數學建模之中國人口增長的預測和人口結構的簡析

中國人口增長的預測和人口結構的簡析摘要本文根據過去數十年的人口數據，通過建立不同的數學模型，對中國人口的增長進行了短期和中長期的預測。模型一：從中國統計年鑒—2008，查找得到2000-2007年的人口數據，然后用灰色模型進行人口的短期（2008-2017）預測。這里，我們采用兩種算法進行人口總數的預測。一種是用灰色模型分別對城鎮人口和鄉村人口進行人口預測，然后求加和得到總的人口數；另一種是用灰色模型對實際的總人口數進行預測，預測未來10年的總人口數。通過比較相對誤差率知道第二種方法預測得到的數據誤差較小，故采用第二種方法預測的未來10年的人口數為：時間20082009201020112012人數（萬）132996.6133770.2134548.4135331136118.2時間20132014201520162017人數（萬）136910137706.4138507.4139313.1140123.4模型二：對于中長期的預測我們采用Leslie模型進行預測。我們利用題中所提供的人口數據的比例，將人分為6種類型，在考慮年齡結構的基礎上，對各類人中的女性人數分別進行預測，然后根據男女的性別比例，求出男性的人口數，再將預測得到的各類人數進行匯總加和，最終得到總的人口數。由于我們是根據年齡結構進行的預測，所以可以對人口進行簡單的分析，得到老齡化變化趨勢，鄉鎮市的人口所占比例的變化等。關鍵詞：人口預測；灰色模型；分類計算；Leslie模型模型假設模型一的假設：1、不考慮國際遷移，認為國家內部遷移不改變人口總量；2、不考慮自然災害、疾病等因素對人口數量的影響；3、文中短期預測到2017年4、大面積自然災害、疾病的發生以及人們的生育觀念等因素會對當年的生育率和人口數量產生影響，認為這些因素在預測誤差允許的范圍內．模型二的假設：每一年齡組的女性在每一個時間段內有相同的生育率和死亡率；在預測的時間段內男女的性別比例保持現狀不變；不考慮人口的遷入和遷出；不考慮空間等自然因素的影響，不考慮自然災害對人口數量的影響。問題分析中國是一個人口大國，隨著經濟的不斷發展，生產力達到較高的水平，現在的問題已不是僅僅滿足個人的需要，而是要考慮社會的需要。中國未富先老，對經濟的發展產生很大的影響。當今面臨的問題是如何很好的預測出未來人口的變化趨勢，并根據趨勢制定出合理可行的人口規劃方案，以緩解人口對經濟的影響。所以準確的預測出人口的發展趨勢勢在必行。短期人口預測：根據獲得的歷年的人口數據，利用灰色模型預測出未來10年人口的增長趨勢。中長期人口的預測和分析：將人口分為6大類，利用Leslie模型分別預測出各類人未來70年的人口數，并根據獲得的數據，對人口的老齡化等進行簡單的分析。模型建立與求解模型一、中國人口總數的短期（2008-2017）預測采用灰色模型預測短期人口數?；疑Ｐ褪怯脮r間數據序列建立系統的動態模型，把2000-2007年人口數據（這些數據是一組離散的原始數據），經7次累加生成規律性強的累加生成序列，可以弱化原始人口數據的離散型。然后對累加生成序列建模，最后進行7次累減還原成預測值。從中國統計年鑒-2008查得2000-2007年我國的人口數據如下：表12000年到2007年人口數據年份城鎮人口鄉村人口總人口2000459068083712674320014806479563127627200250212782411284532003523767685112922720045428375705129988200556212745441307562006577067374213144820075937972750132129下面，我們采用兩種方法進行人口的短期預測。一種是，我們用灰色模型分別預測出2008-2017年城鎮人口和鄉村人口，然后加和得到總的預測人口數；另一種是，我們根據總的人口數用灰色模型預測出未來十年的人口數。最后，我們將這兩種方法得到的值分別求與實際值的相對誤差，采納誤差較小的一種方法的預測值。方法一：由表得知，2000年到2007年城鎮人口的原始數據為＝[45906，48064，50212，52376，54283，56212，57706，59379]一次累加公式為經過累加得到累加生成序列為＝[45906，93970，144182，196558，250841，307053，364759，424138]定義累加矩陣為常數項＝[48064，50212，52376，54283，56212，57706，59379]按最小二乘法原理解方程組B*a=Y則則=1377631.7233e-1329567.7233同理，用灰色模型得到鄉村人口預測為=[80837，79563，78241，76851，75705，74544，73742，72750]＝[80837，160400，238641，315492，391197，465741，539483，612233]=[79563,78241,76851,75705,74544,73742,72750]=-5330296.3333e+5411133.3333得到的總人口預測為X=1377631.7233e-5330296.3333e+4081565.61方法二：用灰色模型得到總人口人口預測為＝[126743，127627，128453，129227，129988，130756，131448，132129]＝[126743，254370，382823，512050，642038，772794，904242，1036371]=[127627,128453,129227,129988,130756,131448,132129]=21954329.207e21827586.207（*）根據灰色模型推導出的公式（*）我們得到兩種方法下預測出的人口數據如下：(源程序見最后附頁)表2城鎮+鄉村預測得到的數據及數據分析表年份城鎮人口鄉村人口城鎮+鄉村=預測總人口實際人口相對誤差200148642.8979357.77128000.71276270.002928200250360.4378176.29128536.71284530.000652200352138.6177012.4129151129227-0.00059200453979.5875865.83129845.4129988-0.0011200555885.5474736.34130621.9130756-0.00103200657858.8173623.66131482.51314480.000262200759901.7572527.54132429.31321290.002273200862016.8371447.75133464.6200964206.5870384.03134590.6201066473.6669336.15135809.8201168820.7868303.87137124.6201271250.7867286.96138537.7201373766.5866285.18140051.8201476371.2165298.33141669.5201579067.864326.16143394201681859.6163368.47145228.120178475062425.04147175用matlab作出曲線如下：圖1城鎮+鄉村總人數隨時間的變化關系圖由上表中我們可以看到，用灰色模型預測到的城鎮人口數與鄉村人口數之和與實際人口之間的相對誤差大都小于0.2%，即與實際人口非常接近；從圖線中也可以看出擬合曲線得到的數據與實際數據十分接近，從而也可以說明我們預測得到的2008-2017年的人口數比較符合現實。然后，我們又在實際總人口的前提下用灰色模型進行預測，得到的結果如下表所示(源程序見最后附頁)：表3根據歷年總人口數得到的數據及數據分析表年份總人口實際人口相對誤差2001127705.11276270.000611912002128447.91284530.0000397032003129195.1129227-0.0002468482004129946.6129988-0.0003184182005130702.5130756-0.0004092382006131462.81314480.000112342007132227.51321290.0007452292008132996.62009133770.22010134548.420111353312012136118.220131369102014137706.42015138507.42016139313.12017140123.4同樣，根據得到的公式及數據作出總人口隨時間變化曲線如下圖：圖2根據總人口預測的人口數隨時間的變化關系圖從上表中可以看出，根據實際總人口數用灰色模型預測得到的人口數據相對誤差均小于0.1%，也就是說比用灰色模型分別預測城鎮和鄉村得到的人口數更貼近實際。所以選用方法二預測得到的人口數據較好。模型二、中國人口中長期（2006-2074）增長預測和簡單分析采用Leslie模型進行中長期的人口預測。“種群是直接通過雌性個體的生長的繁殖而增長的，所以用雌性個體數量的變化為研究對象比較方便?！盵1]所以，只預測女性的人口數量，然后根據過去幾年的男女性別比預測出未來的性別比，進而推算出男性人口的數量，最后給出人口的總數量。我們在考慮人口預測時只從女性考慮，并將所給的6類人按年齡每五年為一個年齡段劃分為20個年齡組。每5年觀察一次人口數，即時間間隔與年齡段等長。記（t=0,1,2…,20）為第i個年齡組在第t個時間段的女性總人數；記第i年齡組的生育率為，即每個（雌性）在1個時段內生育的人數；記第i年齡組的死亡率為，即1個時段內死亡數量占總量的比例；記為存活率。其中，0,i=1,2,…,20,且至少有一個>0;,i=1,2,…,19。根據定義知道，時段t+1第1年齡組的數量是各年齡組在時段t的生育數量之和；時段t+1第i+1年齡組（i=1,2,…,19）的數量是時段t第i年齡組存活下來的數量。由此得到記種群數量在時段t按年齡組的分布向量為由生育率和存活率構成的矩陣L=則(1)(2)可以表示為當矩陣L和按年齡組的初始分布為x(0)已知時，可以預測女性人口數量在時間段t按年齡組的分布為以所給2005年的人口數據為起始時刻的x(0)，根據模型一的計算結果，得到L(見附件L矩陣)，依次可以得到每類人2009-2074年的女性人口數。表4Leslie模型預測得到的鄉村女性人數結果（部分，詳見附件Leslie模型預測結果）年齡段2009201420192024202920340_42326.5512561.932726.162554.322258.0692177.0315_91965.6032323.9432559.0582723.1042551.4562255.53810_142340.1341957.8512314.7782548.9662712.3642541.39315_193158.4412329.8091949.2132304.5652537.7192700.39720_243085.8723138.8842315.3831937.1442290.2952522.00625_292055.883061.0373113.6232296.7491921.5532271.86330_342115.7272032.6573026.4593078.4512270.8051899.84835_392836.952089.0692007.0452988.3263039.6632242.19340_443512.4462792.0012055.971975.2452940.9792991.50245_493073.2043443.182736.9432015.4261936.2942882.98350_542355.9652986.6753346.2342659.8821958.681881.77555_592641.1192259.8612864.8433209.7342551.381878.78160_641901.2522467.3542111.182676.3592998.562383.51965_691302.8261663.5882158.9251847.2742341.8042623.72870_74976.3571030.3481315.6591707.3991460.9281852.02975_79691.8703635.7958670.9542856.74651111.844951.344480_84394.3049372.0519341.8979360.8043460.7137597.8921∑36340.237146.0437272.4337740.4936882.3936653.82預測女性的人數后，接下來根據女性的人數預測出男性的人數。我們假定未來若干年內男女的性別比例基本不變，根據給出的2001-2005年的數據求出男女性別比例的均值作為未來的男女性別比例。則有：男性人數=女性人數×男女性別比例系數總人口數=男性人口數+女性人口數預測出的總的人口數如下：時間2009201420192024202920342039人口數（萬）140899.8142730.7142417.8141973.5137890.9134352.9128082.9時間2044204920542059206420692074人口數（萬）124150.4117153.2113180.6107326.3103900.598697.5896331.96根據預測出的人口數畫出的人口總數—時間曲線圖如下：圖3人口總數—時間曲線（源程序見附頁）從上圖可以看出，我國的總人口數呈現先增后減的趨勢，人口峰值大約出現在2020年左右。出現這一現象的原因，可能是國家政策和人的生育意識的改變。圖4未來我國老齡人口曲線（源程序見附頁）從上圖中可以看出，我國的老齡人口呈現先急劇增加又緩慢減少的趨勢，尤其是2010-2040年，我國的老齡人口數增長迅速，可能會對我國的養老制度產生沖擊，影響經濟的快速穩定增長。因此，應該實施相應的政策加以應對，如延遲職工退休年齡等。模型的優點和缺點模型一：優點：灰色模型是用時間數據序列建立系統的動態模型，把2000-2007年人口數據（這些數據是一組離散的原始數據），經7次累加生成規律性強的累加生成序列，可以弱化原始人口數據的離散型。同時，我們也較好的預測出了城鎮化率缺點：只能做短期預測，對于中長期預測，我們需要建立其他模型另解。同時，灰色模型主要是反映數據的規律性，而不能完全反映各種非規律性的社會因素對預測指標的影響，因此，盡管與已知數據相比誤差很小，但也不能完全依賴其預測結果。模型二：優點：采用賴斯莉模型，充分考慮到了年齡結構對總人口數增長的影響。而且采用分類的方法對總人口進行預測，考慮到了市鎮鄉不同的環境對人口增長的影響，最終求出的總人口數與實際更接近。缺點：雖然在計算男性人口數時采用的是男女性別比的平均值，但是假設男女性別比為定值與現實有些偏頗，影響了預測的真實性。另外，采用分類的方法進行人口的預測，計算量較大。模型的優化與改進模型一的優化：由于模型一沒有考慮遷移因素，短期幾年內，遷移對城鎮人口與鄉村人口的數量有較大影響，但對總人口數預測的影響不大，有待于建立包含遷移因素的灰色模型來預測城鎮、鄉村人口數量的變化。模型二的優化：在模型二中假定男女性別比例為定值對預測結果的影響很大?？梢酝ㄟ^對給出的2001-2005年的男女性別數據求出每類人的平均值，然后用灰色模型預測出未來我國人口的男女性別比例，再與預測出的女性人數相乘得到男性人數，進而得到全國總人數。雖然用預測出的值相乘仍存在誤差，但是較之于改進前，數據的準確性會大大提高。由于時間的原因，我們未進行該改進。參考文獻【1】數學建模及其實驗，嚴喜祖、宋中民、畢春加編，科學出版社；【2】數學模型，姜啟源，謝金星，葉俊編，高等教育出版社；【3】數學建模簡明教程，西北工業大學數學建模指導委員會編，高等教育出版社；【4】灰色模型在人口預測中的應用，蒿建華；【5】中國人口增長的預測和人口結構的分析，作者不詳；附頁（源程序）：Ⅰ.灰色模型預測的源程序：城鎮人口:B=[-69938,1;-119076,1;170370,1;-223699.5,1;-278947,1;-335906,1;-394448.5,1;];Y=[48064;50212;52376;54283;56212;57706;59379];a=(B'*B)^(-1)*B'*Ya=1.0e+004*-0.00005.1264鄉村人口:B=[-120618.5,1;-199520.5,1;-277066.5,1;-353344.5,1;-428469,1;-502612,1;-575858,1];Y=[79563;78241;76851;75705;74544;73742;72750];a=(B'*B)^(-1)*B'*Ya=1.0e+004*0.00008.1167總人口:B=[-190556.5,1;-318596.5,1;-447436.5,1;-577044,1;-707416,1;-838518,1;-970306.5,1];Y=[127627;128453;129227;129988;130756;131448;132129];a=(B'*B)^(-1)*B'*Ya=1.0e+005*-0.00001.2660Ⅱ.圖1（城鎮+鄉村總人數隨時間的變化關系圖）源程序：t=2001:1:2017;y=[12770510001284479000129195100012994660001307025000131462800013222750001329966000133779200013454840001353310000136118200013691000001377064000138507400013931310001401234000];x=2001:1:2007;z=[127627000012845300