有統計學意義。9/26/202333醫學統計學（二）總體回歸系數的可信區間此區間不包括β=0，結論為b

SPSS結果9/26/202334醫學統計學SPSS結果8/5/202334醫學統計學

（三）利用回歸方程進行估計與預測1.總體均數的可信區間:給定X后對應Y的總體均數給定X后對應Y的樣本均數9/26/202335醫學統計學（三）利用回歸方程進行估計與預測1.總體均數2.個體Y值的容許區間給定X后對應個體Y值波動范圍9/26/202336醫學統計學2.個體Y值的容許區間給定X后對應個體Y值波動范圍8/5/

XY(體重,kg)(體表面積,103cm2) 11.0 5.283 11.8 5.299 12.0 5.358 12.3 5.292 13.1 5.602 13.7 6.014 14.4 5.830 14.9 6.102 15.2 6.075 16.0 6.411例某地10名三歲兒童體重與體表面積9/26/202337醫學統計學X1112131415164.55.05.56.06.57.0可信區間與容許區間示意

(confidenceband&toleranceband)X體重Y體表面積9/26/202338醫學統計學1112131415164.55.05.56.06.57.0第二節直線相關LinearCorrelation9/26/202339醫學統計學第二節直線相關LinearCorrelation8/生物遺傳學上的“相關”在回歸分析中，有理由認為父親身高決定兒子身高，故把父親身高作為自變量X，兒子身高作為應變量Y。PearsonK(英,1857～1936)在對同一家庭中兄弟與姐妹身高間關系進行分析時，發現兩者難以象父親與兒子身高間關系那樣區別自變量X與應變量Y，也不必計算回歸方程。GaltonF(英,1822～1911)將這種現象稱之為“相關”。9/26/202340醫學統計學生物遺傳學上的“相關”8/5/202340醫學統計學當一個變量增大，另一個也隨之增大(或減少)，我們稱這種現象為共變，或相關。兩個變量有共變現象，稱為有相關關系。相關關系不一定是因果關系。一、直線相關的概念9/26/202341醫學統計學當一個變量增大，另一個也隨之增大(或減少)，我們稱這種現象r=0(h)r＝0(f)r＝-1(d)r＝1(b)0<r<1(a)-1<r<0(c)r

0(e)r

0(g)零相關正相關負相關完全正相關完全負相關零相關零相關零相關相互關系示意圖9/26/202342醫學統計學r=0r＝0r＝-1r＝10<r<1-1<r<0r相關系數的性質兩變量間的線性關系密切程度與相關方向用直線相關系數r表示。－1≤r≤1r＞0為正相關r＜0為負相關r＝0為零相關或無相關9/26/202343醫學統計學相關系數的性質兩變量間的線性關系密切程度與相關方8/5/20二、相關系數的意義與計算

Pearson相關系數標準化后的協方差9/26/202344醫學統計學二、相關系數的意義與計算Pearson相關系數9/26/202345醫學統計學8/5/202345醫學統計學SPSS結果9/26/202346醫學統計學SPSS結果8/5/202346醫學統計學三、相關系數的統計推斷（一）相關系數的假設檢驗尿肌酐含量與年齡之間無直線相關關系9/26/202347醫學統計學三、相關系數的統計推斷（一）相關系數的假設檢驗尿肌酐含量與年附表2附表139/26/202348醫學統計學附表2附表138/5/202348醫學統計學（二）總體相關系數的可信區間相關系數的抽樣分布在≠0時呈偏態分布Z的1-α可信區間：變換后r的1-α可信區間：Z變換后服從正態分布9/26/202349醫學統計學（二）總體相關系數的可信區間相關系數的抽樣分布在≠0時呈偏相關系數的抽樣分布

(||=0.8，n=100，1000次抽樣)-0.8-0.6-0.4-0.20.00100200300-1.0

00.20.40.60.81.00100200300

=-0.8

=0.89/26/202350醫學統計學相關系數的抽樣分布

(||=0.8，n=100，10R.A.Fisher(1921)的z變換

z近似服從均數為，標準差為的正態分布。

9/26/202351醫學統計學R.A.Fisher(1921)的z變換z相關系數的z變換值的抽樣分布(=-0.8)00.51.01.52.0050100150200-0.8-0.6-0.4-0.20.00100200300-1.0變換前變換后9/26/202352醫學統計學相關系數的z變換值的抽樣分布(=-0.8)00.51

01234050100150200

00.20.40.60.81.00100200300相關系數的z變換值的抽樣分布(=0.8)變換前變換后9/26/202353醫學統計學0123405010015020000.20.40.60相關系數的可信區間估計1.將r變換為z。2.根據z服從正態分布，估計z的可信區間。3.再將z變換回r。9/26/202354醫學統計學相關系數的可信區間估計1.將r變換為z。3.再將求得8名健康成人血清總膽固醇與低密度脂蛋白膽固醇含量間的r=0.974，試求總體相關系數ρ的95%可信區間。z的95%可信區間：

總體相關系數ρ的95%可信區間：

（0.85870.9954）9/26/202355醫學統計學求得8名健康成人血清總膽固醇與低密度脂蛋白膽固醇含量間的r四、決定系數0﹤R2﹤1

Y的總變異中回歸關系所能解釋的百分比年齡可解釋尿肌酐含量變異性的77.75%9/26/202356醫學統計學四、決定系數0﹤R2﹤18/5/202356醫學統計學五、直線回歸與直線相關的區別與聯系區別

r沒有單位，b有單位；相關表示相互關系，沒有依存關系；回歸有依存關系；對資料的要求不同：

當X和Y都是隨機的，可以進行相關和回歸分析；

當Y是隨機變量，X是控制變量時，理論上只能作回歸而不能作相關分析；9/26/202357醫學統計學五、直線回歸與直線相關的區別與聯系區別8/5/20235區別

I型回歸：Y是隨機變量，X是控制變量；II型回歸：Y與X均是隨機變量。同一資料中由X推算Y與由Y推算X的回歸方程不同：9/26/202358醫學統計學區別8/5/202358醫學統計學聯系均表示線性關系符號相同：共變方向一致假設檢驗結果相同：tr=tb

可以互相換算：

9/26/202359醫學統計學聯系假設檢驗結果相同：tr=tb可以互相換算：六、直線回歸與相關應用的注意事項相關：X與Y沒有主次，為雙向?；貧w：Y依X變化而變化，為單向。自變量的選擇：原因、容易測量、變異小要有實際意義。1.根據分析目的選擇變量及統計方法9/26/202360醫學統計學六、直線回歸與相關應用的注意事項相關：X與Y沒有主次，為雙向孩子的身高與小樹的高度間顯示出顯著的相關性9/26/202361醫學統計學孩子的身高與小樹8/5/202361醫學統計學有無異常點，謹慎剔除。2.進行相關、回歸分析前要繪制散點圖，進行判斷9/26/202362醫學統計學有無異常點，謹慎剔除。2.進行相關、回歸分析前要繪制散點圖，離群值對相關的影響9/26/202363醫學統計學離群值對相關的影響8/5/202363醫學統計學樣本的間雜性對相關性的誤導9/26/202364醫學統計學樣本的間雜性對相關性的誤導8/5/202364醫學統計學3.用殘差圖考察數據是否符合模型假設條件Y與X為線形關系誤差服從均數為0的正態分布方差相等各觀察單位獨立回歸模型應用前提條件：9/26/202365醫學統計學3.用殘差圖考察數據是否符合模型假設條件Y與X為線形關系e09/26/202366醫學統計學e08/5/202366醫學統計學0000eeee9/26/202367醫學統計學0000eeee8/5/202367醫學統計學P值越小越有理由認為變量間直線關系存在，不能說關系越密切。直線回歸關系可以內插，不宜外延。當樣本含量較大時，統計學檢驗的作用減弱。r0.05/2,100=0.1954.結果的解釋及正確應用9/26/202368醫學統計學P值越小越有理由認為變量間直線關系4.結果的解釋及正確應用8第三節秩相關RankCorrelation一、Spearman秩相關9/26/202369醫學統計學第三節秩相關RankCorrelation一、應用條件：1.不服從雙變量正態分布而不宜作積差相關分析；2.總體分布類型未知；3.原始數據用等級表示。9/26/202370醫學統計學應用條件：8/5/202370醫學統計學workyearsofpotentiallifelost9/26/202371醫學統計學workyearsofpotentiallifel9/26/202372醫學統計學8/5/202372醫學統計學或用秩Pi、Qi直接計算積差相關系數r附表14(n≤50)9/26/202373醫學統計學或用秩Pi、Qi直接計算積差相關系數r附表14(n≤50)8SPSS結果9/26/202374醫學統計學SPSS結果8/5/202374醫學統計學第六節兩條回歸直線的比較

一、兩個回歸系數的比較二、兩個截距的比較9/26/202375醫學統計學第六節兩條回歸直線的比較一、兩個回歸系數的比較二9/26/202376醫學統計學8/5/202376醫學統計學YXbcb2b1bc09/26/202377醫學統計學YXbcb2b1bc08/5/202377醫學統計學第七節曲線擬合

9/26/202378醫學統計學第七節曲線擬合8/5/202378醫學統計學一、曲線擬合的一般步驟

1.依據分析目的確定X與Y，根據兩變量散點圖、結合專業知識選擇曲線類型。

2.求回歸方程：曲線直線化。3.擬合優度：R2。9/26/202379醫學統計學一、曲線擬合的一般步驟8/5/202379醫學統計學CRF:促腎上腺皮質激素釋放因子ACTH:腎上腺皮質激素例9-139/26/202380醫學統計學CRF:促腎上腺皮質激素釋放因子ACTH:腎上腺皮

例9-13數據散點圖CRF(nmol/L)XYACTH(pmol/L)9/26/202381醫學統計學例9-13數據散點圖CRF(nmol/L)X9/26/202382醫學統計學8/5/202382醫學統計學

例9-13數據對X作對數變換散點圖YACTH(pmol/L)lg[CRF(nmol/L)]X’9/26/202383醫學統計學例9-13數據對X作對數變換散點圖YACTH(pmol/例9-149/26/202384醫學統計學