學透難點蘇科版八年級下冊期末備考各章節難點突破題集

學透難點2024年蘇科版八年級下冊期末備考各章節難點突破題集解析部分:1．某校八年級數學老師們在全年級開展教學創新對比試驗，所有班級都被設為實驗班或對比班，一學期后對全年級同學進行了數學水平測試，觀察實驗效果．從實驗班和對比班中各隨機抽取20名學生的測試成績（滿分100）進行整理和分析（成績共分成五組：A．50≤x＜60，B．60≤x＜70，C．70≤x＜80，D．80≤x＜90，E．90≤x≤100），繪制了如下不完整的統計圖表：一、收集、整理數據：實驗班20名學生的數學成績分別為：50，65，68，76，77，78，87，88，88，88，89，89，89，89，93，95，97，97，98，99，對比班學生數學成績在C組和D組的分別為：73，74，74，74，74，76，83，88，89．二、分析數據：兩組樣本數據的平均數、中位數和眾數如表所示：成績平均數中位數眾數實驗班8588.5b對比班81.8a74三、描述數據：請根據以上信息，回答下列問題：（1）①補全頻數分布直方圖；②填空：a＝，b＝；（2）根據以上數據，你認為實驗班的數學成績更好還是對比班的數學成績更好？判斷并說明理由（兩條理由即可）；（3）如果我校八年級實驗班共有學生900名，對比班共有學生600名，請估計全年級本次數學成績不低于80分的學生人數．【答案】（1）①見解析；②，；（2）實驗班的數學成績更好，理由：實驗班成績的平均數、中位數均比對比班的高；（3）大約有人【要點分析（1）①求出實驗班20名學生的測試成績（滿分為的人數，即可補全頻數分布直方圖；②根據眾數和中位數的定義求解可得；（2）根據實驗班和對比班樣本數據的平均數、中位數和眾數判定即可；（3）分別用實驗班和對比班的總人數乘以各自樣本中成績不低于80分的學生人數所占比例，相加可得．【解題過程】解：（1）①實驗班20名學生的測試成績（滿分為的人數：（人，補全頻數分布直方圖如圖：；②，，故答案為：79.5，89；（2）實驗班的數學成績更好，理由：①實驗班樣本數據的平均數大于對比班樣本數據的平均數，②實驗班樣本數據的中位數和眾數大于對比班樣本數據的中位數和眾數；（3）對比班20名學生本次數學成績不低于80分的學生人數：（人，估計全年級本次數學成績不低于80分的學生人數：（人，答：估計全年級本次數學成績不低于80分的學生人數有930人．【考點點評】本題主要考查了頻數分布直方圖，用樣本估計總體，讀頻數分布直方圖的能力和利用統計圖獲取信息時，解題的關鍵是必須認真觀察、分析、研究統計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．2．2020年10月15日，中共中央國務院發布《關于全面加強和改進新時代學校體育工作的意見》，對新時代體育教育做了頂層設計和全面部署．某校面對全體學生發出了“發展體育運動，健身報效祖國”的活動倡議，調查小組對本校學生每周運動的時間做了抽樣問卷調查，過程如下：（1）收集、整理數據：調查小組利用如下左圖所示的調查問卷隨機調查50名同學，得到他們最近一周內參加體育鍛煉總時間的數據如下表所示：XX學校“發展體育運動，健身報效祖國”運動時間調查問卷請根據實際情況選擇最符合的一項，在該項前面方框內打“√”，感謝參與！最近一周內你參加體育運動的總時間為：（每組含最小值，不含最大值）□A：0～1小時

□B：1～2小時□C：2～3小時

□D：3～4小時□E：4～5小時

□F：5小時以上ACBBBCDBAAABCBCABADBCBEBCBCACCDEDABDAEABAFBBACBDBC將上述數據整理在如下的統計表中，請你將表格補充完整：參加體育鍛煉總時間ABCDEF頻數_______1711________31（2）描述數據：根據上面的統計表，補全頻數直方圖和扇形統計圖；（3）問題解決：已知該校共有1000人，根據上述信息估計該校全體學生最近一周參加鍛煉總時長不足2小時的約為多少人？（4）分析數據：根據以上數據的特點，寫出一條你發現的結論；【答案】（1）12；6；（2）見解析；（3）580人；（4）最近一周參加體育運動的總時間在1～2小時的人數最多．（答案不唯一）【要點分析（1）分別數出原始數據中A和D的數目即可得到解答；（2）根據（1）得到的A項和D項的頻數可以把頻數分布直方圖補充完整，算出總頻數后根據可以得到A、D所占百分比；（3）用1000乘以A、B兩項所占百分比的和可以得到答案；（4）可以根據數據整理情況作答．【解題過程】解：（1）通過計數，可以得到A頻數為12，D頻數為6，故答案為12；6；（2）根據（1）得到的A項和D項的頻數可以把頻數分布直方圖補充完整如下：∵總頻數=12+17+11+6+3+1=50，∴A項所占百分比為：D項所占百分比為：故答案為A：24%；D：12%；（3）（人）．答：該校全體學生最近一周參加體育運動總時長不足2小時的約為580人．（4）最近一周參加體育運動的總時間在1～2小時的人數最多．（答案不唯一）【考點點評】本題考查頻數及頻率的應用，熟練掌握頻數及頻率的意義及應用、頻數分布直方圖的畫法及一定的數據分析方法是解題關鍵．3．為了了解某學校八年級學生每周平均課外閱讀時間的情況，隨機抽取了該學校八年級m名同學，對其每周平均課外閱讀時間進行統計，繪制了如圖所示的條形統計圖和扇形統計圖．

（1）根據以上信息，回答下列問題．①求m的值；②求扇形統計圖中閱讀時間為5小時的扇形圓心角的度數；③補全條形統計圖．（2）直接寫出這組數據的眾數、中位數，求出這組數據的平均數．【答案】（1）①m=60；②；③補全條形統計圖見解析；（2）眾數：3中位數：3平均數：．【要點分析（1）①根據2小時所占扇形的圓心角的度數確定其所占的百分比，然后根據條形統計圖中2小時的人數求得m的值；②結合周角是360度進行計算；③求得總人數后減去其他小組的人數即可求得第三小組的人數；（2）利用眾數、中位數的定義及平均數的計算公式確定即可．【解題過程】解：（1）①∵課外閱讀時間為2小時的所在扇形的圓心角的度數為90°，∴其所占的百分比為，∵課外閱讀時間為2小時的有15人，∴m=15÷=60；②依題意得：；③第三小組的頻數為：601015105=20，補全條形統計圖為：

（2）∵課外閱讀時間為3小時的20人，最多，∴眾數為3小時；∵共60人，中位數應該是第30和第31人的平均數，且第30和第31人閱讀時間均為3小時，∴中位數為3小時；平均數：；【考點點評】本題考查了眾數、中位數、平均數及扇形統計圖和條形統計圖的知識，解題的關鍵是能夠結合兩個統計圖并找到進一步解題的有關信息，難度不大．4．某校為了解學生對“：古詩詞，：國畫，：閩劇，：書法”等中國傳統文化項目的最喜愛情況，在全校范圍內隨機抽取部分學生進行問卷調查（每人限選一項），并將調查結果繪制成如下不完整的統計圖，根據圖中的信息解答下列問題：(1)在這次調查中，一共調查了______名學生；扇形統計圖中，項目對應扇形的圓心角為______度；(2)請把折線統計圖補充完整；(3)如果該校共有名學生，請估計該校最喜愛項目的學生有多少人？(4)若該校在，，，四項中任選兩項成立課外興趣小組，請用畫樹狀圖或列表的方法求恰好選中項目和B的概率．【答案】(1)，(2)圖見解析(3)該校最喜愛項目的學生約有人(4)，列表見解析【要點分析本題考查的是折線統計圖和扇形統計圖的綜合運用，用列表法或畫樹狀圖法求概率；列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果數，概率=所求情況數與總情況數之比，能對圖表信息進行具體分析和熟練掌握概率公式是解題的關鍵．（1）根據折線統計圖中的人數和扇形統計圖中所占的百分比，求出總數，用乘以項目所占的比例即可求出圓心角；（2）分別求出，的人數，再補全統計圖；（3）用總人數乘以喜愛項目的占比即可；（4）列表得出所有等可能情況，再根據題意求得概率．【解題過程】（1）解：調查的總人數為：（人），項目對應扇形的圓心角為：，故答案為：，；（2）項目人數：人，項目人數：人，補全折線統計圖如下：（3）（人），該校最喜愛項目的學生有人；（4）第一項第二項由列表可見，所有可能出現的結果共有種，并且這些結果出現的可能性相等，其中恰好選中項目和B的結果有種，恰好選中項目和B的概率為：．5．下表是今年雨季清涼河一周內的水位變化情況．星期一二三四五六日水位變化/m注：正號表示水位比前一天上升，負號表示比前一天下降．(1)根據上表，回答下列問題：①本周星期____河流的水位最高；②與上周末相比，判斷本周末河流水位是上升了還是下降了？(2)若以上周末水位為0點，用折線統計圖表示本周的水位情況，并在圖中用你的方式表示出這一周大致的平均水位．

【答案】(1)①五，②與上周末相比，本周末河流水位是上升了(2)見解題過程【要點分析（1）①以上周末的水位為參照物，根據有理數的加法運算，計算出每天的水位變化值，即可得到答案；②根據①中的周天的結果的符號，即可判斷；（2）根據（1）中①所求的數據，畫出折線圖即可．【解題過程】（1）①星期一，水位變化，星期二，水位變化，星期三，水位變化，星期四，水位變化，星期五，水位變化，星期六，水位變化，星期天，水位變化，∴星期五的河流的水位最高；②∵星期天，水位變化，∴與上周末相比，本周末河流水位是上升了；（2）根據（1）中①所求的數據畫圖如下：

【考點點評】本題考查了畫折線圖，正數和負數及有理數的加減運算，解題的關鍵是正確理解題意，準確進行運算．6．某課外學習小組做摸球試驗：一只不透明的袋子中裝有若干個紅球和白球，這些球除顏色外都相同．將這個袋中的球攪勻后從中任意摸出1個球，記下顏色后放回、攪勻，不斷重復這個過程，獲得如下數據：摸球個數200300400500100016002000摸到白球的個數116192232_______5909681202摸到白球的頻率0.5800.6400.5800.5960.5900.605_______(1)填寫表中的空格；(2)當摸球次數很大時，摸到白球的概率的估計值是____（精確到0.01）；(3)若袋中有紅球2個，請估計袋中白球的個數．【答案】(1)298；0.601(2)0.60(3)3個【要點分析本題考查了利用頻率估計概率：（1）根據摸到白球的個數等于摸球個數乘以摸到白球的頻率，摸到白球的頻率等于摸到白球的個數除以摸球個數計算即可；（2）根據頻率估計概率計算；（3）由概率的估計值可計算白球的個數．【解題過程】（1）解：，，故答案為：298；0.601；（2）解：當摸球次數很大時，摸到白球的概率的估計值是：0.60；故答案為：0.60．（3）解：摸到白球的概率的估計值是0.60，摸到紅球的概率的估計值是0.40，袋中有紅球2個，球的個數共有：（個），袋中白球的個數為（個）．7．一個不透明的布袋中裝有除顏色外均相同的7個黑球、5個白球和若干個紅球．每次搖勻后隨機摸出一個球，記下顏色后再放回袋中，不斷重復這一過程，共摸了200次球，發現有80次摸到紅球，估計袋中紅球的個數．【答案】8個【要點分析摸到紅球的頻率，求得摸到黑球和白球的頻率為，計算總球數，從而求得紅球個數．【解題過程】解：由題意可得，摸到黑球和白球的頻率之和為：，∴總的球數為，∴估計袋中紅球的個數為：（個）．【考點點評】本題考查隨機實驗中，頻率的定義和計算；理解頻率的定義是解題的關鍵．8．下面是某校生物興趣小組在相同的實驗條件下，對某植物種子發芽率進行研究時所得到的數據：試驗的種子數n50010001500200030004000發芽的粒數m471946189828533812發芽頻率0.9420.9460.9500.9490.953(1)上表中的______，______；(2)任取一粒這種植物種子，它能發芽的概率的估計值是______（精確到0.01）；(3)若該校勞動基地需要這種植物幼苗9500棵，試估算需要準備多少粒種子進行發芽培育．【答案】(1)，0.951(2)(3)【要點分析（1）根據發芽頻率，代入對應的數值即可；（2）根據概率是大量重復試驗的情況下，頻率的穩定值可以作為概率的估計值，即次數越多的頻率越接近于概率；（3）根據（2）中的概率，可以用發芽棵樹=幼苗棵樹×概率可得出結論．【解題過程】（1）解：依題意，，解得：，，故答案為：，．（2）概率是大量重復試驗的情況下，頻率的穩定值可以作為概率的估計值，即次數越多的頻率越接近于概率；∴這種種子在此條件下發芽的概率約為．（3）若該學校勞動基地需要這種植物幼苗棵，需要準備（粒）種子進行發芽培育．【考點點評】此題主要考查了利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩定值即概率．用到的知識點為：頻率=所求情況數與總情況數之比．9．某批乒乓球的質量檢驗結果如下：抽取的乒乓球數n200400600800100016002000優等品的頻數m19038457075695515201900優等品的頻率abc(1)填空：______，______，______；(2)在下圖中畫出優等品頻率的折線統計圖：(3)從這批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是優等品的概率的估計值是多少？【答案】(1)，，(2)作圖見解析(3)【要點分析（1）代入計算求解即可；（2）描點、連線即可；（3）利用頻率估計概率即可．【解題過程】（1）解：由題意得，，，故答案為：，，；（2）解：折線圖如下：（3）解：∵在同樣條件下，做大量的重復試驗，利用一個隨機事件發生的頻率逐漸穩定到某個常數，可以估計這個事件發生的概率，∴任意抽取的一只乒乓球是優等品的概率的估計值為．【考點點評】本題考查了頻率，畫折線圖，用頻率估計概率．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握．10．數學課上，師生進行了摸球試驗：一只不透明的袋子中裝有編號分別為1、2、3、…、的小球（除編號外完全相同）：活動一：當時，從中隨機摸出一個球記錄編號后放回袋中并搖勻，再隨機摸出一個球記錄下編號后放回袋中并搖勻，重復上述操作，若事件：“記錄的編號中出現兩個相同的編號”是必然事件，則最少需摸______次．活動二：當時，從中隨機摸出一個球記錄編號后放回袋中并搖勻，再隨機摸出一個球記錄下編號后放回袋中并搖勻，重復上述操作．（1）若事件：“記錄的編號中出現兩個相同的編號”是必然事件，則最少需摸______次．（2）若事件：“記錄的編號中出現三個相同的編號”是必然事件，則最少需摸______次．活動三：在這只裝有編號分別為1、2、3、…、的小球（除編號外完全相同）的不透明的袋子中，從中隨機摸出一個球記錄編號后放回袋中并搖勻，再隨機摸出一個球記錄下編號后放回袋中并搖勻，重復上述操作，若事件：“記錄的編號中出現4個相同的編號”是必然事件至少需要摸100次，則袋中有多少個小球？【答案】活動一：3；活動二：（1）4；（2）7；活動三：33．【要點分析活動一：通過例舉得出答案；活動二：通過例舉得出答案；活動三：總結規律，列出方程求解即可得出答案．【解題過程】活動一：解：僅摸一次，不可能出現兩相同編號，摸兩次，有可能出現不同的編號，如2，1或1，2，不符合必然事件，摸三次，才能保證出現兩個相同的編號為必然事件，故答案為：3；活動二：有編號為1，2，3三個小球，（1）摸兩次時，不符合題意，如摸到1，2，摸三次時，不符合題意，如摸到1，2，3，摸四次時，一定會出現兩個相同的編號，為必然事件，故答案為：4；（2）摸六次時，不符合題意，如1，2，3，1，2，3，摸七次時，符合題意，一定會摸到三個相同的編號為必然事件，故答案為：7；活動三：根據題意得：m+m+m+1＝100，解得：m＝33，答：袋中有33個小球．【考點點評】本題考查隨機事件的含義，必然事件的含義，探索規律的方法，通過例舉，尋找規律是解題的關鍵．11．在四邊形中，，，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若點為線段上的動點點不與點重合，連接，過點作交直線于點．①如圖2，當點為線段的中點時，請直接寫出，的數量關系；②如圖3，當點在線段上時，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)①；②證明見解析【要點分析（1）根據已知條件得到，，再由平行四邊形的判定即可得證；（2）①連接，可知是等腰直角三角形，再證明，利用全等三角形性質即可得到；②過點作交于點，首先證明，得，進而再證明是等腰直角三角形即可得到結論．【解題過程】（1）證明：，，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：①，理由如下：連接，如圖所示：由（1）知是等腰直角三角形，當點為線段的中點時，，，，，，，，，，，；②證明：過點作交于點，如圖所示：，，，，四邊形是平行四邊形，，，又，，，，，，，，，在中，，則，，．【考點點評】本題考查四邊形綜合題，涉及平行四邊形的性質、等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，根據題意作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．12．（1）如圖1，在中，，則邊上的高為____________；（2）四邊形為正方形，邊長，是邊上一動點（不與點A、B重合）．線段關于對稱的線段為，連接．①如圖2，若為等邊三角形，求的長；②如圖3，延長，交射線于點．能否為等腰三角形？若能，求出此時的長，若不能，請說明理由．【答案】（1）3；（2）①；②【要點分析（1）作，交的延長線于點，可推出，進而得出結果；（2）①作，交于，可推出，，從而，，進而求得，進而得出，由得，進一步得出結果；②根據題意可知只有，此時，設，則，在四邊形中，根據，從而求得，類比①求得結果．【解題過程】解：（1）如圖，作，交的延長線于點，∴，∵，∴，故答案為：3；（2）①如圖，作，交于，∵是等邊三角形，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，，∴，，∵線段關于對稱的線段為，∴，∴，∴，∴，∴，由得，∴，∴；②由對稱可知：，∴，∵，∴，當時，，設，則，在四邊形中，，∴，∴，∴，如圖，在上截取，∴，∴，，∴，由得，，∴，∴．【考點點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，勾股定理，含的直角三角形的性質，正方形的性質，軸對稱等知識，熟練掌握相關圖形的性質是解決問題的關鍵．13．在中，點是上任意一點，延長交的延長線于點．(1)在圖1中，當時，求證：是的平分線；(2)根據（1）的條件和結論，①如圖2，若，點是的中點，請求出的度數；②如圖3，若，且，連接、，請直接寫出的度數．【答案】(1)證明見解析(2)①；②【要點分析（1）根據等邊對等角，利用四邊形是平行四邊形，可得，由等量關系可得即可證明結論；（2）①先說明是等腰直角三角形可得，再證明可得，然后證明是等腰直角三角形即可證明結論；②延長相較于H，連接，求證四邊形是平行四邊形，再求證是等邊三角形，求證，再根據全等三角形的性質及角的和差即可解答．【解題過程】（1）證明：如圖1，，，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴是的平分線．（2）解：①如圖2，連接∵在平行四邊形中，，，，，又，∴是等腰直角三角形，即：，由（1）可得：，，又∵是的中點，，，∴，∴，是等腰直角三角形，即：；②如圖3，延長相較于H，連接．∴，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形為平行四邊形由（1）可得：AD=DF，CE=CF∴平行四邊形是菱形．平行四邊形是菱形．∵，∴,,∴是等邊三角形，即，在與中，，∴，∴，∴．【考點點評】本題主要考查了平行四邊形的性質、菱形的判定與性質、等腰三角形的性質、等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質等知識點，綜合運用相關知識成為解題的關鍵．14．（1）如圖1，點是等邊內一點，，你能求出的度數嗎?【基本思路】可以將繞點逆時針旋轉得到，連接，可求出的度數，則__________．（2）如圖2，點是正方形內一點，，求的大小；（3）點是正方形外一點，，直接寫出的大小．【答案】（1）；（2）；（3）或【要點分析（1）根據旋轉的性質及已知可得到是等邊三角形，是直角三角形，即可求解；（2）利用旋轉法構造全等三角形以及直角三角形即可解決問題；（3）分兩種情況：當點P在左側時或當點P在右側時，先通過對三角形進行旋轉，再根據旋轉性質求出即可．【解題過程】解：（1）由旋轉可知：，，，，又，，是等邊三角形，，，，是直角三角形，，，故答案為：；（2）如圖2，將繞點順時針旋轉，得到，連接，，，，，，，，，，，，；（3）當點P在左側時，如圖3，將繞點逆時針旋轉，得到，連接，，，，，在中，，，，，，，，；當點P在右側時，如圖，將繞點順時針旋轉，得到，連接，，，，，在中，，，，，，在正方形中，，，，，三點在同一直線上，，，；綜上所述，的值為或．【考點點評】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，正方形的性質，勾股定理等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是解本題的關鍵．15．（1）【問題情景】如圖1，已知在正方形中，點E、F分別是邊、上的一動點，連接、，且，如圖，延長至G，使，通過證明和可得，即：．（2）【嘗試探究】如圖2，當點E、F分別在射線、上運動，時，探究、、之間的數量關系，請說明理由；（3）【模型建立】如圖3，若將直角三角形沿斜邊翻折得到，且，點E、F分別在邊、上運動，且，試猜想（1）中的結論還成立嗎？請加以說明；（4）【拓展應用】如圖4，已知是邊長為5的等邊三角形，點D是外一點，連接、，且，，以D為頂點作一個角，使其角的兩邊分別交邊、于點E、F，連接，求的周長．【答案】（2）見解題過程

（3）成立，見解題過程

（4）【要點分析（2）由“”可證，可得，由“”可證，可得，即可求解；（3）由旋轉的性質可得，由“”可證，可得，即可求解；（4）把繞點順時針旋轉至,可使與重合,證出，進而得到，即可得的周長．【解題過程】（2），理由如下:如圖，在上截取，連接∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，，，即；（3）結論仍然成立，理由如下：如圖，把繞點逆時針旋轉，使與重合，得到，，，，∴點三點共線，，又∵，，即，又∵，∴，∴，又∵，∴；(4)∵是邊長為的等邊三角形，∴，，∵，∴，∵，把繞點順時針旋轉至，可使與重合，由旋轉得:，，，同理得：點在同一條直線上，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周長．【考點點評】本題是四邊形綜合題，主要考查正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，三角形的周長，等邊三角形的性質等知識點，深入理解題意是解決問題的關鍵．16．我們約定：若關于的整式與同時滿足：，，則稱整式A與整式互為“美美與共”整式．根據該約定，解答下列問題：(1)若關于的整式與互為“美美與共”整式，求k，m，n的值．(2)若關于x的整式，（a，b為常數），M與互為“美美與共”整式，且是的一個因式，求的值；(3)若，且關于的方程的解為正整數，求的“美美與共”整式，并求出的最小值．【答案】(1)k的值為，m的值為3，n的值為2．(2)(3)或，最小值為或【要點分析題目主要考查整式的乘法運算及因式分解，解分式方程等，熟練掌握因式分解是解題關鍵．（1）根據題意得到即可解答；（2）根據題意得出，再由是的一個因式，進行因式分解確定，即可求解；（3）根據因式分解得出，再由分式方程的解確定或，即可分情況得出Q，然后配方確定最小值即可．【解題過程】（1）解：由題意可知：，∴．答：k的值為，m的值為3，n的值為2．（2），∵整式，（a，b為常數），M與互為“美美與共”整式，∴，∴，∵是的一個因式，∴，∴，∴；（3），∴，得，∵關于的方程的解為正整數，∴或，∴或，∴，或∴最小值為或．17．已知，關于x的分式方程．(1)當，時，求分式方程的解；(2)當時，求b為何值時分式方程無解；(3)若，且a、b為正整數，當分式方程的解為整數時，求b的值．【答案】(1)(2)(3)3、29、55、185【要點分析（1）將a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化為整式方程，分類討論b的值，使分式方程無解即可；（3）將a=3b代入方程，分式方程去分母化為整式方程，表示出整式方程的解，由解為整數和b為正整數確定b的取值．【解題過程】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，得：，方程兩邊同時乘以，得：，解得：，檢驗：把代入，∴原分式方程的解為：．（2）解：把a=1代入原分式方程中，得：，方程兩邊同時乘以，得：，去括號，得：，移項、合并同類項，得：，①當時，即，原分式方程無解；②當時，得，Ⅰ.時，原分式方程無解，即時，此時b不存在；Ⅱ.x=5時，原分式方程無解，即時，此時b=5；綜上所述，時，分式方程無解．（3）解：把a=3b代入分式方程中，得：，方程兩邊同時乘以，得：，，解得：，∵b為正整數，x為整數，∴10+b必為195的因數，10+b≥11，∵195=3×5×13，∴195的因數有1、3、5、13、15、39、65、195，∵1、3、5都小于11，∴10十b可以取13、15、39、65、195這五個數，對應地，方程的解x=3、5、13、15、17，又x=5為分式方程的增根，故應舍去，對應地，b只可以取3、29、55、185，∴滿足條件的b可取3、29、55、185這四個數．【考點點評】本題主要考查分式方程的計算，難度較大，涉及知識點較多．熟練掌握解分式方程的步驟是解決這三道小題的前提條件；其次，分式方程無解的兩種情況要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程無解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．總之，解分式方程的步驟要重點掌握．18．某家電銷售商城電冰箱的銷售價為每臺元，空調的銷售價為每臺元，每臺電冰箱的進價比每臺空調的進價多元，商場用元購進電冰箱的數量與用元購進空調的數量相等．（1）求每臺電冰箱與空調的進價分別是多少？（2）現在商場準備一次購進這兩種家電共臺，設購進電冰箱臺，這臺家電的銷售總利潤元，要求購進空調數量不超過電冰箱數量的倍，且購進電冰箱不多于臺，請確定獲利最大的方案以及最大利潤．（3）實際進貨時，廠家對電冰箱出廠價下調元，若商店保持這兩種家電的售價不變，請你根據以上信息及（2）中條件，設計出使這臺家電銷售總利潤最大的進貨方案．【答案】（1）每臺空調的進價為元，則每臺電冰箱的進價為元；（2）當購進電冰箱臺，空調臺獲利最大，最大利潤為元；（3）當時，購進電冰箱臺，空調臺銷售總利潤最大；當時，，各種方案利潤相同；當時，購進電冰箱臺，空調臺銷售總利潤最大【要點分析設每臺空調的進價為元，則每臺電冰箱的進價為元，根據商城用元購進電冰箱的數量與用元購進空調的數量相等”，列出方程，即可解答；設購進電冰箱臺，這臺家電的銷售總利潤為元，則，由題意：購進空調數量不超過電冰箱數量的倍，且購進電冰箱不多于臺，列出不等式組，解得，再由為正整數，的，，，，，，，即合理的方案共有種，然后由一次函數的性質，確定獲利最大的方案以及最大利潤；當電冰箱出廠價下調元時，則利潤，分三種情況討論：當；當時；當；利用一次函數的性質，即可解答．【解題過程】解：設每臺空調的進價為元，則每臺電冰箱的進價為元，根據題意得：，解得：，經檢驗，是原方程的解，且符合題意，，答：每臺空調的進價為元，則每臺電冰箱的進價為元．設購進電冰箱臺，這臺家電的銷售總利潤為元，則，根據題意得：，解得：，為正整數，，，，，，，，合理的方案共有種，即電冰箱臺，空調臺；電冰箱臺，空調臺；電冰箱臺，空調臺；電冰箱臺，空調臺；電冰箱臺，空調臺；電冰箱臺，空調臺；電冰箱臺，空調臺；，，隨的增大而減小，當時，有最大值，最大值為：元，答：當購進電冰箱臺，空調臺獲利最大，最大利潤為元．當廠家對電冰箱出廠價下調元，若商店保持這兩種家電的售價不變，則利潤，當，即時，隨的增大而增大，，當時，這臺家電銷售總利潤最大，即購進電冰箱臺，空調臺；當時，，各種方案利潤相同；當，即時，隨的增大而減小，，，當時，這臺家電銷售總利潤最大，即購進電冰箱臺，空調臺；答：當時，購進電冰箱臺，空調臺銷售總利潤最大；當時，，各種方案利潤相同；當時，購進電冰箱臺，空調臺銷售總利潤最大．【考點點評】本題考查了列分式方程的應用、一元一次不等式組的應用以及一次函數的應用，找準數量關系，正確列出分式方程和一元一次不等式組是解題的關鍵．19．已知點A在x軸正半軸上，以OA為邊作等邊OAB，A(x，0)，其中x是方程的解．（1）求點A的坐標；（2）如圖1，點C在y軸正半軸上，以AC為邊在第一象限內作等邊ACD，連DB并延長交y軸于點E，求的度數；（3）如圖2，點F為x軸正半軸上一動點，點F在點A的右邊，連接FB，以FB為邊在第一象限內作等邊FBG，連GA并延長交y軸于點H，當點F運動時，的值是否發生變化？若不變，求其值；若變化，求出其變化的范圍．【答案】（1）；（2）；（3）的值是定值，9．【要點分析（1）先求出方程的解為，即可求解；（2）由“SAS”可證△CAO≌△DAB，可得∠DBA＝∠COA＝90°，由四邊形內角和定理可求解；（3）由“SAS”可證△ABG≌△OBF可得OF＝AG，∠BAG＝∠BOF＝60°，可求∠OAH＝60°，可得AH＝6，即可求解．【解題過程】解：（1）∵是方程的解．解得：，檢驗當時，，，∴是原方程的解，∴點；（2）∵△ACD，△ABO是等邊三角形，∴AO＝AB，AD＝AC，∠BAO＝∠CAD＝60°，∴∠CAO＝∠BAD，且AO＝AB，AD＝AC，∴△CAO≌△DAB（SAS）∴∠DBA＝∠COA＝90°，∴∠ABE＝90°，∵∠AOE＋∠ABE＋∠OAB＋∠BEO＝360°，∴∠BEO＝120°；（3）GH?AF的值是定值，理由如下：∵△ABC，△BFG是等邊三角形，∴BO＝AB＝AO＝3，FB＝BG，∠BOA＝∠ABO＝∠FBG＝60°，∴∠OBF＝∠ABG，且OB＝AB，BF＝BG，∴△ABG≌△OBF（SAS），∴OF＝AG，∠BAG＝∠BOF＝60°，∴AG＝OF＝OA＋AF＝3＋AF，∵∠OAH＝180°?∠OAB?∠BAG，∴∠OAH＝60°，且∠AOH＝90°，OA＝3，∴AH＝6，∴GH?AF＝AH＋AG?AF＝6＋3＋AF?AF＝9．【考點點評】本題是三角形綜合題，考查了分式方程的解法，等邊三角形性質，全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力．20．新定義：如果兩個實數使得關于的分式方程的解是成立，那么我們就把實數組成的數對稱為關于的分式方程的一個“關聯數對”．例如：使得關于的分式方程的解是成立，所以數對就是關于的分式方程的一個“關聯數對”．(1)判斷下列數對是否為關于的分式方程的“關聯數對”，若是，請在括號內打“√”.若不是，打“×”．①（

）；②（

）；③（

）；④（

）；(2)若數對是關于的分式方程的“關聯數對”，求的值；(3)若數對（且，）是關于的分式方程的“關聯數對”，且關于的方程有整數解，求整數的值．【答案】(1)①；②；③；④(2)(3)【要點分析本題考查了新定義，分式方程的解，學生的理解能力以及知識的遷移能力等知識，理解“關聯數對”的定義是解題的關鍵．（1）根據“關聯數對”定義分別判斷即可；（2）根據“關聯數對”定義計算即可；（3）根據“關聯數對”定義，結合方程的解為整數，計算即可．【解題過程】（1）解：當，時，分式方程為，，∵，∴①不是關于的分式方程的“關聯數對”；當，時，分式方程為，解得：，，②不是關于的分式方程的“關聯數對”；當，時，分式方程為，解得，，③是關于的分式方程的“關聯數對”；當，時，分式方程為，此方程無解，④是關于的分式方程的“關聯數對”；故答案為：①；②；③；④．（2）解：數對是關于的分式方程的“關聯數對”，，解得：，，解得；（3）解：數對，且，是關于的分式方程的“關聯數對”，，，，解得，∵可化為，∴，解得：，方程有整數解，整數，即，又，，．21．如圖，一次函數的圖象與軸、軸分別交于、兩點，與反比例函數的圖象交于點，．(1)求一次函數和反比例函數的表達式；(2)點為軸正半軸上一點，當的面積為9時，求點的坐標；(3)在（2）的條件下，將直線向上平移，平移后的直線交反比例函數圖象于點，交軸于點．點為平面直角坐標系內一點，若以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．【答案】(1)反比例函數的解析式為；一次函數解析式為(2)(3)點坐標為或或【要點分析（1）將代入，可求，則反比例函數解析式為，將代入得，，則，待定系數法求一次函數解析式即可；（2）當時，求得，設，，則，根據，計算求解，然后作答即可；（3）設直線向上平移后的函數解析式為，將代入，可求，將代入得，，則平移后的直線解析式為，進而可求，設，由題意知，，，，分①當為平行四邊形的對角線時，則的中點坐標為，的中點坐標為，則，，計算求解即可；②當為平行四邊形的對角線時，同理①求解即可；③當為平行四邊形的對角線時，同理①求解即可．【解題過程】（1）解：將代入得，，解得，，∴反比例函數解析式為，將代入得，，∴，將，代入得，，解得，一次函數解析式為；（2）解：當時，，即，設，，∴，∴，解得，，∴；（3）解：設直線向上平移后的函數解析式為，將代入得，，即，將代入得，，解得，∴平移后的直線解析式為，當時，，即，設，由題意知，，，，①當為平行四邊形的對角線時，則的中點坐標為，的中點坐標為，∴，，解得，，，∴；②當為平行四邊形的對角線時，同理①可得，，解得，，，∴；③當為平行四邊形的對角線時，同理①可得，，解得，，，∴；綜上，點坐標為或或．【考點點評】本題考查了一次函數與反比例函數綜合，一次函數解析式，反比例函數解析式，一次函數圖象的平移，反比例函數與幾何綜合，平行四邊形的性質等知識．熟練掌握一次函數與反比例函數綜合，一次函數解析式，反比例函數解析式，一次函數圖象的平移，反比例函數與幾何綜合，平行四邊形的性質是解題的關鍵．22．在平面直角坐標系中，定義：橫坐標與縱坐標均為整數的點為整點．如圖，已知雙曲線經過點，在第一象限內存在一點，滿足．(1)求的值；(2)如圖，過點分別作平行于軸，軸的直線于點、，記線段、、雙曲線所圍成的區域為（含邊界），當時，區域的整點個數為；直線過一個定點，若點為此定點，直線上方（不包含直線）的區域記為，直線下方（不包含直線）的區域記為，當與的整點個數之差不超過時，請求出的取值范圍．【答案】(1)；(2)①，②．【要點分析（）根據點在的圖象上，可求出的值；（）標出區域，再統計區域內的整數點即可；過定點即表示與的取值無關，則有的系數等于，便可解決問題，利用圖象，求出區域內的所有整數點，再分類討論即可；本題考查反比例函數的性質，正確理解題目中所給出的新定義，結合圖形合理的分析是解題的關鍵．【解題過程】（1）∵雙曲線經過點，∴，即的值為；（2）當時，由圖可知，上的整點有個，上的整點有個，雙曲線上段的整點有個，區域內部的整點有個，又點，，都被算了次，所以區域的整點個數為：，故答案為：；由題知，，則不論為何值，時，即直線過定點，∴，如圖所示，當時，區域內的整點共有個，又被分成的區域和的整點個數之差不超過，則當直線經過點時，的整點個數是，的整點個數是，滿足要求，此時，得，當直線過點時，的整點個數是，的整點個數是，不滿足要求，故當點在直線上方時，即可，此時，得，故的取值范圍是：．23．已知反比例函數的圖象的一支如圖所示，它與直線交于點，.

(1)在圖中，補畫該反比例函數圖象的另一支，并求的值；(2)當時，求函數值的取值范圍；(3)觀察圖象，直接寫出當時，自變量的取值范圍.【答案】(1)圖見解析，；(2)當時，；(3)或.【要點分析（1）根據反比例函數的圖像關于原點對稱即可畫出另一支，將點代入中，得到反比例函數解析式，再代入，即可求得m的值；（2）直接根據反比例函數的增減性即可求解；（3）畫出一次函數的圖象，根據圖象即可解答．【解題過程】（1）解：如圖；

將代入中，得，將代入中，得；（2）解：當時，，當時，，∴當時，；（3）解：的圖象與直線交于點，，作圖如下：

由圖可得：當時自變量的取值范圍：或．【考點點評】本題考查了反比例函數的性質以及反比例函數與一次函數的交點問題，利用數形結合的思想是解題的關鍵．24．如圖1，的圖像與y軸交于點B，與反比例函數的圖像交于點．(1)求一次函數和反比例函數的表達式；(2)點C是線段上一點（不與A，B重合），過點C作y軸的平行線與該反比例函數的圖像交于點D，連接，當四邊形的面積等于24時，求點C的坐標；(3)在（2）的前提下，將沿射線方向平移一定的距離后，得到，若點O的對應點恰好落在該反比例函數圖像上，是否在此反比例函數圖像上存在點M，使得，若存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)(3)或【要點分析（1）直接利用待定系數法即可解答；（2）設，則，根據四邊形的面積構建方程求解即可；（3）分兩種情況：當點M位于內部時，延長交反比例函數于M；當點M位于外部時，分別根據軸對稱的性質、函數圖像的交點等知識分析解得即可．【解題過程】（1）解：把點分別代入和中可得：，，解得：∴，．（2）解：設，則，∴，∵四邊形的面積等于24，∴,即，整理得：，解得：檢驗：是原方程的解，∵，∴，則．∴．（3）解：由平移可得：,∴直線的解析式為:，聯立得：，解得：或（不合題意，舍去）經檢驗是方程組的解，∴點∴點O向右平移4個單位長度，向上平移2個單位長度得到，由(2)可得：，∴，∵，∴，如圖1，當點M位于內部時，作于N，延長交反比例函數于M，∵，∴,∴N為的中點，∴，即，設直線的解析式為，將代入得：，解得：，∴直線的解析式為:，聯立得：，解得：（舍棄負值）經檢驗是方程組的解，∴；如圖，當點M位于外部時，作于，連接，∵，∴,∵，∴關于對稱，，設直線的解析式為:,將代入得：，解得：，∴直線的解析式為：，設，則的中點在直線上，∴在直線上，∴，∴，∴，∵,∴，整理得：，解得:，∴或，經檢驗，當)時，直線不垂直，故不符合題意，∴，∵，，∴直線的解析式為:，聯立得：，解得：（舍棄負值）經檢驗是方程組的解，∴．綜上所述，M的坐標為或．【考點點評】本題主要考查反比例函數的應用、一次函數的應用、求函數解析式、點的平移、函數圖像交點與方程組等知識點，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法，學會構建方程解決問題是解題的關鍵．25．如圖，在平面直角坐標系中，直線與y軸相交于點A，與反比例函數在第一象限內的圖象相交于點．

(1)求k的值；(2)根據圖象，直接寫出當時，關于x的不等式的解集；(3)將直線向上平移個單位后與反比例函數在第一象限內的圖象交于點C，求的面積．【答案】(1)(2)(3)【要點分析（1）由點在直線上可得a，將點B代入即可求解．（2）由反比例反比例函數大于一次函數時反比函數圖像位于一次函數上方即可求解；（3）直線向上平移個單位可得，聯立平移后的直線與反比例函數即可得點C坐標，過B作得求解即可．【解題過程】（1）解：點在直線上，將點代入得：．（2）原不等式變形得：，即可看作反比例函數大于一次函數，，由圖可知可得：

．（3）直線向上平移個單位得：，聯立，解得：或（舍去），點C坐標為，過B作，

點M坐標為，點N坐標為，【考點點評】本題考查了反比例函數與一次函數綜合題，待定系數法求函數解析式，反比函數與一次函數的圖像及性質，解題關鍵是“利用割補法求面積”．26．【閱讀材料】像，，，…，兩個含有二次模式的代數式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數式互為有理化因式．例如：與，與，與，…，等都是互為有理化因式，進行二次根式計算時，利用